2012中考：等腰三角形精華試題匯編

1、20122012 中考：等腰三角形精華試題匯編中考：等腰三角形精華試題匯編一、選擇題一、選擇題1.1. （2011 浙江省舟山，7，3 分）如圖，邊長為 4 的等邊ABC中，DE為中位線，則四邊形BCED的面積為（ ）（A）（B）（C）（D）32333436（第 7 題）ABCDE【答案】B2.2. （2011 四川南充市，10，3 分）如圖，ABC 和CDE 均為等腰直角三角形，點 B,C,D在一條直線上，點 M 是 AE 的中點，下列結論：tanAEC=;SABC+SCDESACE CDBC;BMDM;BM=DM.正確結論的個數是（ ）（A）1 個 （B）2 個 （C）3 個 （D）4 個

2、MEDCBA【答案】D3.3. （2011 浙江義烏，10，3 分）如圖，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90， 四邊形ACDE是平行四邊形，連結CE交AD于點F，連結BD交 CE于點G，連結BE. 下列結論中： CE=BD； ADC是等腰直角三角形； ADB=AEB； CDAE=EFCG；一定正確的結論有ABCDEFGA1 個 B2 個 C3 個 D4 個【答案】D D4.4. （2011 臺灣全區(qū)，30）如圖(十三)，ABC中，以B為圓心，長為半徑畫弧，分別BC交、ACAB于D、E兩點，并連接、若A=30 ，則BDE的度數為何？BDDEABACA 45 B 525 C 6

3、75 D 75【答案】5.5. （2011 臺灣全區(qū)，34）如圖(十六)，有兩全等的正三角形ABC、DEF，且D、A分別為ABC、DEF的重心固定D點，將DEF逆時針旋轉，使得A落在上，如圖(十七)所示求圖(十DE六)與圖(十七)中，兩個三角形重迭區(qū)域的面積比為何？A2：1 B 3：2 C 4：3 D 5：4【答案】6.6. （2011 山東濟寧，3，3 分）如果一個等腰三角形的兩邊長分別是 5cm 和 6cm，那么此三角形的周長是 A15cm B16cm C17cm D16cm 或 17cm【答案】D7.7. （2011 四川涼山州，8，4 分）如圖，在中，點ABC13ABAC10BC 為的

4、中點，垂足為點，則等于（） DBCDEDEABEDEA B C D 1013151360137513【答案】C8.8. 二、填空題二、填空題1.1. （2011 山東濱州，15，4 分）邊長為 6cm 的等邊三角形中，其一邊上高的長度為_.【答案】cm3 32.2. （2011 山東煙臺，14,4 分）等腰三角形的周長為 14，其一邊長為 4，那么，它的底邊為 .【答案】4 或 63.3. （2011 浙江杭州，16，4）在等腰RtABC中，C=90，AC1，過點C作直線lAB，F是l上的一點，且ABAF，則點F到直線BC的距離為 【答案】313122或4.4. （2011 浙江臺州，14,5

5、 分）已知等邊ABC 中，點 D,E 分別在邊 AB,BC 上，把BDE 沿直線 DE 翻折，使點 B 落在點 B處，DB,EB分別交邊 AC 于點 F，G，若ADF=80 ，則EGC 的度數為 【答案】805.5. （2011 浙江省嘉興，14，5 分）如圖，在ABC中，AB=AC，則ABC的外40A角BCD （第 14 題）ABCD【答案】1106.6. （2011 湖南邵陽，11，3 分）如圖（四）所示，在ABC 中，AB=AC，B=50，則A=_?！敬鸢浮?0。提示：A=180-250=80。7.7. （2011 山東濟寧，15，3 分）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為 AB、B

6、C 邊上的兩個動點，且總使AD=BE，AE與CD交于點F，AGCD于點 G，則 FGAFGFECBA第 15 題D【答案】128.8. （2011 湖南懷化，13，3 分）如圖 6，在ABC 中，AB=AC，BAC 的角平分線交 BC 邊于點 D，AB=5，BC=6，則 AD=_.【答案】49.9. （2011 四川樂山 16，3 分）如圖，已知AOB=，在射線 OA、OB 上分別取點 OA=OB1，連結 A B ，在 B A 、B B 上分別取點 A 、B ，使 B B = B A ，連結 A B 按11111122121222此規(guī)律上去，記A B B =，21213232A B Bn+11

7、AnnnB B則= ； = 。1n【答案】 2180nn2180121010 （2011 湖南邵陽，11，3 分）如圖（四）所示，在ABC 中，AB=AC，B=50，則A=_?！敬鸢浮?0。11.11. （2011 貴州貴陽，15，4 分）如圖，已知等腰 RtABC的直角邊長為 1，以 RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰 RtACD，再以 RtACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰 RtADE，依此類推直到第五個等腰 RtAFG，則由這五個等腰直角三角形所構成的圖形的面積為_（第 15 題圖） 【答案】31212.12. （2011 廣東茂名，14，3 分）如圖，已知ABC是等邊三角形

8、，點B、C、D、E在同一直線上，且CGCD，DFDE，則E 度【答案】15 三、解答題三、解答題1.1. （2011 廣東東莞，21，9 分）如圖（1） ，ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，BACDEF90，固定ABC，將EFD繞點A 順時針旋轉，當DF邊與AB邊重合時，旋轉中止.不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點，如圖（2）.（1）問：始終與AGC相似的三角形有 及 ；（2）設CGx，BHy，求y關于x的函數關系式（只要求根據 2 的情況說明理由） ；（3）問：當x為何值時，AGH是等腰三角形？【

9、解】 （1）HGA 及HAB； （2）由（1）可知AGCHAB，即，CGACABBH99xy所以，81yx（3）當 CG時，GAC=HHAC，ACCH12BCAGAC，AGGH又 AHAG，AHGH此時，AGH 不可能是等腰三角形；當 CG=時，G 為 BC 的中點，H 與 C 重合，AGH 是等腰三角形；12BC此時，GC=，即 x=922922當 CG時，由（1）可知AGCHGA12BC所以，若AGH 必是等腰三角形，只可能存在 AG=AH若 AG=AH，則 AC=CG，此時 x=9綜上，當 x=9 或時，AGH 是等腰三角形9222.2. （2011 山東德州 19,8 分）如圖 AB=

10、AC，CDAB于D，BEAC于E，BE與CD相交于點O（1）求證AD=AE；(2) 連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關系并說明理由ABCEDO【答案】（1）證明：在ACD與ABE中，A=A，ADC=AEB=90，AB=AC， ACDABE 3 分 AD=AE 4 分(2) 互相垂直 5 分在 RtADO與AEO中，OA=OA，AD=AE， ADOAEO 6 分 DAO=EAO即OA是BAC的平分線 7 分 又AB=AC， OABC 8 分3.3. （2011 山東日照，23，10 分）如圖，已知點D為等腰直角ABC內一點，CADCBD15，E為AD延長線上的一點，且CECA（1）求證：D

11、E平分BDC；（2）若點M在DE上，且DC=DM，求證： ME=BD 【答案答案】 （1 1）在等腰直角）在等腰直角ABCABC中，中，CADCAD=CBDCBD=15=15o o，BADBAD=ABDABD=45=45o o-15-15o o=30=30o o，BD=ADBD=AD，BDCBDCADCADC， DCADCA=DCBDCB=45=45o oABECDO由由BDMBDM=ABD+ABD+BADBAD=30=30o o+30+30o o=60=60o o，EDC=EDC=DACDAC+DCADCA=15=15o o+45+45o o=60=60o o，BDMBDM=EDCEDC，D

12、EDE平分平分BDCBDC； （2 2）如圖如圖，連接連接MCMC，DC=DMDC=DM，且且MDCMDC=60=60，MDCMDC是等邊三角形是等邊三角形，即即CM=CDCM=CD 又又EMCEMC=180-=180-DMCDMC=180-60=120=180-60=120，ADCADC=180-=180-MDCMDC=180-60=120=180-60=120，EMCEMC=ADCADC 又又CE=CACE=CA，DACDAC=CEMCEM=15=15，ADCADCEMCEMC，ME=AD=DBME=AD=DB 4.4. （2011 湖北鄂州，18，7 分）如圖，在等腰三角形 ABC 中，

13、ABC=90，D 為 AC 邊上中點，過 D 點作 DEDF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 長 第 18 題圖BAEDFC【答案】連結 BD，證BEDCFD 和AEDBFD，求得 EF=55.5. （2011 浙江衢州，23,10 分）是一張等腰直角三角形紙板，ABC.Rt2CACBC，要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖 1） ，比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積更大？請說明理由. （第 23 題）（第 23 題圖1）PNDFEBACCABQM圖 1 中甲種剪法稱為第 1 次剪取，記所得的正方形面積為；按照甲種剪法，

14、在余下的1S中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第 2 次剪取，并記這ADEBDF和兩個正方形面積和為(如圖 2)，則 ；再在余下的四個三角形中，用同樣的2S2=S方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第 3 次剪取，并記這四個正方形的面積和為(如圖 3)；繼續(xù)操作下去則第 10 次剪取時， . 3S10S求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面積和.【答案】(1)解法 1：如圖甲，由題意得.如圖乙，,1,1CFDEAEDEECECS正方形即設，則由題意，得MNx,AMMQPNNBMNx22 232 2,32 28()39PNMQxxS正方形解得又819甲種剪法所得的正方

15、形的面積更大說明：圖甲可另解為：由題意得點 D、E、F 分別為的中點，ABACBC、112ABCCFDESS正方形解法 2：如圖甲，由題意得AEDEEC，即EC =1如圖乙，設,MNxAMMQQPPNNBMNx則由題意得2 232 2,32 21,3xxECMN解得又即甲種剪法所得的正方形的面積更大(2)212S (3)10912S(3)解法 1：探索規(guī)律可知：112nnS剩余三角形的面積和為：12109911112212422SSS解法 2：由題意可知，第一次剪取后剩余三角形面積和為112=1=SS第二次剪取后剩余三角形面積和為12211122SSS 第三次剪取后剩余三角形面積和為23311

16、1244SSS第十次剪取后剩余三角形面積和為9101091=2SSS6.6. (2011 浙江紹興，23，12 分)數學課上，李老師出示了如下框中的題目. 三 三 三 三 三 三 ABC三 三 三 E三 AB三 三三 D三 CB三 三 三 三 三 三 三 ED=EC， 三 三 .三 三 三 三 三 AE三 DB三 三 三 三 三 三 三 三 三三 三 .EABCD小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：（1）特殊情況，探索結論當點為的中點時，如圖 1，確定線段與的大小關系，請你直接寫出結論：EABAEDB （填“”,“”,“,503所以這輛車超速了。（3）高大貨車行駛到某一時刻行駛了 x 米，則

17、此時小汽四行駛 了 2x 米，且兩車的距離為22y(100 x)(1002x)25(x60)2000當 x60 時，y 有最小值是米，200020 5答：兩四相距的最近距離為米20 514 （2009 年重慶）作圖，請你在下圖中作出一個以線段AB為一邊的等邊 （要求：ABC用尺規(guī)作圖，并寫出已知、求作，保留作圖痕跡，不寫作法和結論）AB19 題圖已知：求作：【關鍵詞】等邊三角形, 尺規(guī)作圖【答案】解：已知：線段AB求作：等邊ABC作圖如下：（注：每段弧各 1 分，連接線段各 1 分）ACBC、ABC15 （2009 年重慶）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，DEAC于點F

18、，交BC于點G，交AB的延長線于點E，且AEAC（1）求證：；BGFG（2）若，求AB的長2ADDCDCEBGAF【關鍵詞】勾股定理、直角三角形性質、等腰三角形性質和全等三角形的判定方法【答案】 （1）證明：于點，90ABCDEAC，FABCAFE ，ACAEEAFCAB ，ABCAFEABAF連接，AGAGAG,ABAF，RtRtABGAFGBGFG（2）解：ADDC,DFAC，1122AFACAE30E，30FADE 3AF3ABAFDCEBGAF16 （2009 年廣西欽州）已知：如圖 2，O1與坐標軸交于A（1，0） 、B（5，0）兩點，點O1的縱坐標為求O1的半徑5【關鍵詞】垂徑定理

19、、勾股定理【答案】解：過點O1作O1CAB，垂足為C，則有ACBC B A O 圖 2 xyABO1OC由A（1，0） 、B（5，0） ，得AB4，AC2在中，O1的縱坐標為，1RtAOC5O1C5O1的半徑O1A322221( 5)2OCAC17(2009 年甘肅定西)如圖 13，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90，D為AB邊上一點，求證：（1）；（2）ACEBCD222ADDBDE【關鍵詞】全等三角形、勾股定理【答案】證明:（1） ACBECD ， ACEACDBCDACD即 ACEBCD ECDCACBC,， ACEBCD（2） ACB是等腰直角三角形， 45BACB A

20、CEBCD， 45CAEB 904545BACCAEDAE 222DEAEAD由（1）知AEDB， 222ADDBDE+=18（2009 年莆田）已知：等邊的邊長為ABCa探究（1）：如圖，過等邊的頂點依次作的垂線圍ABCABC、ABBCCA、成求證：是等邊三角形且； MNG，MNG3MNa探究（2）：在等邊內取一點，過點分別作ABCOO垂足分別為點 ODABOEBCOFCA、，DEF、如圖 2，若點是的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質得OABC到兩個正確結論（不必證明）：結論 1；結論 232ODOEOFa；32ADBECFa如圖 3，若點是等邊內任意一點，則上述結論是否仍然成

21、立？如果成立，OABC1 2、請給予證明；如果不成立，請說明理由NMAGCBAFCEBDAFCEBD（圖1）（圖2）（圖3）OAFCEBD（圖4）OO【關鍵詞】等邊三角形證明：如圖 1，為等邊三角形ABC60ABCBCMNBAMG，90CBMBAM 9030ABMABC-9060MABM -NMAGCB（圖1）同理：60NG 為等邊三角形MNG在中，RtABM2 3sinsin603ABaBMaM在中，RtBCN3tantan603BCaBNaN3MNBMBNa（2）：結論 1 成立證明；方法一：如圖 2，連接AFCEBD（圖 2）OHAOBOCO、由 ABCAOBBOCAOCSSSS12a

22、ODOEOF作垂足為，AHBC，H則3sinsin602AHACACBaa 113222ABCSBC AHaa113222a ODOEOFaa32ODOEOFa方法二：如圖 3，過點作分別交于點，過點OGHBC，ABAC、GH、作于點，HHMBCM6060DGOBOHFC ，是等邊三角形AGHGHAHOEBCOEHM四邊形是矩形OEMHHMOE在中，RtODG3sinsin602ODOGDGOOGOG AFCEBDOMHG在中，RtOFH3sinsin602OFOHOHFOHOH 在中，RtHMC3sinsin602HMHCCHCHC 333222ODOEOFODHMOFOGHCOH 3332

23、22GHHCACaAFCEBDOFDMGNE（2）結論 2 成立:證明：方法一：如圖，過頂點依次作邊的垂線圍成ABC、ABBCCA、由（1）得為等邊三角形且MNG，MNG3MNa過點分別作于,于于點于點OODMN DOENG NGEOFMG ，F由結論 1 得： 33322ODOEOFMNaa 又ODABABMGOFMG ，90ADODAFOF A 四邊形為矩形ADOFOF AD同理：，ODBE OECF 32ADBECFODOEOFa 方法二：（同結論 1 方法二的輔助線）在中，AFCEBD（圖 3）OMHGRtOFH3tan3OFFHOFOHF在中，RtHMC2 3sin3HMHCOEC2

24、 3333CFHCFHOEOF同理：2 332 333333ADOFODBEODOE，ADBECF2 332 332 33333333OFODODOEOEOF3 ODOEOF由結論 1 得：32ODOEOFaAFCEBD（圖 5）O33322ADBECFaa方法三：如圖 5，連接，根據勾股定理得：OAOBOC、22222BEOEOBBDOD22222CFOFOCCEOE22222ADODAOAFOF：+得222222BECFADBDCEAF222222BECFADaADaBEaCF222222222aAD aADaBE aBEaCF aCF整理得：223a ADBECFa12 分32ADBEC

25、Fa20(2009 年南充)如圖 8，半圓的直徑，點C在半圓上，10AB 6BC （1）求弦的長；AC（2）若P為AB的中點，交于點E，求的長PEABACPEPBCEA【關鍵詞】圓的性質，三角形相似的性質【答案】解：是半圓的直徑，點在半圓上，ABC90ACB在中， RtABC22221068ACABBC（2），PEAB，90APE90ACBAPEACB 又，PAECAB ，AEPABCPEAPBCAC110268PE301584PE19(2009 年湖州)如圖，在平面直角坐標系中，直線 分別與軸，軸ly28xxy相交于兩點，點是軸的負半軸上的一個動點，以為圓心，3 為半徑作AB，0Pk，yPP

26、（1）連結，若，試判斷與軸的位置關系，并說明理由；PAPAPBPx（2）當為何值時，以與直線 的兩個交點和圓心為頂點的三角形是正三角形？kPlPBAOxlyPAOxly（備用圖）【關鍵詞】直線與圓的位置關系，相切的判定，正三角形的性質，相似的性質【答案】第（1）題BAOxlyPBAOxlyCEDP1P2第（2）題解：（1）與軸相切Px直線與軸交于，與軸交于，28yx x4 0A ，y0B，-8，48OAOB，由題意，8OPkPBPAk ，在中，RtAOP222483kkk ，等于的半徑，與軸相切 OPPPx（2）設與直線 交于兩點，連結PlCD，PCPD，當圓心在線段上時，作于POBPECDE

27、為正三角形，PCD133 33222DECDPDPE，90AOBPEBABOPBEAOBPEB ，即，AOPEABPB，3 343 15224 5PBPB，3 153 1580822POBOBPP，3 1582k當圓心在線段延長線上時，同理可得，POB3 15082P，-，3 1582k 當或時，以與直線 的兩個交點和圓心為頂點3 1582k 3 1582k PlP的三角形是正三角形20(2009 年湖州)若P為所在平面上一點，且，ABC120APBBPCCPA 則點叫做的費馬點PABC（1）若點為銳角的費馬點，且，則的值PABC60ABCPAPC，3，4PB為_；（2）如圖，在銳角外側作等邊

28、連結ABCACBBB求證：過的費馬點，且BBABCPBBPAPBPCACBB【關鍵詞】閱讀理解題，等邊三角形的性質，全等三角形的判定及性質，綜合題【答案】 （1）2 3（2）ACBPEB證明：在上取點，使，BBP120BPC連結，再在上截取，連結APPBPEPCCE120BPC，60EPC為正三角形，PCE，60PCCEPCECEB，120為正三角形，ACB，ACBCACB，60，PCAACEACEECB 60，PCAECB ACPBCE，APCB 120CEPAEB，120APBAPCBPC 為的費馬點，PABC過的費馬點，且+BBABCPBBEBPBPEPAPBPC 21(2009 年溫州

29、)如圖，在ABC 中，C90，AC3，BC40 為 BC 邊上一點，以0 為圓心，OB 為半徑作半圓與 BC 邊和 AB 邊分別交于點 D、點 E，連結 DE (1)當 BD3 時，求線段 DE 的長； (2)過點 E 作半圓 O 的切線，當切線與 AC 邊相交時，設交點為 F求證：FAE 是等腰三角形【關鍵詞】直角三角形、圓的性質，相似的判定，切線的性質，等腰三角形的判定【答案】解：（1）C90，AC3，BC4，AB5，DB 為直徑，DEBC90，又BB，DBEABC即ABBDACDE533DEDE。59（2）解法一：連結 OE，EF 為半圓 O 的切線，DEO+DEF90，AEF+DEF9

30、0，AEFDEO，DBEABC，AEDB，又EDODEO，AEFA，FAE 是等腰三角形。解法二：連結 OE，EF 為半圓 O 的切線，AEF+OEB90，C90，A+B90，OEOBOEBB，AEFAFAE 是等腰三角形。22 （2009 臨沂）如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個村莊，A村到公路l的距離AC1km，B村到公路l的距離BD2km，B村在A村的南偏東方向上45（1）求出A，B兩村之間的距離；（2）為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點P的位置（保留清晰的作圖痕跡，并簡要寫明作法） 北東BACDl【關鍵詞】等腰直

31、角三角形的性質，勾股定理，尺規(guī)作圖【答案】解：（1）方法一：設與的交點為，根據題意可得ABCDO45AB 和都是等腰直角三角形ACOBDO，2AO2 2BO 兩村的距離為（km） AB，22 23 2ABAOBO方法二：過點作直線 的平行線交的延長線于BlACE易證四邊形是矩形，CDBE2CEBD在中，由，可得RtAEB45A3BEEA（km）22333 2AB 兩村的距離為kmAB，3 2（2）作圖正確，痕跡清晰BACDlNMOP作法：分別以點為圓心，以大于的長為AB，12AB半徑作弧，兩弧交于兩點，MN，作直線；MN直線交 于點，點即為所求MNlPP1 （2009 年中山）如圖所示，是等邊

32、三角形， 點是的中點，延長到ABCDACBC，使，ECECD（1）用尺規(guī)作圖的方法，過點作，垂足是（不寫作法，保留作圖痕跡） ；DDMBEM（2）求證：BMEM【關鍵詞】等腰三角形，等邊三角形【答案】解：（1）作圖見下圖，ACBDEM（2）是等邊三角形，是的中點，ABCDAC平分（三線合一） ，BDABC2ABCDBE ，CECDCEDCDE 又，ACBCEDCDE 2ACBE 又，ABCACB ，22DBCE ，DBCE BDDE又，DMBEBMEM23 （2009 年牡丹江）有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6mm，8 現在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直

33、角三角形，求擴充后等腰三角形綠地的周長【關鍵詞】等腰三角形，勾股定理【答案】在中，RtABC9086ACBACBC，由勾股定理有：，擴充部分為擴充成等腰應分10AB RtACD，ABD，以下三種情況 如圖 1，當時，可求10ABAD6CDCB 得的周長為 32mABD如圖 2，當時，可求10ABBD4CD 由勾股定理得：，得的周長為4 5AD ABD204 5 m如圖 3，當為底時，設則ABADBDx ，6CDx ，由勾股定理得：，得的周長為253x ABD80m3ADCBADBCADBC圖 1圖 2圖 324(2009(2009 年寧德市年寧德市) )（本題滿分 13 分）如圖，已知拋物線C

34、1：522xay的頂點為P，與 x 軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊） ，點B的橫坐標是 1（1）求P點坐標及a的值；（4分）（2）如圖（1） ，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C3的解析式；（4分）（3）如圖（2） ，點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C1繞點Q旋轉 180后得到拋物線C4拋物線C4的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊） ，當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標 （5 分）yxAOBPN圖 2C1C4QEF圖（2）yxAOBPM圖 1C1C

35、2C3圖（1）【關鍵詞】二次函數,勾股定理的運用yxAOBPM圖(1)C1C2C3HG解：（1）由拋物線C1：522xay得頂點P的為（-2，-5） 點B（1，0）在拋物線C1上52102 a 解得，a 59（2）連接PM，作PHx軸于H，作MGx軸于G點P、M關于點B成中心對稱PM過點B，且PBMBPBHMBGMGPH5，BGBH3頂點M的坐標為（4，5） 拋物線C2由C1關于x軸對稱得到，拋物線C3由C2平移得到拋物線C3的表達式為54952xy （3）拋物線C4由C1繞點x軸上的點Q旋轉 180得到頂點N、P關于點Q成中心對稱 由（2）得點N的縱坐標為 5設點N坐標為（m，5） yxAO

36、BPN圖(2)C1C4QEFHGK 作PHx 軸于H，作NGx 軸于G 作PKNG于K 旋轉中心Q在x軸上EFAB2BH6 FG3，點F坐標為（m+3，0） H坐標為（2，0） ，K坐標為（m，-5） ，根據勾股定理得 PN2NK2+PK2m2+4m+104 PF2PH2+HF2m2+10m+50 NF252+3234 當PNF90 時，PN2+ NF2PF2，解得m，Q點坐標為（，0） 443193當PFN90 時，PF2+ NF2PN2，解得m，Q點坐標為（ ，0）10323PNNK10NF，NPF90綜上所得，當Q點坐標為（，0）或（ ，0）時，以點P、N、F為頂點19323的三角形是直

37、角三角形 2525(2009(2009 年河北年河北) )圖 10 是一個半圓形橋洞截面示意圖， 圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CDAB，且CD 24 m，OECD于點E已測得 sinDOE 1213（1）求半徑OD；（2）根據需要，水面要以每小時 05 m 的速度下降，則經過多長時間才能將水排干？ AOB圖 10ECD【關鍵詞】解直角三角形,勾股定理,解：（1）OECD于點E，CD24，ED 12CD12 在 RtDOE中，sinDOE EDOD 1213，OD 13（m） （2）OE22ODED2213125= 將水排干需：50510（小時） 2626(2009(2009 年

38、濰坊年濰坊) )在四邊形ABCD中，ABBCDCBCABaDCbBCab，且ab取AD的中點P，連結PBPC、（1）試判斷三角形PBC的形狀；（2）在線段BC上，是否存在點M，使AMMD若存在，請求出BM的長；若不存在，請說明理由PDCBA解：（1）在四邊形ABCD中，ABBC，DCBCABDC，四邊形ABCD為直角梯形（或矩形） 過點P作PQBC，垂足為Q，PQAB，又點P是AD的中點，點Q是BC的中點，又111()()222PQABCDabBC，PQBQQC， PQB與PQC是全等的等腰直角三角形，90BPCBPQQPCPBPC ，PBC是等腰直角三角形 （2）存在點M使AMMD 以AD為

39、直徑，P為圓心作圓P當ab時，四邊形ABCD為矩形，PAPDPQ，圓P與BC相切于點Q，此時，M點與Q點重合，存在點M，使得AMMD，此時1()2BMab 當ab時，四邊形ABCD為直角梯形，ADBC，PAPDPQ，圓心P到BC的距離PQ小于圓P的半徑，圓P與BC相交，BC上存在兩點12MM，使AMMD， 過點A作AEDC，在RtAED中，AEabDEba，222222222222ADAEDEADabADab，連結12PMPM，則2212222abPMPM，在直角三角形1PQM中，222221122()442ababbaQMPMPQ，11BMBQM Qa同理可得：22BMBQM Qb綜上所述，

40、在線段BC上存在點M，使AMMD當ab時，有一點M，2abBM；當ab時，有兩點12MM，12BMaBMb， PDCBAQEM2M127 （09 湖北宜昌）已知：如圖， AF平分BAC，BCAF， 垂足為E，點D與點A關于點E對稱，PB分別與線段CF， AF相交于P，M(1)求證：ABCD；(2)若BAC2MPC，請你判斷F與MCD的數量關系，并說明理由 FMPE DCBA【關鍵詞】全等三角形的性質與判定、等腰三角性的性質【答案】解：(1)證明：AF平分BAC， CADDABBAC12D與A關于E對稱，E為AD中點BCAD，BC為AD的中垂線，ACCD 在 RtACE和 RtABE中，注：證全

41、等也可得到ACCDCAD+ACEDAB+ABE90， CADDABACEABE，ACAB 注：證全等也可得到ACABABCD (2)BAC2MPC， 又BAC2CAD，MPCCADACCD，CADCDA， MPCCDA MPFCDM ACAB，AEBC，CEBE 注：證全等也可得到CEBEAM為BC的中垂線，CMBM 注：證全等也可得到CMBMEMBC，EM平分CMB，(等腰三角形三線合一) CMEBME 注：證全等也可得到CMEBME BMEPMF，PMFCME， MCDF(三角形內角和) 注：證三角形相似也可得到MCDF28 （09 湖南懷化）如圖 12，在直角梯形OABC中， OACB，

42、A、B兩點的坐標分別為A（15，0） ，B（10，12） ，動點P、Q分別從O、B兩點出發(fā)，點P以每秒 2 個單位的速度沿OA向終點A運動，點Q以每秒 1 個單位的速度沿BC向C運動，當點P停止運動時，點Q也同時停止運動線段OB、PQ相交于點D，過點D作DEOA，交AB于點E，射線QE交x軸于點F設動點P、Q運動時間為t（單位：秒） （1）當t為何值時，四邊形PABQ是等腰梯形，請寫出推理過程；（2）當t2 秒時，求梯形OFBC的面積；（3）當t為何值時，PQF是等腰三角形？請寫出推理過程【關鍵詞】一元二次方程解法及應用、勾股定理及逆定理、等腰三角形、等腰梯形的判定【答案】解：（1）如圖 4，

43、過B作BGOAG于，則22221215 1016913ABBGGA（）過Q作，于HOAQH 則2222212102 )144(103 )QPQHPHttt （要使四邊形PABQ是等腰梯形，則，ABQP即,13)310(1442tt53或5t （此時PABQ是平行四邊形，不合題意，舍去）（2）當2t時，410282OPCQQB，。1.2QBQEQDQBCBDEOFAFEFDPOP，22 2415419.AFQBOF，（梯形OFBCS（3）當時，則2212(102 )1522tttt ，QPPF.31931tt或當時，222222)10(2151212)210(12ttF

44、Htt則QPQF即2222512(103 )12(53 )6ttt ，當時， 2241412(53 )15(.33ttt 則，或舍去）QFPF綜上，當119543363tttt，時，PQF是等腰三角形 29 （09 湖南邵陽）如圖，在梯形中，ABCD，將延長至點，使ADBCABADDCACABCBFBFCD（1）求的度數；ABC（2）求證：為等腰三角形CAFDAFBC【關鍵詞】等腰三角性的性質與判定、等腰梯形的性質【答案】 （1）ADBCDACACBADDCDCADAC ，1122DCAACBDCBDCABDCBABCACBABC ，在中，ACB90ACABCAB，；19090602ACBAB

45、CABCABCABC，（2）連接在梯形中，DBABCDABDCACDB在四邊形中，DBFADABFDADCBF，四邊形是平行四邊形，DBFADBAF，即為等腰三角形ACAFACF【關鍵詞】直角三角形的有關計算、勾股定理【答案】C30 （2009 年湖北十堰市）如圖，在一次數學課外活動中，小明同學在點P處測得教學樓A位于北偏東 60方向，辦公樓B位于南偏東 45方向小明沿正東方向前進 60 米到達C處，此時測得教學樓A恰好位于正北方向，辦公樓B正好位于正南方向求教學樓A與辦公樓B之間的距離（結果精確到 01 米） （供選用的數據：21414，31732）【關鍵詞】直角三角形的有關計算、測量問題、

46、勾股定理【答案】解：由題意可知 ACP BCP 90，APC30，BPC452 分在 RtBPC中，BCP90，BPC45，60 PCBC在 RtACP中，ACP90，APC30，320AC 32060BCACAB60+201732 9464946(米) 答：教學樓A與辦公樓B之間的距離大約為 946 米說明：（1）其它解法請參照上述評分說明給分；（2）不作答不扣分3131(2009(2009 年達州年達州) )如圖 10，O 的弦 ADBC,過點 D 的切線交 BC 的延長線于點E，ACDE 交 BD 于點 H，DO 及延長線分別交 AC、BC 于點 G、F(1)求證：DF 垂直平分 AC；

47、（2）求證：FCCE；（3）若弦 AD5，AC8，求O 的半徑 【關鍵詞】圓,平行四邊形,勾股定理【答案】（1）DE 是O 的切線，且 DF 過圓心 ODFDE又ACDEDFACDF 垂直平分 AC （2）由（1）知：AGGC又ADBCDAGFCG又AGDCGFAGDCGF（ASA）ADFCADBC 且 ACDE四邊形 ACED 是平行四邊形ADCEFCCE5 分（3）連結 AO； AGGC，AC8cm，AG4cm在 RtAGD 中，由勾股定理得 GDAD2-AG252-423cm 設圓的半徑為 r，則 AOr，OGr-3在 RtAOG 中，由勾股定理得 AO2OG2+AG2有：r2(r-3)

48、2+42 解得 r256 O 的半徑為 256cm32 （2009 年廣東?。┤鐖D所示，是等邊三角形，點是的中點，延長ABCDAC到，使BCECECD（1）用尺規(guī)作圖的方法，過點作，垂足是（不寫作法，保留作圖痕跡） ；DDMBEM（2）求證：BMEMABCED【關鍵詞】等邊三角形；線段和角的概念、性質、畫法及有關計算【答案】解：（1）作圖如下圖，ABEDCM（2）是等邊三角形，是的中點ABCDAC平分（三線合一） ，BDABC，2ABCDBE ，CECD，CEDCDE 又ACBCEDCDE ，2ACBE 又，ABCACB ，22DBCE ，DBCE ，BDDE又，DMBEBMEM33 （200

49、9 黑龍江大興安嶺）在邊長為 4 和 6 的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一條邊是矩形的長或寬，第三個頂點在矩形的邊上，求所作三角形的面積（注：形狀相同的三角形按一種計算（注：形狀相同的三角形按一種計算 ）【關鍵詞】等腰三角形【答案】 面積是 12,面積是 8 和 1234 （2009 年崇左）如圖，在等腰梯形中，已知，ABCDADBC，延長到，使24ABDCADBC，BCECEAD（1）證明：；BADDCE（2）如果，求等腰梯形的高的值ACBDABCDDF【關鍵詞】在等腰梯形性質進行轉化?！敬鸢浮浚?）證明：ADBCCDADCE ，又四邊形是等腰梯形，ABCDBADCDA BADDCE

50、ABDCADCE，BADDCE（2）四邊形是平行四邊形，ADCEADBC，ACEDACDEACBDDEBD，由（1）可知，BADDCEDEBD所以，是等腰直角三角形，即，BDE45EDFFEFCCE四邊形是等腰梯形，而，ABCD24ADBC，1FC2CEAD3DF（2009 龍巖）閱讀下列材料：正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫格點三角形數學老師給小明同學出了一道題目：在圖正方形網格（每個小正方形邊長為 1）中畫出格點ABC，使5 ACAB，2BC；小明同學的做法是：由勾股定理，得51222 ACAB，21122BC，于DABECF（第 24 題）是畫出線段AB、

51、AC、BC，從而畫出格點ABC（1）請你參考小明同學的做法，在圖 232 正方形網格（每個小正方形邊長為 1）中畫出格點CBA（A點位置如圖所示） ，使BACA5，10CB （直接畫出圖形，不寫過程） ；（2）觀察ABC與CBA的形狀，猜想BAC與CAB有怎樣的數量關系，并證明你的猜想CBAA【關鍵詞】等腰三角形【答案】 （1）正確畫出CBA（畫出其中一種情形即可） （2）猜想：BAC CAB 證明：55CAACBAAB，55102CBBC；CBBCCAACBAAB，ABC CBA，BAC CAB ABCCB等腰三角形等腰三角形一、選擇題1、(2011 浙江杭州模擬 16)下列命題正確的有 (

52、 )個400角為內角的兩個等腰三角形必相似若等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則這個等腰三角形的底角為 750一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形一個等腰直角三角形的三邊是 a、b、c， （ab=c） ，那么 a2b2c2=211若ABC 的三邊 a、b、c 滿足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，則此為等腰直角三角形。A、1 個 B、2 個 C、3 個 D、4 個答案：A2、 （11 年青島二中）如圖，等邊ABC的邊長為 3，P為BC上一點，且1BP ，D為AC上一點，若60APD，則CD的長為（ ）A32B23C12D34答案：B3、 （2011 杭州模擬）如

53、圖，在ABC 中，ACBC，CD 是 AB 邊上的高線，且有 2CD=3AB，又E，F 為 CD 的三等分點，則ACB 和AEB 之和為： ( )A45 B90 C 60 D75答案：B4.( (浙江省杭州市黨山鎮(zhèn)中2011 年中考數學模擬試 卷)若等腰三角形中有一個角等于50，則這個等腰三角形的頂角的度數為（ ）A50B80C65或50D50或80答案：DB B 組組1. （2011 深圳市全真中考模擬一）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 30。 ，則頂角的度數為(A)60 (B)120 (C)60 或 150 (D)60 或 120答案:DMDOCBAE2.（浙江杭州進化 2011 一

54、模）如圖，ABC 內接于O，其外角平分線 AD 交O 于 DMAC于 M，下列結論：DB=DC；AC-AB=2AM；AC+AB=2CM；=2其中正確的有SABDSCDB( )A只有 B只有 C只有 D答案: B3、 （2011 年杭州模擬 17）如圖，在等邊ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且ADE=60，BD=3，CE=2，則ABC的面積為（2010 沈陽中考第 8 題改編） A. 81 B . 812 C. 814 D. 818 3333答案：C二、填空題1、 （2011 年北京四中四模）如圖，以 A、B 兩點為其中兩個頂點作位置不同的等邊三角形，最多可以作出_個.答案：22、

55、 （2011 北京四中模擬 6）用兩塊完全重合的等腰三角形紙片能拼出下列圖形 .答案 平行四邊形，正方形，等腰直角三角形；3、(2011 浙江杭州模擬 15)如圖，將含 30角的直角三角尺 ABC 繞點 B 順時針旋轉 150后得到EBD，連結 CD.若 AB=4cm. 則BCD 的面積為答案：23cm4、(2011 浙江杭州模擬 15)如圖ABC 中，ACB90，BC6 cm，AC8cm，動點 P 從A 出發(fā)，以 2 cm / s 的速度沿 AB 移動到 B，則點 P 出發(fā) s 時，BCPPCBAADCPB（第 1 題圖）60ABCDEADFCBE（第 4 題）圖）為等腰三角形 答案： 2，

56、25，14 5. （2011 年江蘇鹽城）已知ABC中，ABAC，B70，則C的大小為 答案 706、 （2 20 01 11 1 年年浙浙江江省省杭杭州州市市模模擬擬 ）等腰兩邊的長分別是一元二次方程ABC的兩個解，則這個等腰三角形的周長是 2560 xx答案：7,9 B B 組組1. （2011 深圳市中考模擬五）等腰三角形的腰長為 2，腰上的高為 1，則它的底角等于 答案: 15或 752 （ 2011 年杭州三月月考）若一邊長為 40的等邊三角形硬紙板剛好能不受損地從用鐵絲圍成的圓形鐵圈中穿過，則鐵圈直徑的最小值為 (鐵絲粗細忽略不計)答案： 3203、 （北京四中 2011 中考模擬

57、 13）用兩塊完全重合的等腰三角形紙片能拼出下列圖形 .答案：平行四邊形，正方形，等腰直角三角形；4 （2011 年海寧市鹽官片一模）如圖，有一塊邊長為 4 的正方形塑料摸板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落ABCD在點，兩條直角邊分別與交于點，與延長線交ACDFCB于點則四邊形的面積是EAECF答案：16ABCDEO第 5 題5. （2011 年浙江省杭州市模 2） 如圖，在半圓 O 中，直徑 AE=10，四邊形 ABCD 是平行四邊形，且頂點A、B、C 在半圓上，點 D 在直徑 AE 上，連接 CE，若AD=8，則 CE 長為 答案：10三、解答題A 組1、 （北京四中模擬 7）已知：

58、如圖，在 ABC 中，C=90，AB 的垂直平分線交 AC 于 D，垂足為 E.若 A=30，DE=2，求 DBC 的度數和 CD 的長.答案 22、(2011 浙江杭州模擬 15)如圖（1）矩形紙片，把它沿對角線折疊，會得到怎么樣的圖形呢？（1）在圖（2）中用實線畫出折疊后得到的圖形（要求尺規(guī)作圖，保留作圖軌跡，只需畫出其中一種情況）（2）折疊后重合部分是什么圖形？試說明理由。答案：（1）圖略 （4 4 分）分）（2）等腰三角形 （1 1 分）分）ADCB（1） ADCB（2）FCAE第 2 題圖GBDEBDCBDBDEBDCFDBCDBADCBABDCCDBABDFDBABDBDF 是沿折

59、疊而成是矩形重疊部分，即是等腰三角形 （2 2 分）分）3 （2011 年重慶江津區(qū)七校聯考）已知、分別是ABC 的三邊，其中1，4，且關于 x 的方程042bxx有兩個相等的實數根，試判斷ABC 的形狀.答案：關于 x 的方程042bxx有兩個相等的實數根04)4(2b 4b 4 cb ABC 是等腰三角形.等腰三角形等腰三角形一、選擇題一、選擇題1.（2010 年三亞二模）若等腰三角形中有一個角等于，則這個等50腰三角形的頂角的度數為（ ）ABC或D或508065505080答案：D2.（2010 年武漢中考模擬試卷 6）如圖，已知ABC 中，ABAC，BAC900，直角EPF 的頂點 P

60、 是 BC 中點，兩邊 PE、PF 分別交 AB、AC 于點 E、F，給出下列四個結論：AECF；EPF 是等腰直角三角形；EFAP；S四邊形 AEPFSABC，當EPF 在ABC21內繞頂點 P 旋轉時（點 E 不與 A、B 重合） ，上述結論中始終正確的有（ ） 。 A. B. C. D.答案：C3.（2010 普陀區(qū) 中考模擬 ）下列條件中，能判定兩個等腰三角形相似CABD的是（ ）A.都含有一個 30的內角； B.都含有一個 45的內角；C.都含有一個 60的內角； D.都含有一個 80的內角答案：4.(昆山 2010 第二學期調研)在等腰三角形 ABC 中，AB 的長是 AC 長的