從數(shù)的二進(jìn)制談起

1、第十四講 從數(shù)的二進(jìn)制談起在即將進(jìn)入21世紀(jì)的今天，電子（數(shù)字）計算機(jī)內(nèi)部數(shù)的存貯和計算采用二進(jìn)制已是眾所周知的事了.據(jù)學(xué)者考證，中國在公元前2000多年的伏羲氏發(fā)明的八卦，即用和-兩種符號拼出來的。如果把看成1，把-看成0，那么上述八卦可以翻譯成二進(jìn)制數(shù)（列于下面）。但是人類歷史進(jìn)程表明，二進(jìn)制大約被人類冷落了近四千年（在此期間一直重視和使用十進(jìn)制），直到20世紀(jì)40年代，科學(xué)技術(shù)的整體水平（有了無線電通訊、雷達(dá)技術(shù)和真空管、繼電器等電子元器件）進(jìn)一步提高，再加上反法西斯戰(zhàn)爭需要發(fā)明原子彈（原子彈許多設(shè)計數(shù)據(jù)不能事先在實驗室測出，而必須靠理論計算，而計算量超過人類有史以來全部算術(shù)運算），著名

2、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼（J.von Neumann）和另一些年輕數(shù)學(xué)家發(fā)明制成了稱之為ENIAC的通用電子數(shù)字計算機(jī)（用18000支真空管，1500個繼電器，幾十萬電阻電容，自重30噸，耗電200千瓦）.直至今日，電子計算機(jī)主要還是馮·諾伊曼體系.告訴大家這一些歷史，主要說明我們不能停留在為祖先最早發(fā)明了二進(jìn)制而自豪這一步，還要看到數(shù)學(xué)大有用武之地，但要與經(jīng)濟(jì)建設(shè)和科學(xué)技術(shù)廣泛結(jié)合才能起大的或巨大的（如電子計算機(jī)）作用.下面看二進(jìn)制本質(zhì)到底是什么？人類天生雙手十指.“搬著手指頭”計數(shù)，是每個人幼時必經(jīng)之路.十進(jìn)制數(shù)有兩大內(nèi)涵.一是有十個不同數(shù)符：0，1，29；二是“逢十進(jìn)一”的進(jìn)

3、位法則，有個、十、百、千等自右向左的數(shù)位.倘若人類雙手八指，也許地球上今日該流行八進(jìn)制了.所以二進(jìn)制也有兩大內(nèi)涵.一是有兩個不同數(shù)符：0，1；二是“逢二進(jìn)一”.其實，我們已見過非十進(jìn)制的事物，一年十二個月，十二進(jìn)制；一周七天，七進(jìn)制；一小時六十分，一分六十秒，六十進(jìn)制；一英尺等于十二英寸（電視機(jī)常說20英寸，21英寸），十二進(jìn)制；一副三角尺含2塊，一雙鞋含2只，一雙襪子含2只，一雙筷子含2根，這些都可看成二進(jìn)制.一個十進(jìn)制數(shù)1993可表述為：19931000+900+90+3=1×103+9×102+9×10+3 a3×103+a2×102+a

4、1×10+a0其中0ai9，而i是0到n中的一個整數(shù)。再回到二進(jìn)制.大家知道：數(shù)是計算物體的個數(shù)而引進(jìn)的，0代表什么也沒有，有一個，記為“1”；再多一個，記為“10”（在十進(jìn)制下記為2）；比“10”再多一個，記為“11”.依次類推，我們很容易接受（或自己發(fā)明）二進(jìn)制下，從小到大的數(shù)列，不妨列表：為了不引起混淆，我們把二進(jìn)制數(shù)右下角標(biāo)一個2，如：（10）2=（2）10，或省略括號，省略十進(jìn)制標(biāo)記，略為：102=2，或（10）2=2，11112=15和十進(jìn)制對數(shù)位有一省略名字一樣，二進(jìn)制的數(shù)位也可稱呼：例如：199310245122561286481，寫成二進(jìn)制為：0×40&#

5、215;20×1（88）10因而二進(jìn)制的數(shù)化為十進(jìn)制，只要讀出二進(jìn)制各數(shù)位累加即可，如N（bnbn-1bn-2b2b1b0）2則有N=（bn×2nbn-1×2n-1bn-2×2n-2+b2×22b1×21+b0）10難度大的是怎樣較快地把一個十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù).還以1993為例，前面的方法是先找出二進(jìn)制的高位數(shù)字，記熟了2的各種冪次（a的n次冪表示n個a相乘，記為an），找到不超過1993的最大的2的冪，是210=1024，得b10=1，再找不超過（1993-210）的最大的2的冪，是29=512，得b9=1，依次類推得b8，b7b

6、2，b1，b0.這是由高位到低位逐漸推得的方法。現(xiàn)在設(shè)法自低位到高位，先找b0.顯然，十進(jìn)制偶數(shù)，b0=0，十進(jìn)制奇數(shù)b0=1，所以b0是N除以2的余數(shù).再說b1，因為N=bn×2nb2×22以后的余數(shù)，余數(shù)為0，b1就為0；余數(shù)為1，b1就為1；這樣的想法可逐漸向高位推，得出一般性方法.還以1993為例，寫出豎式：N=1993，b0為1993÷2的余數(shù)，(1993)10=(11111001001)2以后熟悉了這一算法，我們可很快地化十進(jìn)制數(shù)為二進(jìn)制數(shù)。例 如化（19）10，（101）10，（81）10為二進(jìn)制的豎式為：（19）10（10011）2；（101）10

7、（1100101）2；（81）10（1010001）2順便說一句，現(xiàn)在使用電子計算機(jī)，直接輸入十進(jìn)制數(shù)即可，因為機(jī)器內(nèi)部已專門編有（十）化（二）程序，可以自動轉(zhuǎn)換.下面講一下二進(jìn)制數(shù)的加減乘除四則運算：加法“口訣”特別簡單，000，10011，11=10.表述成運算時的豎式（用十進(jìn)制和二進(jìn)制比較）讀者不難體會豎式中進(jìn)位及累進(jìn)等與十進(jìn)制相似的規(guī)則.關(guān)鍵之處會“逢二進(jìn)一”.減法的關(guān)鍵在于夠減就減；不夠減時，向高位借，而“借一還二”.（高位借一，相當(dāng)于低的為二）.例如：1 不夠減，向高位借，不夠減； 不夠減，借1還1 能借，再向更高位借；第三個豎式和十進(jìn)制中1007的思想是一樣的。二進(jìn)制的乘法口訣只

8、有三句，1×0=0，0×0=0，1×1=1.看豎式：二進(jìn)制除法是乘法逆運算，除法也就是連減.看豎式：十進(jìn)制中： 二進(jìn)制中：又如，1993÷8822余57，二進(jìn)制除法，在試找商時，較省力，要么0，要么1。二進(jìn)制數(shù)有被電子計算機(jī)采用的好處，但人們有時還覺得它表達(dá)一個數(shù)時，數(shù)位太長，如（1023）10，表成二進(jìn)制為十位：（1111111111）2，為讀寫和觀察方便，要縮短數(shù)位又便于機(jī)器使用，科學(xué)家們偏愛于八進(jìn)制和十六進(jìn)制.大家可以自己擴(kuò)充八進(jìn)制的數(shù)的概念和運算：八進(jìn)制有0，1，27共八個數(shù)符，由低位向高位是“逢八進(jìn)一”，如：N=（cnc3c2c1c0）8cn&

9、#215;8n+cn-1×8n-1+ c2×82+c1×8+c0其中0ci7，i取0，1，2n。十進(jìn)制化八進(jìn)制：（1993）10=（3711）8；（88）10=（130）8 （4041）84×5124×8+120811993+88=2081加法關(guān)鍵在于“逢八進(jìn)一”。減法：2081-199388（4041）8-（3711）8（130）8，減法關(guān)鍵在于不夠減時，“退一還八”乘法：八進(jìn)制乘法口訣表重新制定如下：八進(jìn)制乘法：（7535）8=7×512+5×64+3×8+5=（3933）10這些口訣讀起來不順口，如讀成“七七

10、得六一”，當(dāng)然是八進(jìn)制的六個8加上一個1.同樣做除法時，也挺費神，看著“七七乘法表”做可省心些，并不是說除法有什么難度，主要是腦中的十進(jìn)制“九九表”干擾了“七七表”的記憶。（7535）8÷（23）8（317）8現(xiàn)在再講十六進(jìn)制。大家自然會想到16個數(shù)符要設(shè)想一套簡明的表達(dá)符號，國際上通用為0，1，2，8，9，A，B，C，D，E，F(xiàn).這里特別請大家記住六個字母：A，B，C，D，E，F(xiàn).A代表10，（十六進(jìn)制中比9多一的數(shù)），同理B代表11，C代表12，D代表13，E代表14，F(xiàn)代表15.這樣：N=（dndn-1d2d1d0）16dn×16n+dn-1×16n-1+d

11、2×162+d1×16+d0其中di取自0，19，A，B，C，D，E，F(xiàn).i可取0，1n。例如 N（20A）16=2×16210=（522）10（AB）1610×1611=（171）10如把十進(jìn)制直接化為十六進(jìn)制：十六進(jìn)制中的加法其關(guān)鍵在于“逢十六進(jìn)一”，減法的關(guān)鍵則在于“退一還十六”。（821）16=8×162+2×16+1=8×256+32+1=2081=1993+88注意：十六進(jìn)制的乘法和除法很費神，要構(gòu)造“十六十六表”.利用這表做乘法及除法：（10AD）16=163+10×16+13=4096+16013=

12、4269（F3）16=15×16+3=2434269×2431037367（FD437）16=15×164+13×163+4×1623×16+7=（15×16+13）×164）×16+3）×16+7=1037367當(dāng)然這十六進(jìn)制的乘除法是很不習(xí)慣的.下面談一下二進(jìn)制和八進(jìn)制、十六進(jìn)制之間的較密切的相互關(guān)系。把一個二進(jìn)制的數(shù)自右向左3位一組，立刻可以翻譯成八進(jìn)制數(shù).其間對應(yīng)規(guī)律為：同樣，把一個二進(jìn)制數(shù)自右向左4位一組，立刻可以翻譯為十六進(jìn)制數(shù).其間對應(yīng)規(guī)律為：如（1993）10（111110010

13、01）2（011111001001）2=（3711）8（011111001001）2=（7C9）16前面在十六進(jìn)制下很不順手的除法FD437÷10AD=F3可以重新用二進(jìn)制檢驗：（FD437）16=（1111 1101 0100 0011 0111）2（10AD）16（10000 1010 1101）排成除法豎式：最后，關(guān)于三進(jìn)制數(shù)、五進(jìn)制數(shù)、七進(jìn)制數(shù)，以及一般的g進(jìn)制數(shù)，讀者一定可以自己推出一套記數(shù)、轉(zhuǎn)化及加減乘除的法則來。例如：（1993）10=（5545）7=（30433）5=（2201211）3等.只要看豎式：這樣，將一個七進(jìn)制的數(shù)化成三進(jìn)制數(shù)時，可以先將此數(shù)化成十進(jìn)制數(shù)作中

14、介而求得，例如：（1046）71×734×76=343286=（377）10（1046）7=（111222）3最后介紹幾個問題.研究表明，要保存數(shù)碼最經(jīng)濟(jì)的進(jìn)位制是三進(jìn)制.可惜現(xiàn)在物理器件較成熟的還是支持兩種狀態(tài)的二進(jìn)制。不久前剛逝世的本世紀(jì)杰出的科普作家阿西莫夫（IsaacAsimov）曾喜悅地談到自己年輕時獨立解決了一個看似與二進(jìn)制無關(guān)的有趣問題.問題是這樣的：如何制造個數(shù)最少的一些單位砝碼，如1克、2克、3克、4克等，能稱出1克到1千克的任何整克數(shù)的物體？答案是：1克、2克、4克、8克、16克、32克、64克、128克、256克、512克，共十個砝碼.實際上這些砝碼一

15、直可稱出1到1023克之間任何整克數(shù)的物體.這在我們學(xué)完二進(jìn)制數(shù)以后就不難理解了.如：x=a9a8a7a6a5a4a3a2a1a0，每個ai或0或1表示2克砝碼或不用或用上.如把問題再簡化一些，如只許用3個砝碼，就制成1克、2克、4克.可稱1、2、7克的任何整克數(shù)物體，或說要稱1、2、7克之間任一物體，3個砝碼是最少的了。因為1克必然要的.2克，如不要，再造一個1克砝碼，這樣用二個1克砝碼，僅能稱1克、2克共2種物體，效率不高.所以造一個1克，一個2克，這樣可以稱1、2、3克三種物體了.下一個不必造3克的砝碼，而造了一個4克的砝碼，所以1克、2克、4克是最省個數(shù)的體系了.十個砝碼最省的推理也相

16、似.在結(jié)束本講之時，希望讀者注重于理解各種進(jìn)制的思想，不必去死記硬背八進(jìn)制乘法表、十六進(jìn)制乘法表.并請思考類似于十進(jìn)制的分?jǐn)?shù)、小數(shù)、循環(huán)小數(shù)等內(nèi)容在二進(jìn)制或八進(jìn)制等體系下，如何進(jìn)行？習(xí)題十四1.（518）10（ ）2（ ）8（ ）16=（ ）3=（ ）5（ ）72.（AF01）16=（ ）73.12481632641285161024 用二進(jìn)制計算后，能很快得到十進(jìn)制答案嗎？（提示：類比于990+9009991000-1）4.請用二進(jìn)制運算、三進(jìn)制運算實現(xiàn)下面式子：5.用豎式做十六進(jìn)制除法：（FD 437）16÷（F3）166.請你造一個三進(jìn)制乘法表，造一個七進(jìn)制乘法表。7.一個g進(jìn)

17、制的數(shù)，N=a5·g5a4·g4a3·g3a2·g2a1·ga0.要計算它的十進(jìn)制數(shù)值時，有一個簡便算法：N（a5·ga4）·g+a3）· g+a2）·ga1）g+a0.這樣共進(jìn)行5次乘法5次加法，如死板地按a5·g5+a1 ·ga0，需進(jìn)行（5+4+32+1）15次乘法5次加法，顯然浪費時間.而另有一個聰明學(xué)生想：我在紙上先把g，g2、g3、g4、g5記下來這樣做了4次乘法，再把這5個g相應(yīng)與ai作乘法，又做5次，總共做了9次乘法，5次加法，中間還要耗費空白紙記下gi，他仔細(xì)一想覺得

18、不合算了，就接受了題目中的簡便算法.現(xiàn)在請你用簡便算法求出3進(jìn)制的N。N（210122）3（ ）108.在二進(jìn)制下，一個數(shù)擴(kuò)大2倍，就在右邊添一個0，擴(kuò)大4倍，右添二個0擴(kuò)大2倍，右添i個0.這個規(guī)則對嗎？類似規(guī)律在八進(jìn)制下怎樣敘述？十六進(jìn)制下呢？請你自己想一下，如何“自圓其說”地把二進(jìn)制數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)、小數(shù)，以及二進(jìn)制循環(huán)小數(shù)？10.如果天平兩邊都可以放砝碼，即可以調(diào)用兩砝碼的數(shù)值差，要稱物體而制造盡可能少的砝碼，借用多少進(jìn)位制？習(xí)題十四解答1.（518）10=（1006）8（1000000110）2=（206）16（201012）3（4033）0（1340）72.（AF01）16=10×163+15×162+1=44801=（244421）73.12481610245.十六進(jìn)制除法：6.三進(jìn)制乘法：七進(jìn)制乘法：7.N=（210122）3=2×35+1×34+0×331×32+2×31+2（2×3+1）&