二元一次不等式組和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

1、 二元一次不等式二元一次不等式(組組)與與 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)二元一次不等式二元一次不等式(組組)與與 憶憶 一一 憶憶 知知 識(shí)識(shí) 要要 點(diǎn)點(diǎn) (1)一般地，二元一次不等式一般地，二元一次不等式AxByC0在平面在平面直角坐標(biāo)系中表示直線直角坐標(biāo)系中表示直線AxByC0某一側(cè)所有點(diǎn)某一側(cè)所有點(diǎn)組成的組成的_我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域_邊界直線當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫不等式邊界直線當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)_邊界直邊界直線，則把邊界直線畫成線，則把邊界

2、直線畫成_ (2)由于對(duì)直線由于對(duì)直線AxByC0同一側(cè)的所有點(diǎn)同一側(cè)的所有點(diǎn)(x , y),把它的坐標(biāo)把它的坐標(biāo)(x，y)代入代入AxByC所得到實(shí)數(shù)的符所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都號(hào)都_，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)點(diǎn)(x0，y0)，由，由Ax0By0C的的_即可判斷即可判斷AxByC0表示直線表示直線AxByC0哪一側(cè)的平面區(qū)域哪一側(cè)的平面區(qū)域1二元一次不等式表示的平面區(qū)域二元一次不等式表示的平面區(qū)域平面區(qū)域平面區(qū)域不包括不包括包括包括實(shí)線實(shí)線符號(hào)符號(hào)相同相同憶憶 一一 憶憶 知知 識(shí)識(shí) 要要 點(diǎn)點(diǎn)確定步驟：確定步驟： 直線定界直線定界,特殊點(diǎn)定域；特殊

3、點(diǎn)定域； l 若若C0,特殊點(diǎn)取原點(diǎn)特殊點(diǎn)取原點(diǎn)(0, 0);若不等式中不含等號(hào)，則邊界應(yīng)畫成虛線，否若不等式中不含等號(hào)，則邊界應(yīng)畫成虛線，否 則應(yīng)畫成實(shí)線則應(yīng)畫成實(shí)線.l 若若C=0,特殊點(diǎn)取特殊點(diǎn)取(1,0), 或或(0,1).1二元一次不等式表示的平面區(qū)域二元一次不等式表示的平面區(qū)域1.1.下列各點(diǎn)中下列各點(diǎn)中, ,不在不在x x+ +y y-10-10表示的平面區(qū)域的表示的平面區(qū)域的 是是 （ ） A.A.（0 0，0 0） B.B.（-1-1，1 1） C.C.（-1-1，3 3） D.D.（2 2，-3-3） 解析解析 將選項(xiàng)將選項(xiàng)A A、B B、C C、D D中的坐標(biāo)代入中的坐標(biāo)

4、代入x x+ +y y-1-1驗(yàn)驗(yàn) 證可得證可得C C符合題意符合題意. . C基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)12.若點(diǎn)若點(diǎn)(1,3)和和(4，2)在直線在直線2xym0的兩側(cè)，則的兩側(cè)，則m的取值范圍的取值范圍是是_. (1)不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分，但要注意是否包含邊界平面區(qū)域的公共部分，但要注意是否包含邊界 (2)整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)所以平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有所以平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2468101242(個(gè)個(gè)

5、).xyO畫出可行域畫出可行域, 由可行域知有由可行域知有4個(gè)整點(diǎn)個(gè)整點(diǎn):B B (0,0),(0, 1),(1, 1),(2, 2). xyO【1】 （07 山東山東）設(shè)設(shè)D是不等式組是不等式組21023041xyxyxy，表示的平面區(qū)域，則表示的平面區(qū)域，則D中的點(diǎn)中的點(diǎn)()P xy，到直線到直線10 xy 距離的最大值是距離的最大值是 4 2(1,1)A|11 10|4 2.2d 【2】 （07安徽安徽）如果點(diǎn)如果點(diǎn)P在平面區(qū)域在平面區(qū)域22021020 xyxyxy 上上, ,點(diǎn)點(diǎn) Q在曲線在曲線1)2(22 yx上上, ,那么那么QP 的最小值為的最小值為( ( ) ) A A15

6、B B154 C C122 D D12 【2】 （07安徽安徽）如果點(diǎn)如果點(diǎn)P在平面區(qū)域在平面區(qū)域22021020 xyxyxy 上上, ,點(diǎn)點(diǎn) Q在曲線在曲線1)2(22 yx上上, ,那么那么QP 的最小值為的最小值為( ( ) ) A A15 B B154 C C122 D D12 A A2- -2- -1121- -1xoyPQ名稱名稱意義意義約束條件約束條件 由變量由變量x，y組成的組成的_線性約束線性約束條件條件由由x，y的的_不等式不等式(或方程或方程)組成的不等式組組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于關(guān)于x，y的的_解析式解析式線性目標(biāo)線性目標(biāo)函數(shù)函數(shù)關(guān)于關(guān)于x，y的的_解析式

7、解析式可行解可行解滿足滿足_的解的解(x , y)可行域可行域所有所有_組成的集合組成的集合最優(yōu)解最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得使目標(biāo)函數(shù)取得_或或_的可行解的可行解線性規(guī)劃線性規(guī)劃問(wèn)題問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的_或或_問(wèn)題問(wèn)題2線性規(guī)劃相關(guān)概念線性規(guī)劃相關(guān)概念憶憶 一一 憶憶 知知 識(shí)識(shí) 要要 點(diǎn)點(diǎn)不等式組不等式組一次一次函數(shù)函數(shù)線性約束條件線性約束條件一次一次可行解可行解最大值最大值最小值最小值最大值最大值最小值最小值xyO (1)線性目標(biāo)函數(shù)的最大線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小小)值一般在可行域的頂點(diǎn)處取值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得得，也可能在邊

8、界處取得 (2)求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義所表示的幾何意義在在y軸上的截距或其相反數(shù)軸上的截距或其相反數(shù)52高考模擬訓(xùn)練高考模擬訓(xùn)練1C C y高考模擬訓(xùn)練高考模擬訓(xùn)練2Amax3 5 4 33,z min3 3 4 511.z xoy【6】已知已知x, y滿足滿足0,1,1.xyxyy 若若 取得最小值的點(diǎn)有無(wú)取得最小值的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，則窮多個(gè)，則m= .)0(mmyxz-1-11zyxmm (2, 1) ( 1, 1) 1 1(,)2 2111mm 【6】已知已知x, y滿足滿足0,1,1.xyxyy 若若

9、取得最大值的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，取得最大值的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，則則m= .zxmy1 11zyxmm 0m 時(shí)時(shí), ,11m 1m0m 時(shí)時(shí), ,解：畫出解：畫出xy，滿足的可行域，可得直線滿足的可行域，可得直線21yx與直線與直線xym的交點(diǎn)的交點(diǎn)使 目 標(biāo) 函 數(shù)使 目 標(biāo) 函 數(shù)zxy取 得 最 小 值 ， 故取 得 最 小 值 ， 故21yxxym ， 解 得， 解 得121,33mmxy， 代入代入1xy 得得1211533mmm 【7】 （08 陜陜西西）已已知知實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) xy， 滿滿足足121yyxxym，如如果果目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)zxy的的最最小小值值為為 1 ，則則實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)m 等等于于（

10、 ） A7 B5 C4 D3 B B利用幾何意義求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題利用幾何意義求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題非線性標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題非線性標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題min1( 3)4,d xyO22(1)(1)(1)xy 求求的的最最值值；求求 = =的的取取值值范范圍圍. .2(2)1yzx 【3】已知】已知x、y滿足條件滿足條件220,0,0.xyxy = =max2,z= =min5.5zM1,2.BNANkk N，或或12zz 【例【例3】某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐，已】某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐，已知一個(gè)單位的午餐含知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物，個(gè)單位的碳水化

11、合物，6個(gè)單個(gè)單位的蛋白質(zhì)和位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐；一個(gè)單位的晚餐含含8個(gè)單位的碳水化合物，個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)個(gè)單位的維生素單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含至少含64個(gè)單位的碳水化合物，個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)個(gè)單位的蛋白質(zhì)和和54個(gè)單位的維生素個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是的費(fèi)用分別是2.5元和元和4元，那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要元，那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)求，并且

12、花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐？單位的午餐和晚餐？ 比較之比較之, zB最小最小, 因此因此, 應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個(gè)單位的午餐個(gè)單位的午餐和和3個(gè)單位的晚餐個(gè)單位的晚餐, 就可滿足要求就可滿足要求 解線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟是：解線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟是：(1)分析題意，設(shè)出未分析題意，設(shè)出未知量；知量；(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(3)作出可行域并利用作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答作答 某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告，廣告

13、總費(fèi)用不超過(guò)分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元，甲、乙電萬(wàn)元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元元/分鐘和分鐘和200元元/分鐘，分鐘，假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來(lái)的收益分別為能給公司帶來(lái)的收益分別為0.3萬(wàn)元和萬(wàn)元和0.2萬(wàn)元問(wèn)該萬(wàn)元問(wèn)該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬(wàn)元？使公司的收益最大，最大收益是多少萬(wàn)元？由由題題意意得得3 0 05 0 02 0 09 0 0 0 000 .xyxyxy，

14、 目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)為為3 0 0 02 0 0 0zxy 二二元元一一次次不不等等式式組組等等價(jià)價(jià)于于3 0 0529 0 000 .xyxyxy， 作作出出二二元元一一次次不不等等式式組組所所表表示示的的平平面面區(qū)區(qū)域域，即即可可行行域域 如如圖圖： 作作直直線線: 3 0 0 02 0 0 00lxy， 即即320 xy 平平移移直直線線l，從從圖圖中中可可知知，當(dāng)當(dāng)直直線線l過(guò)過(guò)M點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)取取得得最最大大值值 解解:設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x，y分鐘分鐘, 總收益為總收益為z萬(wàn)元，萬(wàn)元，由由題題意意得得30

15、05002009000000.xyxyxy， 目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)為為30002000zxy 二二元元一一次次不不等等式式組組等等價(jià)價(jià)于于3005290000.xyxyxy， 作作出出二二元元一一次次不不等等式式組組所所表表示示的的平平面面區(qū)區(qū)域域，即即可可行行域域 如如圖圖： 作作直直線線:300020000lxy， 即即320 xy 平平移移直直線線l，從從圖圖中中可可知知，當(dāng)當(dāng)直直線線l過(guò)過(guò)M點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)取取得得最最大大值值 由由題題意意得得3005002009000000.xyxyxy， 目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)為為30002000zxy 二二元元一一次次不不等等式式組組等等價(jià)價(jià)于于

16、3005290000.xyxyxy， 作作出出二二元元一一次次不不等等式式組組所所表表示示的的平平面面區(qū)區(qū)域域，即即可可行行域域 如如圖圖： 作作直直線線:300020000lxy， 即即320 xy 平平移移直直線線l，從從圖圖中中可可知知，當(dāng)當(dāng)直直線線l過(guò)過(guò)M點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)取取得得最最大大值值 由由題題意意得得3005002009000000.xyxyxy， 目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)為為30002000zxy 二二元元一一次次不不等等式式組組等等價(jià)價(jià)于于3005290000.xyxyxy， 作作出出二二元元一一次次不不等等式式組組所所表表示示的的平平面面區(qū)區(qū)域域，即即可可行行域域 如如

17、圖圖： 作作直直線線:300020000lxy， 即即320 xy 平平移移直直線線l，從從圖圖中中可可知知，當(dāng)當(dāng)直直線線l過(guò)過(guò)M點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)取取得得最最大大值值 聯(lián)聯(lián)立立30052900.xyxy， 解解得得100200 xy， 點(diǎn)點(diǎn)M的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為( 100200)， max30002000700000zxy（元元） 答答：該該公公司司在在甲甲電電視視臺(tái)臺(tái)做做100分分鐘鐘廣廣告告， 在在乙乙電電視視臺(tái)臺(tái)做做200分分鐘鐘廣廣告告，公公司司的的收收益益最最大大， 最最大大收收益益是是70萬(wàn)萬(wàn)元元 聯(lián)聯(lián)立立30052900.xyxy， 解解得得100200 xy， 點(diǎn)點(diǎn)M的的

18、坐坐標(biāo)標(biāo)為為(100200)， max30002000700000zxy（元元） 答答：該該公公司司在在甲甲電電視視臺(tái)臺(tái)做做100分分鐘鐘廣廣告告， 在在乙乙電電視視臺(tái)臺(tái)做做200分分鐘鐘廣廣告告，公公司司的的收收益益最最大大， 最最大大收收益益是是70萬(wàn)萬(wàn)元元 聯(lián)聯(lián)立立30052900.xyxy， 解解得得100200 xy， 點(diǎn)點(diǎn)M的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為(100200)， max30002000700000zxy（元元） 答答：該該公公司司在在甲甲電電視視臺(tái)臺(tái)做做100分分鐘鐘廣廣告告， 在在乙乙電電視視臺(tái)臺(tái)做做200分分鐘鐘廣廣告告，公公司司的的收收益益最最大大， 最最大大收收益益是是70萬(wàn)萬(wàn)

19、元元 答答:該公司在甲電視臺(tái)做該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告分鐘廣告,在乙電視臺(tái)做在乙電視臺(tái)做200分分鐘廣告鐘廣告,公司的收益最大公司的收益最大,最大收益是最大收益是70萬(wàn)元萬(wàn)元 5.5.（20092009湖北）湖北）在在“家電下鄉(xiāng)家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)中，某廠要活動(dòng)中，某廠要 將將100100臺(tái)洗衣機(jī)運(yùn)往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)臺(tái)洗衣機(jī)運(yùn)往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn). .現(xiàn)有現(xiàn)有4 4輛甲型貨車輛甲型貨車 和和8 8輛乙型貨車可供使用輛乙型貨車可供使用. .每輛甲型貨車運(yùn)輸費(fèi)用每輛甲型貨車運(yùn)輸費(fèi)用 400400元，可裝洗衣機(jī)元，可裝洗衣機(jī)2020臺(tái)；每輛乙型貨車運(yùn)輸費(fèi)用臺(tái)；每輛乙型貨車運(yùn)輸費(fèi)用 300300元元, ,可裝洗衣機(jī)可裝洗衣機(jī)1010臺(tái)臺(tái). .若每輛車至多只運(yùn)一次若每輛車至多只運(yùn)一次, ,則則 該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為 （ ） A.2 000A.2 000元元 B.2 200B.2 200元元 C.2 400C.2 400元元 D.2 800D.2 800元元 解析解析 設(shè)需甲型貨車設(shè)需甲型貨車x x輛，乙型貨車輛，乙型貨車y y輛，由題意知輛，由題意知作出其可行域如圖所示，作出其可行域如圖所示，可知目標(biāo)函數(shù)可知