第五章樁基礎(chǔ)的計算與

1、第五第五章章 樁基樁基礎(chǔ)的計算與分析礎(chǔ)的計算與分析5.1 5.1 概述（略概述（略）5.2 5.2 豎直荷載下樁基礎(chǔ)的受力分析豎直荷載下樁基礎(chǔ)的受力分析5.2.1 豎向荷載下單樁受力的性狀在實際工程中，樁基通常是由一群樁所組成。而群樁分析的理論很大程度取決于單樁的受力分析。因而許多學者對單樁工作機理進行了研究，并提出許多預估的方法。目前，大體上可歸納為四種方法，即：荷載傳遞法；彈性理論法；剪切位移法；有限單元法。1.荷載傳遞法荷載傳遞法首先是由Seed和Reese在1995年提出。此后，Kezdl(1957)、佐藤悟（1965），Coyle和Reese（1966）、Holloway(1975)

2、以及Vijayvergiya(1977)等相繼在此基礎(chǔ)上有所發(fā)展。這些方法的基本概念是把樁視作由許多彈性單位組成，每一單元與土體之間（包括樁尖）都用非線性彈簧聯(lián)系，如圖11.1所示。這些非線性彈簧表示樁側(cè)摩阻力（或樁尖阻力）與剪切位移（或樁尖位移）之間的關(guān)系，通常統(tǒng)稱為荷載傳遞函數(shù)或t-s曲線。在樁上取一單元體，由單元體的靜力平衡條件可得：LiS1iPiP1iPbPQzPZzPPdzzdz1nPbnPPnSnSnP單元nn/ 2l/ 2l荷載傳遞法的計算圖式zzPUz 5.1式中 -樁截面周長， -樁側(cè)壁摩阻力?？紤]到單元的彈性應(yīng)變量隨深度z值得增加而減小，于是有 2UzPsPAEz 5.2對

3、式（11.2）求導，并與式（11.1）聯(lián)合，則有22zpsUzAE5.3式（11.3）式傳遞函數(shù)法的基本微分方程，樁身的豎向位移s的求解取決于樁土之間的傳遞函數(shù) 曲線（即 曲線）。 zstztzVijayvergiya(1977)對樁測、樁底分別提出相應(yīng)的傳遞函數(shù)表達式：max2cscszzffzz5.4其中maxmax2mmVfcfKtg （粘土）（砂土）式中 樁單元的位移 位移為z時，樁側(cè)的摩阻力； 樁側(cè)摩阻力達到時的樁單元的臨界位移值；在粘 土或砂土中，=0.510.97cm； 樁身范圍內(nèi)土的不排水抗剪強度平均值； 地表至樁尖范圍內(nèi)土的豎向有效應(yīng)力的平均值； 樁身范圍內(nèi)土的不排水抗剪強度

4、平均值； 土的側(cè)壓力系數(shù)； 土的豎向有效應(yīng)力； 樁間土的摩擦角 cszmmcVzfK 樁尖傳遞函數(shù)，如圖11.2（c）所示。 1/max/bcbqqz z5.5式中 樁尖位移值； 位移為s時，樁尖的阻力； 樁尖阻力達到 時的臨界位移值， B為樁徑或?qū)挾?樁尖最大阻力，可按下式計算：maxqcbzzqmaxq0.040.06cbzBmaxmaxcqVqNcqN（粘土） （砂土）式中 分別為承載力系數(shù)； 樁尖粘土的不排水抗剪強度； 樁尖處土的豎向有效應(yīng)力。,cqNNcV一旦樁土間的傳遞函數(shù)確定后，就可求得在豎向荷載下樁側(cè)摩阻力，樁身軸力分布以及樁身各截面處的位移。求解方法通常采用變形協(xié)調(diào)法和矩陣位

5、移法。（1）變形協(xié)調(diào)法該法是在離散成許多單元的樁的底部，假設(shè)有某一位移值，然后根據(jù)樁身的軸向變形與樁側(cè)土變形相協(xié)調(diào)的關(guān)系，可逐段地向上遞推而求出樁段各點（包括樁頂）處的相應(yīng)軸力、樁側(cè)壓力。若樁底假設(shè)不同的位移值，于是就可獲得一組相應(yīng)的軸力、位移以及樁側(cè)和樁底的阻力。2）矩陣位移法矩陣位移法實質(zhì)上是桿件系統(tǒng)的有限單元法。對已經(jīng)離散了的每個樁單元（圖5.3），可建立軸力之間的關(guān)系。若樁頂上作用一個豎向力Q，樁段劃分的長度不一，分別以 示之，則對整根樁可寫出分段點的力和位移方程組：12,ll PKSQR5.6式中 土作用在樁段結(jié)點上的集中摩阻力（kg或t）列 向量，其值為 R21 1224Tbnnb

6、ddlllpd(參見圖5.4)也可寫成1 12 2Tnnbtgstgstgstg s 樁的總剛度矩陣； 分別為樁身、樁底直徑； 樁身各結(jié)點位移列向量,其值為 外荷載列向量PK,bd d S12Tnbssss Q000TQ上式也可寫成： psKKSQ5.7式中 土的剛度矩陣 ，即由 和 組成的對角矩陣。 sK tgitgQbp24315134521l2l3l4l5l/ 2il1/ 2iliPijPj圖5.3 單樁矩陣位移法的計算圖式位移S位移S位移S位移S位移S圖5.4 樁側(cè)摩阻力、樁尖阻力與位移的關(guān)系曲線由于傳遞函數(shù)呈非線性特性，可用迭代法計算式（5.7），其步驟如下：1）根據(jù)已知的傳遞函數(shù)曲

7、線，假設(shè)各結(jié)點的初始剛度 和 （即假定各結(jié)點初始位移 ）2)按式（11.7）算出相應(yīng)的位移 ；3)若 與 的差值超過容許值，則根據(jù) 和 ;從圖5.4求出 和 ，并代入式（5.7）算出第二次迭代計算所得的位移 ；4)重復上述計算過程，直到前后兩次計算所得位移的差值小于容許誤差為止；5)將最后求得的位移值 ，代入式（5.6）后，可求出各結(jié)點處的軸力 和摩阻力 .從上述計算可見，荷載傳遞法分析單樁的性狀，其關(guān)鍵在于正確確定荷載的傳遞曲線。0itg0tg 0S 1S 1S 0S 1S R1itg1tg 2S SP眾所周知，樁的靜再試驗既費工又昂貴，因而近年來有人通過樁、土間傳遞函數(shù)的研究來分析和估算樁

8、的承載力，以減少樁的靜載試驗工作量。文獻11介紹華南地區(qū)在試樁時，通過預埋在樁內(nèi)的電測元件，測定樁身各量測截面的應(yīng)變，從而算出樁側(cè)摩阻力、樁尖阻力隨位移變化的關(guān)系。實測到的荷載傳遞曲線可近似地用雙曲線方程來描述，但為實用起見，可將 曲線簡化為彈性-全塑模型，樁尖 曲線則簡化為彈性-硬化模型（如圖5.6），并用 五個參數(shù)來表示。按該模型計算求得的樁頂處的Ps曲線與實測的試樁結(jié)果較好吻合。ssbPs12,ubusK Ks文獻5根據(jù)上海和我國沿海軟土地區(qū)大量試樁與精力觸探的對比資料，發(fā)現(xiàn)觸探探頭阻力 與軟土地區(qū)各類土的 （最大樁側(cè)摩阻力）、 （最大樁尖阻力）有較好的關(guān)系；510cqPamaxfmax

9、qmaxmaxmaxmaxmax/ 20/501000.250.025100cccfqfqfkPafqfkPa（淤泥質(zhì)粘土、亞粘土）（輕亞粘土、粉砂）（軟塑、硬塑的粘土、亞粘土）5.8s mmusbsmm1K2Kbus圖5.6 荷載傳遞的雙折線表示010002000P(kN)102030405060計算值實測值010002000kN5.642.167.7614.0020.70圖5.7 樁的實測與計算的P-s曲線（a） 樁軸向力實測值分布圖（b） max12/ 2cbcbqqq5.9式中 觸探探頭阻力，以 表示； 樁尖以上（3.758.0）d范圍內(nèi)探頭阻力的平 均值 ； 樁尖以下（1.02.75

10、）d范圍內(nèi)探頭阻力的平 均值 。而傳遞系數(shù)建議用拋物線方程表示， 即； cq510 Pa1cbq510 Pa2cbq510 Pamaxmax/ccbffz zqqz z5.105.11式中其它符號與式（5.4）、（5.5）說明相同。通過與軟土地區(qū)16根（樁長1827m）實測試樁資料進行對比，結(jié)果說明用建議的傳遞函數(shù)計算所得的樁頂P-s曲線與實測值較為接近。2.彈性理論法彈性理論法的基本假定是，樁被插入在一個理想均質(zhì)的各項同性的彈性半空間體內(nèi)，其彈性模量 和泊松比 ，不是因樁的存在而變化；樁的周圍粗糙而樁底平滑。由于樁與土之間保持彈性接觸，因此具有樁身位移等于毗鄰土位移的相容條件。在計算中，認為

11、樁與土的徑向變形甚小，可不計，只考慮樁在豎向荷載下的豎向變形。把受荷的樁以及樁周圍的土分成若干小段，現(xiàn)分布取樁周圍的土體（圖5.8b）、樁身（圖5.8c）作為分離體進行分析。sEvdLbdQd/lL njbp單元ni a bbpj/lL n單元niQ11l2lil1nlnl c圖5.8 彈性理論法的計算圖式（1）土的位移方程（按圖5.8b建立） 由 單元處的摩阻力 對樁端點 所引起的豎向位移 為：jjiijsijijjijjsdsIIE5.12式中 單元j處單位摩阻力 對樁段 點 所產(chǎn)生的豎向位移量，或稱為豎向位移影響系數(shù)，ijI21/1jkN mkPai于是所有n個單元的樁側(cè)、樁底阻力對i點

12、所產(chǎn)生的位移：1nbiijjibbjsddsIIpEd5.13同理，可寫出所有單元對樁底所產(chǎn)生的位移量為：1nbbbjjbbbjsddsIIpEd5.14式中 分別為豎向位移影響系數(shù)。,ibbjbbIII這樣，土的位移方程可方便地寫出： ssdSIpE5.15式中 土的位移矢量， 樁周阻力（包括樁側(cè)和樁底）的列向量， 土的豎向位移柔度矩陣，即 S p 12Tnbpp sI 111211212222121211bnbbnbsbnnnnnbbbbbnbbnndIIIIddIIIIdIdIIIIddIIIId（2）樁身位移方程（按圖5.8c建立） 把樁身的微分方程式（5.3）改寫成為：22224pp

13、zAEd EssUzz5.16并用有限差分法形式，寫出點2到n-1的表達式，即11222,3,14piiiid Esssinl5.17對于樁段點1，寫出差分表達式時，會引入虛結(jié)點位移 ，為此，要利用樁頂處應(yīng)變的邊界條件 ，于是 的表達式0s2/4pdszQE 0s0124pQ lssdE把上式代入式（5.17），消去 ，則點1的差分表達式為0s11224PdEQssldl5.18同理，利用非等間距的差分公式以及使用高階級數(shù)的差分展開式，于是點n和樁底（b點）的差分表達式：21210.2253.241.331210.674Pnnnnnpbnnbd EsssslEpsssl5.195.20于是，整

14、根樁的位移方程為： 24pPd EpISYl5.21式中 000TQYd l 樁身位移列向量 樁身系數(shù)矩陣，其值為 SPI 111100000012100000012100000000121000000.2253.2432000001233nnfff 其中/fl d（3） 單樁的差分方程把樁土交界面處毗連點的位移相容條件 代入式（5.21）,便可獲得單樁的差分方程： SS 224ppssdEIIIpYlE5.22式中 單位陣;其它符號說明同前。解方程組（式5.22），求出 ，即獲得樁側(cè)摩阻力 和樁底阻力 ；再利用式（5.15）和式（5.2）分別求出樁段的位移 和軸力 。 I pbp SzP均質(zhì)

15、土中不同比值 情況下的樁側(cè)摩阻力 的分布情況；對于K值大的不可壓縮樁， 沿樁身的分布比較均勻，且與土的泊松比 值關(guān)系不大。(/)psKEEsv（4）彈性理論法的若干改進 計算方法改進 用方程式（5.22）求解時，樁的分段長度必需相同，因為建立式（5.7）時，為了簡便，采用了等間距的差分形式，若采用矩陣位移法，可求解非均質(zhì)土中分段長度不等情況下的樁。 先按圖5.3和式（5.6）建立樁身位移方程，得 pKSQR5.23改寫土的位移方程式（5.15），得 ssdSISRE5.24式中 系數(shù)矩陣，其值為： F 1211114nbllFdldl000根據(jù)變形相容條件 ，把上式代入式（5.23）后得： S

16、S PssdKIFIRQE5.25解上式求得樁段各點的集中摩阻力 后，就不難獲得 值以及位移 。 R12,.nbp S 應(yīng)當指出，樁頂荷載Q并不是作用在樁段結(jié)點1處（圖5.3），為 了使式（5.25）符合實際情況，在分段時，應(yīng)盡量使 長度縮小。1l樁-土間的滑移眾所周知，樁土之間的摩阻力是有限的，當樁上荷載足夠大時，樁土間摩阻力得到充分地發(fā)揮，以至于樁土間產(chǎn)生滑移喪失支撐能力。對此，方便的做法是先按式（5.25）計算，然后檢查所求出的各結(jié)點的摩阻力 ，是否超過某一指定的極限值 ；若 ，則在式（5.25）等式左邊的矩陣中第i行的主對角元素充以一個大數(shù)（如 ），而在相應(yīng)的右端項 中第i行充以 的數(shù)

17、，再作一輪計算，直到計算得的摩阻力均小于 為止。/iiRdluiu1610 Q1610uidl u非均質(zhì)土的考慮為了把均質(zhì)土中已有的分析公式應(yīng)用到非均質(zhì)土的情況，Poulos近似地假定土體內(nèi)的應(yīng)力與原均質(zhì)體中的分布情況相同，而計算土位移時所用到土的模量與該點所在的位置有關(guān)。于是i點土的位移計算式變成1nijbijibbjsisiIdsdIpEdE5.26樁身范圍內(nèi)土的位移方程： ssISdpE5.27式中符號見式（5.15）說明。由于樁的位移方程式（5.23）保持不變，則按照位移相容條件，聯(lián)合式（5.27），（5.23）后便可求得樁身各結(jié)點的軸力，位移和摩阻力，Poulos曾經(jīng)對支撐在較硬土層

18、中的樁進行分析，結(jié)果表明：樁尖土層模量 愈大，則軸力 的傳遞作用就愈不明顯。bEzP對于樁尖以上若干土層的情況，Poulos建議也可取加權(quán)平均模量 來代替，即EaV11EnaViiiE hL5.28式中 分別是土層i的模量和厚度 樁身長度L范圍內(nèi)的土層個數(shù)。,iiE hn非均質(zhì)土處理的另一途徑是，先用Mindlin應(yīng)力公式積分后求得計算點i處的豎向應(yīng)力 ，然后運用熟知的分層總和法公式計算該點的位移量（不考慮土的側(cè)脹）。該方法基于下述假設(shè)： 1）地基土非線性性質(zhì)只對土體的位移有較大的影響，而對土中應(yīng)力，特別是對豎向應(yīng)力影響不大； 2 ）考慮到樁基分析中，計算點離地面較深，而且前勘察部門一般只提供

19、壓縮模量，很少提供土的彈性模量； 3）分層總和法計算變形公式有較長的使用歷史，并積累著與實測變形對比的資料。 采用這一途徑進行單樁分析，只需對前述土的位移方程z式（5.24）中的豎向位移影響系數(shù) 作適當?shù)男薷?，而式?.23）和式（5.25）依舊不變。,ijbjibbbIIII有限深度的近似處理前面土的位移柔度矩 中的元素（見式5.15）僅適用于無限深的土體。對于有限厚度H的土層，層內(nèi)任一點的豎向位移影響系數(shù)，可近似地按下式計算： sI ij HijHjIII5.29式中 在無限土體介質(zhì)中，單元j上的單位摩阻力引起i 點處的豎向位移影響系數(shù)； 在無限土體介質(zhì)中，單元j上單位摩阻力對地表 下 H

20、深度處點 的豎向位移影響系數(shù)（ 在 點的正 下方）。綜上可見，彈性理論法的優(yōu)點是考慮了實際土體的連續(xù)性。就 ijI HjI i ii這點而言，它可以考慮樁與樁之間相互影響的群樁分析，比傳遞函數(shù)法要合理些。但用彈性理論法時，計算土的豎向位移柔度矩陣 較為費時，另外，如何正確選擇土的兩個重要指標 值還有待進一步解決。 sI,ssE v3. 剪切位移法本方法是把樁身和樁尖變形分別計算。對于樁身的部分，由于樁上荷載的作用使周圍土體發(fā)生剪切變形，而剪應(yīng)力又通過樁側(cè)周圍連續(xù)環(huán)形土單位向四周傳播，如圖5.13所示。其結(jié)果在樁尖水平面處產(chǎn)生如形狀 那樣的變形(見圖5.12).而柱底部分，則按一般彈性理論方法計

21、算其變形，如 形狀。然后考慮兩個變形相容條件，求解樁的軸力、位移和摩阻力等。11AB22A B樁上層土下層土1A2A1B2BiPbPsPPrzdrdrdzzr1dzzdrrrrdrrzzdzz a a b圖5.12 上層和下層土各自的變形形狀圖5.13 樁身的變形模型（a）及土單 元的應(yīng)力（b）(1)樁側(cè)土的位移方程受荷樁身周圍土的變形可理想地視作為同心圓柱體（圖5.13a）。這一假定的正確性已被Cooke（1974）樁的實驗結(jié)果所證實。此后Frank（1974,1975）和Baguelin等人（1975）用有限單元分析也證實這一假定的合理性。從圓柱體內(nèi)取一微分體（圖5.13a），根據(jù)彈性理論

22、可寫出豎向平衡微分方程式：0zrzrrz5.30由于樁受荷后，樁身附近處的剪應(yīng)力 的增加遠大于豎向應(yīng)力 因而略去 項后，方程近似的變?yōu)椋?zzz0rzr5.31用分離變量法可求得該方程的解為：0 0rzrr5.32式中 分別表示樁側(cè)土表面處的剪應(yīng)力和樁的半徑。 由彈性理論幾何方程，剪切變形表達式為00,ruwzr 5.33 略去軸向應(yīng)變和徑向應(yīng)變。再根據(jù)軸對稱課題的物理方程，則有：sG5.34把式（5.32），（5.34）代入式（5.33），略去 項，則得：uz0 0ssrrwrGGr 5.35兩邊積分后求得地表下任一深度z處的水平面上的位移：0000,ln,0oommrssmrrrrw z

23、rwrrrGrGrw z rrr5.36式中 分別為土的徑向和豎向位移； 樁身范圍內(nèi)的土的剪切模量； 離樁軸線的水平距離； 剪切變形可忽略的范圍（離樁軸線的水平距離）， Randolph(1978)建議可取 ,L為樁長。, u wsGmrr2.51sLv0rsw0 1w r w rr圖5.14 某一深度處，樁側(cè)外豎向位 移 隨水平徑向距離 的變化 w rlziPbPGQlGL圖5.15 計算圖式圖5.14中： 0 00lnmsrw rGr 0 010lnsssrw rww rwGr或（2）樁底土的位移方程 由于樁尖猶如一個剛性壓塊，Randolph(1979)建議Boussi-Nesq公式求解

24、，即21bbmbbvwd pE對于剛性壓塊，取0.79，于是21bbmbbvwd pE5.375.38式中 分別指樁底標高以下土的泊松比和剪切模量。,bbv G（3）可壓縮性樁的解析表達式 由于樁身位移s和土的位移w相等，故樁身位移方程式（5.3） 又可寫成220pwkwzAE5.39式中02/lnmsrkGr上式為常系數(shù)齊次線性微分方程，其通解為：1212r zr zwc ec e式中 待定常數(shù)；12,c c12,ppkkrrAEAE 而樁身軸力方程式（5.12）可寫成：121121r zr zzppwPAEAEc r ecr ez 5.415.40合并式（5.40），（5.41）得：121

25、21211r zr zzr zr zzpPwceePcAEr eAEr e5.42或簡寫成 12zzwcT zPc 若討論長度為l的樁段，如圖5.15所示?？煞謩e寫出該段頂部和底部處的位移和軸力方程：頂部： 12tttcwT zzzcP 底部：12BBBcwT zzzlcP 消去 ：12,c c 1tBtBBwwwT zT zTPpp 5.43式中 變換矩陣，其值為： T 12341PpttAETAE tt（均質(zhì)土情況） 212112121211/22expexpexpexp2expexpexpexp2tPttrkzAE 121213212141/22expexpexpexp2expexpex

26、pexp2,tPrttkzAE由式（5.43）可見，在均質(zhì)土（剪切模量不隨深度變化）情況，如果已知樁段底部（或樁段頂部）的位移和軸力，就可通過變換矩陣求得該樁段頂部（或底部）的位移和軸力。這樣，就不需要或減少對樁身的離散程度，以節(jié)省計算時間。5.2.2 豎向荷載下群樁受力的性狀1.彈性理論法群樁基礎(chǔ)的計算是基于單根樁分析的基礎(chǔ)上，以彈性理論的應(yīng)力疊加原理，把在彈性介質(zhì)中二根樁的分析結(jié)果，通過引入一個“共同作用系數(shù)”，而擴展到一組群樁中去。（1）二根樁的共同作用分析共同作用系數(shù) 現(xiàn)考慮彈性介質(zhì)中二根截面和所受荷載都相同的樁。同單根樁一樣，把樁分成若干小段，如圖5.18。按照單根樁的分析公式（5.

27、22）或（5.25），求得單根樁上各樁段上的軸力和位移后，把單根樁樁頂位移 和樁頂荷載 取ttP式中 影響系數(shù)，它與 等因素有關(guān)（H為土層的厚度，其它符號同前）； 單根樁在樁頂單位荷載作用下的樁頂位移。I/,/,/,/,bpssdd L d EE HL v0khvIIRRRptttsPwIPE d5.44出；或用下式表示它們之間的關(guān)系：圖.5.18 兩根樁情況下彈性理論法的分析SLP121 jp1 jp1bpP2bp2jpdin這樣，對于二根樁的情況，不難寫出：11111121222221221ttttttswPPppIIwPPppE d5.45式中， 位移影響矩陣，其中元素 分別表示第一根和

28、第二根樁上第j單元上的剪應(yīng)力對第一根（或第二根）樁上第i單元的位移影響系數(shù)。上述分析結(jié)果，可方便地用一個“共同作用系數(shù)”來表示：12II12ijijII,由第j根樁上的單位荷載對第i根樁所產(chǎn)生的附加沉降量第i根樁上的單位荷載對第i根樁所產(chǎn)生的沉降量ijpssEsLfvdEd式中 s表示兩樁的中心距離。這樣，當由四根樁所構(gòu)成的一個方形樁群時，樁群的位移量為：12112GwpP式中 在每根樁上的荷載； 與間距 有關(guān)的共同作用系數(shù)。 與間距 有關(guān)的共同作用系數(shù)2 /s d/s d1P12對于由n根相同的樁的樁群，則其中任一跟樁k的沉降量為：1nkkikjji kwp Pp P5.46式中 與樁k和樁

29、j間距有關(guān)的共同作用系數(shù)，并且是對樁j的幾何尺寸而言的。對群樁中所有的樁，寫出式（5.46），便得到n個位移方程式。另有豎向荷載平衡條件，可得：kj1nGjjPP5.47式中 作用在樁群上的總荷載 GP于是，根據(jù)樁頂上承臺板的特性（剛性的或有限剛度的），寫出樁頂平面處的變形協(xié)調(diào)條件，就可解出作用在各根樁頂上的荷載和位移。應(yīng)當指出，對于有限可壓縮土層的情況、大直徑樁尖以及土的不同泊松比等情況，需要對 值進行修正，考慮如下:F0.5/1,/1,10.5有限可壓縮土層情況情況 當時的情況FdbbbbFhdvNddddNvNN5.485.495.50從上可見，群樁受力分析的要點是，先建立在樁頂處（包括

30、土）的樁頂荷載與其位移之間的關(guān)系式；然后，根據(jù)豎向靜力平衡條件以及樁頂標高處樁頂（包括土）位移與基礎(chǔ)板位移的協(xié)調(diào)條件，求解實際作用在樁頂上的荷載和位移值。（2）樁、筏基礎(chǔ)的共同作用分析與前面一樣，先考察帶有圓形帽板的二根樁，如圖5.28所示。帽板的直徑 ，并分成 個圓環(huán)，圓環(huán)下的豎向壓力 認為是均勻分布。于是按圖5.28右圖和式（5.13）、（5.14），可寫出樁1上樁段 處的位移計算式，即cdvckpi12121211nviijijjibibbikikckjksdwIIpIIpIIpE5.51PLP121 jpbpbpjpbpjpdcSinckpckpckpni12ni21樁1樁2圖5.28

31、 樁、筏基礎(chǔ)的計算圖式式中 分別是樁1、樁2上第j單元處的剪應(yīng)力對i點所引起 的位移； 分別是樁1、樁2底面壓力對i點所產(chǎn)生的位移； 分別是樁帽第k環(huán)板下壓力對i點所產(chǎn)生的豎向位移 可用Boussinesq公式求解。為了把上述兩根樁的結(jié)果推廣到一組m根樁的情況中，這里也引用一個“共同作用系數(shù) ”，其含義是：12,ijijII12,ibibII12,ikikIIr,單位荷載作用下的鄰近樁對討論的這根樁所產(chǎn)生的附加變形討論樁本身在單位荷載下所產(chǎn)生的變形rcsds Lfvd dd于是，利用疊加原理，可寫出第i根樁頂產(chǎn)生的沉降量：1mirijjiji kwPP5.52式中 分別是作用在由帽板i、j樁上

32、的荷載； 帽板樁i、j之間的共同作用系數(shù)； 單位荷載下單根有帽板樁的變形， 單位荷載下單根無帽板樁的變形； 考慮樁帽的影響系數(shù)。,ijP PrijcR式（5.52）給出樁頂荷載與位移的m個方程；對于矩形筏板，可以寫出 BKSPR5.53式中 作用板面結(jié)點上的已知荷載 ； 筏板的剛度矩陣， 筏板與樁、土接觸面之間的接觸壓力 ; 筏板的結(jié)點位移 P R SBK110000TRR111222Txvzxvzww整個接觸面積上n個結(jié)點中，有m個結(jié)點為樁。那么。由m個結(jié)點的樁、 個結(jié)點面積 上的接觸力 對結(jié)點 所產(chǎn)生變形表達式為：nmjA,jjP Pi有樁節(jié)點處的m個變形表達式：111/mnirijjii

33、jjjjj mjwPPPA5.54無樁結(jié)點處的 個變形表達式：nm11/mniijjijjjjj mwPPA5.55式中 第j結(jié)點處單位均布荷載對結(jié)點i所產(chǎn)生變形量，用Boussinesq公式計算；ij 單位荷載作用下，第j根單樁對i結(jié)點所產(chǎn)生的變形量；其它符號同前說明。于是，按照板底接觸面上的變形條件 ，即把由式（5.54）和（5.55）聯(lián)合而成的n個表達式代入式（5.53）中，解出未知的接觸壓力R(包括樁頂作用力和土反力)。再代入式（5.53）求出板面結(jié)點上的位移S。ij Sw（3）上部結(jié)構(gòu)與樁、筏基礎(chǔ)的共同作用分析設(shè)有如圖5.32所示的上部結(jié)構(gòu)，則上部結(jié)構(gòu)的位移U和荷載P的平衡方程為bS

34、bK圖5.32 在柱底處的凝聚荷載 和凝聚剛度 bKbS式中 上部結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。用分塊形式把上式寫成： stK stPKU5.56iiiibibbibbbPKKUPKKU5.57式中 指上部結(jié)構(gòu)與筏基接觸點的位移列向量。展開式（5.57）后為： bU iiiiibbbbiibbbPKUKUPKUKU5.585.59展開式（5.58）移項后，得 1iiiiibbUKPKU5.60上式代入式（5.59），得 11bbiiiibbbiiiibbPKKPKKKKU5.61或簡寫成BBbSKU5.62式中 上部結(jié)構(gòu)通過凝聚后為等效的邊界荷載列向量； 上部結(jié)構(gòu)通過凝聚后的等效的邊界剛度，即圖 5.32中

35、的 。BSBKbK把 和 疊加到樁、筏基礎(chǔ)上，于是即得到上部結(jié)構(gòu)與樁筏基礎(chǔ)共同作用的方程式，即修改式（5.53）后為： BBBKKSSR 5.63把式（5.54）、（5.55）代入上式，先后求出R、S。把上部結(jié)構(gòu)與筏板面相接觸點的位移 從 中取出,代入式（5.60）就可求得整個上部結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移 。bU SiU2.剪切位移法（1）兩根樁的共同作用分析剛度系數(shù) 值kS0r0r1p2p12 1sw 2sw 121,2sww 112,1sww圖5.33 兩根樁情況，剪切位移法的分析考慮如圖5.33所示的兩根樁情況，在某一深度z處1,2兩點的位移，根據(jù)圖5.14可寫成 1121121,212,12ss

36、sswwwwwwww5.645.65式中 在單根樁情況下，由點1的剪應(yīng)力而引起在 該處的位移； 在兩根樁的情況下，由于點2處的 剪應(yīng)力引起鄰近樁第1點處的位移量。上式可用矩陣形式表示： 1sw 121,2sww1112212121121222wfffpwfffp22222111112111221211222112211fffpwfffpwffffff或5.665.67由于兩根樁的尺寸、所受荷載都相同，則有如下關(guān)系：112212211212;.ffffffwwwppp 于是上式寫成：1122212fffpwfffpwfff 5.68a或221222fffpwwk wffffffff 5.68b式

37、中 s為兩樁中心距；0011ln;ln;22mrsffGrGr 010 12022;21/prprkf 應(yīng)當指出， 物理意義是指在兩根相同尺寸樁的情況下，樁側(cè)土的剛度；而 是單根樁時樁側(cè)土的剛度。k0k（2）群樁樁頂柔度矩陣的建立對圖5.34所示的四根樁群，由于樁側(cè)土具有剪切剛度G，樁土之間的共同作用可理想地作為一組連接樁身且與固定點相連的水平彈簧，而樁側(cè)土的阻力僅僅與該土阻力所作用水平標高處的樁身位移有關(guān)。群樁樁頂柔度矩陣可按下述步驟計算：（a）按單樁的情況考慮設(shè)柱底處的軸力 ，則按式（5.38）可求得樁底處位移為：L土層土層123樁12GmG2GGABCDSS圖5.34 群樁的剪切位移法的

38、分析11bPP1014bvwwr G5.69利用式（5.43）求出第樁段頂部（點2）的柔度 。同理，再算出樁頂處的柔度 。式中字母“F”記作樁頂處的柔度；圖5.34四根樁截面尺寸相同，則 。22/wP1133/ttFwPwPAABBCCFFF11DDFF（b）按兩根樁（如考慮A、B樁）的情況，則由于B樁的存在，在A樁底部所產(chǎn)生的位移為：01142ABbbAbPvPvwr GG s5.70式中 s A、B兩樁的中心距。（c）再考慮A、C樁情況，同上述步驟便可得到：2計算F 時，樁距為sACAAFFF5.71樁頂?shù)娜岫染仃嘑： tttwFFPFP5.71式中 樁頂位移的列向量 ; 樁頂荷載的列向量

39、 。 twTABttwwTABttPP tP5.3 側(cè)向荷載作用下單樁受力分析側(cè)向荷載作用下單樁受力分析5.3.1 側(cè)向荷載下單樁受力分析單樁受力性狀主要取決于水平方向地基土作用力與其位移之間的關(guān)系。關(guān)系表達式不同，就得到不同的計算方法。1.國內(nèi)常用計算方法簡介“m”法、“c”值法樁的計算方法都基于地基梁的基本方程。地基梁的微分方程可寫成：044xbCdzxdEJz5.72式中 水平向地基反力系數(shù)，通過各種試驗方法求得； 樁的直徑或?qū)挾取?目前，我國采用的地基系數(shù)的幾種不同分布形式如圖5.40所示。地基系數(shù)與深度z的一般表達式為： zCbnttzCCz5.73式中 、 分別為深度z和第一位移零

40、點處(z=t)的地基系 數(shù)； 隨土的類別而變的一個指數(shù)。zCtCnLdtzx0n 01n1n 1n 法c值法cm法k法tCzC圖5.40 水平向地基系數(shù)隨深度的變化 假定 ，則由此假定而進行樁的內(nèi)力計算方法，通常稱作為“m”法；若假定 隨深度呈拋物線型增加，即 ，則由此而得的為“C”值法。應(yīng)該指出，圖5.40中的幾種地基系數(shù)雖雖深度z變化，但與水平向x的位移大小無關(guān)，因此它們?nèi)詫儆诰€性計算范疇。微分方程式（5.72)只有在 分布形式簡單的情況下才有解析表達式。把一根樁分成n段（每段長度不一），并在各分段結(jié)點上施加一個剛度為 的水平彈簧，以反映周圍土的影響?，F(xiàn)以矩陣位移法（n=3）為例說明求解過

41、程(5.42)。由于每個結(jié)點有二個自由度（水平位移u和轉(zhuǎn)角），它的矩陣方程為：mzC zzC5 . 0zCzC zCzCL PKuPR5.74式中 結(jié)點位移列向量 作用在節(jié)點上的荷載列向量 樁的總剛度矩陣（2n+2)(2n+2),是由各樁段剛度矩陣 （見式（10.1）集合而成； u PpK1122221TxxnSS0022100TnHM0KL1l2l3lz2340H0MziMjMiHjH 彈簧反力列向量，它與彈簧的水平位移 有如下關(guān)系： ； ； ； 。 RxS11112zzSblCR221222xzSbllCRxnnznnSbllCR211 其中 （表示按“m”法計算），或 （表示按“C”值法

42、計算）。把 的關(guān)系式代入法（5.74），解出 或 ，再利用靜力平衡條件，解得樁身內(nèi)各點彎矩值。 izimzC 5 . 0ziziCC iRxiS u R圖5.42 矩陣位移法的分析圖式2. py曲線法現(xiàn)場原形觀測和室內(nèi)試驗表明，水平荷載作用下土的水平位移Matlook和Ingram（1970）通過在湖泊和海洋軟粘土所做兩根足尺樁的靜載試驗，提出如圖5.43所示的py曲線，并已被美國石油協(xié)會準則（API-RP2A)所采納。圖5.43 軟粘土的p-y曲線00.51.081/30.5/ucppy y/樁撓度比靜載cy y00.51.0151/30.5/ucppy y/樁撓度比動載cy y時crxx土

43、的極限阻力 為：up131dcNpupu5.7539且prpuzzNJzzNcd式中 侵水容重 土的不排水抗剪強度； 樁的直徑； 經(jīng)驗系數(shù)，J=0.5（軟粘土）。ucdJ而Jcddzur633. 005 . 0yyppudpyou505 . 25.76a5.76b式中 土的側(cè)向阻力（單位：力/長度）； 在三軸不排水剪切試驗中，在最大偏差應(yīng)力一半時所對應(yīng)的軸向應(yīng)變。對循環(huán)荷載，土的極限阻力取計。 近年來，有些學者根據(jù)足尺樁試驗實測到的數(shù)據(jù)反算地基土的py曲線；也有的把軟粘土與硬粘土的py曲線合并成一條能考慮樁剛度效應(yīng)的新的py曲線。一旦py曲線確定后，則用割線剛度迭代法解式（5.74）（此刻，地

44、基系數(shù) ），具體方法與式（5.6）類同。3.彈性理論法圖5.42表示一根插在彈性介質(zhì)中的樁。它被看作是寬為d、長為L的一根矩形豎直狹條， 表示樁的抗彎剛度。在半無限彈性體內(nèi)部，由一個水平力集中力P所引起的水平位移u已被Mindlln所解得；于是，j點處矩形面積（圖5.44）上均布水平荷載在樁與土接觸面上點i處所引起的水平位移 可通過積分求得：50p0.72upzpCy dpE I0, ,ijssy z 222222222220, ,34lg ()16(1)()()()lg ()()()lg ()()()2()()lg ()()()()4 11 2()lg ()ijPssy zudydzzcymGymzcymzcymzczcymymzczymzcymzcymzcymzcvvzcym1