多元復合函數(shù)和隱函數(shù)的求導法則

1、6.3 多元復合函數(shù)和隱函數(shù)求導法則631 復合函數(shù)的求導法則思考：設， 而，如何求？ 設，而，如何求和？1. 復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 定理1 如果函數(shù)及都在點t可導,函數(shù)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù),則復合函數(shù)在點t可導,且有.簡證1：因為具有連續(xù)的偏導數(shù),則它是可微的,即有.又因為，都可導, 因而可微, 即有,代入上式得：,從而.簡證2：當t取得增量Dt時,u、v及z相應地也取得增量Du、Dv及Dz，由、及的可微性,有,令Dt®0,上式兩邊取極限,即得.注：.推廣：設，則對t的導數(shù)為：.上述稱為全導數(shù).2. 復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 定理2：如果函數(shù)

2、，都在點(x,y)具有對x及y的偏導數(shù), 函數(shù)z=f(u,v)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù), 則復合函數(shù)在點(x,y)的兩個偏導數(shù)存在, 且有，。推廣：設，則，。討論：(1)設z=f(u,v),u=j(x,y),v=y(y), 則？ 提示:,.(2)設z=f(u,x,y),且u=j(x,y),則？ 提示:,.這里與是不同的,是把復合函數(shù)z=fj(x,y),x,y中的y看作不變而對x的偏導數(shù),是把f(u,x,y)中的u及y看作不變而 對x的偏導數(shù).與也有類似的區(qū)別.3復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù), 又有多元函數(shù)的情形 定理3如果函數(shù)u=j(x,y)在點(x,y)具有對x及對y的偏導數(shù), 函

3、數(shù)v=y(y)在點y可導, 函數(shù)z=f(u,v)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù), 則復合函數(shù)z=fj(x,y),y(y)在點(x,y)的兩個偏導數(shù)存在, 且有,.例1設z=eusin v,u=xy,v=x+y,求和.解=eusin v×y+eucos v×1=exyy sin(x+y)+cos(x+y),=eusin v×x+eucos v×1=exyx sin(x+y)+cos(x+y).例2 設,而.求和.解.例3設z=uv+sin t,而u=et,v=cos t.求全導數(shù).解=v×et+u×(-sin t)+cos t=etc

4、os t-etsin t+cos t=et(cos t-sin t)+cos t.例4設w=f(x+y+z,xyz),f具有二階連續(xù)偏導數(shù),求及.解令u=x+y+z,v=xyz,則w=f(u,v)，引入記號:，；同理有,等.,. 注:,.例5 設u=f(x,y)的所有二階偏導數(shù)連續(xù),把下列表達式轉(zhuǎn)換成極坐標系中的形式:(1);(2).解 由直角坐標與極坐標間的關系式得u=f(x,y)=f(rcos,rsin)=F(r,),其中x=rcos,y=rsin,.應用復合函數(shù)求導法則, 得：,.兩式平方后相加, 得：.再求二階偏導數(shù), 得：.同理可得.兩式相加, 得：.632 全微分形式不變性設z=f

5、(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù),則有全微分：.如果z=f(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù),而u=j(x,y),v=y(x,y)也具有連續(xù)偏導數(shù),則.由此可見,無論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù),它的全微分形式是一樣的.這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性.例6設z=eusin v,u=xy,v=x+y,利用全微分形式不變性求全微分.解= eusin vdu+ eucos vdv= eusin v(ydx+xdy )+ eucos v(dx+dy)=( yeusin v+ eucos v)dx+(xeusin v+ eucos v )dy=exy y sin(x+y)+cos(x+y)dx+ exy x

6、 sin(x+y)+cos(x+y)dy.633 隱函數(shù)的求導法則1一個方程的情形隱函數(shù)存在定理1 設函數(shù)F(x,y)在點P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù),F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)¹0,則方程F(x,y)=0在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y=f(x),它滿足條件y0=f(x0),并有. 求導公式證明:將y=f(x)代入F(x,y)=0,得恒等式：F(x,f(x)º0,等式兩邊對x求導得：,由于Fy連續(xù),且Fy(x0,y0)¹0,所以存在(x0,y0)的一個鄰域,在這個鄰域同F(xiàn)y¹0,于是得

7、. 例1 驗證方程x2+y2-1=0在點(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x=0時y=1的隱函數(shù)y=f(x),并求這函數(shù)的一階與二階導數(shù)在x=0的值. 解 設F(x,y)=x2+y2-1,則Fx=2x,Fy=2y,F(0, 1)=0,Fy(0, 1)=2¹0. 因此由定理1可知,方程x2+y2-1=0在點(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x=0時y=1的隱函數(shù)y=f(x).,;,.隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù). 一個二元方程F(x,y)=0可以確定一個一元隱函數(shù), 一個三元方程F(x,y,z)=0可以確定一個二元隱函數(shù).隱函數(shù)存在定理2 設函數(shù)F

8、(x,y,z)在點P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù),且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)¹0 ,則方程F(x,y,z)=0在點(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)z=f(x,y),它滿足條件z0=f(x0,y0),并有,. 公式的證明:將z=f(x,y)代入F(x,y,z)=0,得F(x,y,f(x,y)º0,將上式兩端分別對x和y求導,得,.因為Fz連續(xù)且Fz(x0,y0,z0)¹0,所以存在點(x0,y0,z0)的一個鄰域,使Fz¹0,于是得,. 例2. 設x2+y2+z2-4

9、z=0,求.解 設F(x,y,z)= x2+y2+z2-4z,則Fx=2x,Fy=2z-4,.2方程組的情形在一定條件下,由個方程組F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0可以確定一對二元函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y), 例如方程xu-yv=0和yu+xv=1可以確定兩個二元函數(shù),.事實上, xu-yv=0ÞÞÞ,. 如何根據(jù)原方程組求u,v的偏導數(shù)？隱函數(shù)存在定理3設F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在點P(x0,y0,u0,v0)的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù), 又F(x0,y0,u0,v0)=0,G(x0,y0,u0,v0)

10、=0, 且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式:在點P(x0,y0,u0,v0)不等于零, 則方程組F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0在點P(x0,y0,u0,v0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y), 它們滿足條件u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0), 并有,.隱函數(shù)的偏導數(shù):設方程組F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0確定一對具有連續(xù)偏導數(shù)的二元函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y),則偏導數(shù),由方程組確定;偏導數(shù),由方程組確定.例3設xu-yv=0,yu+xv=1,求,和.解兩個方程兩邊分別對x 求偏導,得關于和的方程組,當x2+y2¹0時,解之得,.兩個方程兩邊分別對x 求偏導,得關于和的方程組,當x2+y2¹0時,解之得,.另解 將兩個方程的兩邊微分得, 即.解之得：,.于是,.例4設函數(shù)x=x(u,v),y=y(u,v)在點(u,v)的某一領域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù), 又. (1)證明方程組在點(x,y,u,v)的某一領域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,