勾股定理的證明(比較全的證明方法)（課堂PPT）

1、1325242數(shù)形結(jié)合之美2在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為 勾勾 ，下半部分稱為，下半部分稱為 股股 。我國古代學者把直角三角形。我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為較短的直角邊稱為“勾勾”，較長的直角邊稱為，較長的直角邊稱為“股股”，斜邊稱為斜邊稱為“弦弦”. .勾勾股股勾股弦的定義3勾股定理的由來這個定理在中國又稱為這個定理在中國又稱為“商高定理商高定理”，在外國稱為，在外國稱為“畢達哥拉畢達哥拉斯定理斯定理”。為什么一個定理有這么多名稱呢？商高是公元前十一世。為什么一個定理有這么多名稱呢？商高是公元前十一世紀的中國人。

2、當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。紀的中國人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。 在中國古代大約是戰(zhàn)國時期西漢的數(shù)學著作在中國古代大約是戰(zhàn)國時期西漢的數(shù)學著作周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)中記中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：錄著商高同周公的一段對話。商高說：“故折矩，故折矩，勾廣三，股修勾廣三，股修四，經(jīng)隅五四，經(jīng)隅五?！笆裁词鞘裁词恰惫?、股勾、股“呢？在中國古代，人們把彎曲成呢？在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為直角的手臂的上半部分稱為“勾勾”，下半部分稱為，下半部分稱為“股股”。商高那。商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為段話的意思就是說：當直角三角形的兩條

3、直角邊分別為3 3（短邊）（短邊）和和4 4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5 5。以后人們就簡單地把這個。以后人們就簡單地把這個事實說成事實說成“勾三股四弦五勾三股四弦五”。由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高。由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫作的話中，所以人們就把這個定理叫作 商高定理商高定理 。畢達哥拉斯（畢達哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古希臘數(shù)學家，他是公元前五世）是古希臘數(shù)學家，他是公元前五世紀的人，紀的人，比商高晚出生五百多年比商高晚出生五百多年。希臘另一位數(shù)學家歐幾。希臘另一位數(shù)學家歐幾里德（里德（Eucl

4、idEuclid，是公元前三百年左右的人）在編著，是公元前三百年左右的人）在編著幾何原本幾何原本時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個定理稱為定理稱為“畢達哥拉斯定理畢達哥拉斯定理”，以后就流傳開了，以后就流傳開了。（為了慶祝這一定理。（為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做的發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理百牛定理”）走進數(shù)學史4走進數(shù)學史5 兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人兩千多年來，人們對勾股定理

5、的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討們的生活實際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明因此不斷出現(xiàn)關(guān)于勾股定理的新證法和研究它的證明因此不斷出現(xiàn)關(guān)于勾股定理的新證法1 1傳說中畢達哥拉斯的證法傳說中畢達哥拉斯的證法2 2趙爽弦圖的證法趙爽弦圖的證法4 4美國第美國第2020任總統(tǒng)茄菲爾德的證法任總統(tǒng)茄菲爾德的證法3 3劉徽的證法劉徽的證法勾股定理的證明勾股定理的證明5 5其他證法其他證法6勾股定理是幾何學中的明珠，勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人所以它充滿魅力，千百年來，人們對

6、它的證明趨之若騖，其中有們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者，有普通的老百姓，也有尊好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng)。貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng)。也許是因為勾股定理既重要又簡也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論次地反復被人炒作，反復被人論證。有資料表明，關(guān)于勾股定理證。有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有的證明方法已有500500余種，僅我余種，僅我國清末數(shù)學家華蘅芳就提供了二國清末數(shù)學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。十多種精彩的證法。

7、 在這數(shù)百種證明方法中，有在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常的因為證明者身份的特殊而非常著名。著名。 現(xiàn)在在網(wǎng)絡上看到較多的是現(xiàn)在在網(wǎng)絡上看到較多的是1616種種, ,包括前面的包括前面的6 6種種, ,還有還有: :返回7 這棵樹漂亮嗎？如果在樹上掛上這棵樹漂亮嗎？如果在樹上掛上幾串彩色燈泡，再掛上些小鈴鐺、小幾串彩色燈泡，再掛上些小鈴鐺、小彩球、小禮盒、小的圣誕老人，是不彩球、小禮盒、小的圣誕老人，是不是更像一棵圣誕樹是更像一棵圣誕樹 也許有人會問：也許有人會問：“它與勾股定理它與勾股定理有什么關(guān)系嗎？有什么關(guān)系嗎？

8、”仔細看看，你會發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹仔細看看，你會發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹干和樹枝上，整棵樹都是由下方的這干和樹枝上，整棵樹都是由下方的這個基本圖形組成的：個基本圖形組成的：一個直角三角形一個直角三角形以及分別以它的每邊為一邊向外所作以及分別以它的每邊為一邊向外所作的正方形的正方形 這個圖形有什么作用呢？不要小看它哦！古希臘的數(shù)學家畢達這個圖形有什么作用呢？不要小看它哦！古希臘的數(shù)學家畢達哥拉斯就是利用這個圖形驗證了勾股定理哥拉斯就是利用這個圖形驗證了勾股定理 8 關(guān)于勾股定理的證明，現(xiàn)在人類保存下來的最早的關(guān)于勾股定理的證明，現(xiàn)在人類保存下來的最早的文字資料是歐幾里得（公元前文字資料是歐幾里得（公元前300

9、年左右）所著的年左右）所著的幾幾何原本何原本第一卷中的命題第一卷中的命題47：“直角三角形斜邊上的正直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個正方形之和方形等于兩直角邊上的兩個正方形之和”其證明是用其證明是用面積來進行的面積來進行的傳說中畢達哥拉斯的證法傳說中畢達哥拉斯的證法已知：如圖，以在已知：如圖，以在RtABC中，中，ACB=90，分別以，分別以a、b、c為為邊向外作正方形邊向外作正方形 求證：求證：a2 +b2=c29數(shù)學故事鏈接數(shù)學故事鏈接 相傳兩千五百年前，一次畢達哥拉斯去相傳兩千五百年前，一次畢達哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面

10、反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學們，映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什我們也來觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？么？探索勾股定理探索勾股定理10數(shù)學家畢達哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：數(shù)學家畢達哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：A、B、C的面積有什么關(guān)系？的面積有什么關(guān)系？SA+SB=SCABC探索勾股定理11ABCS SA A=a=a2 2S SB B=b=b2 2S SC C=c=c2 2abca2+b2=c2設：直角三角形的三邊長分別是設：直角三角形的三邊長分別是a、b、c猜想猜想:兩直角邊兩直角邊a、b與斜邊與斜邊c 之間的關(guān)系？之間的關(guān)系？SA+SB=SC探索勾股定理返

11、回12 S矩形矩形ADNM2SADC又又正方形正方形ACHK和和ABK同底（同底（AK）、等高（即等高（即平行線平行線AK和和BH間的距離），間的距離）， S正方形正方形ACHK2SABK ADAB，ACAK，CADKAB， ADC ABK 由此可得由此可得S矩形矩形ADNMS正方形正方形ACHK 同理可證同理可證S矩形矩形MNEBS正方形正方形CBFG S矩形矩形ADNMS矩形矩形MNEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG 即即S正方形正方形ADEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG ， 也就是也就是 a2+b2=c2傳說中畢達哥拉斯的證法傳說中畢達哥拉斯的證法證明：從證

12、明：從RtABC的三邊向外各作一個正方形（如圖），作的三邊向外各作一個正方形（如圖），作CNDE交交AB于于M，那么正方形，那么正方形ABED被分成兩個矩形連結(jié)被分成兩個矩形連結(jié)CD和和KB返回由于矩形由于矩形ADNM和和ADC同同底（底（AD），等高，等高(即平行線即平行線AD和和CN間的距離間的距離)，13 劉徽在劉徽在九章算術(shù)九章算術(shù)中對勾股定理的證明：中對勾股定理的證明：勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也合成弦方之冪，開從其類，因就其余不移動也合成弦方之冪，開方除之，即弦也方除之，即弦也令正方形令正方形ABCD為

13、朱方，正方為朱方，正方形形BEFG為青方在為青方在BG間取一點間取一點H，使使AH=BG，裁下，裁下ADH，移至，移至CDI，裁下，裁下HGF，移至，移至IEF，是為是為“出入相補，各從其類出入相補，各從其類”，其，其余不動，則形成弦方正方形余不動，則形成弦方正方形DHFI勾股定理由此得證勾股定理由此得證 劉徽的證法劉徽的證法返回14 我國對勾股定理的證明采取的是我國對勾股定理的證明采取的是割補法，最早的形式見于公元三、四割補法，最早的形式見于公元三、四世紀趙爽的世紀趙爽的勾股圓方圖注勾股圓方圖注在這在這篇短文中，趙爽畫了一張他所謂的篇短文中，趙爽畫了一張他所謂的“弦圖弦圖”，其中每一個直角三

14、角形稱，其中每一個直角三角形稱為為“朱實朱實”，中間的一個正方形稱為，中間的一個正方形稱為“中黃實中黃實”，以弦為邊的大正方形叫，以弦為邊的大正方形叫“弦實弦實”，所以，如果以，所以，如果以a、b、c分別分別表示勾、股、弦之長，表示勾、股、弦之長，那么：那么： 趙爽弦圖的證法趙爽弦圖的證法224()2abcba 得：得： c2 =a2+ b2返回15學過幾何的人都知道勾股定理它是幾何中一個比較重要的定理，應用十分廣學過幾何的人都知道勾股定理它是幾何中一個比較重要的定理，應用十分廣泛迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有泛迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種其中，美國第二十任總統(tǒng)伽余種其

15、中，美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學史上被傳為佳話菲爾德的證法在數(shù)學史上被傳為佳話總統(tǒng)為什么會想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學家或數(shù)學愛好者？答案是否總統(tǒng)為什么會想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學家或數(shù)學愛好者？答案是否定的事情的經(jīng)過是這樣的：定的事情的經(jīng)過是這樣的：1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德他走著走著，突然發(fā)賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會

16、神地談論著什么，時而大聲爭論，時現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底而小聲探討由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形于是伽菲在干什么只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為形的兩條直角邊分別為3和和4，那么斜邊長為多

17、少呢？，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：伽菲爾德答到：“是是5呀呀”小男孩又問道：小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為如果兩條直角邊分別為5和和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？少？”伽菲爾德不加思索地回答到：伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于那斜邊的平方一定等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方”小男孩又說道：小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味心理很不是滋味 于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題他

18、經(jīng)過反于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題他經(jīng)過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法總統(tǒng)巧證勾股定理總統(tǒng)巧證勾股定理16美國第二十任美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)巧證勾股定理總統(tǒng)巧證勾股定理aabbccADCBE返回17向常春的證明方法向常春的證明方法2111()()222ABCDSabbabaab 梯梯形形22211()22111222EBCAECDABCDSSScab bcabb 四四邊邊形形梯梯形形2221111122222aabcabb 222:abc 從從而而得

19、得到到 注注:這一方法是向常春這一方法是向常春于于1994年年3月月20日構(gòu)想發(fā)日構(gòu)想發(fā)現(xiàn)的新法現(xiàn)的新法abcba-bADCBEc18 我們用拼圖的方法來說明我們用拼圖的方法來說明勾股定理是正確的勾股定理是正確的試試 一一 試試證明證明:上面的大正方形的面積為：上面的大正方形的面積為： 下面大的正方形的面積為：下面大的正方形的面積為： 從右圖中我們可以看出，這兩個正方形的從右圖中我們可以看出，這兩個正方形的邊長都是邊長都是ab，所以面積相等，即，所以面積相等，即2142cab22142abab222222114422cabcbabcab19以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.