矩陣的特征值和特征向量

1、第五章 矩陣的特征值和特征向量來源：線性代數(shù)精品課程組 作者：線性代數(shù)精品課程組1教學(xué)目的和要求：(1) 理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量.(2) 了解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，會(huì)將矩陣化為相似對(duì)角矩陣.(3) 了解實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).2教學(xué)重點(diǎn)：(1) 會(huì)求矩陣的特征值與特征向量.(2) 會(huì)將矩陣化為相似對(duì)角矩陣.3教學(xué)難點(diǎn)：將矩陣化為相似對(duì)角矩陣.4教學(xué)內(nèi)容： 本章將介紹矩陣的特征值、特征向量及相似矩陣等概念，在此基礎(chǔ)上討論矩陣的對(duì)角化問題. 1 矩陣的特征值和特征向量定義1 設(shè)是一個(gè)階方陣，是一個(gè)數(shù)，如果方程

2、(1)存在非零解向量，則稱為的一個(gè)特征值，相應(yīng)的非零解向量稱為屬于特征值的特征向量 （1）式也可寫成， (2)這是個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式 , (3)即 上式是以為未知數(shù)的一元次方程，稱為方陣的特征方程 其左端是的次多項(xiàng)式，記作，稱為方陣的特征多項(xiàng)式 = =顯然，的特征值就是特征方程的解特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，其個(gè)數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），因此，階矩陣有個(gè)特征值設(shè)階矩陣的特征值為由多項(xiàng)式的根與系數(shù)之間的關(guān)系，不難證明（）（）若為 的一個(gè)特征值，則一定是方程的根, 因此又稱特征根，若為方程的重根，則稱為的重特征根方程 的每一個(gè)非零解向量都是

3、相應(yīng)于的特征向量，于是我們可以得到求矩陣的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：計(jì)算的特征多項(xiàng)式； 第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值； 第三步：對(duì)于的每一個(gè)特征值，求出齊次線性方程組： 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的屬于特征值的全部特征向量是 （其中是不全為零的任意實(shí)數(shù)）例1 求的特征值和特征向量.解 的特征多項(xiàng)式為=所以的特征值為 當(dāng)=2時(shí)，解齊次線性方程組得解得令=1，則其基礎(chǔ)解系為：=因此，屬于=2的全部特征向量為：.當(dāng)=4時(shí)，解齊次線性方程組得令=1，則其基礎(chǔ)解系為：因此的屬于=4的全部特征向量為注：若是的屬于的特征向量，則也是對(duì)應(yīng)于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一確定

4、反之，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量不會(huì)相等，亦即一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值.例2 求矩陣 的特征值和特征向量.解 的特征多項(xiàng)式為 = ，所以的特征值為=2（二重根），.對(duì)于=2，解齊次線性方程組由 ，得基礎(chǔ)解系為： 因此，屬于=2的全部特征向量為：不同時(shí)為零.對(duì)于，解齊次線性方程組由 ， 得基礎(chǔ)解系為：因此，屬于的全部特征向量為： 由以上討論可知，對(duì)于方陣的每一個(gè)特征值，我們都可以求出其全部的特征向量但對(duì)于屬于不同特征值的特征向量，它們之間存在什么關(guān)系呢？這一問題的討論在對(duì)角化理論中有很重要的作用對(duì)此我們給出以下結(jié)論：定理1 屬于不同特征值的特征向量一定線性無關(guān).證明 設(shè)是矩陣的不同特征值，而

5、分別是屬于的特征向量，要證是線性無關(guān)的.我們對(duì)特征值的個(gè)數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí),由于特征向量不為零,所以結(jié)論顯然成立.當(dāng)1時(shí),假設(shè)時(shí)結(jié)論成立.由于是的不同特征值,而是屬于的特征向量,因此 如果存在一組實(shí)數(shù)使 (3)則上式兩邊乘以得 (4)另一方面, ,即 (5)(4)(5)有 由歸納假設(shè), 線性無關(guān),因此 而互不相同,所以于是(3)式變?yōu)?因,于是可見線性無關(guān)課后作業(yè)：習(xí)題五12 相似矩陣定義2 設(shè)、都是階方陣，若存在滿秩矩陣， 使得 則稱與相似，記作 ，且滿秩矩陣稱為將變?yōu)榈南嗨谱儞Q矩陣“相似”是矩陣間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有如下性質(zhì)： 反身性： ； 對(duì)稱性：若 ，則 ； 傳遞性：若， ，

6、則 相似矩陣還具有下列性質(zhì)：定理2 相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，因而有相同的特征值.證明設(shè)， 則存在滿秩矩陣，使于是 推論 若階矩陣與對(duì)角矩陣 相似，則即是的個(gè)特征值定理3 設(shè)是矩陣的屬于特征值的特征向量,且,即存在滿秩矩陣使,則是矩陣的屬于的特征向量證明 因是矩陣的屬于特征值的特征向量，則有 于是 所以是矩陣的屬于的特征向量下面我們要討論的主要問題是：對(duì)階矩陣，尋求相似變換矩陣，使為對(duì)角矩陣，這就稱為把方陣對(duì)角化定理4 階矩陣與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是：矩陣有個(gè)線性無關(guān)的分別屬于特征值的特征向量（中可以有相同的值）證明必要性 設(shè)與對(duì)角矩陣相似，則存在滿秩矩陣，使 =設(shè)則由上式得 即 ，因

7、此 所以是的特征值，是的屬于的特征向量，又因是滿秩的，故 線性無關(guān). 充分性 如果有個(gè)線性無關(guān)的分別屬于特征值的特征向量，則有 設(shè)則是滿秩的，于是 ，即 =注：由定理4，一個(gè)階方陣能否與一個(gè)階對(duì)角矩陣相似，關(guān)鍵在于它是否有個(gè)線性無關(guān)的特征向量（1）如果一個(gè)階方陣有個(gè)不同的特征值，則由定理1可知，它一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，因此該矩陣一定相似于一個(gè)對(duì)角矩陣.（2）如果一個(gè)階方陣有個(gè)特征值（其中有重復(fù)的），則我們可分別求出屬于每個(gè)特征值的基礎(chǔ)解系，如果每個(gè)重特征值的基礎(chǔ)解系含有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則該矩陣與一個(gè)對(duì)角矩陣相似.否則該矩陣不與一個(gè)對(duì)角矩陣相似可見，如果一個(gè)階方陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向

8、量，則該矩陣與一個(gè)階對(duì)角矩陣相似，并且以這個(gè)線性無關(guān)的特征向量作為列向量構(gòu)成的滿秩矩陣，使為對(duì)角矩陣，而對(duì)角線上的元素就是這些特征向量順序?qū)?yīng)的特征值例3 設(shè)矩陣，求一個(gè)滿秩矩陣，使為對(duì)角矩陣解 的特征多項(xiàng)式為 所以的特征值為.對(duì)于 解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，即為的兩個(gè)特征向量對(duì)于=2，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系 ，即為的一個(gè)特征向量. 顯然是線性無關(guān)的，取 ，即有 .例4 設(shè) ，考慮是否相似于對(duì)角矩陣解 所以的特征值為.對(duì)于 解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系即為一個(gè)特征向量，對(duì)于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，即為的另一個(gè)特征向量. 由于只有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，因此不能相似于一個(gè)對(duì)角矩

9、陣課后作業(yè)：習(xí)題五 1316 向量組的正交性在解析幾何中，二維、三維向量的長(zhǎng)度以及夾角等度量性質(zhì)都可以用向量的內(nèi)積來表示，現(xiàn)在我們把內(nèi)積推廣到維向量中定義3 設(shè)有維向量，令 =，則稱為向量和的內(nèi)積注：內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，若用矩陣形式表示，當(dāng)和是行向量時(shí)，當(dāng)和都是列向量時(shí)，內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中為維向量，為常數(shù)）：（1）=；（2）=；（3）=+；（4），當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)等號(hào)成立定義4 令 |=稱|為維向量的模（或長(zhǎng)度）向量的模具有如下性質(zhì)：（1）當(dāng)0時(shí)，|0；當(dāng)=0時(shí)，|=0；（2）|=| |，（為實(shí)數(shù)）；（3）|；（4）|+|；特別地，當(dāng)|=1時(shí)，稱為單位向量.如果|0，由性質(zhì)（2），向量是一

10、個(gè)單位向量可見，用向量的模去除向量，可得到一個(gè)與同向的單位向量，我們稱這一運(yùn)算為向量的單位化，或標(biāo)準(zhǔn)化 如果、都為非零向量，由性質(zhì)（3） 1，于是有下述定義：定義5 當(dāng)| 0，|0時(shí) 稱為維向量、的夾角特別地：當(dāng)=0時(shí)，因此有定義 當(dāng)=0時(shí)，稱向量與正交（顯然，若=0，則與任何向量都正交）向量的正交性可推廣到多個(gè)向量的情形.定義6 已知個(gè)非零向量，若=0 ，則稱為正交向量組定義7 若向量組為正交向量組，且|=1，則稱為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組例如，維單位向量組=，是正交向量組正交向量組有下述重要性質(zhì)：定理5 正交向量組是線性無關(guān)的向量組定理的逆命題一般不成立，但是任一線性無關(guān)的向量組總可以通過如下所述的

11、正交化過程，構(gòu)成正交化向量組，進(jìn)而通過單位化，構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交向量組定理6設(shè)向量組線性無關(guān)，由此可作出含有個(gè)向量的正交向量組，其中， ， ， .再取 則為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組上述從線性無關(guān)向量組導(dǎo)出正交向量組的過程稱為施密特（Schimidt）正交化過程它不僅滿足與等價(jià)，還滿足：對(duì)任何，向量組與等價(jià)例5 把向量組=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組解 容易驗(yàn)證，是線性無關(guān)的.將，正交化，令=，=，再把單位化 ， 則即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組定理7 若是維正交向量組，則必有維非零向量，使，成為正交向量組推論 含有個(gè)（）向量的維正交（或標(biāo)準(zhǔn)正交）向量組，總可以添

12、加個(gè)維非零向量，構(gòu)成含有個(gè)向量的維正交向量組例6 已知，求一組非零向量，使，成為正交向量組.解 應(yīng)滿足方程=0，即 .它的基礎(chǔ)解系為 把基礎(chǔ)解系正交化，即為所求亦即取 其中于是得 定義8 如果階矩陣滿足（即），那么稱為正交矩陣正交矩陣具有如下性質(zhì)：（1）矩陣為正交矩陣的充分必要條件是；（2）正交矩陣的逆矩陣是正交矩陣；（3）兩個(gè)正交矩陣的乘積仍是正交矩陣；（4）正交矩陣是滿秩的，且|=1或由等式 可知，正交矩陣的元素滿足關(guān)系式 （其中）可見正交矩陣任意不同兩行（列）對(duì)應(yīng)元素乘積之和為0，同一行（列）元素的平方和為1，因此正交矩陣的行（列）所構(gòu)成的向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，反之亦然于是有定理8 一個(gè)階矩陣為正交矩陣的充分必要條件是它的行（或列）向量組是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組課后作業(yè)：習(xí)題五 14 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化在中，我們討論了相似矩陣的概念和性質(zhì)以及一般的階矩陣與對(duì)角矩陣相似的問題本節(jié)將進(jìn)一步討論用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣的問題為此首先給出下面幾個(gè)定理定理9 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值恒為實(shí)數(shù)從而它的特征向量都可取為實(shí)向量定理10實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值的特征向量是正交的證明 設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣的兩個(gè)不同的特征值，即 是分別屬于的特征向量，則 ，根據(jù)內(nèi)積的性質(zhì)有 ，又 所以 ，因 ，故 ，即與 正交.定理11設(shè)為階對(duì)稱矩陣，是的特征方程的重根，則矩陣的秩