固體顆粒半徑的測量

1、懸濁液中固體顆粒半徑的測量摘要我們都知道，懸濁液是一種分散系，其分散系粒子直徑在100nm以上，多為很多分子的集合體，如泥漿等。懸濁液不透明、不均一、不穩(wěn)定，不能透過濾紙，靜置后會出現(xiàn)分層（即分散質(zhì)粒子在重力作用下逐漸沉降下來）。因此，我們可以通過測定分散質(zhì)粒子在重力作用下沉降的速度來測定粒子的半徑。固體顆粒在液體介質(zhì)中，一方面受重力作用而下沉，另一方面又受到摩擦阻力的作用。這里，我們假設(shè)固體顆粒都是半徑相同的球狀粒子，密度都一樣且在溶液中等速下沉，根據(jù)力的平衡原理，可以間接算出固體顆粒的半徑大小。但實(shí)驗(yàn)中無法保證沉降顆粒的大小一樣，所以測得的數(shù)據(jù)實(shí)際上是許許多多不同半徑的顆粒的混合物，因此得

2、到的沉降曲線在理論上應(yīng)該是各個粒子單獨(dú)的沉降曲線的疊加。另外，不同半徑的固體顆粒的數(shù)量不可能均勻分布在同一個體系中，因此還要分析其分布的規(guī)律。而顯而易見，固體顆粒的種類、在液體中的數(shù)量大小等諸多因素都會使我們得到的分布曲線千差萬別，但縱使它再復(fù)雜的變化，這一模型的思想對它們也是同樣適用的。綜上所述，對于測量固體顆粒半徑，我的方案是：首先通過實(shí)驗(yàn)測得一個分散體系的總沉降數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)畫出相應(yīng)的G-t曲線，再利用曲線求出在一定的粒子半徑范圍內(nèi)的顆粒個數(shù)。這一模型的建立有很多不足之處。首先，它忽略了固體顆粒的形狀，把它們都假設(shè)成是完美的球狀粒子，但實(shí)際并非如此，每種物質(zhì)的顆粒形狀都是不同的，而且大別

3、很大；其次，固體顆粒的密度也不是均勻的，這會影響我們計(jì)算它的重力。因此，這一模型較適用于大小適中、形狀普通的固體粒子。關(guān)鍵詞：固體顆粒半徑、重力、摩擦阻力、速度目錄第一部分 問題重述(3)第二部分 問題分析(3)第三部分 模型的假設(shè)(4)第四部分 定義與符號說明(4)第五部分 模型的建立與求解(5)第六部分 對模型的評價(9)第七部分 參考文獻(xiàn)(10)一 問題重述怎樣測量固體顆粒的大小。二 問題分析當(dāng)固體顆粒足夠大時，我們用肉眼及測量工具即可測量固體顆粒的大小，而當(dāng)固體的顆粒太小時，直接法已不能達(dá)到我們的目的，此時，常用間接法來測量。對于固體粉末，我們可以將它們放到不互溶的液體中，當(dāng)粒子在液體

4、介質(zhì)中下降時，一方面受重力作用而下沉，另一方面又受到摩擦阻力的作用。這里，我們假設(shè)固體顆粒都是半徑相同的球狀粒子，密度都一樣且在溶液中等速下沉，根據(jù)力的平衡原理，可以間接算出固體顆粒的半徑大小。但實(shí)驗(yàn)中無法保證沉降顆粒的大小一樣，所以測得的數(shù)據(jù)實(shí)際上是許許多多不同半徑的顆粒的混合物，因此得到的沉降曲線在理論上應(yīng)該是各個粒子單獨(dú)的沉降曲線的疊加。另外，不同半徑的固體顆粒的數(shù)量不可能均勻分布在同一個體系中，因此還要分析其分布的規(guī)律。通過對概率論相關(guān)知識的學(xué)習(xí)，我們知道，在相當(dāng)一般的條件下，當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個數(shù)增加時，其和的分布趨于正態(tài)分布。本次實(shí)驗(yàn)中畫出的F(r)-r曲線在形態(tài)上大致符合正態(tài)分布，

5、但是與正態(tài)分布的差距還是很大的。因?yàn)檎鎸?shí)顆粒的大小分布受諸多因素的影響?？傮w思路即是：首先通過實(shí)驗(yàn)測得一個分散體系的總沉降數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)畫出相應(yīng)的G-t曲線，再利用曲線畫出一定范圍的固體顆粒半徑所含固體顆粒的多少。實(shí)驗(yàn)中，選取硫酸鉛粉末溶于水，用天平測定不同時間沉降的重量。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：T：17.0 P：101.8kPa 表一 沉降量G與對應(yīng)的沉降時間時間/min0.000.501.001.502.002.503.00重量/g0.0000.0870.2160.3360.4270.4770.504續(xù)表一時間/min3.504.004.505.006.007.008.00重量/g0.5220.53

6、30.5430.5500.5610.5680.573續(xù)表二時間/min9.0010.0011.0012.0014.0016.0018.00重量/g0.5780.5810.5830.5860.5890.5910.594續(xù)表三時間/min20.0025.0030.0035.0040.0045.0050.00重量/g0.5950.5980.6000.6010.6020.6030.604=6.2×103/m30=1.03×103/m3=8.94×10-4Pa·Sg=9.8m/s2三 模型假設(shè)1 假設(shè)硫酸鉛粒子都是均勻密度的完整球體。2 假設(shè)液體的密度均勻。3 假

7、設(shè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)真實(shí)可靠，誤差極小。4 假設(shè)粒子在液體介質(zhì)中等速下沉。 四 定義與符號說明1 設(shè)硫酸鉛粒子的半徑為r(cm)2. 設(shè)硫酸鉛粒子的密度為（g/cm3）3 設(shè)液體介質(zhì)密度為0（g/cm3）4 設(shè)實(shí)驗(yàn)稱得的重量為G5 設(shè)稱重時間為t五 模型的建立與求解（一）模型的假設(shè)首先，我們來討論G-t曲線的物理意義。假如有五種大小不同的粒子，易知每種粒子都應(yīng)有其單獨(dú)的沉降曲線，它們開始時應(yīng)為斜率為一定值的直線，然后當(dāng)它們沉淀到秤上后直線變?yōu)橐粭l水平線。五種粒子混合在一起也應(yīng)有總的沉降曲線。如下圖，折線1、2、3、4、5。0t3t2t112t/minG/mg453G1EDCBAG1G2G3圖1 理論G-

8、t曲線若將沉降的距離分為五等段，記為1、2、3、4、5。在位置1的粒子離秤的距離為h1,因?yàn)榱Ｗ邮莿蛩傧陆?，所以粒子從一位置下降到秤的時間為：因此當(dāng)t<t1時，秤中沉降物的重量與時間的關(guān)系為：式中m1是直線的斜率。當(dāng)t>t1時，G=G1，是平行于橫軸的一條直線。半徑為r1的粒子的沉降曲線如圖2中折線1所示。若上述五種不同半徑的粒子同時沉降，其單獨(dú)的沉降曲線分別為圖2中折線1、2、3、4、5所示，則五種粒子的總沉降曲線就為一條接近于完全曲線的一組折線。在任何時刻該線上的某一點(diǎn)所示的沉降量，就相當(dāng)于五條單獨(dú)的折線上相應(yīng)點(diǎn)所示沉降量的和。例如：線段BC上任何一點(diǎn)的沉降量為：線段BC在t1

9、、t2間與沉淀曲線相切，因此由上述方程可知，其截距即為，這就是在t2時間已完全沉降的粒子量。前面已經(jīng)敘述過，實(shí)際上任何固體粉末粒子都是在一定的范圍內(nèi)由一系列的半徑大小不同的粒子所組成。根據(jù)圖1，可以求得任意范圍內(nèi)的粒子的重量，再進(jìn)一步求出粒子大小的分布。為了作出粒子大小的分布曲線，需要求得分布函數(shù)F(r)，用以表明半徑在rdr之間粒子的重量占粒子總重量G的分?jǐn)?shù)，即：式中Gr為半徑等于r粒子的重量，G= Gr。但是，光是知道這些還是不夠的，我們并不知道時間與顆粒半徑的關(guān)系，所以還無法將上述結(jié)論運(yùn)用到求解中。下面，我們將進(jìn)一步討論時間與顆粒半徑的具體關(guān)系。前面我們已經(jīng)假設(shè)粒子都是密度均勻的球狀固體

10、，它們在溶液中下降的速度為勻速，因此可知重力與摩擦阻力平衡。由此不難推出下面的方程式：ðð這就是著名的斯托克斯公式。這樣，我們就可以求出相應(yīng)的F（r）-r曲線，從而得到一定半徑范圍的顆粒數(shù)。至于F（r）-r曲線我們可用圖解法來解決這一問題。在有限的半徑變化范圍內(nèi)，常采取近似處理：將和代入上式就可以得到F(r)。作圖如下：F(r)r圖2 分布曲線當(dāng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)無限多時，我們會發(fā)現(xiàn)這條分布曲線服從正態(tài)分布在相當(dāng)一般的條件下，當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個數(shù)增加時，其和的分布趨于正態(tài)分布。(二)數(shù)據(jù)的處理基于上述理論，我們現(xiàn)在進(jìn)行數(shù)據(jù)的處理。用描點(diǎn)法畫出G-t曲線，如下圖：00.10.20.30

11、.40.50.60.701234579111418253545系列1系列2圖3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的G-t曲線 從圖一中可得出：mmm以此類推，得出五組數(shù)據(jù)，列表如下：3003.964.102.398.094.9646.2406.3438.8788.539 然后將它們繪制成圖，如下： 圖4 F(r)-r曲線六 模型評價與推廣求固體顆粒的半徑，用這種模型還是比較合理的，雖然它們對實(shí)際問題的簡化很多，導(dǎo)致局限性很大，但是還是可以在客觀上大體得出固體顆粒的大小，且其大致分布。在最后的數(shù)據(jù)處理中，利用圖解法求分布函數(shù)會造成很大誤差，雖然理論上可以進(jìn)行但實(shí)際中并不可取。至于改進(jìn)的方法，我們可以采用微分法，方法如下： 首先，求出，即先從G-t曲線上選幾個點(diǎn)求，以對t作圖，得到-t曲線，由此曲線再求斜率，得，再以對t作圖，得一曲線，再從-t曲線上讀出若干需要的值。 然后，將微分，即： 再將相應(yīng)的、r代入上式即可。這一數(shù)學(xué)模型的缺點(diǎn)就是只