2024年上海市中考數(shù)學真題試卷及答案解析

2024年上海市中考數(shù)學真題試卷及答案解析一、選擇題（每題4分，共24分）1．（4分）如果x＞y，那么下列正確的是（）A．x+5≤y+5 B．x﹣5＜y﹣5 C．5x＞5y D．﹣5x＞﹣5y2．（4分）函數(shù)的定義域是（）A．x＝2 B．x≠2 C．x＝3 D．x≠33．（4分）以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（）A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝04．（4分）科學家同時培育了甲乙丙丁四種花，從甲乙丙丁選個開花時間最短的并且最平穩(wěn)的是（）種類甲種類乙種類丙種類丁種類平均數(shù)2.32.32.83.1方差1.050.781.050.78A．甲種類 B．乙種類 C．丙種類 D．丁種類5．（4分）四邊形ABCD為矩形，過A、C作對角線BD的垂線，過B、D作對角線AC的垂線．如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（）A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形6．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，點P在ABC內，分別以ABP為圓心畫圓，圓A半徑為1，圓B半徑為2，圓P半徑為3，圓A與圓P內切，圓P與圓B的關系是（）A．內含 B．相交 C．外切 D．相離二、填空題（每題4分，共48分）7．（4分）計算：（4x2）3＝．8．（4分）計算：（a+b）（b﹣a）＝．9．（4分）已知，則x＝．10．（4分）科學家研發(fā)了一種新的藍光唱片，一張藍光唱片的容量約為2×105GB，一張普通唱片的容量約為25GB，則藍光唱片的容量是普通唱片的倍．（用科學記數(shù)法表示）11．（4分）若正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點（7，﹣13），則y的值隨x的增大而.（選填“增大”或“減小”）12．（4分）在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，則∠BAC＝°．13．（4分）某種商品的銷售量y（萬元）與廣告投入x（萬元）成一次函數(shù)關系，當投入10萬元時銷售額1000萬元，當投入90萬元時銷售量5000萬元．則投入80萬元時，銷售量為萬元．14．（4分）一個袋子中有若干個白球和綠球，它們除了顏色外都相同．隨機從中摸一個球，恰好摸到綠球的概率是，則袋子中至少有個綠球．15．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為對角線AC上一點，設，若AE＝2EC，則＝（結果用含，的式子表示）．16．（4分）博物館為展品準備了人工講解、語音播報和AR增強三種講解方式，博物館共回收有效問卷1000張，其中700人沒有講解需求，剩余300人中需求情況如圖所示（一人可以選擇多種）．那么在總共2萬人的參觀中，需要AR增強講解的人數(shù)約有人．17．（4分）在平行四邊形ABCD中，∠ABC是銳角，將CD沿直線l翻折至AB所在直線，對應點分別為C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，則cos∠ABC＝．18．（4分）對于一個二次函數(shù)y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一點P（x′，y′），使得x′﹣m＝y(tǒng)′﹣k≠0，則稱2|x′﹣m|為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為．三、簡答題（共78分，其中第19～22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分）19．（10分）計算：．20．（10分）解方程組：．21．（10分）在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)且k≠0）上有一點A（﹣3，m），且與直線y＝﹣2x+4交于另一點B（n，6）．（1）求k與m的值；（2）過點A作直線l∥x軸與直線y＝﹣2x+4交于點C，求sin∠OCA的值．22．（10分）同學用兩幅三角板拼出了如圖的平行四邊形，且內部留白部分也是平行四邊形（直角三角板互不重疊）．（1）求：①兩個直角三角形的直角邊（結果用h表示）；②平行四邊形的底、高和面積（結果用h表示）；（2）請畫出同學拼出的另一種符合題意的圖，要求：①不與給定的圖形狀相同；②畫出三角形的邊．23．（12分）如圖所示，在矩形ABCD中，E為邊CD上一點，且AE⊥BD．（1）求證：AD2＝DE?DC；（2）F為線段AE延長線上一點，且滿足，求證：CE＝AD．24．（12分）在平面直角坐標系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和B（5，0）．（1）求平移后新拋物線的表達式；（2）直線x＝m（m＞0）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q；①如果PQ小于3，求m的取值范圍；②記點P在原拋物線上的對應點為P′，如果四邊形P′BPQ有一組對邊平行，求點P的坐標．25．（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，點E在邊AB上，且．（1）如圖1所示，點F在邊CD上，且，聯(lián)結EF，求證：EF∥BC；（2）已知AD＝AE＝1；①如圖2所示，聯(lián)結DE，如果△ADE外接圓的圓心恰好落在∠B的平分線上，求△ADE的外接圓的半徑長；②如圖3所示，如果點M在邊BC上，聯(lián)結EM、DM、EC，DM與EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM?DN，求邊CD的長．

2024年上海市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題4分，共24分）1．（4分）如果x＞y，那么下列正確的是（）A．x+5≤y+5 B．x﹣5＜y﹣5 C．5x＞5y D．﹣5x＞﹣5y【分析】利用不等式的性質逐項判斷即可．【解答】解：如果x＞y，兩邊同時加上5得x+5＞y+5，則A不符合題意；如果x＞y，兩邊同時減去5得x﹣5＞y﹣5，則B不符合題意；如果x＞y，兩邊同時乘5得5x＞5y，則C符合題意；如果x＞y，兩邊同時乘﹣5得﹣5x＜﹣5y，則D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查不等式的性質，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．2．（4分）函數(shù)的定義域是（）A．x＝2 B．x≠2 C．x＝3 D．x≠3【分析】根據(jù)題意可得x﹣3≠0，解得x的取值范圍即可．【解答】解：由題意得x﹣3≠0，解得：x≠3，故選：D．【點評】本題考查函數(shù)自變量的取值范圍，結合已知條件列得正確的算式是解題的關鍵．3．（4分）以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（）A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0【分析】求出x2﹣6x＝0的根為x＝0或x＝6，x2﹣9＝0的根為x＝3或x＝﹣3，可知A，B不符合題意；由x2﹣6x+6＝0得Δ＝36﹣24＝12＞0，知C不符合題意；由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0，知D符合題意．【解答】解：x2﹣6x＝0的根為x＝0或x＝6，∴x2﹣6x＝0有兩個不等實數(shù)根，故A不符合題意；x2﹣9＝0的根為x＝3或x＝﹣3，∴x2﹣9＝0有兩個不等實數(shù)根，故B不符合題意；由x2﹣6x+6＝0知Δ＝36﹣24＝12＞0，∴x2﹣6x+6＝0有兩個不等實數(shù)根，故C不符合題意；由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0，∴x2﹣6x+9＝0有兩個相等實數(shù)根，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查解一元二次方程和一元二次方程的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程有兩個相等實數(shù)根需滿足Δ＝0．4．（4分）科學家同時培育了甲乙丙丁四種花，從甲乙丙丁選個開花時間最短的并且最平穩(wěn)的是（）種類甲種類乙種類丙種類丁種類平均數(shù)2.32.32.83.1方差1.050.781.050.78A．甲種類 B．乙種類 C．丙種類 D．丁種類【分析】先找出平均數(shù)小的種類，再根據(jù)方差的意義即可得出答案．【解答】解：∵甲種類和乙種類開花時間最短，∴從甲種類和乙種類進行選，∵甲的方差大于乙的方差，∴開花時間最短的并且最平穩(wěn)的是乙種類．故選：B．【點評】本題考查了方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．5．（4分）四邊形ABCD為矩形，過A、C作對角線BD的垂線，過B、D作對角線AC的垂線．如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（）A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形【分析】根據(jù)矩形的性質得到AC＝BD，S△ABC＝S△BCD＝S△ADC＝S△BAD，根據(jù)三角形的面積公式得到AE＝BF＝CG＝DH，再根據(jù)菱形的判定定理判斷即可．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AC＝BD，S△ABC＝S△BCD＝S△ADC＝S△BAD，∵AE⊥BD，BF⊥AC，CG⊥BD，DH⊥AC，∴AE＝BF＝CG＝DH，∴四個垂線可以拼成一個菱形，故選：A．【點評】本題考查的是矩形的性質、菱形的判定、三角形的面積計算，熟記四條邊相等的四邊形是菱形是解題的關鍵．6．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，點P在ABC內，分別以ABP為圓心畫圓，圓A半徑為1，圓B半徑為2，圓P半徑為3，圓A與圓P內切，圓P與圓B的關系是（）A．內含 B．相交 C．外切 D．相離【分析】根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結合，即可得到答案．【解答】解：∵圓A半徑為1，圓P半徑為3，圓A與圓P內切，∴圓A含在圓P內，即PA＝3﹣1＝2，∴P在以A為圓心、2為半徑的圓與△ABC邊相交形成的弧上運動，如圖所示：∴當?shù)絇'位置時，圓P與圓B圓心距離PB最大，為，∵，∴圓P與圓B相交，故選：B．【點評】本題考查圓與圓的位置關系，點與圓的位置關系，涉及勾股定理，熟記圓的位置關系是解決問題的關鍵．二、填空題（每題4分，共48分）7．（4分）計算：（4x2）3＝64x6．【分析】冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘．【解答】解：（4x2）3＝64x6，故答案為：64x6．【點評】本題考查了冪的乘方，熟練掌握運算性質和法則是解題的關鍵．8．（4分）計算：（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2．【分析】根據(jù)平方差公式進行計算即可．【解答】解：（a+b）（b﹣a）＝（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2，2024年上海市中考數(shù)學真題試卷及答案解析故答案為：b2﹣a2．【點評】本題考查平方差公式，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．9．（4分）已知，則x＝1．【分析】根據(jù)算術平方根的定義，進行計算．【解答】解：∵，∴2x﹣1＝1，∴x＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了算術平方根的定義，利用兩邊平方進行解題即可．10．（4分）科學家研發(fā)了一種新的藍光唱片，一張藍光唱片的容量約為2×105GB，一張普通唱片的容量約為25GB，則藍光唱片的容量是普通唱片的8×103倍．（用科學記數(shù)法表示）【分析】利用科學記數(shù)法的定義列式計算即可．【解答】解：2×105＝200000，則200000÷25＝8000＝8×103，即藍光唱片的容量是普通唱片的8×103倍，故答案為：8×103．【點評】本題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，結合已知條件列得正確的算式是解題的關鍵．11．（4分）若正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點（7，﹣13），則y的值隨x的增大而減小.（選填“增大”或“減小”）【分析】利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可求出k的值，由k＝﹣＜0，利用正比例函數(shù)的性質，可得出y的值隨x的增大而減?。窘獯稹拷猓骸哒壤瘮?shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點（7，﹣13），∴﹣13＝7k，解得：k＝﹣．∵k＝﹣＜0，∴y的值隨x的增大而減小．故答案為：減?。军c評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及正比例函數(shù)的性質，牢記“當k＞0時，y隨x的增大而增大；當k＜0時，y隨x的增大而減小”是解題的關鍵．12．（4分）在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，則∠BAC＝57°．【分析】由菱形的性質得到AB＝BC，推出∠BAC＝∠BCA，而∠ABC＝66°，由三角形內角和定理即可求出∠BAC的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠ABC＝66°，∴∠BAC＝（180°﹣66°）＝57°．故答案為：57．【點評】本題考查菱形的性質，關鍵是由菱形的性質推出AB＝BC．13．（4分）某種商品的銷售量y（萬元）與廣告投入x（萬元）成一次函數(shù)關系，當投入10萬元時銷售額1000萬元，當投入90萬元時銷售量5000萬元．則投入80萬元時，銷售量為4500萬元．【分析】設y＝ke+b，根據(jù)當投入10萬元時銷售額1000萬元，當投入90萬元時銷售量5000萬元，可得y＝50x+500，令x＝80得y＝50×80+500＝4500．【解答】解：設y＝ke+b，∵當投入10萬元時銷售額1000萬元，當投入90萬元時銷售量5000萬元，∴，解得，∴y＝50x+500，當x＝80時，y＝50×80+500＝4500，故答案為：4500．2024年上海市中考數(shù)學真題試卷及答案解析【點評】本題考查一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式．14．（4分）一個袋子中有若干個白球和綠球，它們除了顏色外都相同．隨機從中摸一個球，恰好摸到綠球的概率是，則袋子中至少有3個綠球．【分析】直接由概率公式即可得出結論．【解答】解：∵一個袋子中有若干個白球和綠球，隨機從中摸一個球，恰好摸到綠球的概率是，∴袋子中至少有3個綠球，故答案為：3．【點評】本題考查了概率公式：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．熟記概率公式是解題的關鍵．15．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為對角線AC上一點，設，若AE＝2EC，則＝（結果用含，的式子表示）．【分析】由AE＝2EC得出，再根據(jù)平面向量三角形運算法則求出，再由平行四邊形的性質即可得出結果．【解答】解：∵，AE＝2CE，∴，又∵，∴＝，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴＝，故答案為：．【點評】本題考查了平面向量，平行四邊形的性質，熟記平面向量的三角形運算法則是解題的關鍵．16．（4分）博物館為展品準備了人工講解、語音播報和AR增強三種講解方式，博物館共回收有效問卷1000張，其中700人沒有講解需求，剩余300人中需求情況如圖所示（一人可以選擇多種）．那么在總共2萬人的參觀中，需要AR增強講解的人數(shù)約有2000人．【分析】用總人數(shù)乘以需要AR增強講解的人數(shù)所占的百分比即可．【解答】解：在總共2萬人的參觀中，需要AR增強講解的人數(shù)約有20000××＝2000（人）．故答案為：2000．【點評】本題考查了條形統(tǒng)計圖，要充分運用數(shù)形結合思想來解決由統(tǒng)計圖形式給出的數(shù)學實際問題．17．（4分）在平行四邊形ABCD中，∠ABC是銳角，將CD沿直線l翻折至AB所在直線，對應點分別為C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，則cos∠ABC＝或．【分析】分別考慮C'在AB之間時和C′在BA的延長線上時兩種情況，根據(jù)題意假設出每條線段的長度，根據(jù)翻折的性質可知各個角之間的關系，即可求解．【解答】解：當C′在AB之間時，如圖，根據(jù)AC'：AB：BC＝1：3：7，不妨設AC'＝1，AB＝3，BC＝7，由翻折的性質知：∠FCD＝∠FC'D'，∵CD沿直線l翻折至AB所在直線，∴∠BC′F+∠FC′D′＝∠FCD+∠FBA，∴∠BC′F＝∠FBA，∴，過F作AB的垂線交于E，∴，∴，當C′在BA的延長線上時，如圖，根據(jù)AC′：AB：BC＝1：3：7，不妨設AC'＝1，AB＝3，BC＝7，同理知：，過點F作AB的垂線交于E，∴，∴，故答案為：或．【點評】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質，求余弦值，等腰三角形的判定及性質，解題的關鍵是利用分類討論的思想進行求解．18．（4分）對于一個二次函數(shù)y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一點P（x′，y′），使得x′﹣m＝y(tǒng)′﹣k≠0，則稱2|x′﹣m|為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為4．【分析】先將拋物線化為頂點式，再根據(jù)題意即可求得拋物線“開口大小”．【解答】解：∵拋物線＝﹣（x﹣）2+，∴x′﹣＝﹣（x′﹣）2+﹣，解得x′﹣＝﹣2，∴拋物線“開口大小”為2|x′﹣|＝2×|﹣2|＝4，故答案為：4．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，利用新定義解答．三、簡答題（共78分，其中第19～22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分）19．（10分）計算：．【分析】先化簡絕對值，二次根式，零指數(shù)冪，再根據(jù)實數(shù)的運算法則進行計算．【解答】解：＝＝＝．【點評】本題考查了絕對值，二次根式，零指數(shù)冪等，掌握化簡法則是解題的關鍵．20．（10分）解方程組：．【分析】由①得出（x﹣4y）（x+y）＝0，求出x﹣4y＝0或x+y＝0，求出x＝4y或x＝﹣y，把x＝4y代入②得出4y+2y＝6，求出y＝1，求出x，再把x＝﹣y代入②得出﹣y+2y＝6，再求出x即可．【解答】解：，由①，得（x﹣4y）（x+y）＝0，x﹣4y＝0或x+y＝0，x＝4y或x＝﹣y，把x＝4y代入②，得4y+2y＝6，解得：y＝1，2024年上海市中考數(shù)學真題試卷及答案解析即x＝4×1＝4；把x＝﹣y代入②，得﹣y+2y＝6，解得：y＝6，即x＝﹣6，所以方程組的解是，．【點評】本題考查了解高次方程，能根據(jù)x2﹣3xy﹣4y2＝0求出x﹣4y＝0或x+y＝0是解此題的關鍵．21．（10分）在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)且k≠0）上有一點A（﹣3，m），且與直線y＝﹣2x+4交于另一點B（n，6）．（1）求k與m的值；（2）過點A作直線l∥x軸與直線y＝﹣2x+4交于點C，求sin∠OCA的值．【分析】（1）將點B坐標代入一次函數(shù)解析式求出n，再將點B坐標代入反比例函數(shù)解析式求出k值，最后將點A坐標代入反比例函數(shù)解析式求出m即可；（2）求出點C坐標，根據(jù)正弦函數(shù)定義直接寫出結果即可．【解答】解：（1）點B（n，6）在直線y＝﹣2x+4圖象上，∴﹣2n+4＝6，解得n＝﹣1，∴B（﹣1，6），∵B（﹣1，6）在反比例函數(shù)圖象上，∴k＝﹣6，∴反比例函數(shù)解析式為y＝﹣，∵點A（﹣3，m）在反比例函數(shù)圖象上，∴m＝﹣＝2．∴m＝2．（2）在函數(shù)y＝﹣2x+4中，當y＝2時，x＝1，∴C（1，2），∴OC＝，∴sin∠OCA＝＝．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，交點坐標滿足兩個函數(shù)解析式是關鍵．22．（10分）同學用兩幅三角板拼出了如圖的平行四邊形，且內部留白部分也是平行四邊形（直角三角板互不重疊）．（1）求：①兩個直角三角形的直角邊（結果用h表示）；②平行四邊形的底、高和面積（結果用h表示）；（2）請畫出同學拼出的另一種符合題意的圖，要求：①不與給定的圖形狀相同；②畫出三角形的邊．【分析】（1）①解直角三角形即可求解；②由題意可知四邊形MNGH是矩形，利用線段的和差可求出矩形的邊長，進而可求出面積；（2）根據(jù)題意畫出圖形即可．【解答】解：（1）①如圖，△ABC為等腰直角三角板，∠ACB＝90°，則，如圖，△DEF為含30°的直角三角形板，∠DEF＝90°，∠F＝30°，D＝60°，則EF＝2h，；綜上，等腰直角三角板直角邊為，含30°的直角三角形板直角邊為2h和；②由題意可知∠MNG＝∠NGH＝∠GHM＝∠HMN＝90°，∴四邊形MNGH是矩形，由圖可得，，，∴，故小平行四邊形的底為，高為，面積為，（2）如圖，即為所作圖形．【點評】本題考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面積，圖形設計，正確識圖是解題的關鍵．23．（12分）如圖所示，在矩形ABCD中，E為邊CD上一點，且AE⊥BD．（1）求證：AD2＝DE?DC；（2）F為線段AE延長線上一點，且滿足，求證：CE＝AD．【分析】（1）由矩形性質得到∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，由角的互余得到∠ABD＝∠DAE，從而確定△ADE∽△BAD，利用相似三角形性質得到AD2＝DE?DC；（2）由矩形性質，結合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質得到OA＝OD＝EF＝CF，∠ODA＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，進而由三角形全等的判定與性質即可得到．【解答】證明：（1）∵矩形ABCD，∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠DAE，∵∠BAD＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△BAD，∴，∴AD2＝DE?BA，∵AB＝DC，∴AD2＝DE?DC；（2）連接AC，交BD于點O，∵矩形ABCD，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠AED，∵∠FEC＝∠AED，∴∠ADO＝∠FEC，∵矩形ABCD，∴，∴，2024年上海市中考數(shù)學真題試卷及答案解析∴OA＝OD＝EF＝CF，∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，∵∠ADO＝∠FEC，∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE，在△ODA和△FEC中，，∴△ODA≌△FEC（AAS），∴CE＝AD．【點評】本題考查了矩形綜合，涉及矩形性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握相關幾何性質與判定是解決問題的關鍵．24．（12分）在平面直角坐標系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和B（5，0）．（1）求平移后新拋物線的表達式；（2）直線x＝m（m＞0）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q；①如果PQ小于3，求m的取值范圍；②記點P在原拋物線上的對應點為P′，如果四邊形P′BPQ有一組對邊平行，求點P的坐標．【分析】（1）設平移拋物線后得到的新拋物線為，把和B（5，0）代入，可得答案；（2）①如圖，設，則，，結合PQ小于3，可得，結合x＝m（m＞0），從而可得答案；②先確定平移方式為：向右平移2個單位，向下平移3個單位，由題意可得：P在B的右邊，當BP′∥PQ時，可得，結合平移的性質可得答案如圖，當P′Q∥BP時，則∠P′QT＝∠BPT，過P'作P′S⊥QP于S，證明△P'SQ∽△BTP，可得，設，則，，，再建立方程求解即可．【解答】解：（1）設平移拋物線后得到的新拋物線為，把和B（3，0）代入，可得：，解得：，∴新拋物線為；（2）①如圖，設，則，∴，∵PQ小于3，∴，∴x＜1，∵x＝m（m＞0），∴0＜m＜1；②，∴平移方式為：向右平移2個單位，向下平移3個單位，由題意可得：P在B的右邊，當BP′∥PQ時，∴BP′⊥x軸，∴xP′＝xB＝5，∴，由平移的性質可得：，即；如圖，當P′Q∥BP時，則∠P′QT＝∠BPT，過P′作P′S⊥QP于S，∴∠P'SQ＝∠BTP＝90°，∴△P'SQ∽△BTP，∴，設，則，，，∴，解得：x＝1（不符合題意舍去）；綜上：．【點評】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質，相似三角形的判定與性質，熟練的利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵．25．（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，點E在邊AB上，且．（1）如圖1所示，點F在邊CD上，且，聯(lián)結EF，求證：EF∥BC；（2）已知AD＝AE＝1；①如圖2所示，聯(lián)結DE，如果△ADE外接圓的圓心恰好落在∠B的平分線上，求△ADE的外接圓的半徑長；②如圖3所示，如果點M在邊BC上，聯(lián)結EM、DM、EC，DM與EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM?DN，求邊CD的長．【分析】（1）添加輔助線，轉移比例線段，得到，從而證出EF∥BC；（2）利用三角形外接圓得性質得出△AOE≌△AOD，再根據(jù)BO平分∠ABC得出∠AOB＝90，然后得出相似，求出半徑OA的長度；（3）最后一問難度較大，首先將條件轉化成線段和角度關系，由CD2＝DM?DN，很容易找到△DCN∽△DMC，再根據(jù)這個相似結論證出△BEM∽△BPC，多組相似轉化，再利用勾股定理建立方程，求出未知數(shù)．【解答】（1）證明：延長DE和CB交于點G，∵AD∥BC，∴，∵AE＝AB，DF＝∴，，∴，∴EF∥BC．（2）①記點O為△ADE外接圓圓心，過點O作OF⊥AE于點F，連接OA，OD，OE．∵點O為△ADE外接圓的圓心，∴OA＝OE＝OD，∴AF＝EF＝AE＝，∵AE＝AB，∴AB＝3AE＝3，∵AE＝AD，0E＝OD，OA＝OA，∴△AOE≌△AOD（SSS），∴∠EAO＝∠DAO，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵AD∥BC，2024年上海市中考數(shù)學真題試卷及答案解析∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴2∠EAO+2∠ABO＝180°，即∠EAO+∠ABO＝90°，∴∠AOB＝90°，∵OF⊥AE，∴∠AFO＝∠AOB＝90°，∵∠FAO＝∠OAB，∴△FAO∽△OAB，∴，即AO2＝AF?AB＝，∴AO＝，∴△ADE外接圓半徑為．②延長BA，CD交于點P，過點E作EQ⊥BC，垂足為點Q．∵AD∥BC，∴△PAD∽△PBC，∴，由①知AB＝3，∴，∴PA＝1，∵CD2＝DM?DN，∴，∵∠CDN＝∠MDC，∴△DCN∽△DMC，∴∠DCN＝∠CMD，∵∠DMC＝∠CEM，∴∠CEM＝∠DCN，∴EM∥CD，∴，由AB＝3，AE＝1得，BE＝2，∴，∴BM＝MC＝2，∴△BEM∽△BPC，∴，設ME＝2a，則PC＝4a，∵AD∥BC，∴，∴PD＝a，DC＝3a，∵EM∥CD，∴△ENM∽△CND，∴，設EN＝2b，則CN＝3b，∵∠DMC＝∠CEM，∠ECM＝∠MCN，∴△CNM∽△CME，∴，即CM2＝CN?CE，∴4＝3b?5b，解得b＝，∴CE＝，在Rt△BQE中，由勾股定理可得：BE2﹣BQ2＝CN2﹣CQ2，∴4﹣BQ2＝（）2﹣（4﹣BQ）2，解得BQ＝，∴EQ2＝BE2﹣BQ2＝，∵QM＝BM﹣BQ＝2﹣＝，∴在Rt△EQM中，由勾股定理可得，EM＝，∵，∴DC＝．【點評】本題主要考查了圓的綜合題，同時也考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質，三角形的外接圓等知識點，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．1、一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）和常值函數(shù)，它們所對應的圖像是直線；2、反比例函數(shù)，它所對應的圖像是雙曲線；3、二次函數(shù)，它所對應的圖像是拋物線。求已知函數(shù)的解析式主要方法是待定系數(shù)法，關鍵是求點的坐標，而求點的坐標基本方法是幾何法（圖形法）和代數(shù)法（解析法）。常聽人說“中考數(shù)學壓軸題”，特別是18、24、25題，久而久之，都讓大家有點“聞風色變”了。中考既是初中的學業(yè)結業(yè)考試，又承擔著為高中選拔人才的任務。所以考試性質決定了，它不能太難，還必須要有區(qū)分度。其中，擔任“篩人”任務的就是18、24、25這三道壓軸題（上海中考），其他題目，中等水平的初中畢業(yè)生都問題不大（但是要細心、手穩(wěn)）。

有人說，18題考“旋轉、翻折”，一般有兩個答案。24題考二次函數(shù)的圖像，結合相似。25題是幾何綜合大題。如果我們把相關“題型”研究透了，是不是就能“搞定壓軸題”呢？

其實不然，中考壓軸題，它不是一種題型，而是一種能力。

首先告訴各位同學二次函數(shù)是中考必考內容之一，往往也是中考數(shù)學的壓軸大戲。涉及題目數(shù)量一般3-4題，其中有1-2道大題．所占分值大約25分左右．

二次函數(shù)在中考數(shù)學中常常作為壓軸題，而在壓軸題中，一般都設計成三至四小問，其中第一、二小問比較簡單，最后一至兩問難度很大。

二次函數(shù)在考查時，往往會與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、圓、三角形、四邊形相結合，綜合性很強，技巧性也很強，同時計算量一般很大，加上二次函數(shù)本身就比較抽象，這就導致了題目得分率非常低。其實我們只要能熟練掌握二次函數(shù)的基本知識，同時掌握一些常見的題型，提高對于二次函數(shù)的得分，不是什么難事，多多練習，多多總結。

【考點揭秘】

二次函數(shù)與動點問題的背景是特殊圖形，考查問題也是二次函數(shù)的有個性質和特殊圖形的性質，體現(xiàn)的數(shù)學思想方法主要是數(shù)形結合思想和分類討論思想，所以要把握好一般與特殊的關系；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。）從總體上來看，中考數(shù)學壓軸題通常有3小問，其中第一問比較簡單，中等水平的學生能夠比較輕易