二元函數(shù)的連續(xù)性

1、3 二元函數(shù)的連續(xù)性 無論是單元微積分還是多元微積分, 其中所討論的函數(shù), 最重要的一類就是連續(xù)函數(shù). 二元函數(shù)連續(xù)性的定義比一元函數(shù)更一般化 了些; 而它們的局部性質(zhì)與在有界閉域上的整體性質(zhì), 二者完全相同.一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念 連續(xù)性的定義連續(xù)性的定義.D 0,0, 0(;)PU PD 若若只要只要, 就有就有0|()()|,(1)f Pf P 則稱則稱 f 關(guān)于集合關(guān)于集合 D 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)連續(xù). .在不致誤解的情形在不致誤解的情形 0P下下, 也稱也稱 f 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)連續(xù). . 0P若若 f 在在 D 上任何點(diǎn)都關(guān)于集合上任

2、何點(diǎn)都關(guān)于集合 D 連續(xù)連續(xù), ,則稱則稱 f 為為 D 上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). . 2RD 定義定義1 設(shè)設(shè) f 為定義在點(diǎn)集為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù)上的二元函數(shù), 0P由上述定義知道由上述定義知道: : 若若 是是 D 的孤立點(diǎn)的孤立點(diǎn), ,則則 必定是必定是 0P0P00lim()().(2)PPP Df Pf P 0P f 的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn). 若若 是是 D 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn), 則則 f 關(guān)于集合關(guān)于集合 D 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)等價(jià)于連續(xù)等價(jià)于 0P如果如果 是是 D 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn), 而而 (2) 式不成立式不成立 (其含義與一元其含義與一元0P函數(shù)的對(duì)應(yīng)情形相同函數(shù)的對(duì)應(yīng)情形相同 ),

3、則稱則稱 是是 f 的的不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn) (或或 0P稱稱間間斷點(diǎn)斷點(diǎn)). 特別當(dāng)特別當(dāng) (2) 式左邊極限存在式左邊極限存在, 但不等于但不等于 如上節(jié)例如上節(jié)例1、2 給出的函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù)給出的函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù); 例例3、4、5 0()f P0P是是 f 的的可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn). 時(shí)時(shí),給出的函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)給出的函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù). 又若把上述例又若把上述例3 的函數(shù)的函數(shù)改為改為222, ( ,)( ,)|,0 ,( ,),( ,)(0,0),1xyx yx yymx xxyf x ymx ym上，這時(shí)由于上，這時(shí)由于2( ,)(0,0)lim( ,)(0, 0),1x yymxmf x

4、 yfm 其中其中 m 為固定實(shí)數(shù)為固定實(shí)數(shù), 亦即函數(shù)亦即函數(shù) f 只定義在只定義在 ymx22, ( , )(0,0),( , )(0)0,( , )(0,0),xx yf x yxyx y 在坐標(biāo)原點(diǎn)的連續(xù)性在坐標(biāo)原點(diǎn)的連續(xù)性22( cos , sin )(cos )0,f rrrr ( , )(0,0)lim( , )0(0,0),x yf x yf 因此因此 此時(shí)此時(shí) f 在原點(diǎn)連在原點(diǎn)連因此因此 f 在原點(diǎn)沿著直線在原點(diǎn)沿著直線 是連續(xù)的是連續(xù)的ymx例例1 討論函數(shù)討論函數(shù) 解解 由于當(dāng)由于當(dāng) 20r 且且時(shí)時(shí), ,( , )(0,0)2,lim( , )x yf x y 時(shí)時(shí)續(xù)

5、續(xù); 而當(dāng)而當(dāng) 不存在，不存在， 此時(shí)此時(shí)f 在原點(diǎn)間斷在原點(diǎn)間斷 全增量與偏增量全增量與偏增量 00000(,)( ,),P xyP x yDxxxyyy 、設(shè)設(shè)0000(,)( ,)(,)zf xyf x yf xy 稱稱0000(,)(,)f xx yyf xy 量形式來描述連續(xù)性量形式來描述連續(xù)性, 即當(dāng)即當(dāng)為函數(shù)為函數(shù) f 在點(diǎn)在點(diǎn) 的全增量的全增量. 和一元函數(shù)一樣和一元函數(shù)一樣, 可用增可用增 0P(,)(0,0)( ,)lim0 xyx yDz 時(shí)時(shí), f 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)連續(xù). 0P00,xy 或或如果在全增量中取如果在全增量中取 則相應(yīng)得到的則相應(yīng)得到的 增量稱為偏增量增量稱

6、為偏增量, 分別記作分別記作000000(,)(,)(,),xf xyf xx yf xy 000000(,)(,)(,).yf xyf xyyf xy 一般說來一般說來, 函數(shù)的全增量并不等于相應(yīng)的兩個(gè)偏增函數(shù)的全增量并不等于相應(yīng)的兩個(gè)偏增量之和量之和. 若一個(gè)偏增量的極限為零若一個(gè)偏增量的極限為零, 如如 000lim(,)0,xxf xy 0yy 0( ,)f x y則表示當(dāng)固定則表示當(dāng)固定 時(shí)時(shí), 作為作為 x 的函數(shù)的函數(shù), 它它 在在 x0 連續(xù)連續(xù). 同理同理, 000lim(,)0,yyf xy 若若 則表示則表示當(dāng)當(dāng) 容易證明容易證明: 當(dāng)當(dāng) f 在其定義域的內(nèi)點(diǎn)在其定義域的

7、內(nèi)點(diǎn) 連續(xù)時(shí)連續(xù)時(shí), 00(,)xy0( ,)f x y0(,)f xy在在 x0 與與 在在 y0 都連續(xù)都連續(xù). 但是反過來但是反過來, 由二元函數(shù)對(duì)單個(gè)自變量都連續(xù)，一般不能保證該由二元函數(shù)對(duì)單個(gè)自變量都連續(xù)，一般不能保證該函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 (除非另外增加條件除非另外增加條件). 例如二元函數(shù)例如二元函數(shù)固定固定 時(shí)時(shí)， 0(,)f xy在在 y0 連續(xù)連續(xù). 0 xx10,( ,)00 xyf x yxy ，在原點(diǎn)處顯然不連續(xù)在原點(diǎn)處顯然不連續(xù), 但由于但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原點(diǎn)處對(duì)因此它在原點(diǎn)處對(duì) x 和對(duì)和對(duì) y 分別都連續(xù)分別都

8、連續(xù). 例例2 設(shè)在區(qū)域設(shè)在區(qū)域 2R( , )Df x yxy 上上分分別別對(duì)對(duì)和和對(duì)對(duì)都都連連續(xù)試證在下列條件之一滿足時(shí)，續(xù)試證在下列條件之一滿足時(shí)， ( , )f x yD在在上上處處連續(xù)：處處連續(xù)： (i) 對(duì)其中一個(gè)變量對(duì)其中一個(gè)變量 (例如例如 y) 滿足李普希茨條件滿足李普希茨條件, 即即 0,L12( ,),( ,),x yx yD 恒恒有有使得對(duì)任何使得對(duì)任何 1212( ,)( ,);f x yf x yL yy(ii) 對(duì)其中一個(gè)變量對(duì)其中一個(gè)變量 (x) 的連續(xù)關(guān)于另一個(gè)變量的連續(xù)關(guān)于另一個(gè)變量 (y) 是一致的是一致的, 即即 00,0,0(,xx 只只與與有有關(guān)關(guān)0

9、),|,( , ),yxxx yD 而而與與無無關(guān)關(guān)當(dāng)當(dāng)且且時(shí)時(shí) 對(duì)對(duì)一一切切0( , )(, ).yf x yf xy 恒有恒有(iii) 參見本節(jié)習(xí)題第參見本節(jié)習(xí)題第 9 題題 (這里不作證明這里不作證明). 證證(i)0000(,).( ,),xyDf x yx 因因在在連連續(xù)續(xù) 故故任任給給1010,|,xx當(dāng)時(shí) 有當(dāng)時(shí) 有0, 000( ,)(,)2;f x yf xy 又當(dāng)又當(dāng) 02|2,yyL 時(shí)時(shí) 滿滿足足00( , )( ,)|2.f x yf x yL yy 12min, 令令則則當(dāng)當(dāng)000( , )(,)( , )( ,)f x yf xyf x yf x y 000(

10、,)(,)22,f x yf xy ( , )x yD 且且00|,|xxyy ,時(shí)時(shí) 又又有有.D在在上上處處處處連連續(xù)續(xù)0000(,).(,),fxyxyf即即在在連連續(xù)續(xù) 由由的的任任意意性性 便便知知(ii)0000(,).(, ),0,xyDf xyy 因因在在連連續(xù)續(xù) 故故1010,|,yy當(dāng)時(shí) 有當(dāng)時(shí) 有000|(, )(,)|2;f xyf xy 又由又由 f 對(duì)對(duì) x 的連續(xù)關(guān)于的連續(xù)關(guān)于 y 是一致的是一致的, 故故 20, 使使02|,( , ),yyx yD 當(dāng)且時(shí) 有當(dāng)且時(shí) 有0|( , )(, )|2.f x yf xy 1200min,|,|xxyy 令則當(dāng)令則當(dāng)

11、( , ),x yD 且且時(shí)時(shí) 又又有有000( , )(,)( , )(, )f x yf xyf x yf xy 000(, )(,)22,f xyf xy 這就證得這就證得 .fD在在上上處處處處連連續(xù)續(xù) 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 以及相應(yīng)的有理運(yùn)算的各個(gè)法則以及相應(yīng)的有理運(yùn)算的各個(gè)法則. 下面只證明二元下面只證明二元若二元函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)若二元函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù), 則與一元函數(shù)一樣則與一元函數(shù)一樣, 可以可以證明它在這一點(diǎn)近旁具有局部有界性、局部保號(hào)性證明它在這一點(diǎn)近旁具有局部有界性、局部保號(hào)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理, 其余留給讀者自己去練習(xí)其余留給讀者自己

12、去練習(xí). 定理定理16.7 (復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( ,)ux y 和和 義義, 并在點(diǎn)并在點(diǎn) Q0 連續(xù)連續(xù), 其中其中 000000(,),(,).uxyvxy 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) ( ,)( ( ,), ( ,)g x yfx yx y 在點(diǎn)在點(diǎn) P0 也也 連續(xù)連續(xù). 證證 由由 f 在點(diǎn)在點(diǎn) Q0 連續(xù)可知：連續(xù)可知：0,0, 使得當(dāng)使得當(dāng) ( ,)vx y 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有的某鄰域內(nèi)有定義定義, 并在并在 000(,)P xy點(diǎn)點(diǎn) 連續(xù)連續(xù); f (u, v) 在點(diǎn)在點(diǎn) 000(,)Q u v0P的某鄰域內(nèi)有定的某鄰域內(nèi)有定00|( , )(,)

13、|.f u vf uv 00|, |uuvv時(shí)時(shí), 有有又由又由 、 在點(diǎn)在點(diǎn) P0 連續(xù)可知連續(xù)可知: 對(duì)上述對(duì)上述 0,0, 使使得當(dāng)?shù)卯?dāng)00|,|xxyy 時(shí)時(shí), 有有000|( , )(,)|,uuu vuv 000|( , )(,)|.vvu vuv 0000|( ,)(,)|( , )(,)|.g x yg xyf u vf uv 00|,|xxyy 綜合起來綜合起來, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 便有便有所以所以 ( ( ,),( ,)fx yx y 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)連續(xù). 000(,)P xy二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的整

14、體性質(zhì). 這這 可以看作閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣可以看作閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣. 定理定理16. 8 ( 有界性定理與最大、小值定理有界性定理與最大、小值定理 ) 若二元若二元 函數(shù)函數(shù) f 在在有界閉域有界閉域2RD 上連續(xù)上連續(xù), 則則 f 在在 D上有界上有界, 且能取得最大值與最小值且能取得最大值與最小值. |()|,1, 2,.(3)nf Pnn 證證 先證明先證明 f 在在 D 上有界上有界. 倘若不然倘若不然, 則則 +N ,n 存存 ,nPD 使得使得 在在 nPD nP于是得到一個(gè)有界點(diǎn)列于是得到一個(gè)有界點(diǎn)列 , 且能使且能使中有無中有無 窮多個(gè)不同的點(diǎn)窮多個(gè)不

15、同的點(diǎn). 由聚點(diǎn)定理的推論由聚點(diǎn)定理的推論,nP 存在收斂存在收斂 knP0limknkPP 0.PD 子列子列,設(shè)設(shè). 因因 D 是閉域是閉域, 從而從而 又因又因 f 在在 D上連續(xù)上連續(xù), 當(dāng)然在點(diǎn)當(dāng)然在點(diǎn) 也連續(xù)也連續(xù), 于是有于是有0P0lim()().knkf Pf P 這與不等式這與不等式 (3) 矛盾，所以矛盾，所以 f 是是 D上的有界函數(shù)上的有界函數(shù). 下面證明下面證明 f 在在 D 上能取到最大、小值上能取到最大、小值. 為此設(shè)為此設(shè) inf(),sup().mf DMf DQD ()f QM 可證必有一點(diǎn)可證必有一點(diǎn), 使使(同理可證存在同理可證存在 QD ()f Qm

16、 PD , 使使). 如若不然如若不然, 對(duì)任意對(duì)任意, 都都 有有( )0Mf P. 考察考察 D 上的正值連續(xù)函數(shù)上的正值連續(xù)函數(shù) 1( ),( )F PMf P 由前面的證明知道由前面的證明知道, F 在在 D上有界上有界. 又因又因 f 不能在不能在 D 上達(dá)到上確界上達(dá)到上確界 M, 所以存在收斂點(diǎn)列所以存在收斂點(diǎn)列nPD , 使使 lim()nnf PM lim()nnF P . 于是有于是有, 這導(dǎo)致與這導(dǎo)致與 F 在在 D 上有界的結(jié)論相矛盾上有界的結(jié)論相矛盾, 從而證得從而證得 f 在在 D 上能取上能取 到最大值到最大值.定理定理16.9 (一致連續(xù)性定理一致連續(xù)性定理)

17、若函數(shù)若函數(shù) f 在有界閉域在有界閉域 2RD 0, 上連續(xù)上連續(xù), 則則 f 在在 D 上一致連續(xù)上一致連續(xù). 即即存存 0, ( ,)P Q 在只依賴于在只依賴于 的的 使得對(duì)一切滿足使得對(duì)一切滿足證證 本定理可參照第七章中證明一致連續(xù)性定理的本定理可參照第七章中證明一致連續(xù)性定理的 理來證明理來證明. 這里我們采用后一種證法這里我們采用后一種證法. 方法方法, 運(yùn)用有限覆蓋定理來證明運(yùn)用有限覆蓋定理來證明, 也可以運(yùn)用聚點(diǎn)定也可以運(yùn)用聚點(diǎn)定 倘若倘若 f 在在 D 上連續(xù)而不一致連續(xù)上連續(xù)而不一致連續(xù), 則存在某則存在某00, 0, 1,1, 2,n n 對(duì)對(duì)于任意小的于任意小的例如例如

18、 , 總有總有 ,P QD |()()|.f Pf Q 必有必有 的的點(diǎn)點(diǎn)nnPQD 、(,)1nnP Qn 相應(yīng)相應(yīng)的的 , 雖然雖然, 但是但是 0|()()|.nnf Pf Q 由于由于 D 為有界閉域?yàn)橛薪玳]域, 因此存在收斂子列因此存在收斂子列,knnPP 0limknkPPD nQknP并設(shè)并設(shè) . 再在再在中取出與中取出與下下 標(biāo)相同的子列標(biāo)相同的子列,knQ 則因則因0(,)10,kknnkPQnk 有有0limlimkknnkkQPP. 最后最后, 由由f在在 P0 連續(xù)連續(xù), 得得 00lim |()()|()()|0.kknnkf Pf Qf Pf Q 0|()()|0k

19、knnf Pf Q 這與這與相矛盾相矛盾, 所以所以 f 在在 D 上一致連續(xù)上一致連續(xù). 定理定理16.10(介值性定理介值性定理) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f在區(qū)域在區(qū)域2RD 上連續(xù)上連續(xù), 若若P1 , P2 為為 D 中任意兩點(diǎn)中任意兩點(diǎn), 且且12()(),f Pf P 則對(duì)任何滿足不等式則對(duì)任何滿足不等式12()()(4)f Pf P 證證 作輔助函作輔助函數(shù)數(shù)0PD 0().f P 的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) , 必存在點(diǎn)必存在點(diǎn), 使得使得 ()(),.F Pf PPD 易見易見 F 仍在仍在 D 上連續(xù)上連續(xù), 且由且由(4)式知道式知道1()0,F P 2()0.F P 0PD 0()0.F P

20、下面證明必存在下面證明必存在, 使使 1P2PDxyO圖圖 16 -18 由于由于 D 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域, 我們可以用有限段都在我們可以用有限段都在 D 中的折線中的折線 連結(jié)連結(jié) P1 和和 P2 (如圖如圖 16-18). 若有某一個(gè)連接點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為若有某一個(gè)連接點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 0, 則定理得則定理得 證證. 否則從一端開始逐段檢查否則從一端開始逐段檢查, 必定存在某直線段必定存在某直線段, 使得使得 F 在它兩端的函數(shù)值異號(hào)在它兩端的函數(shù)值異號(hào). 不失一般性不失一般性, 設(shè)連結(jié)設(shè)連結(jié)P1(x1, y1), P2(x2, y2) 的直線段含于的直線段含于 D, 其方程為其方程為 12

21、1121(),01.(),xxt xxtyyt yy 在此直線段上在此直線段上, F 變?yōu)殛P(guān)于變?yōu)殛P(guān)于 t 的復(fù)合函數(shù)：的復(fù)合函數(shù)：121121( )(),(),01.G tF xt xxyt yyt 由于由于 G 為為 0, 1 上的一元連續(xù)函數(shù)上的一元連續(xù)函數(shù), 且且 12()(0)0(1)(),F PGGF P 因此由一元函數(shù)根的存在定理因此由一元函數(shù)根的存在定理, 在在 (0, 1) 內(nèi)存在一點(diǎn)內(nèi)存在一點(diǎn) 0,t0( )0G t 使得使得. 記記0102101021(),(),xxtxxyytyy 則有則有000(,)P xyD , 使得使得000()( )0,().F PG tf P 即即有連通性的有連通性的. 界閉集界閉集 (證明過程無原則性變化證明過程無原則性變化). 但是介值性定理但是介值性定理 中所考察的點(diǎn)集中所考察的點(diǎn)集 D 只能假設(shè)是一區(qū)域只能假設(shè)是一區(qū)域, 這是為了保這是為了保 證它具有連通性證它具有連通性, 而一般的開集或閉集是不一定具而一般的開集或閉集是不一定具 續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù), 則則 f (D) 必定是一個(gè)區(qū)間必定是一個(gè)區(qū)間 (有限或無限有限或無限). 注注2 由定理由定理16. 10 又可知道又可知道, 若若 f 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 D 上的連上的連例例3 ( , ) , , f