導(dǎo)線網(wǎng)條件平差計算

1、§3-3 導(dǎo)線網(wǎng)條件平差計算2學(xué)時導(dǎo)線網(wǎng)，包括單一附合導(dǎo)線、單一閉合導(dǎo)線和結(jié)點導(dǎo)線網(wǎng)，是目前較為常用的控制測量布設(shè)方式之一，其觀測值有長度觀測值和角度觀測值。在本節(jié)中我們主要討論單一導(dǎo)線的平差計算，先討論單一附合導(dǎo)線問題。一單一附合導(dǎo)線條件平差如圖3-6所示，在這個導(dǎo)線中有四個已知點、n -1個未知點、n+1個水平角觀測值和n條邊長觀測值，總觀測值數(shù)為2n+1。從圖中可以分析，要確定一個未知點的坐標(biāo)，必須測一條導(dǎo)線邊和一個水平角，即需要兩個觀測值；要確定全部n -1個未知點，則需觀測n -1個導(dǎo)線邊和n -1個水平角，即必要觀測值數(shù)t = 2n -2；則多余觀測個數(shù)r = (2n +

2、1) t = 3。也就是說，在單一附合導(dǎo)線中，只有三個條件方程。下面討論其條件方程式及改正數(shù)條件方程式的寫法。設(shè)AB邊方位角已知值為TAB = T0，CD邊方位角已知值為TCD、計算值為Tn+1，B點坐標(biāo)的已知值為(,)或者(x1, y1)，C點坐標(biāo)的已知值為(,)、計算值為(xn+1, yn+1)。三個條件中，有一個方位角附合條件、兩個坐標(biāo)附合條件。方位角附合條件：從起始方位角推算至終邊的方位角平差值應(yīng)等于其已知值，即 (3-3-1)縱橫坐標(biāo)附合條件：從起始點推算至終點所得到的坐標(biāo)平差值應(yīng)與終點的已知坐標(biāo)值相等，即 (3-3-2) (3-3-3)1.方位角附合條件式則(3-3-1)式可寫為整

3、理得 (3-3-4)其中2.縱坐標(biāo)附合條件式終點C坐標(biāo)平差值表示為 (3-3-5)而第i邊的坐標(biāo)增量為 (3-3-6)式中其中Ti是第i邊的近似坐標(biāo)方位角 (3-3-7)則（3-3-6）式可表示為上式按泰勒級數(shù)展開，取至一次項，得 (3-3-8)其中，為由觀測值計算出的近似坐標(biāo)增量。(3-3-8)式代入(3-3-5)式，并按v i合并同類項得上式代入（3-3-2）式，整理得上式即為縱坐標(biāo)條件方程式，也可寫為統(tǒng)一形式： (3-3-9) (3-3-10)3.橫坐標(biāo)附合條件式可以仿照縱坐標(biāo)條件推導(dǎo)過程（請同學(xué)們自己具體推導(dǎo)一下），寫出橫坐標(biāo)條件式 (3-3-11) (3-3-12)為使計算方便，保證

4、精度，在實際運(yùn)算中，S、x、y常以米為單位，w、vS、v以厘米為單位，則（3-3-9）和（3-3-11）寫為 (3-3-13) (3-3-14)綜上所述，單一附合導(dǎo)線的平差計算的基本程序是：(1)計算各邊近似方位角Ti和各點的近似坐標(biāo)增量值xi、yi；(2)參照（3-3-4）寫出方位角條件式，參照（3-3-9）、（3-3-10）、（3-3-11）、（3-3-12）或者（3-3-13）、（3-3-14）寫出縱橫坐標(biāo)條件方程式；(3)按照條件平差計算的一般程序，計算最或是值并進(jìn)行精度評定。二單一閉合導(dǎo)線條件平差單一閉合導(dǎo)線是單一附合導(dǎo)線的特殊情況，只要將圖3-6中的B和C、A和D分別重合，就可得到

5、圖3-7所示的閉合導(dǎo)線。圖中有一個已知點和n-1個待定點，觀測了n個轉(zhuǎn)折角和n+1條導(dǎo)線邊。為了定向，還觀測了一個連接角1。不難分析，閉合導(dǎo)線中也只有三個多余觀測值，產(chǎn)生三個條件式。由于沒有多余起算數(shù)據(jù)，因此沒有附合條件，只有閉合條件，這一點是與單一附合導(dǎo)線不同的。1.多邊形內(nèi)角和閉合條件由于導(dǎo)線網(wǎng)構(gòu)成了多邊形，其n+1個轉(zhuǎn)折角的平差值應(yīng)滿足多邊形內(nèi)角和條件 (3-3-15)寫成轉(zhuǎn)折角改正數(shù)條件方程形式 (3-3-16)其中 (3-3-17)2.坐標(biāo)增量閉合條件從B點開始，依次計算每一條邊的縱橫坐標(biāo)增量的平差值，其總和應(yīng)分別滿足如下關(guān)系： (3-3-18) (3-3-19)參照單一附合導(dǎo)線縱橫

6、坐標(biāo)附合條件推導(dǎo)方法，可以得出坐標(biāo)閉合條件的改正數(shù)條件方程式： (3-3-20) (3-3-21) (3-3-22) (3-3-23)如果S、x、y以米為單位，w、vS、v以厘米為單位，則（3-3-20）和（3-3-21）兩式可寫為： (3-3-24) (3-3-25)三邊角權(quán)的確定及單位權(quán)中誤差導(dǎo)線網(wǎng)中，既有角度又有邊長，兩者的量綱不同，觀測精度一般情況下也不相等。在依據(jù)最小二乘法進(jìn)行平差時，應(yīng)合理地確定邊角權(quán)之間的關(guān)系。為統(tǒng)一確定角度和邊長觀測值的權(quán)，可以采用以下方法。取角度觀測值的權(quán)及中誤差為：p、；取邊長觀測值的權(quán)及中誤差為：pS、；取常數(shù)，則角度及邊長觀測值的權(quán)為， 一般情況下，可以

7、認(rèn)為同一導(dǎo)線網(wǎng)中測角精度相等，但是由于導(dǎo)線邊長變化較大使得測邊精度不等。可以取，則有， (3-3-26)式中以秒為單位，p無量綱。在實際計算邊長的權(quán)時，為使邊長觀測值的權(quán)與角度觀測值的權(quán)相差不至于過大，應(yīng)合理選取測邊中誤差的單位，如果的單位取為厘米，則pS的量綱為秒2/厘米2；而在平差計算中，的單位與改正數(shù)vS的單位要一致，均以厘米為單位。按此方法確定的權(quán)，在平差之后還應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計假設(shè)檢驗。檢驗通過后才能說明其合理性，否則，應(yīng)作修正再進(jìn)行平差和統(tǒng)計假設(shè)檢驗。由于導(dǎo)線網(wǎng)中，既有角度又有邊長，單位權(quán)中誤差應(yīng)按下式計算： (3-3-27)如前所述，由于在計算邊角權(quán)時，通常取測角中誤差作為單位權(quán)中誤差（

8、即m0 = m），所以在按（3-3-27）式算出的單位權(quán)中誤差的同時，實際上也就計算出了測角中誤差。測邊中誤差可按下式計算： (3-3-28)四例題如圖3-8所示，為一四等附合導(dǎo)線，測角中誤差= ±2.5，測邊所用測距儀的標(biāo)稱精度公式= 5mm+5ppm·D k m。已知數(shù)據(jù)和觀測值見表3-2。試按條件平差法對此導(dǎo)線進(jìn)行平差，并評定2號點的點位精度。表3-2已知坐標(biāo)(m)已知方位角B (187396.252 , 29505530.009)C (184817.605 , 29509341.482)TAB = 1614407.2TCD = 2493027.9導(dǎo)線邊長觀測值(m)

9、 轉(zhuǎn)折角度觀測值S1 = 1474.444S2 = 1424.717S3 = 1749.322S4 = 1950.4121 = 8530 21.12 = 25432 32.23 = 13104 33.34 = 27220 20.25 = 24418 30.0解：未知導(dǎo)線點個數(shù)n 1 = 3，導(dǎo)線邊數(shù)n = 4，觀測角個數(shù)n + 1 = 5近似計算導(dǎo)線邊長、方位角和各導(dǎo)線點坐標(biāo)，列于表3-2中表3-3近似坐標(biāo)(m)近似方位角2 (187966.645 , 29506889.655)3 (186847.276 , 29507771.035)4 (186760.011 , 29509518.179)

10、5 (184817.621 , 29509341.465)T1 = 67 14 28.3T2= 141 47 00.5T3 = 92 51 33.8T4= 185 11 54.0T5 = 249 30 24.0(1)組成改正數(shù)條件方程及第3點平差后坐標(biāo)函數(shù)式改正數(shù)條件方程閉合差項：= 3.9= -1.6 cm = 1.7 cm 改正數(shù)條件方程即v1 + v2 + v3 + v4 + v5 3.9 = 00.3868vS1 - 0.7857vS 2 - 0.0499vS 3 0.9959vS 4 1.8479v1 1.1887v2 - 0.7614v3 + 0.0857v4 + 1.6 = 00

11、.9221vS1 +0.6186vS 2 + 0.9988vS 3 - 0.0906vS 4 1.2502v1 1.5267v2 0.9840v3 0.9417v4 1.7 = 0W = 3.9 -1.6 1.7 T第3點平差后坐標(biāo)函數(shù)式全微分得fx3 = 0.3868 0.7857 0 0 1.0865 0.4273 0 0 0 Tfy3 = 0.9221 0.6186 0 0 -0.2662 -0.5427 0 0 0 T(2)確定邊角觀測值的權(quán)設(shè)單位權(quán)中誤差；根據(jù)提供的標(biāo)稱精度公式= 5 mm + 5ppmDkm計算測邊中誤差根據(jù)(3-3-26)式，測角觀測值的權(quán)為 P = 1；為不使測邊觀測值的權(quán)與測角觀測值的權(quán)相差過大，在計算測邊觀測值權(quán)時，取測邊中誤差和邊長改正值的單位均為厘米（cm）。PD = (s2cm2)則可得觀測值的權(quán)陣為(3)組