【口袋書】高考數(shù)學(xué)公式手冊(cè)

1、高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論1.包含關(guān)系A(chǔ)I B = A Û AU B = BÛ A Í B Û C B Í C AU UÛ AIC B = FUÛ C AU B = RU2集合a ,a ,L,a 的子集個(gè)數(shù)共有 2n 個(gè)；真子集有 2n -1個(gè)；非空子集有 2n 1 個(gè)；非空的真子集有1 2 n2n 2 個(gè).3.充要條件若 pq，則 p 是 q 的充分條件，q 是 p 的必要條件p 是 q 的充分不必要條件 pq 且 qpp 是 q 的必要不充分條件 pq 且 qpp 是 q 的充要條件 pqp 是 q 的既不充分也不必要條

2、件 pq 且 qp4.全稱命題、特稱命題及含一個(gè)量詞的命題的否定命題名稱 語言表示 符號(hào)表示 命題的否定全稱命題對(duì) M 中任意一個(gè) x，有 p(x)成立xM，p(x) x0M，綈 p(x0)特稱命題存在 M 中的一個(gè) x0，使 p(x0)成立x0M，p(x0) xM，綈 p(x)5.函數(shù)的單調(diào)性(1)設(shè) x1 × x Î a,b , x ¹ x 那么2 1 2f (x ) - f (x )(x - x ) f (x ) - f (x ) > 0 Û f x a b 21 > 0 Û ( )在 ,上是增函數(shù)；1 2 1 2x - x1

3、 2f (x ) - f (x )(x - x ) f (x ) - f (x ) < 0 Û f x a b 2 上是減函數(shù).1 < 0 Û ( )在 , 1 2 1 2x - x1 2(2)設(shè)函數(shù) y = f (x) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果 f ¢(x) > 0，則 f (x) 為增函數(shù)；如果 f ¢(x) < 0 ，則 f (x)為減函數(shù).6.如果函數(shù) f (x) 和 g(x) 都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù) f (x) + g(x)也是減函數(shù); 如果函數(shù)y = f (u)和u = g(x) 在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函

4、數(shù),則復(fù)合函數(shù) y = f g(x)是增函數(shù).7奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)8.若函數(shù) y = f (x)是偶函數(shù)，則 f (x + a) = f (-x - a) ；若函數(shù) y = f (x + a) 是偶函數(shù)，則f (x + a) = f (-x + a) .9.對(duì)于函數(shù) y = f (x)( x Î R ), f (x + a) = f (b - x)恒成立,則函數(shù) f (x) 的對(duì)稱軸是函數(shù) xa + b= ;兩個(gè)

5、函2a + b數(shù) y = f (x + a)與 y = f (b - x) 的圖象關(guān)于直線 x = 對(duì)稱.2a10.若 f (x) = - f (-x + a),則函數(shù) y = f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn) ( ,0)對(duì)稱; 若 f (x) = - f (x + a),則函數(shù)2y = f (x)為周期為 2a 的周期函數(shù).11.函數(shù) y = f (x) 的圖象的對(duì)稱性(1)函數(shù) y = f (x) 的圖象關(guān)于直線 x = a 對(duì)稱 Û f (a + x) = f (a - x) Û f (2a - x) = f (x) .(2)函數(shù) y = f (x) 的圖象關(guān)于直線 xa +b

6、= 對(duì)稱2Û f (a + mx) = f (b - mx) Û f (a + b - mx) = f (mx) .12.幾個(gè)常見的函數(shù)方程(1)正比例函數(shù) f (x) = cx (2)指數(shù)函數(shù) f (x) = ax (3)對(duì)數(shù)函數(shù) f (x) = log x (4)冪函數(shù) f (x) = xa ,.a(5)余弦函數(shù) f (x) = cos x ,正弦函數(shù) g(x) = sin x13.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定 a>0)（1） f (x) = f (x + a) ，則 f (x) 的周期 T=a；1（2） f (x) = - f (x + a) ，或 f (x + a

7、) = ( f (x) ¹ 0)，或f (x)1f (x+a) =- (f (x)¹0),則 f (x) 的周f (x)期 T=2a；1(3) f (x) =1- ( f (x) ¹ 0) ，則 f (x) 的周期 T=3a；f (x + a)14.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)man1= （ a > 0,m,nÎ N* ，且 n >1）.(2)n mam n-a1= （ a > 0,m,nÎ N* ，且 n >1）.man15根式的性質(zhì)（1） (n a)n = a .（2）當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， n an = a ；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，n

8、 n a aì , ³ 0a a=| |= í-a,a < 0î.16.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式loga N = b Û ab = N (a > 0,a ¹1, N > 0) .17.對(duì)數(shù)的換底公式logaNlog N= ( a > 0 ,且 a ¹1, m > 0,且 m ¹1, N > 0).mlog amn推論 log b = log b ( a > 0 ,且 a >1, m,n > 0 ,且 m ¹1, n ¹1, N > 0).

9、n ma am18對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則若 a0，a1，M0，N0，則M(1) loga (MN) = loga M +loga N ;(2) loga loga loga= - ;(3) log n log ( )M N a M = n a M nÎR .N19.設(shè)函數(shù) f (x) = logm (ax2 + bx + c)(a ¹ 0) ,記 D = b2 - 4ac .若 f (x) 的定義域?yàn)?R ,則 a > 0，且 D < 0 ;若 f (x) 的值域?yàn)?R ,則 a > 0，且 D ³ 0 .對(duì)于 a = 0 的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).20

10、. 平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為 N，平均增長率為 p ，則對(duì)于時(shí)間 x 的總產(chǎn)值 y ，有 y = N(1+ p)x .21.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)的和的關(guān)系anìs , n =11= ís - s ,n ³ 2în n-1( 數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)的和為ns = a + a +L+ a ).n 1 2 n22.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 a = a1 + (n -1)d = dn + a1 - d(nÎ N ) ；* nd 1= n + (a - d)n2 12 2n(a + a ) n(n -1)其前 n 項(xiàng)和公式為 s = 1 =

11、na + dnn 12 223.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式aa a1q q (n N )= = × Î ；n-1 1 n *nq其前 n 項(xiàng)的和公式為ìa (1- qn )1ïs q= í 1-nï =na ,q 1î1,q ¹1或snìa - a q1 n,q ¹1ï= í .1- qï =na ,q 1î124常見三角不等式 p p（1）若 xÎ(0, ) ，則sin x < x < tan x .(2) 若 xÎ(0, ) ，

12、則1< sin x + cos x £ 2 . 2 225.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin q +cos q =1， tanq =2 2sinqcosq26.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式公式 一 二 三 四 五 六角 2k(kZ) 22正弦 sin sin sin sin cos cos 余弦 cos cos cos cos sin sin 正切 tan tan tan tan 口訣 函數(shù)名不變，符號(hào)看象限 函數(shù)名改變，符號(hào)看象限27.和角與差角公式sin(a ± b) = sina cos b ±cosa sin b ; cos(a ± b) = cos

13、a cos b msina sin b ;tan(a ± b) =tana ± tan b1m tana tan b.asina +bcosa =ba2 +b2 sin(a +j) (輔助角j 所在象限由點(diǎn) (a,b)的象限決定, tanj = ).a28.二倍角公式sin 2a = 2sina cosa .cos 2a = cos a -sin a = 2 cos a -1 =1-2 sin a （升冪公式）2 2 2 21cos 2 1cos 2cos2 ；sin2 ；(降冪公式）2 2tan 2a =2 tana1- tan2a.29.三角函數(shù)的周期公式函數(shù) y =

14、sin(wx +j) ，xR 及函數(shù) y = cos(wx +j) ，xR(A,j 為常數(shù)，且 A0，0)的周期T2p p= ；函數(shù) y = tan(wx +j) ， x ¹ kp + ,k ÎZ (A,j 為常數(shù)，且 A0，0)的周期Tw 2p= .w30.正弦定理a b c= = = 2R .sin A sin B sinC31.余弦定理a2 = b2 + c2 - 2bc cos A ;b2 = c2 + a2 - 2ca cosB ; c2 = a2 +b2 - 2ab cosC .32.面積定理（1）1 1 1S = ah = bh = ch （a b c2 2

15、2h 、h 、h 分別表示 a、b、c 邊上的高）.a b c（2）1 1 1S = absinC = bcsin A = casin B .2 2 233.三角形內(nèi)角和定理在ABC 中，有 A+ B +C = p Û C = p - (A+ B)C p A + BÛ = - Û 2C = 2p - 2(A+ B) . 2 2 234.平面向量基本定理如果 e1、e 2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使得 a=1e1+2e2不共線的向量 e1、e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底35. a 與 b 的數(shù)量

16、積(或內(nèi)積)a·b=|a|b|cos36. a·b 的幾何意義數(shù)量積 a·b 等于 a 的長度|a|與 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘積37.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè) a= (x , y ) ,b= (x , y ) ，則 a+b= (x + x , y + y ) .1 1 2 2 1 2 1 2(2)設(shè) a= (x , y ) ,b= (x , y ) ，則 a-b=1 1 2 2(x - x , y - y ) .1 2 1 2(3)設(shè) A (x , y ) ，B (x , y ) ,則1 1 2 2AB = OB -OA = (x - x ,

17、 y - y ) .2 1 2 1(4)設(shè) a= (x, y),l ÎR ，則 l a= (lx,l y) .(5)設(shè) a= (x , y ) ,b=(x , y ) ，則 a·b=1 1 2 2(x x + y y ) .1 2 1 2兩向量的夾角公式cosq =x x + y y1 2 1 2x + y × x + y2 2 2 21 1 2 2(a=(x , y ) ,b=1 1(x , y ) ).2 2平面兩點(diǎn)間的距離公式uuur uuur uuur d =| AB |= AB× ABA,B= (x - x ) + (y - y ) (A (x

18、 , y ) ，B (x , y ) ).2 22 1 2 1 1 1 2 2向量的平行與垂直設(shè) a= (x , y ) ,b= (x , y ) ，且 b ¹ 0，則1 1 2 2a|b Û b=aÛ - = .x1 y2 x2 y1 0a b(a ¹ 0) Û a·b=0 x1 x2 y1 y2 0Û + = .38.三角形的重心坐標(biāo)公式ABC 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(x ,y )、 B(x ,y )、C(x ,y ),則ABC 的重心的坐標(biāo)是1 1 2 2 3 3x + x + x y + y + yG( , )1

19、2 3 1 2 33 3.39. 三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)O為 DABC 所在平面上一點(diǎn)，角 A,B,C 所對(duì)邊長分別為 a,b,c ，則（1）O 為 DABC 的外心uuur uuur uuur2 2 2Û OA = OB = OC.（2）O 為 DABC 的重心 Û OA+ OB + OC = 0 .（3）O 為 DABC 的垂心 Û OA×OB = OB×OC = OC ×OA .（4）O 為 DABC 的內(nèi)心 Û aOA+ bOB + cOC = 0 .（5）O 為 DABC 的 ÐA 的旁心 &

20、#219; aOA = bOB + cOC .40.基本不等式：（1） a,bÎR Þ a2 +b2 ³ 2ab (當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“=”號(hào))（2） a,bÎR+ Þa +b2³ ab (當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“=”號(hào))注：已知 x, y 都是正數(shù)，則有（1）若積 xy 是定值 p ，則當(dāng) x = y 時(shí)和 x + y 有最小值 2 p ；1（2）若和 x + y 是定值 s ，則當(dāng) x = y 時(shí)積 xy 有最大值 s2 .441.含有絕對(duì)值的不等式當(dāng) a> 0 時(shí)，有x < a Û x < a 

21、19; -a < x < a .2 2x > a Û x > a Û x > a 或 x < - a .2 242.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式(1)當(dāng) a >1時(shí)： a f (x) > ag(x) Û f (x) > g(x) ;ì f (x) > 0ïlog f (x) log g(x) g(x) 0> Û í >a aï >f (x) g(x)î.(2)當(dāng)0 < a <1時(shí)： a f (x) > ag(x) &

22、#219; f (x) < g(x) ;ì f (x) > 0 ïlog f (x) log g(x) g(x) 0> Û í > a aï <f (x) g(x)î43.斜率公式k =y - y2 1x - x2 1（P x y 、1( 1, 1)P2 (x2 , y2 ) ）.44.直線的五種方程（1）點(diǎn)斜式y(tǒng) - y = k x - x (直線 l 過點(diǎn)1 ( 1)P x y ，且斜率為 k )1( 1, 1)（2）斜截式 y = kx +b (b 為直線l 在 y 軸上的截距).y - y x -

23、 x（3）兩點(diǎn)式 1 = 1y - y x - x2 1 2 1(y ¹ y )(1 2P1(x1, y1) 、P x y (2 ( 2 , 2 )x ¹ x ).1 2x y(4)截距式 + =1( a、b 分別為直線的橫、縱截距， a、b ¹ 0 )a b（5）一般式 Ax + By +C = 0 (其中 A、B 不同時(shí)為 0).45.兩條直線的平行和垂直(1)若l1 : y = k1x +b1 ， 2 : 2 2l y = k x +b 1 2 1 2 1l l Û k = k b ¹ b ; l l Û k k = - .1

24、| 2 1 2 , 1 2(2)若l1 : A1x + B1 y +C1 = 0 ,l2 : A2 x + B2 y +C2 = 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不為零,A B Cl | l Û 1 = 1 ¹ 1 ； 1 2 1 2 1 2 0l l Û A A + B B = ； 1 2A B C2 2 246常用直線系方程(1)平行直線系方程：直線 y = kx +b 中當(dāng)斜率 k 一定而 b 變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程與直線Ax + By +C = 0 平行的直線系方程是 Ax + By + l = 0 ( l ¹ 0 )，是參變量(2)垂直

25、直線系方程：與直線 Ax + By +C = 0 (A0，B0)垂直的直線系方程是 Bx - Ay + l = 0,是參變量47.點(diǎn)到直線的距離d =| Ax + By +C |0 0A + B2 2(點(diǎn)P(x , y ) ,直線l ： Ax + By +C = 0 ).0 048. 圓的方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x - a) + (y -b) = r .2 2 2（2）圓的一般方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ( D2 + E2 - 4F 0).（3）圓的參數(shù)方程ìx = a + ríy = b + rîcosqsinq.即三角換元49.點(diǎn)與

26、圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x , y ) 與圓 (x - a)2 + (y - b)2 = r2 的位置關(guān)系有三種0 0若 d = (a - x )2 + (b - y )2 ，則0 0d > r Û 點(diǎn) P 在圓外; d = r Û 點(diǎn) P 在圓上; d < r Û 點(diǎn) P 在圓內(nèi).50.直線與圓的位置關(guān)系直線 Ax + By + C = 0 與圓 (x - a)2 + (y - b)2 = r2 的位置關(guān)系有三種:d > r Û 相離 Û D < 0; d = r Û 相切 Û D = 0; d <

27、 r Û 相交 Û D > 0.其中 dAa + Bb + C= .A2 + B251.兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為 O1，O2，半徑分別為 r1，r2， O O = d1 2d 外離 4條公切線 ; d 1 + Û 外切 Û 3條公切線 ;> r1 + r Û Û = r r2 2r ; 1 - Û 內(nèi)切 Û 1條公切線1 - r < d < r + r Û 相交 Û 2條公切線 d = r r ;2 1 2 20 < d < r - r 

28、9; 內(nèi)含 Û 無公切線 .1 252.圓的切線方程(1)已知圓x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 若已知切點(diǎn) (x , y ) 在圓上，則切線只有一條，其方程是0 0D(x + x) E(y + y)x x + y y + 0 + 0 + F = 0.0 02 2D(x + x) E(y + y)當(dāng) x x + y y + + + F = 0表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程(x , y ) 圓外時(shí), 0 00 0 0 02 2過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為y - y = k x - x ，再利用相切條件求 k，這時(shí)必有兩條切線，注0 ( 0 )意不要漏掉平行于 y 軸的切線斜

29、率為 k 的切線方程可設(shè)為 y = kx +b ，再利用相切條件求 b，必有兩條切線(2)已知圓x + y = r 2 2 2過圓上的P x y 點(diǎn)的切線方程為 x x + y y = r2 ;0 ( 0 , 0 )0 0斜率為 k 的圓的切線方程為 y = kx ± r 1+ k 2 .53橢圓的概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1，F(xiàn)2 的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c<2a，其中 a>0，c>0，且 a，c 為常數(shù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方

30、程x2 2y1a2 b2y2x21a2 b2(a>b>0) (a>b>0)圖形axa bxb 范圍byb aya對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn) A1(a,0)，A2(a,0) A1(0，a)，A2(0，a)坐標(biāo) B1(0，b)，B2(0，b) B1(b,0)，B2(b,0)性軸 長軸 A1A2 的長為 2a；短軸 B1B2 的長為 2b質(zhì)焦距 |F1F2|2cc離心率 e (0,1)aa，b，c的關(guān)系a2b2c2橢圓的切線方程（1）橢圓x y2 22 2 1( 0)+ = a > b > 上一點(diǎn)a bx x y yP(x , y ) 處的切線方程

31、是 0 02 + 2 =1.0 0a b（2）過橢圓x y2 22 2 1( 0)+ = a > b > 外一點(diǎn)a bP(x , y ) 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是0 054.雙曲線的概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1，F(xiàn)2 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c>2a，其中 a，c 為常數(shù)且 a>0，c>0.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2 y2 1a2 b2y2 x2 1a2 b2(a>0，b>0) (a>0，

32、b>0)圖形范圍 xa 或 xa，yR xR，ya 或 ya 性 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)質(zhì)頂點(diǎn) A1(a,0)，A2(a,0) A1(0，a)，A2(0，a) b a漸近線 y± x y± x a bc離心率 e ，e(1，)，其中 c a2b2a線段 A1A2 叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|2a，線段實(shí)虛軸 B1B2 叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a 叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b 叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2a2b2 (c>a>0，c>b>0)雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系x y2 2(1）若雙曲線方

33、程為 - = 1a b2 2Þ漸近線方程：x y2 2b2 - 2 = 0 Û y = ± x .a b ax yb(2)若漸近線方程為 y = ± x Û ± = 0a a bx y2 2Þ雙曲線可設(shè)為 - = la b2 2.x y x y2 2 2 2(3)若雙曲線與 - = 1有公共漸近線，可設(shè)為 - = la b a b2 2 2 2（ l > 0，焦點(diǎn)在 x 軸上，l < 0 ，焦點(diǎn)在 y 軸上）.雙曲線的切線方程(1)雙曲線x y2 22 2 1( 0, 0)- = a > b > 上一

34、點(diǎn)a bx x y yP(x , y ) 處的切線方程是 0 02 - 2 =1.0 0a b（2）過雙曲線x y2 22 2 1( 0, 0)- = a > b > 外一點(diǎn)a bP(x , y ) 所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是0 055.拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F 和一條定直線 l(l 不經(jīng)過點(diǎn) F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn) F 叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線 l 叫做拋物線的準(zhǔn)線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)y22px y22px x22py x22py 標(biāo)準(zhǔn)方程(p>0)(p>0) (p>0)p 的幾何意義：焦點(diǎn) F 到準(zhǔn)線 l 的距離(p>0)圖形頂

35、點(diǎn)O(0,0) 坐標(biāo)對(duì)稱軸 x 軸 y 軸焦點(diǎn)坐標(biāo) Fp，02Fp，02Fp0，2 Fp0，2離心率 e1準(zhǔn)線方程px2px2py2py2范圍 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR開口 向右 向左 向上 向下方向p焦半徑 x02px02py02py02通徑長 2p拋物線 y2 = 2px 的焦半徑公式拋物線 y2 = 2px(p > 0) 焦半徑pCF = x + .0 2p p過焦點(diǎn)弦長 CD = x + + x + = x + x + p1 2 22 1 2.2y拋物線 y2 = 2px 上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為 P ( o , y ) 或 P(2pt2 ,2pt)或 P (x ,

36、y )oo o ，其中2py2 = 2pxo o .56.直線與圓錐曲線相交的弦長公式|AB| (1k2)(x1x2)24x1x211k2 (y1y2)24y1y2(k 為直線斜率)57（1）線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言 圖形語言 符號(hào)語言平面外一條直線與此平面內(nèi)的lal判定定理 一條直線平行，則該直線與此 al平面平行(簡記為“線線平行線面平行”)一條直線與一個(gè)平面平行，則性質(zhì)定理l過這條直線的任一平面與此平l面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行線線平行”)blb（2）面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言 圖形語言 符號(hào)語言一個(gè)平面內(nèi)的兩條相a 交直線與另一個(gè)平面b判定定理 平行，

37、則這兩個(gè)平面平abPa 行(簡記為“線面平行b面面平行”)如果兩個(gè)平行平面同ab 性質(zhì)定理 時(shí)和第三個(gè)平面相交， ab 那么它們的交線平行（3）直線與平面垂直判定定理與性質(zhì)定理文字語言 圖形語言 符號(hào)語言一條直線與一個(gè)平面a，b判定定理內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平abOlallb面垂直性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行abab（4）平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言 圖形語言 符號(hào)語言一個(gè)平面過另一判定定理 個(gè)平面的垂線，則 這兩個(gè)平面垂直ll兩個(gè)平面垂直，則性質(zhì)定理一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與lalla另一個(gè)平面垂直58.共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量 a、b(b0 )

38、，ab Û 存在實(shí)數(shù)使 a=bP、A、B 三點(diǎn)共線 Û AP | AB Û AP = t AB Û OP = (1-t)OA+tOB .AB |CD Û AB 、CD 共線且 AB、CD 不共線 Û AB = tCD 且 AB、CD不共線.59.共面向量定理向量 p 與兩個(gè)不共線的向量 a、b 共面的 Û 存在實(shí)數(shù)對(duì) x, y ,使 p = ax +by 推論 空間一點(diǎn) P 位于平面 MAB 內(nèi)的 Û 存在有序?qū)崝?shù)對(duì) x, y ,使 MP = xMA+ yMB ，或?qū)臻g任一定點(diǎn) O，有序?qū)崝?shù)對(duì) x, y ，使OP

39、 = OM + xMA+ yMB .60.空間向量基本定理如果三個(gè)向量 a、b、c 不共面，那么對(duì)空間任一向量 p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 x，y，z，使 pxaybzc推論 設(shè) O、A、B、C 是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn) P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù) x，y，z，使OP = xOA+ yOB + zOC .61.空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè) a(a ,a ,a ) ，b (b ,b ,b ) 則1 2 3 1 2 3(1)ab(a +b ,a +b ,a +b ) ；(2)ab(a -b ,a -b ,a -b ) ；1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3(3)a(la ,la ,

40、la ) (R)；(4)a·b a b + a b + a b ；1 2 3 1 1 2 2 3 362.設(shè) A (x , y , z ) ，B (x , y , z ) ，則1 1 1 2 2 2AB = OB -OA=(x - x , y - y , z - z ) .2 1 2 1 2 163空間的線線平行或垂直設(shè) a = (x , y , z ) ， b = (x , y , z ) ，則1 1 1 2 2 2aPb Û a = lb(b ¹ 0) Ûìx = lx1 2ïy = lyí1 2ï =z lz

41、î1 2； a b Û a×b = 0 Ûx x + y y + z z = .1 2 1 2 1 2 064.夾角公式設(shè) a(a ,a ,a ) ，b (b ,b ,b ) ，則1 2 3 1 2 3a b + a b + a bcosa，b= 1 1 2 2 3 3a + a + a b +b +b2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3.65（1）異面直線所成角| a×b |cosq =| cos a,b | = r r| a | ×| b |（其中q （0o <q £ 90o ）為異面直線 a,b 所成角，

42、 a,b 分別表示異面直線 a,b 的方向向量）（2）直線l與平面a 所成角sin q = cosj =rl × nr rl n（其中直線l的方向向量為l ，平面a 的法向量為 n，l與a 所成的角為q ，l 與 n的夾角為j ）（3）.二面角a -l - b 的平面角cos qn × n1 2= ur u urn n1 2（其中 n ， n 是二面角a - l - b 的兩個(gè)面a ， b 的法向量，則向量 n ， n 的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面1 2 1 2角的平面角的大小若二面角a -l - b 的平面角為）66.（1）空間兩點(diǎn)間的距離公式若 A (x , y , z

43、) ，B1 1 1(x , y , z ) ，則2 2 2uuur uuur uuurd =| AB |= AB× ABA,B= (x - x ) + (y - y ) + (z - z ) .2 2 22 1 2 1 2 1（2）.異面直線間的距離d| CD×n |= r (l l 是兩異面直線，其公垂向量為 n ，C、D 分別是 1, 21, 2l l 上任一點(diǎn)，d 為| n |l l 間的距離).1, 2（3）點(diǎn) B 到平面a 的距離d| AB×n |= r （ n 為平面a 的法向量， AB 是經(jīng)過面a 的一條斜線， AÎa ）.| n |67.

44、球的半徑是 R，則4其體積V = pR3 ,其表面積 S = 4p R2 368.球的組合體(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對(duì)角線長.(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長.69柱體、錐體的體積V柱體 = （ S 是柱體的底面積、 h 是柱體的高）.sh1V錐體 = Sh （ S 是錐體的底面積、 h 是錐體的高）.370. 分類計(jì)數(shù)原理（加法原理） N = m1 + m2 +L+ mn .分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）N = m ´m ´L&#

45、180;m1 2 n71.排列數(shù)公式A = n(n -1)L(n - m +1)=mnn！.( n ， m N*，且 m £ n )注:規(guī)定 0!= 1.(n - m)！72.組合數(shù)公式C =mnAmmnAm=n(n -1)L(n - m1´ 2´L´ m+1)=n！( n N*， mÎ N ，且 m £ n ).m！×(n - m)！73.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1) C =C mC = n m C + m-1m C - ; (2) m + .注:規(guī)定C0 = 1. n n n n n 1 n(3)Cn0 + C1 + C2 +

46、L+ Cr +L+ Cn = 2 .n n n n n(4)Cn1 + C + C +L = C + C + C +L2n- .3 5 0 2 4 1 n n n n n(5) n C C nC nC1 + 2 + 3 +L+ n = 2n- .2 3 1 n n n74.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系A(chǔ) = m！×C .m m n n75.二項(xiàng)式定理(a + b) = 0 n + 1 n-1 + 2 n-2 2 +L+ - +L+ ;n C a C a b C a b Cr an r br Cnbnn n n n n二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr+1 = C a - b (r = 0，1，2L，n

47、) .r n r r n76.n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生 k 次的概率P (k) = Ck Pk (1- P)n-k.n n77.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)（1） P ³ 0(i =1, 2,L) ; （2）iP + P +L= .1 2 178.數(shù)學(xué)期望Ex = x P + x P +L+ x P +L1 1 2 2 n n數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1） E(ax +b) = aE(x) +b . （2）若x B(n, p) ,則 Ex = np .方差2 2 2Dx = (x - Ex ) × p + (x - Ex ) × p + L+ (x - Ex ) × p + L1 1 2 2 n n標(biāo)準(zhǔn)差 sx = Dx .方差的性質(zhì)(1) D(ax +b)= a Dx ； (2）若x B(n, p) ，則 Dx = np(1- p) .279.正態(tài)分布密度函數(shù)2( -m)x1-f x = e ,xÎ -¥,+¥ ，式中的實(shí)數(shù)，s （s >0）是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)( ) 26 ( )22p 6與標(biāo)準(zhǔn)差.80.回歸直線方程ìn nå å(