山東省新泰市2015屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)八計(jì)數(shù)原理概率與統(tǒng)計(jì)練習(xí)理(含解析)

1、數(shù)學(xué)熱點(diǎn)八 計(jì)數(shù)原理 概率與統(tǒng)計(jì)【考點(diǎn)精要】考點(diǎn)一. 概率的有關(guān)概念及等可能事件的概率. 如：從1，2，3，4，5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)a，從1，2，3中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)b,則b>a的概率是 . 考點(diǎn)二. 幾何概型. 主要考查幾何概型的長度. 如：在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，的值介于0到之間的概率為( ).A. B. C. D.考點(diǎn)三. 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，以及有關(guān)概率的計(jì)算. 如：兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為（B）A. B. C. D. 考點(diǎn)四. 排列組合. 考查排列組合的相關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)考查兩個(gè)

2、原理. 如：某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在第四位、節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有( )A. 36種 B. 42種 C. 48種 D. 54種考點(diǎn)五. 用樣本的平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)總體的平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差. 如：樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a，0，1，2，3，若樣本的平均值為1，則樣本方差為 . 考點(diǎn)六. 考查分層抽樣、隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣等，掌握各種抽樣的特征與方法. 如：一個(gè)單位有職工800人，其中具有高級(jí)職稱的160人，具有中級(jí)職稱的320人，具有初級(jí)職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情

3、況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是( )A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7 C. 8,15,12,5 D. 8,16,10,6考點(diǎn)七. 中位數(shù)、莖葉圖的相關(guān)知識(shí)及頻率分布直方圖. 考查頻率分布直方圖的基礎(chǔ)知識(shí)，在頻率分布表中，頻數(shù)的和等于樣本容量，頻率的和等于1，每一小組的頻率等于這一組的頻數(shù)除以樣本容量.頻率分布直方圖中，小矩形的高等于每一組的頻率/組距，它們與頻數(shù)成正比，小矩形的面積等于這一組的頻率. 如：將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖. 若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2：3：4：6：4：1，且

4、前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n等于 . 考點(diǎn)八. 離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望. 如：設(shè)S是不等式的解集，整數(shù)，記使得“成立的有序數(shù)組”為事件A,（1）試列舉A包含的基本事件；（2）記，求的分布列及數(shù)學(xué)期望. ( )巧點(diǎn)妙撥1.排列與組合 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理是關(guān)于計(jì)數(shù)的兩個(gè)基本原理，兩者的區(qū)別在于分步計(jì)數(shù)原理和分步有關(guān)，分類計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān). 排列與組合主要研究從一些不同元素中，任取部分或全部元素進(jìn)行排列或組合，求共有多少種方法的問題.區(qū)別排列問題與組合問題要看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的屬于排列問題，與順序無關(guān)的屬于組合問題.2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1）在二項(xiàng)式展開式中，與首

5、末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即(r=0,1,2,n).（2）所有二項(xiàng)式系數(shù)和等于，即.3.概率（1）基本事件：試驗(yàn)中不能再分的最簡單的“單位”隨機(jī)事件；一次試驗(yàn)等可能的產(chǎn)生一個(gè)基本事件；任意兩個(gè)基本事件都是互斥的；試驗(yàn)中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式來表示（2）頻率與概率：隨機(jī)事件的頻率是指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值頻率往往在概率附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加而變化，擺動(dòng)幅度會(huì)越來越小隨機(jī)事件的概率是一個(gè)常數(shù)，不隨具體的實(shí)驗(yàn)次數(shù)的變化而變化（3）注意理解互斥事件與對(duì)立事件發(fā)生的條件. （4）古典概型與幾何概型：古典概型：具有“等可能發(fā)生的有限個(gè)基本事件”的概率模型

6、幾何概型：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例兩種概型中每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的，但古典概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，而幾何概型問題中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限個(gè)【典題對(duì)應(yīng)】例1. （2014 · 山東7）為了研究某藥廠的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：）的分組區(qū)間為12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，第五組，右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人

7、數(shù)為( )A. B. C. D. 命題意圖：本題主要考查頻率分布直方圖的相關(guān)知識(shí)，尤其是頻率域圖中縱坐標(biāo)、小矩形的面積的關(guān)系. 解析：第一組與第二組頻率之和為0.24+0.16=0.4答案：C名師坐堂：頻率分布直方圖中，應(yīng)明確所有矩形的面積之和為1，掌握頻率、頻數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系. 例2. （2014 · 山東18）乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分成甲、乙兩部分.如圖，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域.某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在上的概率為，在上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：（I）小明兩次回球的落

8、點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；（II）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望.命題意圖：本題考查概率在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查期望的應(yīng)用. 解析：（I）設(shè)恰有一次的落點(diǎn)在乙上這一事件為（II） 012346.名師坐堂：求數(shù)學(xué)期望的關(guān)鍵是要分清的情況，在每一中情況下的概率要分清是何種概率. 例3.（2013·山東10）用0,1，9十個(gè)數(shù)字可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為( )A. 243 B. 252 C. 261 D. 279命題意圖:本題主要考查排列數(shù)公式的應(yīng)用，會(huì)用枚舉法進(jìn)行分類. 解析：所有三位數(shù)共有900個(gè)，無重復(fù)數(shù)字的有.所以選B.名師坐堂：與數(shù)字有關(guān)的問題若是多

9、少位數(shù)應(yīng)首先明確數(shù)字是否允許重復(fù)，切記最高位數(shù)字不能為0. 例4（2013·山東理19）甲、乙兩支球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束. 除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是. 假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立. （）分別求甲隊(duì)以3：0，3：1，3：2勝利的概率；（）若比賽結(jié)果為3：0或3：1，則勝利方得3分、對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分、對(duì)方得1分. 求乙隊(duì)得分的分布列和數(shù)學(xué)期望. 命題意圖:本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率、分布列、數(shù)學(xué)期望. 能夠求出在不同條件下的事件的概率. 解析：（）記“甲隊(duì)以3：0勝利”為事件，“甲隊(duì)以3：

10、1勝利”為事件，“甲隊(duì)以3：2勝利”為事件 ，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故，.所以，甲隊(duì)以3：0勝利、以3：1勝利的概率都為，以3：2勝利的概率為.（）記“乙隊(duì)以3：2勝利”為事件，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以，由題意，隨機(jī)變量的所有可能的取值為0，1，2，3，又 ，所以的分布列為0123因此.名師坐堂：求解概率的題目判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有二：其一是獨(dú)立性，即一次實(shí)驗(yàn)中，事件發(fā)生與不發(fā)生二者必居其一；其二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了次. 例6(2011·山東理7) 某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表廣告費(fèi)用x（萬元）4235銷售額y（萬元）

11、49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為A. 63.6萬元 B. 65.5萬元 C. 67.7萬元 D. 72.0萬元命題意圖：本題主要考查線性回歸方程、平均數(shù)的相關(guān)知識(shí). 解析：由表可計(jì)算，因?yàn)辄c(diǎn)在回歸直線，且為9.4，所以，解得，故回歸方程為，令得，選B. 名師坐堂：線性回歸方程是新課程的內(nèi)容，因線性回歸方程的公式較為復(fù)雜，往往會(huì)被忽視，尤其是也在線性回歸方程上，應(yīng)注意靈活應(yīng)用. 例5（2012·山東理19） 現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶. 某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為,每命中

12、一次得2分，沒有命中得0分. 該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立. 假設(shè)該射手完成以上三次射擊. （）求該射手恰好命中一次得的概率；（）求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.命題意圖：本題主要考查獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布以及數(shù)學(xué)期望與分布列. 重在考查學(xué)生對(duì)于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷睦斫馀c應(yīng)用. 解析：（）；（）,X012345PEX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.名師坐堂：對(duì)于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)應(yīng)注意運(yùn)用，同時(shí)注意X的取值，注意驗(yàn)證p的所有之和是否為1.【命題趨向】1每一年都有對(duì)概率的考查，題目背景均來源與現(xiàn)實(shí)生活，如文科2009年以轎車的

13、分配與使用為背景，2010年以隨機(jī)取球?yàn)楸尘埃?011年以教師支教選派為背景，20121年以取卡片為背景，2013年以身高為背景，理科2009年以投籃為背景，2010年以知識(shí)競賽答題為背景，2011年圍棋賽為背景，2012年以射擊比賽為背景，2013年以球隊(duì)比賽為背景. 2015年以乒乓球賽為背景，這些背景材料均來源生活但有不陌生，今后生活中的諸如高考志愿選擇、污染治理、物價(jià)漲幅、社會(huì)保障、課程選擇、質(zhì)量抽測、住房保障等都可作為背景用來考查概率.2. 從近幾年考查的題目來看，理科每年都有對(duì)數(shù)學(xué)期望的考查，今后仍將保持高概率進(jìn)行考查，但就形式的發(fā)展來看，直方圖、頻率分布表等一些平時(shí)疏忽的知識(shí)點(diǎn)也

14、將登上高考的舞臺(tái). 近幾年考查主要是隨機(jī)事件的概率、對(duì)立事件的概率、相互獨(dú)立事件的概率，主要在古典概型上著墨，幾何概型考查較少，只在2009年進(jìn)行考查，今后也會(huì)在小題中予以體現(xiàn)，應(yīng)引起重視.3. 二項(xiàng)分布是高中概率中最重要的概率分布，是近年高考非常注重的一個(gè)考點(diǎn)二項(xiàng)分布概率模型的特點(diǎn)是“獨(dú)立性”和“重復(fù)性”，事件的發(fā)生都是獨(dú)立的、相互之間沒有影響，事件又是在相同的條件之下重復(fù)發(fā)生要記住二項(xiàng)分布概率模型的這個(gè)特點(diǎn)，在解題時(shí)把符合這種特點(diǎn)的概率問題歸結(jié)到二項(xiàng)分布模型上面，直接根據(jù)二項(xiàng)分布概率模型的公式解決有的問題是局部的二項(xiàng)分布概率模型問題，解題時(shí)要注意這種特殊情況【直擊高考】1. 將字1、2、3

15、、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有( )A. 6種 B. 9種C. 11種 D. 23種2. 三人互相傳球，由甲開始傳球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有( )A. 6種 B. 8種 C. 0種 D. 12種3. 用0,1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中5的倍數(shù)有( )個(gè). A. 206 B. 106 C. 216 D. 3264. 已知集合M=-1，0，1，N=2，3，4，5，映射，當(dāng)xM時(shí)，為奇數(shù)，則這樣的映射的個(gè)數(shù)是( )A. 20 B. 18 C. 32 D. 245. 通

16、過隨即詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由算得，.附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是( )A.在犯錯(cuò)的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B. 在犯錯(cuò)的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C. 由99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D. 由99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”6. 為了慶祝六一兒童節(jié)，某食品廠制作了種不同的精美卡片，每袋食品隨機(jī)裝入一張卡片，集齊種卡片可獲獎(jiǎng)，現(xiàn)購買該

17、種食品袋，能獲獎(jiǎng)的概率為( )A B C D 7. ABCD為長方形，AB2，BC1，O為AB的中點(diǎn)，在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為( )A. B. C. D. 8從長度分別為2、3、4、5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是_. 9. 某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm、和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為 cm.10. 某班有學(xué)生36人，血型分別為A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人，現(xiàn)從中抽出2人，求這兩人血型不相同的概率.

18、11. 在第29屆北京奧運(yùn)會(huì)上，中國健兒取得了51金、21銀、28銅的好成績，穩(wěn)居金牌榜首，由此許多人認(rèn)為中國進(jìn)入了世界體育強(qiáng)國之列，也有許多人持反對(duì)意見，有網(wǎng)友為此進(jìn)行了調(diào)查，在參加調(diào)查的2548名男性中有1560名持反對(duì)意見，2452名女性中有1200名持反對(duì)意見，在運(yùn)用這些數(shù)據(jù)說明性別對(duì)判斷“中國進(jìn)入了世界體育強(qiáng)國之列”是否有關(guān)系時(shí)，有什么方法最有說服力( )A.平均數(shù)與方差 B.回歸直線方程 C.獨(dú)立性實(shí)驗(yàn) D.概率 12. 為2010年上海世博會(huì)挑選志愿者，大會(huì)組委會(huì)決定從上海某高級(jí)中學(xué)中選拔部分學(xué)生參加，該高級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000人，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表：高一高二高三女生373

19、xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到高二年級(jí)女生的概率是0.19.（）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在高三年級(jí)抽取多少人？（）已知求高三年級(jí)女生比男生多的概率.數(shù)學(xué)熱點(diǎn)八 計(jì)數(shù)原理 概率與統(tǒng)計(jì)1. 解析：解法一（采用“分步”方法）：完成這件事分三個(gè)步驟。第一步：任取一個(gè)數(shù)字，按規(guī)定填入方格，有3種不同填法；第二步：取與填入數(shù)字的格子編號(hào)相同的數(shù)字，按規(guī)定填入方格，仍有3種不同填法；第三步：將剩下的兩個(gè)數(shù)字按規(guī)定填入兩個(gè)格子，只有1種填法；于是，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有N=3×3×1=9種不同填法。解法二：（采用“列舉”方法）：從編號(hào)為1的方格

20、內(nèi)的填數(shù)入手進(jìn)行分類。第一類：編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字2，共有3種不同填法： 2413 2143 2341第二類：編號(hào)1的方格內(nèi)填數(shù)字3，也有3種不同填法： 3142 3412 3421第三類：編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字4，仍有3種不同填法： 4123 4312 4321于是由分類計(jì)數(shù)原理得共有N=3+3+3=9種不同填法，應(yīng)選B解法三（間接法）：將上述4個(gè)數(shù)字填入4個(gè)方格，每格填一個(gè)數(shù)，共有N1=4×3×2×1=24種不同填法，其中不合條件的是(1)4個(gè)數(shù)字與4個(gè)格子的編號(hào)均相同的填法有1種；(2)恰有兩個(gè)數(shù)字與格子編號(hào)相同的填法有6種；(3)恰有1個(gè)數(shù)字與格子編號(hào)相

21、同的填法有8種；因此，有數(shù)字與格子編號(hào)相同的填法共有N2=1+6+8=15種，于是可知，符合條件的填法為24-15=9種。2.解析：（枚舉法）該題新穎，要在考試短時(shí)間內(nèi)迅速獲得答案，考慮互傳次數(shù)不多，所得選擇的答案數(shù)字也不大，只要按題意一一列舉即可。3. 解析：五位數(shù)是5的倍數(shù)，只要個(gè)位數(shù)字是0或5即可，容易求得答案為C。關(guān)于數(shù)的整除個(gè)數(shù)的性質(zhì)： 被2整除的：個(gè)位數(shù)為偶數(shù)； 被3整除的：各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和被3整除； 被6整除的：3的倍數(shù)且為偶數(shù)； 被4整除的：末兩位數(shù)能被4整除；被8整除的：末三位數(shù)能被8整除； 25的倍數(shù)：末兩位數(shù)為25的倍數(shù)； 5的倍數(shù)：個(gè)位數(shù)是0，5；9的倍數(shù)：各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和為9的倍數(shù).4. 解析：由映射定義知，當(dāng)xM時(shí)， 當(dāng)xM時(shí)，這里的x可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)，但 必須為奇數(shù)，因此，對(duì)M中x的對(duì)應(yīng)情況逐一分析，分步考察：第一步，考察x=-1的象，當(dāng)x=-1時(shí)， ，此時(shí) 可取N中任一數(shù)值，即M中的元素-1與N中的元素有4種對(duì)應(yīng)方法；第二步，考察x=0的象，當(dāng)x=0時(shí)， 為奇數(shù)，故 只有2種取法（ =3或 =5），即M中的元素0與N中的元素有2種對(duì)應(yīng)方法；第三步，考察x=1的象，當(dāng)x=1時(shí)， 為奇數(shù)，故 可為奇數(shù)也可為偶數(shù), 可取N中任一數(shù)值，即M中的元素1與N中的元素有4種對(duì)應(yīng)方法，于是由分步計(jì)數(shù)原理可知，映射