2012文科數(shù)學回歸教材 2函數(shù)

1、新課標回歸教材函數(shù)1.函數(shù)的概念.理解注意(1):都是非空數(shù)集;(2)任意性:集合中的任意一個元素;(3)唯一性:在集合中有唯一確定的數(shù)和它對應;(3)定不定:集合一定是函數(shù)的定義域,集合不一定是函數(shù)的值域,函數(shù)值域一定是集合的子集.典例:(1)函數(shù)圖像與直線至多有一個公共點,但與直線的公共點可能沒有,也可能有任意個.(2)已知,則集合中元素有 0或1 個;(3)若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間,則 2 .2.同一函數(shù).函數(shù)三要素是:定義域,值域和對應法則.而值域可由定義域和對應法則唯一確定,因此當兩個函數(shù)的定義域和對應法則相同時,它們一定為同一函數(shù).典例:若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但

2、其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”,那么解析式為,值域為4,1的“孿生函數(shù)”共有 9 個.3.映射的概念.理解注意:映射是函數(shù)概念的推廣,表現(xiàn)在集合可以為任意非空集合,不一定是表示數(shù),可以是其它人或事物本身.典例:(1)設集合,映射滿足條件“對任意的,是奇數(shù)”,這樣的映射有 12 個;(2)設是集合到集合的映射,若,則一定是.4.求函數(shù)定義域的常用方法（一切函數(shù)問題:定義域優(yōu)先）(1)使函數(shù)的解析式有意義.解析式求定義域解析式求定義域解析式求定義域為偶數(shù))(,)典例:(1)函數(shù)的定義域是;(2)若函數(shù)的定義域為R,則;(3)函數(shù)定義域是,且,則函數(shù)定義域是;(4)設函數(shù),若的定義域是R,

3、求實數(shù)的取值范圍;若的值域是R,求實數(shù)的取值范圍（答:; ）(2)使實際問題有意義.實際問題有意義實際問題有意義實際問題有意義三角形中，最大角,最小角距離或弧長或面積或體積等為正數(shù)年月日等為正整數(shù)(3)復合函數(shù)的定義域.簡單函數(shù)定義域復合函數(shù)定義域求法備注若已知的定義域為則的定義域由不等式解出解不等式復合函數(shù)定義域簡單函數(shù)定義域求法備注若的定義域為則的定義域為在上的值域求值域法典例:(1)若函數(shù)的定義域為,則的定義域為;(2)若函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為5.求函數(shù)值域(最值)的方法:(1)配方法二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類:一是求閉區(qū)間上的最值;二是求區(qū)間定（動）,對稱軸動

4、（定）的最值問題.求二次函數(shù)的最值問題,勿忘數(shù)形結合,注意“兩看”:一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系）.典例:(1)函數(shù)的值域是;(2)已知在時有最大值,則;(2)換元法通過換元把一個較復雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù),其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式.典例:(1)的值域為;(2)的值域為;（令,注意:換元要等價）;(3)的值域為;()(4)的值域為;(令)(3)函數(shù)有界性法利用已學過函數(shù)的有界性,如三角函數(shù)的有界性.典例:函數(shù),值域分別是:;(4)單調(diào)性法利用函數(shù)的單調(diào)性.典例:(1)求,的值域為;(5)數(shù)形結合法函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點的距離、直線斜率等.典例

5、:(1)若點,則及的取值范圍;(2)函數(shù)的值域;(3)函數(shù)的值域注意:異側(cè)和最小,同側(cè)差最大.(6)判別式法分式函數(shù)(分子或分母中有一個是二次),其定義域通常為典例:(1)函數(shù)的值域(2)若的定義域為R,值域為0,2,求常數(shù)的值（答:）(7)不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值或值域.其題型特征解析式是和式時要求積為定值,解析式是積時要求和為定值,不過有時須要用到拆項、添項和平方等技巧.典例:(1)型,可直接用不等式性質(zhì),如函數(shù)的值域.(2)型, ,如函數(shù)的值域(3)型,如函數(shù)的值域;函數(shù)的值域 .(4) 設成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,則的取值范圍是.(8)導數(shù)法一般適用于高次多項式函數(shù).典例:函數(shù)

6、,的最小值是.提醒:(1)寫函數(shù)的定義域、值域時,你按要求寫成集合形式了嗎？(2)函數(shù)的最值與值域之間有何關系？典例:函數(shù)且的值域是,不要錯覺為.6.分段函數(shù)的概念.分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上,分別用幾個不同的式子來表示對應關系的函數(shù),它是一類較特殊的函數(shù).在求分段函數(shù)的值時,一定首先要判斷屬于定義域的哪個子集,然后再代相應的關系式;分段函數(shù)的值域應是其定義域內(nèi)不同子集上各關系式的取值范圍的并集.典例:(1)設函數(shù),則不等式的解集為;(2)已知,則不等式的解集是.7.求函數(shù)解析式的常用方法:(1)待定系數(shù)法已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達形式有三種:一般式:;頂點式:;零點式:,要會根

7、據(jù)已知條件的特點,靈活地選用二次函數(shù)的表達形式.典例:若為二次函數(shù),且,且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式.（答:）(2)代換(配湊)法已知形如的表達式,求的表達式.典例:(1)已知求的解析式（答:）;這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性,即的定義域應是的值域.(2)若,則函數(shù)=;(3)若是奇函數(shù),且,那么時,= . (3)方程的思想已知條件是含有及另外一個函數(shù)的等式,可抓住等式的特征對等式的進行賦值,從而得到關于及另外一個函數(shù)的方程組.典例:(1)已知,求的解析式（答:）;(2)已知是奇函數(shù),是偶函數(shù),且+= ,則=.8.函數(shù)的奇偶性.(1)具有奇偶性的函數(shù)的定

8、義域的特征:定義域必須關于原點對稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時,務必先判定函數(shù)定義域是否關于原點對稱.典例:若為奇函數(shù),其中,則值是 0 ;(2)確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若函數(shù)解析式較為復雜,應先化簡,再判斷其奇偶性）:定義法: 典例:(1)判斷函數(shù)的奇偶性 奇函數(shù)_.(2)判斷函數(shù)的奇偶性 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) ;利用函數(shù)奇偶性定義的等價形式:或().典例:判斷的奇偶性 偶函數(shù) .圖像法:奇函數(shù)的圖象關于原點對稱;偶函數(shù)的圖象關于軸對稱.典例:判斷的奇偶性 奇函數(shù) .(3)函數(shù)奇偶性的性質(zhì):奇(偶)函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同(反).若為偶函數(shù),則.典例:若偶函數(shù)在

9、上單調(diào)遞減,且=2,則不等式的解集為若奇函數(shù)定義域中含有0,則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件. 典例:若為奇函數(shù),則實數(shù) 1 .定義在關于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù),都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和（或差）”.典例:設是定義域為R的任一函數(shù), ,.判斷與的奇偶性; 答案:;若將函數(shù),表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和,則復合函數(shù)的奇偶性特點是:“內(nèi)偶則偶,內(nèi)奇同外”.既奇又偶函數(shù)有無窮多個(,定義域是關于原點對稱的任意一個數(shù)集).9.函數(shù)的單調(diào)性.(1)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法:在解答題中常用:定義法（取值作差變形定號）、導數(shù)法（在區(qū)間內(nèi),若總有,則為增函數(shù);反之,

10、若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),則,請注意兩者的區(qū)別所在.典例:已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則的取值范圍是;在小題中還可用數(shù)形結合法、特殊值法等等,特別要注意雙勾函數(shù)圖象和單調(diào)性在解題中的運用:增區(qū)間為,減區(qū)間為和.典例:(1)若函數(shù)在上是減函數(shù),則取值范圍是;(2)已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍;(3)若函數(shù)的值域為R,則的取值范圍是;復合函數(shù)法:復合函數(shù)單調(diào)性的特點是同增異減.典例:函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.特別提醒:求單調(diào)區(qū)間時,第一,勿忘定義域;典例:若在區(qū)間上為減函數(shù),則的取值范圍;第二,在多個單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號“”和“或”;第三,單調(diào)區(qū)間應該用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示;

11、 第四,你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?比較大小;解不等式;求參數(shù)范圍. 典例:已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若,求實數(shù)的取值范圍.（答:）10. 常見的圖象變換的圖象是把函數(shù)圖象沿軸向左平移個單位得到的.典例:設的圖像與的圖像關于直線對稱,的圖像由的圖像向右平移1個單位得到,則為(的圖象是把函數(shù)圖象沿軸向右平移個單位得到的.典例: (1)若,則函數(shù)的最小值為 2 ;(2)要得到的圖像,需作關于 y 軸對稱圖像,再向右平移3個單位而得到;(3)函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)有 2 個.函數(shù)+圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向上平移個單位得到的;函數(shù)+圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向下平移個單位得到的; 典例:將

12、函數(shù)的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關于直線對稱,那么 ( C ) 函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的得到的.典例:(1)將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?縱坐標不變),再將此圖像沿軸方向向左平移2個單位,所得圖像對應的函數(shù)為;(2)如若函數(shù)是偶函數(shù),則函數(shù)的對稱軸方程是函數(shù)圖象是把函數(shù)圖象上各點縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫降? 11. 函數(shù)的對稱性.滿足條件的函數(shù)的圖象關于直線對稱.典例:若滿足且方程有等根,則.點關于軸對稱點為;函數(shù)關于軸的對稱曲線方程為;點關于軸對稱點為;函數(shù)關于軸的對稱曲線方程為; 點關于原點對稱點為;函數(shù)關于原點對稱曲線方程為;

13、L:點關于直線的對稱點為;曲線關于直線的對稱曲線的方程為.特別地,點關于直線的對稱點為;曲線關于直線的對稱曲線的方程為;點關于直線的對稱點為;曲線關于直線的對稱曲線的方程為.典例:己知函數(shù),若的圖像是,它關于直線對稱圖像是關于原點對稱的圖像為對應的函數(shù)解析式是;曲線關于點的對稱曲線的方程為.典例:若函數(shù)與的圖象關于點（-2,3）對稱,則.形如的圖像是雙曲線,其兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定),對稱中心是點.典例:已知函數(shù)圖象與關于直線對稱,且圖象關于點對稱,則a的值為 2 .的圖象先保留原來在軸上方的圖象,作出軸下方的圖象關于軸的對稱圖形,然后擦去軸下方的圖

14、象得到;的圖象先保留在軸右方的圖象,擦去軸左方的圖象,然后作出軸右方的圖象關于軸的對稱圖形得到.典例:(1)作出函數(shù)及的圖象; (2)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),則函數(shù)的圖象關于對稱.提醒:(1)從結論可看出,求對稱曲線方程的問題,實質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點的對稱問題;(2)證明函數(shù)圖像的對稱性,即證明圖像上任一點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上;(3)證明圖像與的對稱性,需證兩方面:證明上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在上;證明上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在上.典例:(1)已知函數(shù).求證:函數(shù)的圖像關于點成中心對稱圖形; (2)設曲線C的方程是,將C沿軸, 軸正

15、方向分別平行移動單位長度后得曲線.寫出曲線的方程（答:）;證明曲線C與關于點對稱.12. 函數(shù)的周期性.(1)類比“三角函數(shù)圖像”得若圖像有兩條對稱軸,則必是周期函數(shù),且一周期為;若圖像有兩個對稱中心,則是周期函數(shù),且一周期為;如果函數(shù)的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸,則函數(shù)必是周期函數(shù),且一周期為;典例:(1)已知定義在上的函數(shù)是以2為周期的奇函數(shù),則方程在上至少有 5 個實數(shù)根.(2)由周期函數(shù)的定義“函數(shù)滿足,則是周期為的周期函數(shù)”得:函數(shù)滿足,則是周期為2的周期函數(shù);若恒成立,則;若恒成立,則.若恒成立,則.類比記憶.典例:(1)設是上的奇函數(shù),當時,則=;(2)定義在上的偶函數(shù)滿足,

16、且在上是減函數(shù),若是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則的大小關系為;(3)已知是偶函數(shù),且=993,=是奇函數(shù),求的值(答:993);(4)設,又,則=.13.指數(shù)式、對數(shù)式:, .典例:(1)的值為 8 ;(2)的值為(3)已知函數(shù),定義使為整數(shù)的數(shù)叫做企盼數(shù),則在區(qū)間內(nèi)這樣的企盼數(shù)共有 9 個.14. 指數(shù)、對數(shù)值的大小比較:(1)化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性; (2)作差或作商法; (3)利用中間量(0或1); (4)化同指數(shù)(或同真數(shù))后利用圖象比較. 15. 函數(shù)的應用. (1)求解數(shù)學應用題的一般步驟:審題認真讀題,確切理解題意,明確問題的實際背景,尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系;建模通過抽象概括,將實

17、際問題轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學問題,別忘了注上符合實際意義的定義域;解模求解所得的數(shù)學問題;回歸將所解得的數(shù)學結果,回歸到實際問題中去. (2)常見的函數(shù)模型有:建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型;建立分段函數(shù)模型;建立指數(shù)函數(shù)模型;建立雙勾函數(shù)型.典例:某旅店有客床100張,各床每天收費10元時可全部額滿.若每床每天收費每提高2元,則減少10張客床租出,這樣,為了減少投入多獲利,每床每天收費應提高( B )A 2元 B 4元 C 6元 D 8元16. 抽象函數(shù)抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式,只給出了其它一些條件（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問題.求解抽象函數(shù)問題的常用方法是:(1)借鑒模特函數(shù)進行類比探究.幾類常見的抽象函數(shù):正比例函數(shù)型: -;冪函數(shù)型: -,;指數(shù)函數(shù)型: -,; 對數(shù)函數(shù)型: -,; 三角函數(shù)型: - .典例:若是R上的奇函數(shù),且為周期函數(shù),若它的周期為T,則 0 .(2)利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）進行演繹探究典例:(1)設函數(shù)表示除以3