2022年—學(xué)年海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期中考試【數(shù)學(xué)(理)】試卷及答案

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -vip 會員免費海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)（理科）2021.11一、挑選題共8 小題，每道題5 分，共 40 分；在每道題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項；Px x2x20，M1,0,3,4，就集合PM 中元素的個數(shù)為B 2C 3D 41已知集合A 1 2以下函數(shù)中為偶函數(shù)的是A y1 xB ylg xC y x12D y2x3在ABC 中，A60， AB2 ， AC1 ，就 ABAC 的值為11A 1B 1CD 224數(shù)列an的前 n 項和為Sn ，如 SnSn 12n1n2 ，且S23 ，就 a1a3

2、 的值為A 1B 3C 5D 65已知函數(shù)f xcos4 xsin 4 x ，以下結(jié)論中錯誤的是A fxcos 2xB函數(shù)f x 的圖象關(guān)于直線x0 對稱C fx 的最小正周期為Df x 的值域為 2,26“ x0 ”是“ xsin x0 ”的A 充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7如圖，點 O 為坐標(biāo)原點， 點 A1,1如函數(shù)ya x a0 ，且 a1) 及 ylogbxb0 ，且 b1 的圖象與線段OA 分別交于點M ，N，且 M ，N，恰好是線段OA 的兩個三等分點，就a， b 滿意A ab1B ba1C ba1D ab1精選名師 優(yōu)秀名師 - - - -

3、 - - - - - -第 1 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -vip 會員免費1, x1,8已知函數(shù)f xx,1x1, 函數(shù)g xax2x1如函數(shù)yf xg x 恰1,x1,好有 2 個不同零點，就實數(shù)的取值范疇是A 0,B ,02,C ,1 1,2D ,00,1二、填空題共6 小題，每道題5 分，共 30 分；292 xdx ；110在ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為a，b，c如 c4 ，sin C2sinA ，sinB15 ，4就 a ， S ABC ；11已知等差數(shù)列an的公差 d

4、0 ，且 a3a9a10a8 如 an0 ，就 n 12已知向量a1,1，點A3,0，點 B 為直線 y2 x 上的一個動點如AB / / a ，就點B 的坐標(biāo)為 13已知函數(shù)f xsinx0 如f x 的圖象向左平移個單位所得的圖象與3f x 的圖象向右平移6 個單位所得的圖象重合，就的最小值為 14對于數(shù)列an，如m,nN mnaman，都有tt 為常數(shù) 成立，就稱數(shù)列anmn具有性質(zhì)Pt （i ）如數(shù)列an的通項公式為an2n ，且具有性質(zhì)Pt ，就 t 的最大值為 ；（ ii ）如數(shù)列an的通項公式為ann2a n，且具有性質(zhì)P10 ，就實數(shù) a 的取值范疇是 ；精選名師 優(yōu)秀名師 -

5、 - - - - - - - - -第 2 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -vip 會員免費三、解答題共6 小題，共80 分；解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程；15（本小題滿分13 分）已知等比數(shù)列an的公比 q0 ，其前 n 項和為Sn ，如a11， 4a3a2a4 （ I）求公比 q 和 a5 的值；（ II ）求證： Sn2 an16（本小題滿分13 分）已知函數(shù)f x3 sin2 xcos2x 33（ I）求f 的值； 6（ II ）求函數(shù)f x 的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間17（本小

6、題滿分13 分）如圖， 在四邊形ABCD 中， AB8 ， BC3 ，CD5 ，A， cos 3ADB1 7（ I）求 BD 的長；（ II ）求證：ABCADC18（本小題滿分13 分）132已知函數(shù)f xxxax31 ，曲線yf x 在點 0,1 處的切線為l （ I）如直線 l 的斜率為3 ，求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間；（ II ）如函數(shù)f x 是區(qū)間 2, a 上的單調(diào)函數(shù)，求a 的取值范疇精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -vi

7、p 會員免費19（本小題滿分14 分）已知由整數(shù)組成的數(shù)列an各項均不為0，其前 n 項和為Sn ， 且 a1a ，2Snanan 1 （ I）求 a2 的值；（ II ）求an的通項公式；（ III ）如 n15 時，Sn 取得最小值，求a 的值20（本小題滿分14 分）已知 x 為實數(shù)，用 x表示不超過x 的最大整數(shù)， 例如 1.21 ，1.22 ，11 對于函數(shù)f x ，如存在mR 且 mZ ，使得f mf m ，就稱函數(shù)f x 是函數(shù)（ I）判定函數(shù)f xx21 x ，3g xsinx 是否是函數(shù)；（只需寫出結(jié)論）（ II ）設(shè)函數(shù)f x 是定義在 R 上的周期函數(shù)， 其最小正周期為T

8、如f x 不是函數(shù)，求 T 的最小值；（ III ）如函數(shù)f xxa是函數(shù)，求a 的取值范疇x精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -vip 會員免費閱卷須知 :海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期中練習(xí)理數(shù)2021.111評分參考中所注分數(shù)，表示考生正確做到此步應(yīng)得的累加分數(shù)；2其它正確解法可以參照評分標(biāo)準(zhǔn)按相應(yīng)步驟給分；一、挑選題：本大題共8 小題，每道題5 分，共 40 分. 1 B ； 2 B； 3 A ； 4 C； 5 D； 6C； 7 A

9、；8 D； 二、填空題：本大題共6 小題，每道題5 分，共 30 分.9 3； 10 2 ;15 ； 11 5； 12 3,6 ；13 4 ； 14 2； 36, ；說明；第10， 14 題第一空3 分，其次空2 分三、解答題：本大題共6 小題，共80 分.15解：（）法一：由于 an 為等比數(shù)列，且4a3a2 a4 ，2所以 4a3a3，所以 a34 ，由于 q2a3a1a34 ，所以 q2 .1由于 an0 ，所以 q0 ，即 q251所以 aa q416 .-3分-6分法二：由于 an 為等比數(shù)列，且4a3a2 a4 ，所以 4a q2a q4 ，所以q24 ，所以 q2 ，11由于 a

10、n0 ，所以 q0 ，即 q251所以 aa q416 .-3分n1（）法一：-6分由于 q2，所以 ana1q2n 1 ,-分精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -vip 會員免費由于 Sna1 11qn q2n1,所以 Snn2121,-10分na2n 12n 1n由于10，所以 Sn 2n 1a12n 12 .2法二：由于q2 ，所以aa qn 12n 1 ,-13分n1所以 Sna1 11qn q2n1,-分所以 Sn2an12n

11、 10 ，所以 Sn2 .an-10分法三：由于q2 ，所以aa qn 112n,-13分n1所以 Sna1 11qn q2n1.-分a要證 Sn2 ，只需 S2a， 只需 2 n12 n-10分nnn上式明顯成立，得證.16解：-13分（）由于f x3sin2 x,cos2 x33所以 ,f 3sin2cos2 6636322313sincos1.3322-4分精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -vip 會員免費（）由于f x3sin

12、2 x,cos2 x3331所以 f x2sin2 xcos2x23232cossin2 xsincos2 x2sin2 x6363362sin2 x 2-7分2cos 2 x,-9分所以周期 T2 .2-11分令 2k 2x2k，-12分解 得 k 2xk， kZ ，所以 f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為k,kZ ., k2-13分法二：由于f x3sin2 x,cos2 x33所以 f x3sin2 x coscos2x sincos2 xcossin2 x sin3333-7分13133sin 2xcos2 xcos2xsin 2x22222cos 2 x-9分所以周期 T2 .2-11分令 2

13、k 2x2k，-12分解 得 k 2xk， kZ ,所以 f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為k,kZ., k2-13分精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 7 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -vip 會員免費精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 8 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -vip 會員免費17解：（）法一：在ABD 中，由于cosADB1 ，ADB70,

14、,所以 sin43ADB,7依據(jù)正弦定理，有BDAB,-3分代入 AB解得 BD8,A7 .sinA,3sinADB-6分-7分法二：作 BEAD 于 E .由于 AB8,A，所以在3ABD 中，BEABsin343 .-3分在BDE 中，由于cosADB1 ，ADB70, ，所以 sin43ADB,7所以 BDsinBE7 .BDE-6分-7分（）法一：在BCD 中，依據(jù)余弦定理c o s CB C2C D22B CC DB D2,-10分代入 BC3,CD5 ，得cosC1 ，2.C0, ,所以C23-12分所以AC，而在四邊形ABCD 中AABCC +ADC2 所以ABCADC.-13分

15、精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 9 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -vip 會員免費法二：在ABD 中，cosABD11 , 所以14sinABD53 ，14cosADB1， 所 以7sin43ADB.7在BCD 中，cosDBC11 , 所以14sin53ABD,14-8分cosBDC13 ， 所以14sinADB33 .14所以 cosABCcosABDDBC ，-9分cosABD cosDBCsinABD sinDBC2398-11分cosADCcosADBBD

16、C ，cosADB cosBDCsinADB sinBDC2398-12分即 cosABCcosADC ,所以ABCADC.-13分18解（）由于f 01，所以曲線yf x經(jīng)過點 0,1 ,又 f 'xx22 xa ,所以 f'0a3 ,-2分所以 f' xx 22x3 .-3分當(dāng) x 變化時，f ' x ，f x 的變化情形如下表：x,333,111，+f ' x00f x極大值微小值-5分精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 10 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - -

17、- - - - - - - - -vip 會員免費所以函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為,3 ， 1,+ ,單調(diào)遞減區(qū)間為3,1.（）由于函數(shù)f x 在區(qū)間 2, a 上單調(diào) ,-7分當(dāng)函數(shù)f x 在區(qū)間 2, a上單調(diào)遞減時，f ' x0 對 x2, a 成立，即 f 'xx22 xa0 對 x2, a 成立，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，只需要f '20，解得3f 'a0a0 .又2a ，所以2a0 .-9分當(dāng)函數(shù)f x 在區(qū)間 2, a上單調(diào)遞增時，f ' x0 對 x2, a 成立，只要 f' xx22xa 在 2, a 上的最小值大于等于0 即可，由于

18、函數(shù)f ' xx22xa0 的對稱軸為x1 ，當(dāng)2a1 時，f ' x在 2, a 上的最小值為f ' a ，解 f 'a=a23a0 ，得 a0 或 a3，所以此種情形不成立.當(dāng)1a 時，f ' x 在 2, a 上的最小值為f '1 ，-11分解 f '112a0 得 a1 ，所以 a1 ，綜上，實數(shù)a 的取值范疇是2a0 或 a1 .-13分19解：（）由于2Snan an1 ，所以2S1a1a2 ，即2a1a1a2 ,由于 a1a0 ，所以a22 ,（）由于2Snan an 1， 所 以2Sn 1an 1an n2) ，兩式相減，

19、-2分得到 2anan an 1an 1 ，-4分精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 11 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -vip 會員免費由于 an0 ，所以an 1an 12 ，所以 a2k1,a2 k 都是公差為2 的等差數(shù)列，當(dāng) n2k1 時， ana12 k1na1 ,-6分當(dāng) n2k 時， an22k12kn ,所以 anna1, n ,n為奇數(shù) ,n為偶數(shù) .-8分（）法一：由于2Snan an1 ，由（）知道anna1,n為奇數(shù) ,所以 Sn1 na211

20、n1,n為奇數(shù) ,n ,n為偶數(shù) ,n na ,2n為偶數(shù) ,-10分留意到全部奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是一個單調(diào)遞增的，全部偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是一個單調(diào)遞增的，當(dāng) n 為偶數(shù)時， an0 ，所以此時SnSn 1 ，所以 S15 為最小值等價于S13S15 , S15S17 ，-12分所以 a14a150,a16a170 ，所以 1415a10, 1617a10 ，解得32a28 .-13分由于數(shù)列 an 是由整數(shù)組成的，所以a32,31,30,29,28 .又由于 an0 ，所以對全部的奇數(shù)n ， anna10 ，所以 a 不能取偶數(shù)，所以a31,a29 .-14分法二：精選名師 優(yōu)秀名師 - - -

21、 - - - - - - -第 12 頁，共 14 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -vip 會員免費由于 2Snan an 1 ， 由（）知道anna1,n為奇數(shù) ,所以 Sn1na21n1,n ,n為奇數(shù) ,n為偶數(shù) ,1 n na , 2n為偶數(shù) ,-10分由于 S15 為最小值，此時n 為奇數(shù)，當(dāng) n為奇數(shù) 時， Sn1 na21n1 ，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知道，有14a16 ，解得32a228 ，-12分由于數(shù)列 an 是由整數(shù)組成的，所以a32,31,30,29,28 .又由于 an0 ，所以對全部的奇數(shù)n ， anna10 ，所以 a 不能取偶數(shù)，所以a31,a29 .-13分經(jīng)檢驗，此時Sn 為最小值，所以a31,a29