淺談數(shù)學(xué)歸納法在高考中的應(yīng)用

1、贛南師范學(xué)院2015屆本科生畢業(yè)論文1、數(shù)學(xué)歸納法的理論基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)歸納法，人類天才的思維、巧妙的方法、精致的工具，解決無限的問題。它體現(xiàn)的是利用有限解決無限問題的思想，這一思想凝結(jié)了數(shù)學(xué)家們無限的想象力和創(chuàng)造力，這無疑形成了數(shù)學(xué)證明中一道絢麗多彩的風(fēng)景線。它的巧妙讓人回味無窮，這一思想的發(fā)現(xiàn)為后來數(shù)學(xué)的發(fā)展開辟了道路，如用有限維空間代替無限維空間（多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)）用有限過程代替無限過程（積分和無窮級(jí)數(shù)用有限項(xiàng)和答題，導(dǎo)數(shù)用差分代替）。1.1數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展歷史自古以來，人們就會(huì)想到問題的推廣，由特殊到一般、由有限到無限，可人類對(duì)無限的把握不順利。在對(duì)無窮思考的過程中，古希臘出現(xiàn)了許多悖論，

2、如芝諾悖論，在數(shù)列中為了確保結(jié)論的正確，則必須考慮無限。還有生活中一些現(xiàn)象，如烽火的傳遞，鞭炮的燃放等，觸動(dòng)了人類的思想。安提豐用圓周內(nèi)接正多邊形無窮地逼近圓的方法解決化圓為方；劉徽、祖沖之用圓內(nèi)接正多邊形去無窮地逼迫圓，無窮的問題層出不窮，后來古希臘歐幾里得對(duì)命題“素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無窮的”的證明，通過了有限去實(shí)現(xiàn)無限，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)歸納法遞推思想。但要形成數(shù)學(xué)歸納法中明確的遞推，清晰的步驟確是一件不容易的事，作為自覺運(yùn)用進(jìn)行數(shù)學(xué)證明卻是近代的事。伊本海塞姆（10世紀(jì)末）、凱拉吉（11世紀(jì)上葉）、伊本穆思依姆（12世紀(jì)末）、伊本班納（13世紀(jì)末）等都使用了歸納推理，這表明數(shù)學(xué)歸納法使用較普遍，尤其是凱

3、拉吉利用數(shù)學(xué)歸納法證明這是數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的最早證明。 接著,法國數(shù)學(xué)家萊維.本.熱爾松(13世紀(jì)末)用"逐步的無限遞進(jìn)"，即歸納推理證明有關(guān)整數(shù)命題和排列組合命題。他比伊斯蘭數(shù)學(xué)家更清楚地體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法證明的基礎(chǔ)，遞進(jìn)歸納兩個(gè)步驟。 到16世紀(jì)中葉，意大利數(shù)學(xué)家毛羅利科對(duì)與全體和全體自然數(shù)有關(guān)的命題的證明作了深入的考察在1575年，毛羅利科證明了 其中他利用了逐步推理鑄就了“遞歸推理”的思路，成為了較早找到數(shù)學(xué)歸納中“遞歸推理”的數(shù)學(xué)家，為無限的把握提供了思維。 17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家帕斯卡為數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)明作了巨大貢獻(xiàn)，他首先明確而清晰地闡述數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用程序，并完整地

4、使用數(shù)學(xué)歸納法，證明了他所發(fā)現(xiàn)的帕斯卡三角形。數(shù)學(xué)家皮亞諾提出了算術(shù)公理系統(tǒng)，用其中的歸納公理奠定數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)。帕斯卡、毛羅利科、伊本穆思依姆等都很自覺地使用歸納推理，傳承運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，但一直沒有明確的名稱，而是英國數(shù)學(xué)家德摩根在其命名上邁出了重要的一步，他曾在1838年倫敦出版的小百科全書中，建議將“歸納法（數(shù)學(xué)）”改為“逐次歸納法”，有意思的是在后來的一次無意中他無意中使用了“數(shù)學(xué)歸納法”這便成為了最早的名稱。之后，英國數(shù)學(xué)家托德亨特的代數(shù)（1866年出版）中也采用了“數(shù)學(xué)歸納法”這一名稱，從此這一名稱在英國傳播開了。1.2數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)數(shù)學(xué)家皮亞諾提出了算術(shù)公理系統(tǒng)，用其

5、中的歸納公理奠定數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)。歸納公理：由自然數(shù)組成的集合為，,若中任意自然數(shù)的后繼也屬于，則包含了全部自然數(shù)。2、數(shù)學(xué)歸納法的步驟及其類型2.1 第一數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題,如果滿足:(1) 成立；(2) 假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立；可以推出也成立，則命題對(duì)一切自然數(shù)都成立。證明:設(shè)是由滿足命題的自然數(shù)組成的集合 即是自然數(shù)集的子集,由于成立,又由(2)知 即的后繼，由皮亞諾公理的歸納公理5得因此對(duì)于一切自然數(shù)，都成立。第一數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明證明: （1）當(dāng)時(shí)，左邊=1=右邊命題成立 （2）假設(shè)時(shí)命題成立，即那么當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)命題也成立，所以原命題成立。2.2 第二

6、數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題,如果滿足:(1) 成立；(2)假設(shè)對(duì)于所有滿足的自然數(shù)成立，則也成立；那么,命題對(duì)一切自然數(shù)都成立。證明:設(shè),又設(shè)(差集)假設(shè)不空,由自然數(shù)的最小數(shù)原理, 有最小數(shù)由條件(1)知,故因此,又由條件(2)知,必有這與矛盾,所以A為空集從而,則命題對(duì)一切自然數(shù)n都成立。第二數(shù)學(xué)歸納法是第一數(shù)學(xué)歸納法的加強(qiáng)，在高考數(shù)學(xué)中不做要求，但是了解此方法很大程度上可以開拓一個(gè)學(xué)生的思維，體會(huì)其中的思想奧妙，在一定程度上可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促使學(xué)生去創(chuàng)新，與此同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。2.3 數(shù)學(xué)歸納法其他類型（1）跳躍數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時(shí)，成立，假設(shè)時(shí)成立，由此推得時(shí)，也成立，

7、那么，根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)時(shí)，成立（2）反向數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果a) 對(duì)無限多個(gè)正整數(shù)成立；b) 假設(shè)時(shí)，命題成立，則當(dāng)時(shí)命題也成立，那么根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)時(shí)，成立（3）蹺蹺板數(shù)學(xué)歸納法針對(duì)兩個(gè)與自然數(shù)有關(guān)命題a) 證明成立；b) 假設(shè)成立，遞推證明成立，即成立推出成立；又假設(shè)成立，由此遞推證明出也成立，即成立推出。于是，對(duì)于任意自然數(shù)，結(jié)論都成立3、結(jié)合高考試題體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法3.1 高考中數(shù)學(xué)歸納法題型的分析在高考數(shù)學(xué)中，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的證明一般不單獨(dú)命題，考查常常滲透到數(shù)列綜合題中，既考查推理論證能力，又考查探究思維能力。近年江西高考?jí)狠S題的數(shù)列不等式，常常會(huì)用到數(shù)學(xué)歸納法

8、，且常與放縮法有關(guān)。其他省的高考題趨勢(shì)也差不多，數(shù)學(xué)歸納法在高考中出現(xiàn)的幾種題型主要是與數(shù)列、不等式、整除相結(jié)合考察，難度不是很大，但能體現(xiàn)出解題的效率大大增加，化復(fù)雜為容易、抽象為具體，是一個(gè)非常值得考察的知識(shí)點(diǎn)。3.2 數(shù)學(xué)歸納法在代數(shù)中的應(yīng)用在高考中數(shù)學(xué)歸納法知識(shí)的考察往往是結(jié)合代數(shù)一起進(jìn)行的，而代數(shù)方面主要體現(xiàn)在數(shù)列、整除、不等式方面，但是在幾何方面也是一個(gè)命題點(diǎn)，這樣在一定程度上考察了學(xué)生的創(chuàng)新能力與想象能力，符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)。下面就這兩大方面進(jìn)行分析闡述。3.2.1數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用高考數(shù)學(xué)中結(jié)合數(shù)列來體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法是非常常見的題，有些數(shù)列的通項(xiàng)不好求，我們可以先對(duì)前面

9、幾項(xiàng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而進(jìn)行猜想，繼而用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，這不失一種很好解決問題的方法。在生活上可以將此精髓應(yīng)用，可以達(dá)到很好的效果。例2 2014·重慶卷 設(shè)，(1)若，求，及數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)若，問：是否存在實(shí)數(shù)c使得對(duì)所有成立？證明你的結(jié)論解：(1) 變下形式有 根據(jù)這個(gè)規(guī)律進(jìn)行猜想有下面用數(shù)學(xué)歸納法證明以上結(jié)論：證明：1、（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立（2）假設(shè)時(shí)命題成立 即則當(dāng)時(shí)命題也成立所以2、設(shè)則令 即解得下面用數(shù)學(xué)歸納法證明命題（1）當(dāng)時(shí)， 結(jié)論成立（2）假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即易知在(，1上為減函數(shù)，從而即再由在(，1上為減函數(shù)，得故因此當(dāng)時(shí)命題也成立綜上，存在使對(duì)所有成立3.2

10、.2數(shù)學(xué)歸納法在不等式中的應(yīng)用用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式可以有效提高解題效率，解題過程得到優(yōu)化甚至可以使避免一些具體問題或簡(jiǎn)化。直接使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行不等式的證明時(shí)，在歸納和過渡往往存在一定的困難，如果能靈活地使用不等式的傳遞性和可加性，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候使用過渡不等式和假設(shè)不等式與目標(biāo)不等式的特征關(guān)系，通過放縮常數(shù)和強(qiáng)化命題等技巧,可以順利完成歸納和過渡。同時(shí)，在利用它來解決不等式問題時(shí)首先要細(xì)心地觀察，然后大膽地進(jìn)行聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)一些內(nèi)在的聯(lián)系從而為解決問題提供了方法和途徑。例3 2014·安徽卷 設(shè)實(shí)數(shù)，整數(shù)，。(1)證明：當(dāng)且時(shí)， ；(2)數(shù)列滿足，證明：。證明：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下

11、 當(dāng)時(shí)，原不等式成立 假設(shè)時(shí)，不等式成立當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)，原不等式也成立。綜合可得，當(dāng)，時(shí)，對(duì)一切整數(shù)，不等式均成立。(2)先用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，由題設(shè)知成立；假設(shè)時(shí)，不等式成立。由易知，當(dāng)時(shí)， 由得由(1)中的結(jié)論得因此，即，所以當(dāng)時(shí)，不等式也成立。綜合可得，對(duì)一切正整數(shù)n，不等式均成立。再由可得，即綜上所述，點(diǎn)評(píng)：此高考題是用數(shù)學(xué)歸納法來證明著名不等式貝努利不等式，在一定程度上有回歸到課本上的節(jié)奏，這題出現(xiàn)在高考試題上不僅是考察數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)，更重要的體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的功效，可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，給學(xué)生想象空間，減少學(xué)生在探究未知知識(shí)時(shí)的畏懼心理。在利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，有些時(shí)候需

12、要對(duì)命題的加強(qiáng)進(jìn)而去證明，這樣就可以把一個(gè)無從下手的題目進(jìn)行處理，證得加強(qiáng)后的命題，因此原命題也成立。此方法在簡(jiǎn)答過程是由一定難度的，在學(xué)生成績水平中具有區(qū)分度，但是很有必要讓學(xué)生訓(xùn)練掌握，下面分析一個(gè)此類型的典高考題，體會(huì)下其中的思想、奧妙所在。例4 2008·遼寧卷在數(shù)列，中，且等差數(shù)列，成等比數(shù)列1) 求及由此猜測(cè)的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；2) 證明： 證明：1）略，直接寫出幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。 2）分析：由于此問右邊的式子與無關(guān)，不能直接用數(shù)學(xué)歸納法證明，因此可以加強(qiáng)結(jié)論之后再用數(shù)學(xué)歸納法證明。 當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立 現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法來證明a） 當(dāng)時(shí)，有

13、1）知，命題成立b） 假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，那么當(dāng)時(shí)由歸納假設(shè)有所以當(dāng)時(shí)命題也成立故得證。3.2.3數(shù)學(xué)歸納法在整除中的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法與整除性問題相結(jié)合，在一定程度上考察了一個(gè)學(xué)生的思維轉(zhuǎn)換的能力，同時(shí)可以體現(xiàn)出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解與掌握程度。在最近幾年里，各省未出此類題型，但是很有命題的趨勢(shì)，并且有時(shí)候技巧性很強(qiáng)，所以值得去研究學(xué)習(xí)。例5 求證能被9整除（為正整數(shù)）證明：令（1） 當(dāng)時(shí)，能被9整除，所以命題成立（2） 假設(shè)時(shí)命題成立，即能被9整除那么當(dāng)時(shí)，由假設(shè)知能被9整除，而也能被9整除所以能被9整除 因此當(dāng)時(shí)命題也成立，所以原命題正確，得證。說明：此類題型很多考生不能很好的配湊出假設(shè)結(jié)論出

14、來，那么就要加一項(xiàng)減一項(xiàng)進(jìn)行處理，對(duì)于整除本身是個(gè)抽象的問題就感覺困難，如果能找出此題的突破口，此類題就是比較好處理的。但是往往同學(xué)們很難把握到，針對(duì)這個(gè)問題，我們尋求另一種論證方法：“作差”，即求的差，其優(yōu)點(diǎn)是方法統(tǒng)一，容易顯露問題的核心，便于尋求推證的途經(jīng)，讀者可以將這兩種方法進(jìn)行比較。另證：令(1)當(dāng)時(shí)，能被9整除，所以命題成立(2)假設(shè)時(shí)命題成立，即能被9整除那么當(dāng)時(shí)，則 其中為整數(shù)所以當(dāng)時(shí)命題也成立所以原命題正確3.3數(shù)學(xué)歸納法在幾何中的應(yīng)用高考中用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題至今高考題中還沒出現(xiàn)，但是思維是活躍的，可以激發(fā)學(xué)生的空間想象潛力，在將來知識(shí)爆炸的時(shí)代，選擇優(yōu)秀的人才，用數(shù)學(xué)歸

15、納法證明幾何問題將會(huì)是很好的選擇，下面探究用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的典型試題。 例6 平面內(nèi)有條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不共點(diǎn)，求證它們：（1） 共有個(gè)交點(diǎn)；（2） 互相分割成條線段；（3） 把平面分割成個(gè)部分分析 本題利用幾何法證明比較困難，因與自然數(shù)有關(guān)，可考慮數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)合圖形，只要明確增加一條直線后發(fā)生的變化即可進(jìn)行證明。證明 （1）當(dāng)時(shí)與圖形性質(zhì)相同，命題成立。 (2) 假設(shè)時(shí)，命題成立，則當(dāng)時(shí)，考查及 增加一條直線，這一條直線與原來的條直線的關(guān)系是它們都相交，各有一個(gè)交點(diǎn)。所以又因?yàn)樵黾拥囊粭l直線被原來的條直線分割成段（即增加的個(gè)點(diǎn)把分成段）而又把原來的條直線每條多分出

16、一段（即增加的個(gè)交點(diǎn)把各交點(diǎn)所在的線段一分為二），共增加了條線段。所以又因?yàn)楸环指畛啥危慷伟言摱嗡诘牟糠制矫娣殖蓛刹糠?，總共多出個(gè)部分平面。所以，由假設(shè)易知，故時(shí)命題成立由（1）（2）知，對(duì)任何命題都成立。點(diǎn)評(píng) 利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題要語言敘述準(zhǔn)確清楚，一定要講清從到時(shí)，新增加量是多少，也就是變化的狀態(tài)。一般地，證明第二步時(shí)，常用的方法是加一法，即在原來的基礎(chǔ)上，再增加1個(gè)，進(jìn)而證明。也可以從個(gè)中分減1個(gè)來，剩下的個(gè)利用假設(shè)。4、數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)研究4.1 對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)建議數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)點(diǎn)對(duì)于第一次接觸的高中生來講是一個(gè)很難理解的抽象問題，在一定程度上會(huì)阻礙他們理解該知識(shí)點(diǎn)，因

17、此合理的教學(xué)在一定程度上會(huì)幫助學(xué)生克服面臨的困難，與此同時(shí)可以幫助學(xué)生更好把握數(shù)學(xué)歸納法的題目，奪得更高的分?jǐn)?shù)。下面提出幾點(diǎn)教學(xué)的建議，此建議是根據(jù)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2數(shù)學(xué)歸納法知識(shí)排版選題提出的。(1) 對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解是這一節(jié)的難點(diǎn)，一定要特別注意對(duì)數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的特別方法，其實(shí)它更應(yīng)該反映的是一種遞推的數(shù)學(xué)思想，先存在一個(gè)使結(jié)論成立的最小正整數(shù)，這是遞推的基礎(chǔ)，在這個(gè)基礎(chǔ)上，假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，那么久可以遞推出對(duì)所有不小于的正整數(shù)命題都成立。這是遞推的一句。有了這個(gè)一句，加上遞推的基礎(chǔ)，就可

18、以說明對(duì)所有的正整數(shù)n，命題都成立。(2) 通過教學(xué)要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可。數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，教學(xué)中要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)。如果命題只證到成立，就斷定對(duì)一切正整數(shù)n都成立，即不做第二步證明，這就是不完整歸納，不足以證明命題的正確性。但沒有第一步，也是不正確的。有些命題，如果只作第二步，完全可以做通，但事實(shí)上它們是不成立的。如。若n=k時(shí),則可推得n=k+1時(shí)，然而n=1時(shí)命題成立顯然不成立。這個(gè)例子說明，數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟是問題的兩個(gè)方面，一個(gè)是命題成立的基礎(chǔ)，另一個(gè)是遞推的依據(jù)（延續(xù)關(guān)系），二者缺一不可，教學(xué)中可以通過反例來讓學(xué)生體會(huì)這一點(diǎn)。(3) 教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)

19、學(xué)生特別注意根據(jù)題意找準(zhǔn)初始值（不是每個(gè)問題的初始值都是1）教材所給例子中雖然第一步中的起始值都是從n=1開始的，但其實(shí)n從幾開始要依據(jù)題目而論，只不過從n=1開始的題目比較普遍，難度也不太大，這一點(diǎn)教師可以依據(jù)學(xué)生情況做一補(bǔ)充。另外，在第一步驟中，只需證明n取第一個(gè)值時(shí)命題成立就可以了，無需繼續(xù)驗(yàn)證其他有限個(gè)值，因?yàn)橐坏┯辛恕暗谝粋€(gè)”的基礎(chǔ)，再有第二部遞推的依據(jù)，即保證了n取第2個(gè)，第3個(gè)值時(shí)命題的正確性。4.2 數(shù)學(xué)歸納法解題技巧（1）起點(diǎn)前移：有些時(shí)候驗(yàn)證1比較困難，可以用驗(yàn)證成立代替驗(yàn)證，當(dāng)然其他的點(diǎn)也可以向前移動(dòng)，只要符合前移的起點(diǎn)對(duì)結(jié)論成立并且容易驗(yàn)證，為了簡(jiǎn)化問題，有意向前移動(dòng)起點(diǎn)。（2）起點(diǎn)增多：有些命題在證明向這一步時(shí)，需要經(jīng)其他特殊情形作為基礎(chǔ)，此時(shí)往往需要補(bǔ)充驗(yàn)證某些特殊情形，因此需要適當(dāng)增多起點(diǎn)（3）加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，可以改變跨度來實(shí)現(xiàn)，但是這樣操作就會(huì)使起點(diǎn)增多。（4）選擇恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)方式：歸納假設(shè)不是一定要用“假設(shè)時(shí)命題成立”，我們可以根據(jù)題目的意思選取第一類、第二類、跳躍、反向數(shù)學(xué)歸納法的假設(shè)形式，靈活巧妙的處理。（5）變換命題：有些時(shí)候我們需要利用一個(gè)輔助命題來幫助完成證明，也有的時(shí)候可以改成等價(jià)命題或則將證明的結(jié)論加強(qiáng)。這樣才可以使用數(shù)學(xué)歸納法證明。參考文獻(xiàn)1 孫宏安.