楊曉非信號(hào)與系統(tǒng)第3章(2)

1、1一、系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)函數(shù)3-1 頻域系統(tǒng)函數(shù)頻域系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)定義系統(tǒng)函數(shù)定義：)(tf)(tyf)()()(jFjYjHf（1）h(t)的傅立葉變換；的傅立葉變換；（2）描述系統(tǒng)頻率特性。）描述系統(tǒng)頻率特性。( )( )* ( )fy tf th t)()(jFtf)()(jHth)()()(jHjFjYf2dtethjHtj)()() 1輸入輸出)()()(jFjYjHf系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算：系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算：)()()()2jFjYjH3).(),(10)(titUetuts求求1()42H jjjjUs110)(解：解：)()()(jUjHjIs)()55()(2tUeetittjj25154

2、)()()(tytytyfx)(*)()(thtftyfdejYtytjff)(21)()()()(jHjFjYf二、系統(tǒng)響應(yīng)：二、系統(tǒng)響應(yīng)：yx(t)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)，取決于系統(tǒng)自然頻率和初始值；系統(tǒng)零輸入響應(yīng)，取決于系統(tǒng)自然頻率和初始值； yf(t)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，取決于系統(tǒng)函數(shù)和激勵(lì)。系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，取決于系統(tǒng)函數(shù)和激勵(lì)。三、系統(tǒng)頻率特性：三、系統(tǒng)頻率特性：)()()(jejHjH)()()(jFjYjH:)()()(jFjYjH: )(系統(tǒng)幅頻特性：響應(yīng)與激勵(lì)信號(hào)幅度比系統(tǒng)幅頻特性：響應(yīng)與激勵(lì)信號(hào)幅度比系統(tǒng)相頻特性：響應(yīng)與激勵(lì)信號(hào)相位差系統(tǒng)相頻特性：響應(yīng)與激勵(lì)信號(hào)相位差5h(t)=e-2

3、tU(t), f (t)=e-tU(t), 求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng) yf(t) 。解：解：jjH21)(jjF11)()()()(jFjHjYfjj2111)()()(2tUetUetyttf6例：例： 已知描述某系統(tǒng)的微分方程如下，求已知描述某系統(tǒng)的微分方程如下，求f(t)= (t)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)h(t)。)(5)(3)(2tftydttdy解：解： 特征方程的根為特征方程的根為23p單位沖激響應(yīng)形式與零輸入響應(yīng)形式相同，即單位沖激響應(yīng)形式與零輸入響應(yīng)形式相同，即)()(231tUeKtht)(23)(231231teKtUeKthtt）以以h(t)=y(t)， f(

4、t)= (t)代入方程，比較系數(shù)可得代入方程，比較系數(shù)可得251K)(25)(23tUethth(t)的時(shí)域和頻域求法7)(5)(3)(2tftydttdyh(t)的頻域求法)(5)(3)(2tftydttdyff)(5)(3)()2(jFjYjYjff)(5)()3(2jFtYjfjjjFjYjHf2325235)()()()(25)(23tuetht8例：例：圖示系統(tǒng)，激勵(lì)圖示系統(tǒng)，激勵(lì)f(t)和系統(tǒng)的頻率特性如圖所示，求零狀態(tài)響應(yīng)和系統(tǒng)的頻率特性如圖所示，求零狀態(tài)響應(yīng) y(t)。)()()(jHjFjY解：解：tjnnneFtf)(22T21oFnjFn2)(2)(nFjFnn)2()(

5、2j)3(31)2(21)()()(jjjjFtjtjejejty22221)(tt2sin119LTI系統(tǒng)H(p)y(t)f(t)3.2 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)( )( )* ( )( )* ( )( ) ()fytf th th tf thf td( )tf te()( )( ) ()( )( )( )tftfythf tdhedytehed10( )( )( )ttfytehede H()( )Hhed式 中( )( )( ) ( )tfytHeHf t( )tf te復(fù)指數(shù)信號(hào) 是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的影響只是在幅度上有

6、變化。( )H是復(fù)振幅因子11312123( )tttf ta ea ea e312112233( )()()()tttfyta Hea Hea He推廣：( )ktkkf ta e( )()ktfkkkyta He如果一個(gè)LTI系統(tǒng)的輸入能夠表示成為復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，那么系統(tǒng)的輸出也能夠表示成為相同復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合。12頻率特性頻率特性(a)(b)【解解】 22)5(4)(nnjF2252)(nntjetftttf10cos45cos42)(tjtjeety552)(1) 0(jH21) 5(jH)()()(jHjFjY2(5)4()2(5) 0)10(jHtty5cos22)(t

7、5cos22方法方法1：方法方法2：13 展為傅立葉級(jí)數(shù)：展為傅立葉級(jí)數(shù)： nTnTtttf)( tjnntjnnTeTeFt1nnnnTjF2)()(2netjn14()( )()( )()( )( )nnTnf tnTf ttnTf ttnTf tt( )()TnttnT( )()()f ttnTf tnT153-3 抽樣定理抽樣定理 (Sampling theorem)一、抽樣一、抽樣(采樣、采樣、sampling)：利用開(kāi)關(guān)信號(hào)利用開(kāi)關(guān)信號(hào)s(t)從連續(xù)信號(hào)從連續(xù)信號(hào)f(t)中中“抽取抽取”一系列離散樣本值的過(guò)程。一系列離散樣本值的過(guò)程。引例：信號(hào)數(shù)字處理引例：信號(hào)數(shù)字處理需解決的問(wèn)題

8、需解決的問(wèn)題：)()()(tstftfs)( jFsF(j )的的關(guān)關(guān)系系？與與)()(jFjFs的的全全部部信信息息？能能否否包包含含)()(tftfs如何進(jìn)行抽樣？如何進(jìn)行抽樣？)(*)(21jSjF S(j )開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān)信號(hào)信號(hào)16復(fù)習(xí)：周期信號(hào)的傅立葉變換兩邊同取傅立葉變換 tnnTeFtf0jn)()()(0jntnnTeFFjFtfF)(2)(0nFtfFnnT)2(0T0jntnneFF00jj()02()ttF eedt 因?yàn)?7取樣的過(guò)程可表示為： ksskTtPtftf)()()( 當(dāng)取樣脈沖持續(xù)時(shí)間 無(wú)限小時(shí)，取樣脈沖可以看成周期沖激串，這樣的取樣稱(chēng)為理想取樣。kssksT

9、skTtkTfkTttfttftfs)()( )()( )()()(Ts稱(chēng)為取樣間隔，1/Ts稱(chēng)為取樣頻率。18 設(shè) f (t)F( j)，且 f (t)是頻帶有限信號(hào)，即當(dāng)|m時(shí)，F(xiàn)( j)=0，則 f (t)經(jīng)理想取樣后的信號(hào)為kssTskTtkTfttftfs)()()()()(19 若連續(xù)信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)為F(j)，則抽樣信號(hào) 理想抽樣信號(hào)的頻譜分析理想抽樣信號(hào)的頻譜分析001(j )()()211(j )()* ()j()sTsnnFF jFjFF jnFnTT )j (sF( )( )( )ssTf tf tt的頻譜函數(shù)為頻域卷積定理20其中0=2 /Ts。說(shuō)明Fs( j)是

10、一個(gè)以0為周期的頻域周期函數(shù)，它是原信號(hào) f (t)的頻譜F( j)乘以1/Ts后再以0為周期重復(fù)復(fù)制而得到的。 其頻譜為Fs( j)，由 及頻域卷積定理得00( )()sTntn nsnTsnjFTnjFttftfs)(1)()(21)()()(0002102sT221) 當(dāng)當(dāng) s 2 m時(shí)，時(shí)，F(xiàn)s(j )是是F(j )在不同在不同 s倍數(shù)上的重復(fù)與再現(xiàn)，幅值為原值的倍數(shù)上的重復(fù)與再現(xiàn)，幅值為原值的1/Ts 。ssT2ms2) 1232) 當(dāng)當(dāng) s =2 m時(shí)，時(shí)，F(xiàn)s(j )是是F(j )剛好不重疊剛好不重疊 。ssT2ms2)224ssT2ms2) 33) 當(dāng)當(dāng) s2 m）)()()(

11、tstftfs26即：從即：從 fs(t)中恢復(fù)中恢復(fù)f(t)要求理想低通濾波器要求理想低通濾波器：sTA 2scm 四、信號(hào)恢復(fù)四、信號(hào)恢復(fù) (Signal Reconstruction)信號(hào)信號(hào)f(t)的恢復(fù)的恢復(fù)實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)：理想低通濾波器：理想低通濾波器 (Ideal Lowpass Filters)當(dāng)當(dāng) s 2 m時(shí)，時(shí)，F(xiàn)s(j )含有含有F(j )完整頻譜完整頻譜（ s 2 m）理想沖激序列抽樣理想沖激序列抽樣：2728 一個(gè)最高頻率為一個(gè)最高頻率為 m的的有限帶寬信號(hào)有限帶寬信號(hào)f(t)，可用均勻抽樣間隔，可用均勻抽樣間隔 的抽樣值的抽樣值fs(t)唯一確定。唯一確定。若從若從fs

12、(t) 恢復(fù)恢復(fù)f(t),可用一個(gè)理想低通濾波器實(shí)現(xiàn)，可用一個(gè)理想低通濾波器實(shí)現(xiàn)，濾波器增益為濾波器增益為T(mén)s，截止頻率，截止頻率: 說(shuō)明：說(shuō)明： 1) f(t)為有限帶寬信號(hào)，即：為有限帶寬信號(hào)，即： | | m時(shí)時(shí),F(j )=0 2) 抽樣間隔抽樣間隔msfT21 msff2 或或: 抽樣頻率抽樣頻率ms2msff2minms2min 奈奎斯特抽樣間隔奈奎斯特抽樣間隔(Nyquist Sampling Interval)msfT21max 奈奎斯特抽樣頻率奈奎斯特抽樣頻率(Nyquist Sampling Frequency2scm五、時(shí)域抽樣定理五、時(shí)域抽樣定理msfT21 （t-do

13、main Sampling theorem)29抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)fs(t)頻譜與抽樣間隔頻譜與抽樣間隔T關(guān)系：關(guān)系：)j (Fmm10 混疊T1)j (F)( j sF)( j sF)j (sFmssms /20.)j (sFT1)( j sF)( j sF)j (Fmssm0.)j (sFT1)j (Fmssmss0.)( j sF)( j sFms5 . 2ms2ms5 . 130由頻域卷積定理及卷積的性質(zhì),可知 f 2(t)的最高頻率為f max =21kHz，則奈奎斯特頻率為 f (t)的最高頻率為1kHz，那么 f (2t)的最高頻率就為f max = 2kHz，即時(shí)域壓縮, 頻域必

14、將展寬。由抽樣定理知, 奈奎斯特頻率為例例： f (t)為具有最高頻率 f max=1kHz的帶限信號(hào)，求對(duì) 抽樣的奈奎斯特頻率。解：解： 根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì))2()( ),( ),2(2tftftftf則如果 )j ()( Ftf21j1(2 )() ( )(j)(j) 222ftFftFFkHz42maxNffkHz42maxNff31例例： f (t)為具有最高頻率 f max=1kHz的帶限信號(hào)，求對(duì) 抽樣的奈奎斯特頻率。解：解： 根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì) 由時(shí)域卷積定理及信號(hào)的性質(zhì), 可知 的最高頻率為兩者中較小的一個(gè)，即f max =1kHz，則奈奎斯特頻率為)2()( ),( ),

15、2(2tftftftf則如果 )j ()( Ftf1j ( )(2 )( j)()22ftftFF)2()(tftfkHz22maxNff32解：解：根據(jù)傅里葉變換的對(duì)偶性質(zhì) 例例：試確定信號(hào) 不失真均勻抽樣的奈奎斯特取樣間隔。 由卷積定理及有關(guān)卷積的性質(zhì)，可知32)40()100()(tSatSatf)()(22)( )2()(0020200PPtSaSatP。其帶寬為也是有限帶寬信號(hào)，其帶寬為是有限帶寬信號(hào)，402 )40(; 100 )100(2mmtSatSa。即為兩者中較大的一個(gè)，且其帶寬一定是有限帶寬信號(hào)，則100 )40()100( 2mtSatSa23N ( )(100 )(4

16、0 )3 100, , ( )300mmf tSatSatf tT 的帶寬為根據(jù)時(shí)域抽樣定理不失真均勻抽樣的奈奎斯特取樣間隔為秒。33實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)離散化，實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)離散化，為信號(hào)的數(shù)字處理奠定基礎(chǔ)；為信號(hào)的數(shù)字處理奠定基礎(chǔ)；六、抽樣定理意義六、抽樣定理意義34信號(hào)相乘的作用信號(hào)相乘的作用)(tTnTnjFTjjFjY)(1)(*)(21)( )()FTf tF j )(12)(nTtnFTT nTnTtt3502sT36信號(hào)相乘的作用信號(hào)相乘的作用)cos()()(ttfty2)(tjtjeetf)(21)(21)()(*)(21)(jFjFjFjY( )()FTf tF j )()(cos

17、FTt調(diào)制調(diào)制37調(diào)制頻譜左右平移，幅度減小一半)(21)(21)(jFjFjY38調(diào)制和解調(diào)調(diào)制和解調(diào) 什么是調(diào)制(modulation)？ 調(diào)制就是用一個(gè)信號(hào)去控制另一信號(hào)的某一參數(shù)(振幅、頻率、相位等)的過(guò)程。39 為什么要調(diào)制呢？只有當(dāng)天線尺寸與輻射信號(hào)的波長(zhǎng)可以相比擬時(shí)，只有當(dāng)天線尺寸與輻射信號(hào)的波長(zhǎng)可以相比擬時(shí)，信號(hào)才能有效地輻射出去。信號(hào)才能有效地輻射出去。人耳能聽(tīng)到的聲音的頻率范圍約在300Hz-3000Hz間（音頻）。音頻的波長(zhǎng)在106105m，要制造尺寸相當(dāng)?shù)奶炀€顯然是不可能的。因此不能直接將音頻信號(hào)輻射到空中?？梢詫⒁纛l信號(hào)“裝載”到更高的頻率上，然后由天線輻射出去。 在

18、接收端通過(guò)解調(diào)把已調(diào)制的載波信號(hào)中的有用信號(hào)恢復(fù)出來(lái)。40常見(jiàn)的調(diào)制方式：調(diào)幅載波調(diào)制信號(hào)已調(diào)波用低頻信號(hào)去控制高頻信號(hào)的幅度41 調(diào)幅的過(guò)程就是頻譜搬移的過(guò)程。經(jīng)調(diào)制后，調(diào)制信號(hào)的頻譜一分為二地分別搬移到載波頻率0和0的兩旁。因此 y (t)又叫雙邊帶調(diào)制雙邊帶調(diào)制信號(hào)(two-sideband modulation signal)。 設(shè) f (t)的帶寬為m，且0 m，則其頻譜如下：42 調(diào)幅信號(hào)可用乘法器來(lái)產(chǎn)生43解調(diào)解調(diào) 由于已調(diào)信號(hào)y(t)再次與載波cos0t相乘，得到 幅度調(diào)制是利用乘法器將f (t)的頻譜搬移到載波頻率附近，解調(diào)就應(yīng)將已調(diào)制的y(t)的頻譜搬移回到f (t)的頻譜

19、位置，這也可以用乘法器來(lái)實(shí)現(xiàn)。)2cos2121)(cos)(cos)()(0020ttAfttAfttytx44)2()2(4)(2)(00jFjFAjFAjX)2cos2121)(cos)(cos)()(0020ttAfttAfttytx其頻譜為45 讓x(t)再通過(guò)一個(gè)低通濾波器，其截止頻率選為mc20m，這樣解調(diào)器輸出信號(hào)g(t)的頻譜為H(j )k c c)(2)()()(jFAkjHjXjG)(2)(tfAktg 即解調(diào)器輸出信號(hào)g(t)正比于調(diào)制信號(hào)f(t)。由于在解調(diào)器中振蕩器的載波信號(hào)與調(diào)制器中的載波信號(hào)同頻同相同頻同相，因此這種解調(diào)又稱(chēng)同步解調(diào)同步解調(diào)。因此46)(1F0)

20、(2F0)(3F0tc1costc2costc3cos)(1tf)(2tf)(3tf)(ty)(Y02c1c3c頻分復(fù)用頻分復(fù)用調(diào)制系統(tǒng)47頻分復(fù)用頻分復(fù)用解調(diào)系統(tǒng)tc1costc2costc3cos)(1tf)(2tf)(3tf)(ty帶通1帶通2帶通348例：例：圖圖(a)所示系統(tǒng)，其所示系統(tǒng)，其H1 (j )和和f1(t) 如圖如圖(b) 、(c) 所示。所示。解：解：)()() 11tSatfmm)()(21mGjFmsfT21)2mmsT jSjFjFs*21)(jHjFjF11)() 3 )(1nsSnjFT4）若若y(t)=f(t)，H2 (j )應(yīng)如圖所示。應(yīng)如圖所示。 1)

21、求求F1(j )的頻譜圖；的頻譜圖； 3）求）求 s=2 m時(shí)時(shí)Fs(j )頻譜圖；頻譜圖； 2）求抽樣間隔）求抽樣間隔Ts的最大值；的最大值； 4）若）若y(t)=f(t)，求，求H2 (j )。49圖示系統(tǒng)，圖示系統(tǒng)， 求零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng) y(t) 。已知：。已知：解：解：)()()(jXjHjYttS1000cos)()(41jHx(t),22sin)(tttf)1000()1000()(jS)2()(SatG)(2)2(GtSa)()()(tstftx)(*)(21)(jSjFjX21)1000()1000(*)(422G)(21)(4GjF)1000()1000(4144GGt

22、ttty1000cossin21)(503.4. 3.4. 無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)無(wú)失真?zhèn)鬏?線性失真非線性失真信號(hào)失真信號(hào)失真線性失真：幅度失真、相位失真線性失真：幅度失真、相位失真非線性失真：非線性失真： 產(chǎn)生新的頻率成分產(chǎn)生新的頻率成分51失真？52一、時(shí)域：一、時(shí)域：3-3 信號(hào)傳輸不失真條件信號(hào)傳輸不失真條件) (tf)(ty)()(0ttAth二、頻域：二、頻域：0)(tjAejH0)(tjejAF0)(t)()()(jHjFjYAjH)(全通幅頻特性全通幅頻特性線性相移特性線性相移特性)()(ttf)(*)()(thtfty)(0ttAf53例已知一LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為j

23、jjH11)(求系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j)|和相位響應(yīng)f()，并判斷系統(tǒng)是否為無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。解：因?yàn)?(tan21)(jejH所以系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為)(tan2)(1)(1fjH系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j)|為常數(shù)，但相位響應(yīng)f()不是的線性函數(shù)，所以系統(tǒng)不是無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。54例例: 圖示系統(tǒng)，若要求不失真?zhèn)鬏?，（圖示系統(tǒng)，若要求不失真?zhèn)鬏?，?）求）求R1和和R2；（；（2）求電阻與）求電阻與電容參數(shù)關(guān)系電容參數(shù)關(guān)系.（1）（2）解：解：)1()()() 1()(211221jRRRRjRRjHAjH)(若要求不失真?zhèn)鬏斎粢蟛皇д鎮(zhèn)鬏?22111222111)()2(RCjRRC

24、jRRCjRjH若要求不失真?zhèn)鬏敚瑒t若要求不失真?zhèn)鬏?，則221111RCjRCj2211RCRC121RR)()1()()1)()() 1 (2121jFjRjRjRjRjY553-4 理想低通濾波器理想低通濾波器濾波器：濾波器：分類(lèi)：分類(lèi)：56理想濾波器的頻響特性理想濾波器的頻響特性|HLP(j)|cc|HHP(j)|cc|HBP(j)|1212|HBS(j)|1212理想低通理想高通理想帶通理想帶阻57ADSL分離器58596061cctjejH010 0t f f C 為截止頻率，稱(chēng)為理想低通濾波器通頻帶。為截止頻率，稱(chēng)為理想低通濾波器通頻帶。在在0 C 的低頻段內(nèi)，傳輸信號(hào)無(wú)失真。（有

25、時(shí)延）的低頻段內(nèi)，傳輸信號(hào)無(wú)失真。（有時(shí)延） ccjH01octjeG)(2)(2cG62dejHthtj)(21)( ccdeetjtj 01210001112ccjt tjt teet tj 00sinttttccc 0ttSacc ) t (t 0ttSathcc 或或octjeGjH)(2)()(2tSaGccc)()(2occtjttSaeGoc631 1、h(t)h(t)為抽樣函數(shù)，最大值為為抽樣函數(shù)，最大值為2 2、濾波器限制輸入信號(hào)高頻成分；、濾波器限制輸入信號(hào)高頻成分；3、 t0時(shí)，時(shí)，h(t) 0 非因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)理想低通濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)；理想低通濾波器是物理不可實(shí)

26、現(xiàn)；c4、物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器，其幅頻特為物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器，其幅頻特為djH21)(lnPaley -Wiener 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 （佩利（佩利-維鈉準(zhǔn)則）維鈉準(zhǔn)則）（實(shí)際低通濾波器通過(guò)逼近實(shí)現(xiàn)）（實(shí)際低通濾波器通過(guò)逼近實(shí)現(xiàn)）h(t)h(t)有效持續(xù)時(shí)間：有效持續(xù)時(shí)間：c2（主瓣）（主瓣）64 jj1F0)(1)(2tjeGjcCCdeejjYFtgtjtj01)(21)()(1dejoccttj)(12121 0121ttSitgC jjjHFYoctjeGjH)(20sin()112cottddtttxSix0sin)(65單位階躍響應(yīng)討論：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)討論：2上升時(shí)間：響應(yīng)由最小值到最大值所經(jīng)上升時(shí)間：響應(yīng)由最小值到最大值所經(jīng)歷的時(shí)間，記作歷的時(shí)間，記作 BtCr12 CCfB 23階躍響應(yīng)上升時(shí)間與系統(tǒng)帶寬成反比。階躍響應(yīng)上升時(shí)間與系