16三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

1、1.6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型,可以用來研究很多問題,在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用. 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的設(shè)置目的,在于加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí).本節(jié)教材通過4個例題,循序漸進(jìn)地從四個層次來介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用,在素材的選擇上注意了廣泛性、真實(shí)性和新穎性,同時又關(guān)注到三角函數(shù)性質(zhì)(特別是周期性)的應(yīng)用.通過引導(dǎo)學(xué)生解決有一定綜合性和思考水平的問題,培養(yǎng)他們綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識解決問題的能力.培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.由于實(shí)際問題常常涉及一些復(fù)雜

2、數(shù)據(jù),因此要鼓勵學(xué)生利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器處理數(shù)據(jù),包括建立有關(guān)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合等.三維目標(biāo)1.能正確分析收集到的數(shù)據(jù),選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型刻畫數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的規(guī)律.將實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型.2.通過切身感受數(shù)學(xué)建模的全過程,體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價值和作用,及數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系.認(rèn)識數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)、生活實(shí)際中所發(fā)揮的作用.體會和感受數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵及數(shù)學(xué)本質(zhì),逐步提高創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力.3.通過函數(shù)擬合得到具體的函數(shù)模型,提高數(shù)學(xué)建模能力.并在探究中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的科學(xué)精神.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)

3、:分析、整理、利用信息,從實(shí)際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立三角函數(shù)模型,用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實(shí)際問題.教學(xué)難點(diǎn):將某些實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)的模型,并調(diào)動相關(guān)學(xué)科的知識來解決問題.課時安排2課時教學(xué)過程第1課時導(dǎo)入新課 思路1.(問題導(dǎo)入)既然大到宇宙天體的運(yùn)動,小到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動以及現(xiàn)實(shí)世界中具有周期性變化的現(xiàn)象無處不在,那么究竟怎樣用三角函數(shù)解決這些具有周期性變化的問題？它到底能發(fā)揮哪些作用呢？由此展開新課. 思路2.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì),特別研究了三角函數(shù)的周期性.在現(xiàn)實(shí)生活中,如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性,那么是否可以借助三角函數(shù)來描述呢？回憶必

4、修1第三章第二節(jié)“函數(shù)模型及其應(yīng)用”,面臨一個實(shí)際問題,應(yīng)當(dāng)如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？以下通過幾個具體例子,來研究這種三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用.推進(jìn)新課新知探究提出問題回憶從前所學(xué),指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的模型都是常用來描述現(xiàn)實(shí)世界中的哪些規(guī)律的?數(shù)學(xué)模型是什么,建立數(shù)學(xué)模型的方法是什么?上述的數(shù)學(xué)模型是怎樣建立的?怎樣處理搜集到的數(shù)據(jù)? 活動:師生互動,喚起回憶,充分復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)過的建立數(shù)學(xué)模型的方法與過程.對課前已經(jīng)做好復(fù)習(xí)的學(xué)生給予表揚(yáng),并鼓勵他們類比以前所學(xué)知識方法,繼續(xù)探究新的數(shù)學(xué)模型.對還沒有進(jìn)入狀態(tài)的學(xué)生,教師要幫助回憶并快速激起相應(yīng)的知識方法.在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生能

5、夠較好地回憶起解決實(shí)際問題的基本過程是:收集數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型求解函數(shù)模型檢驗(yàn)用函數(shù)模型解釋實(shí)際問題. 這點(diǎn)很重要,學(xué)生只要有了這個認(rèn)知基礎(chǔ),本節(jié)的簡單應(yīng)用便可迎刃而解.新課標(biāo)下的教學(xué)要求,不是教師給學(xué)生解決問題或帶領(lǐng)學(xué)生解決問題,而是教師引領(lǐng)學(xué)生逐步登高,在合作探究中自己解決問題,探求新知.討論結(jié)果:描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型.簡單地說,數(shù)學(xué)模型就是把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括,再從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實(shí)際問題時,所得出的關(guān)于實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述.數(shù)學(xué)模型的方法,是把實(shí)際問題加以抽象概括,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,利用這些模型來研究實(shí)際問題的一般數(shù)學(xué)方法.解決問題的一般程序是:

6、1°審題:逐字逐句的閱讀題意,審清楚題目條件、要求、理解數(shù)學(xué)關(guān)系；2°建模:分析題目變化趨勢,選擇適當(dāng)函數(shù)模型；3°求解:對所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究得到數(shù)學(xué)結(jié)論；4°還原:把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的解答.畫出散點(diǎn)圖,分析它的變化趨勢,確定合適的函數(shù)模型.應(yīng)用示例例1 如圖1, 某地一天從614時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=sin(x+)+b.圖1(1)求這一天的最大溫差;(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式. 活動:這道例題是2002年全國卷的一道高考題,探究時教師與學(xué)生一起討論.本例是研究溫度隨時間呈周期性變化的問題.教師可引導(dǎo)學(xué)生思考,本例給出模型了

7、嗎？給出的模型函數(shù)是什么？要解決的問題是什么？怎樣解決？然后完全放給學(xué)生自己討論解決. 題目給出了某個時間段的溫度變化曲線這個模型.其中第(1)小題實(shí)際上就是求函數(shù)圖象的解析式,然后再求函數(shù)的最值差.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察思考:“求這一天的最大溫差”實(shí)際指的是“求6是到14時這段時間的最大溫差”,可根據(jù)前面所學(xué)的三角函數(shù)圖象直接寫出而不必再求解析式.讓學(xué)生體會不同的函數(shù)模型在解決具體問題時的不同作用.第(2)小題只要用待定系數(shù)法求出解析式中的未知參數(shù),即可確定其解析式.其中求是利用半周期(14-6),通過建立方程得解.解:(1)由圖可知,這段時間的最大溫差是20 .(2)從圖中可以看出,從614時

8、的圖象是函數(shù)y=Asin(x+)+b的半個周期的圖象,A=(30-10)=10,b= (30+10)=20.·=14-6,=.將x=6,y=10代入上式,解得=. 綜上,所求解析式為y=10sin(x+)+20,x6,14. 點(diǎn)評:本例中所給出的一段圖象實(shí)際上只取614即可,這恰好是半個周期,提醒學(xué)生注意抓關(guān)鍵.本例所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度變化情況,因此應(yīng)當(dāng)特別注意自變量的變化范圍,這點(diǎn)往往被學(xué)生忽略掉.例2 2007全國高考 函數(shù)y=|sinx|的一個單調(diào)增區(qū)間是( )A.(,) B.(,) C.(,) D.(,2)答案:C例3 如圖2,設(shè)地球表面某地正午太陽

9、高度角為,為此時太陽直射緯度,為該地的緯度值,那么這三個量之間的關(guān)系是=90°-|-|.當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?冬半年取負(fù)值. 如果在北京地區(qū)(緯度數(shù)約為北緯40°)的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓,要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋,兩樓的距離不應(yīng)小于多少? 活動: 如圖2本例所用地理知識、物理知識較多,綜合性比較強(qiáng),需調(diào)動相關(guān)學(xué)科的知識來幫助理解問題,這是本節(jié)的一個難點(diǎn).在探討時要讓學(xué)生充分熟悉實(shí)際背景,理解各個量的含義以及它們之間的數(shù)量關(guān)系. 首先由題意要知道太陽高度角的定義:設(shè)地球表面某地緯度值為,正午太陽高度角為,此時太陽直射緯度為,那么這三個量之間的關(guān)系是=

10、90°-|-|.當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?冬半年取負(fù)值. 根據(jù)地理知識,能夠被太陽直射到的地區(qū)為南、北回歸線之間的地帶,圖形如圖3,由畫圖易知太陽高度角、樓高h(yuǎn)0與此時樓房在地面的投影長h之間有如下關(guān)系: h0=htan. 由地理知識知,在北京地區(qū),太陽直射北回歸線時物體的影子最短,直射南回歸線時物體的影子最長.因此,為了使新樓一層正午的太陽全年不被遮擋,應(yīng)當(dāng)考慮太陽直射南回歸線時的情況.圖3 解:如圖3,A、B、C分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回歸線時樓頂在地面上的投影點(diǎn).要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋,應(yīng)取太陽直射南回歸線的情況考慮,此時的太陽直射緯度23°26

11、.依題意兩樓的間距應(yīng)不小于MC. 根據(jù)太陽高度角的定義, 有C90°|40°(23°26)|26°34, 所以MC=2.000h0, 即在蓋樓時,為使后樓不被前樓遮擋,要留出相當(dāng)于樓高兩倍的間距. 點(diǎn)評:本例是研究樓高與樓在地面的投影長的關(guān)系問題,是將實(shí)際問題直接抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型,然后根據(jù)所得的函數(shù)模型解決問題.要直接根據(jù)圖2來建立函數(shù)模型,學(xué)生會有一定困難,而解決這一困難的關(guān)鍵是聯(lián)系相關(guān)知識,畫出圖3,然后由圖形建立函數(shù)模型,問題得以求解.這道題的結(jié)論有一定的實(shí)際應(yīng)用價值.教學(xué)中,教師可以在這道題的基礎(chǔ)上再提出一些問題,如下例的變式訓(xùn)

12、練,激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究.變式訓(xùn)練 某市的緯度是北緯23°,小王想在某住宅小區(qū)買房,該小區(qū)的樓高7層,每層3米,樓與樓之間相距15米.要使所買樓層在一年四季正午太陽不被前面的樓房遮擋,他應(yīng)選擇哪幾層的房？圖4解:如圖4,由例3知,北樓被南樓遮擋的高度為h=15tan90°-(23°+23°26)=15tan43°3414.26,由于每層樓高為3米,根據(jù)以上數(shù)據(jù),所以他應(yīng)選3層以上.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2.解答:1.乙點(diǎn)的位置將移至它關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)處.點(diǎn)評:因?yàn)椴◤囊尹c(diǎn)傳到戊點(diǎn)正好是一個周期,經(jīng)過周期,波正好從乙點(diǎn)傳到丁點(diǎn),又因?yàn)樵诓ǖ膫鞑ミ^

13、程中,繩上各點(diǎn)只是上下震動,縱坐標(biāo)在變,橫坐標(biāo)不變,所以經(jīng)過周期,乙點(diǎn)位置將移至它關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)處,即橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)與圖中的丁點(diǎn)相同.2.如CCTV1新聞聯(lián)播節(jié)目播出的周期是1天.點(diǎn)評:了解實(shí)際生活中發(fā)生的周期變化現(xiàn)象.課堂小結(jié)1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三個層次的三角函數(shù)模型的應(yīng)用,即根據(jù)圖象建立解析式,根據(jù)解析式作出圖象,將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型.你能概括出建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本步驟嗎？2.實(shí)際問題的背景往往比較復(fù)雜,而且需要綜合應(yīng)用多學(xué)科的知識才能解決它.因此,在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題時,應(yīng)當(dāng)注意從復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系,還要調(diào)動相關(guān)學(xué)科知識來幫助

14、理解問題.作業(yè)1.圖5表示的是電流I與時間t的函數(shù)關(guān)系圖5I=Asin(x+)(>0,|<)在一個周期內(nèi)的圖象.(1)根據(jù)圖象寫出I=Asin(x+)的解析式;(2)為了使I=Asin(x+)中的t在任意一段s的時間內(nèi)電流I能同時取得最大值和最小值,那么正整數(shù)的最小值為多少?解:(1)由圖知A=300,第一個零點(diǎn)為(,0),第二個零點(diǎn)為(,0),·()+=0,·+=.解得=100,=,I=300sin(100t+).(2)依題意有T,即,200.故min=629.2.搜集、歸納、分類現(xiàn)實(shí)生活中周期變化的情境模型.解:如以下兩例:人體內(nèi)部的周期性節(jié)律變化和個人的習(xí)

15、慣性的生理變化,如人體脈搏、呼吸、排泄、體溫、睡眠節(jié)奏、饑餓程度等；蛻皮(tuipi)昆蟲綱和甲殼綱等節(jié)肢動物,以及線形動物等的體表具有堅(jiān)硬的幾丁質(zhì)層,雖有保護(hù)身體的作用,但限制動物的生長、發(fā)育.因此,在胚后發(fā)育過程中,必須進(jìn)行1次或數(shù)次脫去舊表皮,再長出寬大的新表皮后,才變成成蟲,這種現(xiàn)象稱為蛻皮；蛻下的“舊表皮”稱為“蛻”,只有這樣,蟲體才能得以繼續(xù)充分生長、發(fā)育.蛻皮現(xiàn)象的發(fā)生具有周期性,但蛻皮的準(zhǔn)備和蛻皮過程是連續(xù)進(jìn)行的.此外,脊椎動物爬行類的蛻皮現(xiàn)象尤為明顯,如蜥蜴和蛇具有雙層角質(zhì)層,其外層在定期蛻皮時脫掉,蛇的外層角質(zhì)層連同眼球外面透明的皮膚,約每2個月為一個周期可完整地脫落1次,

16、稱為蛇蛻.設(shè)計(jì)感想1.本教案設(shè)計(jì)指導(dǎo)思想是:充分喚起學(xué)生已有的知識方法,調(diào)動起相關(guān)學(xué)科的知識,盡量降低實(shí)例背景的相對難度,加大實(shí)際問題的鮮明、活躍程度,以引發(fā)學(xué)生探求問題的興趣.2.應(yīng)用三角函數(shù)模型解決問題,首先要把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,確定它的周期,從而建立起適當(dāng)三角函數(shù)模型.如果學(xué)生選擇了不同的函數(shù)模型,教師應(yīng)組織學(xué)生進(jìn)行交流,或讓學(xué)生根據(jù)自己選擇的模型進(jìn)行求解,然后再根據(jù)所求結(jié)果與實(shí)際情況差異進(jìn)行評價.3.由于實(shí)際問題常常涉及一些復(fù)雜數(shù)據(jù),因此要鼓勵學(xué)生利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器處理數(shù)據(jù),有條件的要用多媒體進(jìn)行動態(tài)演示,以使學(xué)生有更多的時間用于對問題本質(zhì)的理解.(設(shè)計(jì)者:鄭吉星)第2課時導(dǎo)入新

17、課 思路1.通過展示上節(jié)作業(yè)引入,學(xué)生搜集、歸納到的現(xiàn)實(shí)生活中的周期現(xiàn)象有:物理情景的簡單和諧運(yùn)動,星體的環(huán)繞運(yùn)動；地理情景的氣溫變化規(guī)律,月圓與月缺；心理、生理現(xiàn)象的情緒的波動,智力變化狀況,體力變化狀況；日常生活現(xiàn)象的漲潮與退潮,股票變化等等. 思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)回憶上節(jié)課三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用例子,這節(jié)課我們繼續(xù)探究三角函數(shù)模型在日常生活中的一些簡單應(yīng)用.推進(jìn)新課新知探究提出問題本章章頭引言告訴我們,海水在月球和太陽引力作用下發(fā)生周期性漲落現(xiàn)象.回憶上節(jié)課的內(nèi)容,怎樣用上節(jié)課的方法從數(shù)學(xué)的角度來定量地解決這個問題呢？在指數(shù)、對數(shù)模型中是怎樣處理搜集到的數(shù)據(jù)的？請做下題(2007浙江高考

18、)若函數(shù)f(x)=2sin(x+),xR(其中0,|)的最小正周期是,且f(0)=,則( )A.=,= B.=,=C.=2,= D.=2,= 活動:這樣的開頭對學(xué)生來說是感興趣的.教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)、回憶、理清思路,查看上節(jié)的課下作業(yè).教師指導(dǎo)、適時設(shè)問,讓學(xué)生盡快回憶到上節(jié)課的學(xué)習(xí)氛圍中,使學(xué)生的思維狀態(tài)進(jìn)入到現(xiàn)在的情境中.討論結(jié)果:略 D應(yīng)用示例例1 貨船進(jìn)出港時間問題:海水受日月的引力,在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情況下,船在漲潮時駛進(jìn)航道,靠近碼頭;卸貨后,在落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系表:時刻0:003:006:009:

19、0012:0015:0018:0021:0024:00水深/米5.07.55.02.55.07.55.02.55.0(1)選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系,給出整點(diǎn)時的水深的近似數(shù)值(精確到0.001).(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4米,安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙(船底與洋底的距離),該船何時能進(jìn)入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度為4米,安全間隙為1.5米,該船在2:00開始卸貨,吃水深度以每小時0.3米的速度減少,那么該船在什么時間必須停止卸貨,將船駛向較深的水域? 活動:引導(dǎo)學(xué)生觀察上述問題表格中的數(shù)據(jù),會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?比如重復(fù)

20、出現(xiàn)的幾個數(shù)據(jù).并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生作出散點(diǎn)圖.讓學(xué)生自己完成散點(diǎn)圖,提醒學(xué)生注意仔細(xì)準(zhǔn)確觀察散點(diǎn)圖,如圖6.教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)散點(diǎn)的位置排列,思考可以用怎樣的函數(shù)模型來刻畫其中的規(guī)律.根據(jù)散點(diǎn)圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和平衡點(diǎn),學(xué)生很容易確定選擇三角函數(shù)模型.港口的水深與時間的關(guān)系可以用形如y=Asin(x+)+h的函數(shù)來刻畫.其中x是時間,y是水深,我們可以根據(jù)數(shù)據(jù)確定相應(yīng)的A,h的值即可.這時注意引導(dǎo)學(xué)生與“五點(diǎn)法”相聯(lián)系.要求學(xué)生獨(dú)立操作完成,教師指導(dǎo)點(diǎn)撥,并糾正可能出現(xiàn)的錯誤,直至無誤地求出解析式,進(jìn)而根據(jù)所得的函數(shù)模型,求出整點(diǎn)時的水深.圖6 根據(jù)學(xué)生所求得的函數(shù)模型,指導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)

21、算求解.注意引導(dǎo)學(xué)生正確理解題意,一天中有兩個時間段可以進(jìn)港.這時點(diǎn)撥學(xué)生思考:你所求出的進(jìn)港時間是否符合時間情況？如果不符合,應(yīng)怎樣修改？讓學(xué)生養(yǎng)成檢驗(yàn)的良好習(xí)慣. 在本例(3)中,應(yīng)保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻畫船的安全水深呢？引導(dǎo)學(xué)生思考,怎樣把此問題翻譯成函數(shù)模型.求貨船停止卸貨,將船駛向深水域的含義又是什么?教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題的意義轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)解釋,同時提醒學(xué)生注意貨船的安全水深、港口的水深同時在變,停止卸貨的時間應(yīng)當(dāng)在安全水深接近于港口水深的時候.進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考:根據(jù)問題的實(shí)際意義,貨船的安全水深正好等于港口的水深時停止卸貨行嗎？為什么？正確結(jié)論是什么？可讓學(xué)

22、生思考、討論后再由教師組織學(xué)生進(jìn)行評價.通過討論或爭論,最后得出一致結(jié)論:在貨船的安全水深正好等于港口的水深時停止卸貨將船駛向較深水域是不行的,因?yàn)檫@樣不能保證貨船有足夠的時間發(fā)動螺旋槳.解:(1)以時間為橫坐標(biāo),水深為縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖(圖6).根據(jù)圖象,可以考慮用函數(shù)y=Asin(x+)+h刻畫水深與時間之間的對應(yīng)關(guān)系.從數(shù)據(jù)和圖象可以得出:A2.5,h5,T12,0,由T12,得.所以這個港口的水深與時間的關(guān)系可用y2.5sinx+5近似描述.由上述關(guān)系式易得港口在整點(diǎn)時水深的近似值:時刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:

23、0011:00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754時刻12:0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754(2)貨船需要的安全水深為4+1.55.5(米),所以當(dāng)y5.5時就可以進(jìn)港.令2.5sinx+5=5.5,sinx=0.2.由計(jì)算器可得MODEMODE2SHIFTsin-10.2=0.201 357 920.201 4

24、.如圖7,在區(qū)間0,12內(nèi),函數(shù)y2.5sinx+5的圖象與直線y5.5有兩個交點(diǎn)A、B,圖7因此x0.201 4,或x0.201 4.解得xA0.384 8,xB5.615 2.由函數(shù)的周期性易得:xC12+0.384 812.384 8,xD12+5.615 217.615 2.因此,貨船可以在0時30分左右進(jìn)港,早晨5時30分左右出港;或在中午12時30分左右進(jìn)港,下午17時30分左右出港.每次可以在港口停留5小時左右.圖8(3)設(shè)在時刻x貨船的安全水深為y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x2).在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象,可以看到在67時之間兩個函數(shù)圖象有一個交點(diǎn)(如圖8)

25、. 通過計(jì)算也可以得到這個結(jié)果.在6時的水深約為5米,此時貨船的安全水深約為4.3米;6.5時的水深約為4.2米,此時貨船的安全水深約為4.1米;7時的水深約為3.8米,而貨船的安全水深約為4米.因此為了安全,貨船最好在6.5時之前停止卸貨,將船駛向較深的水域. 點(diǎn)評:本例是研究港口海水深度隨時間呈周期性變化的問題,題目只給出了時間與水深的關(guān)系表,要想由此表直接得到函數(shù)模型是很困難的.對第(2)問的解答,教師引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算求解.同時需要強(qiáng)調(diào),建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.這就需要根據(jù)實(shí)際背景對問題的解進(jìn)行具體的分析.如本例中,一天中有兩個時間

26、段可以進(jìn)港,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的實(shí)際意義,對答案的合理性作出解釋.變式訓(xùn)練 發(fā)電廠發(fā)出的電是三相交流電,它的三根導(dǎo)線上的電流強(qiáng)度分別是時間t的函數(shù),IA=Isint,IB=Isin(t+120°),IC=Isin(t+240°),則IA+IB+IC=_.答案:0例2 圖9,是一個單擺的振動圖象,據(jù)圖象回答下列問題:(1)單擺振幅多大；(2)振動頻率多高；(3)擺球速度首次具有最大負(fù)值的時刻和位置；(4)擺球運(yùn)動的加速度首次具有最大負(fù)值的時刻和位置；(5)若當(dāng)g9.86 m/s2J,求擺線長. 活動:引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象并思考,這個簡諧運(yùn)動的函數(shù)模型是什么？引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)上

27、例.點(diǎn)撥學(xué)生考慮最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和平衡點(diǎn).通過學(xué)生討論、思考確定選用函數(shù)y=Asin(x+)來刻畫單擺離開平衡位置的位移與時間之間的對應(yīng)關(guān)系.圖9解:結(jié)合函數(shù)模型和圖象:(1)單擺振幅是1 cm；(2)單擺的振動頻率為1.25 HZ；(3)單擺在0.6 s通過平衡位置時,首次具有速度的最大負(fù)值；(4)單擺在0.4 s時處正向最大位移處,首次具有加速度最大負(fù)值；(5)由單擺振動的周期公式T=2,可得L=0.16 m. 點(diǎn)評:解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是要?dú)w納出數(shù)學(xué)函數(shù)模型,然后按數(shù)學(xué)模型處理.同時要注意檢驗(yàn),使所求得的結(jié)論符合問題的實(shí)際意義.變式訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)sin(x+)(>0,0)為偶

28、函數(shù),且其圖象上相鄰的一個最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離為.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若sinx+f(x),求sinxcosx的值.解:(1)f(x)為偶函數(shù),f(x)f(x),即sin(x+)sin(x+).f(x)sin(x+)cosx.相鄰兩點(diǎn)P(x0,1),Q(x0+,1). 由題意,|PQ|=2+4.解得1.f(x)cosx.(2)由sinx+f(x),得sinx+cosx.兩邊平方,得sinxcosx.2.小明在直角坐標(biāo)系中,用1 cm代表一個單位長度作出了一條正弦曲線的圖象.若他將縱坐標(biāo)改用2 cm代表一個單位長度,橫坐標(biāo)不變,那么他所作的曲線的函數(shù)解析式是什么？若他將橫坐標(biāo)

29、改用2 cm代表一個單位長度,而縱坐標(biāo)不變,那么他所作的曲線的函數(shù)解析式又是什么？解:小明原作的曲線為y=sinx,xR,由于縱坐標(biāo)改用了2 cm代表一個單位長度,與原來1 cm代表一個單位長度比較,單位長度增加到原來的2倍,所以原來的1 cm只能代表個單位長度了.由于橫坐標(biāo)沒有改變,曲線形狀沒有變化,而原曲線圖象的解析式變?yōu)閥sinx,xR.同理,若縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)改用2 cm代表一個單位,則橫坐標(biāo)被壓縮到原來的,原曲線周期就由2變?yōu)?故改變橫坐標(biāo)后,原曲線圖象的解析式變?yōu)閥sin2x,xR.3.求方程lgxsinx實(shí)根的個數(shù).解:由方程式模型構(gòu)建圖象模型.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)ylgx和ysinx的圖象,如圖10.可知原方程的解的個數(shù)為3.圖10 點(diǎn)評:單解方程是很困難的,而根據(jù)方程式模型構(gòu)建圖象模型,利用數(shù)形結(jié)合來解就容易多了,教師要讓學(xué)生熟練掌握這一方法.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)33.本題可讓學(xué)生上網(wǎng)查一下,下載有關(guān)人體節(jié)律的軟件,利用軟件就能方便地作出自己某一時間段的三條人體節(jié)律曲線,它們都是正弦型函數(shù)圖象,根據(jù)曲線不難回答題中的問題.讓學(xué)生在課下總結(jié)一下自己在什么時候應(yīng)當(dāng)控制情緒,在什么時候應(yīng)當(dāng)鼓勵自己；在什么時候應(yīng)當(dāng)加以鍛煉,在什么時候應(yīng)當(dāng)保持體力,以利于學(xué)生的高效率學(xué)