11章無窮級數(shù)46頁

1、第十一章無窮級數(shù)教學(xué)目的：理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2 .掌握幾何級數(shù)與P級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。3 掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。4 .掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。5. 了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。6 了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7 理解幕級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握幕級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。8.了解幕級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分)，會求一些幕級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些常數(shù)項級數(shù)的和

2、。9了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。10.掌握ex,sinx,cosx,ln(1-x)和(1a的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成幕級數(shù)。了解傅里葉級數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理，會將定義在卜1,I上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在0,l上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和的表達式。教學(xué)重點：1、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2、正項級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別；3、交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法；4、幕級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；5、ex,sinx,cosx,ln(1x)和(1a)的麥克勞林展開式；6、傅里葉級數(shù)。教學(xué)

3、難點：1、比較判別法的極限形式；2、萊布尼茨判別法；3、任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂；4、函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)；5、泰勒級數(shù)；6、傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理。§1,1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)：給定一個數(shù)列UlU2.U3Un.則由這數(shù)列構(gòu)成的表達式U1亠U2亠U3亠亠Un叫做常數(shù)項）無窮級數(shù).簡稱常數(shù)項）級數(shù).記為Un.即n=1od二Un=UiU2UUn.n4其中第n項Un叫做級數(shù)的一般項.oC級數(shù)的部分和：作級數(shù)'Un的前n項和n=1nsn八Ui=UiU2U3Uni=1od稱為級數(shù)二:Un的部分和，ndQO級數(shù)斂散性定義：如果級數(shù)'&

4、#39;Un的部分和數(shù)列$有極限s.即limsn=s.n#n->2CoO則稱無窮級數(shù)vUn收斂.這時極限S叫做這級數(shù)的和.n=1并寫成Q0S=、Un=UU2U3Unn=1QO如果Sn沒有極限.則稱無窮級數(shù)、Un發(fā)散n=1COqq余項：當級數(shù)Un收斂時.其部分和Sn是級數(shù)、Un的和S的近似值.它們之間的差值n=1ndrn-S-Sn-Un1Un2-叫做級數(shù)二Un的余項n=1例1討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))oO、aqn=aaqaq2：iqnn=0的斂散性.其中a=0q叫做級數(shù)的公比oO例1討論等比級數(shù)二aqn(a=0)的斂散性.n=0解如果q=1.則部分和2n_1Sn二aaqaqaq_a_aqn1

5、-qa1-qod當|q|d時.因為limSn.所以此時級數(shù)、aqn收斂.其和為戶-n護1-qn£1-qQO當|q|>1時.因為limSn=：所以此時級數(shù)7aqn發(fā)散n=0QO如果|q|W.則當q=1時.Sn=nar：因此級數(shù)aqn發(fā)散n=0QO當q-1時.級數(shù)'aqn成為n=0a-aa-a.時|q|=1時.因為Sn隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零qQ所以Sn的極限不存在.從而這時級數(shù)二aqn也發(fā)散2綜上所述od.如果|q|：1.則級數(shù)aaqn收斂.其和為n=0ai-q-如果|q|1.則級數(shù)僅當q|：i時.幾何級數(shù)收斂其和為丙例2證明級數(shù)12n是發(fā)散的.證此級數(shù)的部分和為S

6、n=123"呼，2顯然.lims.=：因此所給級數(shù)是發(fā)散的n：例3判別無窮級數(shù)丄.丄.丄.1122334n(n1)的收斂性，解由于_1_1n(n1)n因此5=丄+丄+丄+122334n(n1)1111&1)(1-的円從而lims.=lim(1-=1nnn1所以這級數(shù)收斂.它的和是1.例3判別無窮級數(shù)爲盅的收斂性解因為丄丄丄1223341n(n1)從而1limsn=lim(1-宀)=1nnn1所以這級數(shù)收斂.它的和是1,提示:un_1_11n(n1)nn1、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)oOQ0性質(zhì)1如果級數(shù)'un收斂于和S.則它的各項同乘以一個常數(shù)k所得的級數(shù)kun也收斂ndnd

7、且其和為ks.性質(zhì)1如果級數(shù)'un收斂于和S.則級數(shù)7kun也收斂.且其和為ksn=1n=1性質(zhì)1如果vun二s.則vkun二ks.ndnd這是因為.設(shè)'un與'kun的部分和分別為Sn與6.則n=1n=1lim二n=lim&比ku2kuj二klim(比u2un)二klimsn=ksnnn)二n心0這表明級數(shù)'、kun收斂且和為ksn=1QOOO性質(zhì)2如杲級數(shù)'un、'Vn分別收斂于和nWn=1COS、二則級數(shù)V(un-Vn)也收斂.且其和為s_二n二1QOoOCO性質(zhì)2如果aUn二S、'W仝則二:（Un二Vn）二SY.n=1n4

8、n=1qQqQqQ這是因為.如果二:Un、二Vn、二:(un二Vn)的部分和分別為缶、；、.n.則n4nAn4limn=limlq_比）（u2_v2）亠亠（un_vn）nn>二lim（u1U2十）_（V1V2：Vn）n二lim（%二6）=s_二.n心性質(zhì)3在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項.不會改變級數(shù)的收斂性比如級數(shù)-是收斂的.122334n（n+1）級數(shù)10000111也是收斂的122334n（n+1）級數(shù)11也是收斂的，3445n(n+1)0性質(zhì)4如果級數(shù)'Un收斂.則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂.且其和不變.nT應(yīng)注意的問題：如果加括號后所成的級數(shù)收斂.則不能斷定

9、去括號后原來的級數(shù)也收斂例如.級數(shù)1-1)+1-1)+-收斂于零.但級數(shù)1111卻是發(fā)散的，推論：如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散.則原來級數(shù)也發(fā)散.級數(shù)收斂的必要條件oO性質(zhì)5如果aUn收斂則它的一般項Un趨于零即limUn=0心10QO性質(zhì)5如果7un收斂.則limun=0nW10QO證設(shè)級數(shù)的部分和為且吩宀則lim比二lim($-snJ=limlimsn二二s-s=On,n,n>應(yīng)注意的問題：級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件例4證明調(diào)和級數(shù)v1=1.丄1.1宀”是發(fā)散的,nn23n例4證明調(diào)和級數(shù)丄是發(fā)散的n討n證假若級數(shù)V1收斂且其和為ssn是它的部分和.n=3n顯然有l(wèi)im

10、帛=s及l(fā)im舫=s,于是lim（s2n-$）=0.n）：:nn廠：；但另一方面.ss1111111s?n_sn=辺nnn1n22n2n2n2n2故lim（舫f）=0.矛盾，這矛盾說明級數(shù)7丄必定發(fā)散nn訓(xùn)§11,2常數(shù)項級數(shù)的審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)：各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù).od定理1正項級數(shù)aUn收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列sn有界nToOoOoC定理2（比較審斂法）設(shè)Un和vn都是正項級數(shù).且Un蘭Vn（n=1.2）,若級數(shù)£Vn收斂.n=1n=1n=1則級數(shù)vUn收斂反之.若級數(shù)aUn發(fā)散.則級數(shù)Vn發(fā)散nWnWnW定理2（比較審斂法）設(shè)

11、二Un和二Vn都是正項級數(shù).且Un_Vn(k0-n_N).n=1n=1若7vn收斂.則7un收斂若7un發(fā)散.則Vvn發(fā)散n=1nJn=1nJ設(shè)lUn和Vn都是正項級數(shù).且Un乞kVn(k.0.-nN),若級數(shù)iVn收斂.則級數(shù)ZUp收斂反之.若級數(shù)ZUn發(fā)散.則級數(shù)ZVn發(fā)散證設(shè)級數(shù)aVn收斂于和二則級數(shù)aUn的部分和n討nVISn=UlU2Un_VlV2Wn_；丁(n=1,2,).oO即部分和數(shù)列Sn有界.由定理1知級數(shù)vUn收斂n二反之.設(shè)級數(shù)aUn發(fā)散.則級數(shù)aVn必發(fā)散.因為若級數(shù)ndnd7Vn收斂.由上已證明的結(jié)論.將有級數(shù)7Un也收斂.與假設(shè)矛盾，nTn=1證僅就UnVn(n=1

12、.2.)情形證明"設(shè)級數(shù)IVn收斂.其和為6則級數(shù)戈5的部分和Sn=U1U2Un_V1V2Vn_；丁(n=1,2,).即部分和數(shù)列Sn有界，因此級數(shù)!Un收斂反之.設(shè)級數(shù)二Un發(fā)散.則級數(shù)ZVn必發(fā)散因為若級數(shù)IVn收斂.由上已證明的結(jié)論.級數(shù)ZUn也收斂.與假設(shè)矛盾.推論設(shè)二Un和-Vn都是正項級數(shù).如果級數(shù)-Vn收斂.且存在自然數(shù)N.使當n_N時有n=1n=1nTUn-kVn(k0)成立則級數(shù)二Un收斂如果級數(shù)二Vn發(fā)散且當n_N時有Un_kVn(k0)成立.則級n4nW數(shù)Un發(fā)散n4例1討論p_級數(shù).2p3p4pnp的收斂性.其中常數(shù)_2，：i討論p浚數(shù)vk(P0)的收斂性，n

13、=np1100100h解設(shè)P叩，這時丄一丄而調(diào)和級數(shù)7-發(fā)散.由比較審斂法知.當P乞1時級數(shù)V斗npnnnn丄npn1111n-l/dX二芮)一戸(23，對于級數(shù)二-肓.其部分和(n-1)pvnp41111Sn二1Pl十-十令L2P，2pv3P_1npd(n1)1=1(n1)p-lJ'因為lim%=lim1n)：:nQOOO所以級數(shù)V1收斂.從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知.級數(shù)1當p1n(n-1)P，np4nmnp收斂綜上所述.p綴數(shù)&冷當P1時收斂.當P-1時發(fā)散n#np"1解當p_1時.-p-1.而調(diào)和級數(shù)二-發(fā)散.由比較審斂法知.npnn=1nC30當P叮時級數(shù)

14、'、n【+發(fā)散npn1nndx乞nn1111-1歹dx二百)一苦(W3,)°°11,、而級數(shù)n'J冷-尙是收斂的根據(jù)比較審斂法的推論可知旳1級數(shù)7-P當p1時收斂ndnp提示O0級數(shù)：J（d嚴-侖的部分和為s=1+_L+_-1=11npjp/pvpjpjp123卩(n+1)P(n+1)H因為lim$=lim11p1=1.InT詁(n+1)P所以級數(shù)廠1市n-1嚴說收斂p綴數(shù)的收斂性：p竣數(shù)'p當p1時收斂.當p_1時發(fā)散心np1是發(fā)散的a例2證明級數(shù)、心Jn（n+1）證因為1.n(n1)、.(n1)2而級數(shù)鳥九于3法是發(fā)散的根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)

15、也是發(fā)散的定理3（比較審斂法的極限形式）0O0設(shè)'un和'vn都是正項級數(shù).如果lim血=丨（0：1：；）.nWnWn"：Vn則級數(shù)vUn和級數(shù)vVn同時收斂或同時發(fā)散n=1n=1定理3（比較審斂法的極限形式）設(shè)'5.和aVn都是正項級數(shù).n=1n=1(1)如果limUnnpcVn0CO=l（0：:：）.且級數(shù)二vn收斂.則級數(shù)二Un收斂-n=1nd如果limUn=nTVnuoooa：l0或limn：且級數(shù)vVn發(fā)散.則級數(shù)vUn發(fā)散n-'Vnn=1n=1定理3（比較審斂法的極限形式）設(shè)!Un和匕Vn都是正項級數(shù).（1）如果lim（Un/Vn）T（0勺

16、：:：）.且Zvn收斂.則匕U收斂-（2）如果lim（Un/Vn）期0：1_：）.且IVn發(fā)散.則匕U發(fā)散證明由極限的定義可知.對；=丄1.存在自然數(shù)N當nN時.有不等式2Un113|lll丨.即lvn:Unlvn.Vn22nn2n再根據(jù)比較審斂法的推論1.即得所要證的結(jié)論，oa例3判別級數(shù)'sin1的收斂性.nTn.1sin-解因為limn=1nc1.而級數(shù)二1發(fā)散n=1n根據(jù)比較審斂法的極限形式.級數(shù)'sin1發(fā)散n=1n-1例4判別級數(shù)'ln（2）的收斂性.gn1In（1+需）解因為lim山-1*旳1=1.而級數(shù)-2收斂n=1n根據(jù)比較審斂法的極限形式.級數(shù)

17、9;Tn（1三）收斂n=1n定理4（比值審斂法.達朗貝爾判別法）cd若正項級數(shù)a切的后項與前項之比值的極限等于?:nA則當二：1時級數(shù)收斂當t1（或lim-=:）時級數(shù)發(fā)散當t=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散n心Un定理4（比值審斂法.達朗貝爾判別法）若正項級數(shù)7Un滿足lim5"=、則當d時級數(shù)收斂n呂Un當t1（或lim皿=：）時級數(shù)發(fā)散.當t=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散n：Unod定理4（比值審斂法.達朗貝爾判別法）設(shè)aUn為正項級數(shù).如果n#lim.nUn則當二：1時級數(shù)收斂當'1（或lim-:）時級數(shù)發(fā)散當J=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散n心Un例5證明級數(shù)1*沽怎123

18、n1）是收斂的解因為limUn-lim12=lim1=0：1ncunnc123nncn根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂例6判別級數(shù)12123九nn.的收斂性.1010210310n解因為limUnlim(nn1)!10ncunn->10nn!根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散例7判別級數(shù)QOZ-n)：:1(2n-1)2n的收斂性，解un口02n+1)(2n+2)Un亠lim(21)2n1nn心(2n1)(2n2)'這時：-1.比值審斂法失效.必須用其它方法來判別級數(shù)的收斂性oO因為11而級數(shù)V-1收斂.因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂(2n-1)2nn2nmn24°°

19、;A解因為喬応4而級數(shù)nl計收斂因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂提示lim也nUnlim(2_1)2nn心(2n1)(2n2)=1.比值審斂法失效因為1t.而級數(shù)v42收斂.因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂(2n-1)2nn2心n2定理5(根值審斂法.柯西判別法)設(shè)aUn是正項級數(shù).如果它的一般項Un的n次根的極限等于八n=1limnun=.nF：，則當：二：1時級數(shù)收斂當:、1（或limn比-）時級數(shù)發(fā)散當胃時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散定理5（根值審斂法.柯西判別法）Q0若正項級數(shù)7un滿足lim：un二匸-則當；1時級數(shù)收斂n=1n-430當t1（或limnUn：）時級數(shù)發(fā)散.當t=1時級數(shù)可

20、能收斂也可能發(fā)散.n：:定理5（根值審斂法.柯西判別法）O0設(shè)二Un為正項級數(shù).如果n=1則當：二:1時級數(shù)收斂-當！'-1（或limnun=：）時級數(shù)發(fā)散n、當：丄1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散例8證明級數(shù)1£詩爲是收斂的并估計以級數(shù)的部分和Sn近似代替和S所產(chǎn)生的誤差.解因為limnun二limn-1n=lim-=0.nncVnn所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂以這級數(shù)的部分和Sn近似代替和S所產(chǎn)生的誤差為|rnF1(n1)n11(n1)n1(n2)(n3)+(n1)1(n1)n3_1n(n1)n例6判定級數(shù)二2(-1)nn=12n解因為nim：n"nim：2n2

21、（一1）工所以.根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂定理6（極限審斂法）設(shè)；un為正項級數(shù)n=1qQ（1）如果limnUn=1-0（或limnUn-：）.則級數(shù)Un發(fā)散-nn護n呂qQ如果p1.而limnpun=l（0_l宀；心）.則級數(shù)un收斂n二1例7判定級數(shù)aln（1氣）的收斂性.n丄n解因為ln(1牛)(nr-').故nnlimn2un=limn2ln(1厶)=limn22=1nnn2n)二n2根據(jù)極限審斂法.知所給級數(shù)收斂.QO例8判定級數(shù)二n1（1-cos）的收斂性.nTn解因為U3一2nlm:In3如g訃nmn2厝妤工712根據(jù)極限審斂法.知所給級數(shù)收斂.二、交錯級數(shù)及其審斂法交

22、錯級數(shù)：交錯級數(shù)是這樣的級數(shù).它的各項是正負交錯的O0交錯級數(shù)的一般形式為（-1）n*Un.其中Un0.n=1co例如.'(-1)nn=1O0.但V(-1)n=1n二1-cosn二n不是交錯級數(shù)定理6（萊布尼茨定理）如果交錯級數(shù)X-1)nJUn滿足條件nA(1)unn*(n=1.2.3.)；(2)limUn=0.n則級數(shù)收斂.且其和S<Ui其余項rn的絕對值|rn|_Un，1.定理6(萊布尼茨定理)0如果交錯級數(shù)遲(-ifun滿足：(1)UnUn*；(2)limU0.心y則級數(shù)收斂.且其和S£Ui.其余項rn的絕對值|rn|_Un1,簡要證明：設(shè)前n項部分和為Sn.由S

23、2n=(U1U2)(U3U4)-(U2n1-U2n).及S2n=U1-(U2-U3)亠(U4-U5)亠亠(U2n2-U2n4)-U2n看出數(shù)列S2n單調(diào)增加且有界(S2n：U1).所以收斂設(shè)S2n-；S(nr-').則也有S2n1=S2n，U2n1；S(n>-).所以SlS(n心).從而級數(shù)是收斂的Sn；：U1.因為|n|=Un1-Un2也是收斂的交錯級數(shù).所以|n|_Un1.1例9證明級數(shù)'(-1)n，丄收斂.并估計和及余項，nTn證這是一個交錯級數(shù).因為此級數(shù)滿足111(1)UnUn1(n=1,2,)(2)limUlim0n由萊布尼茨定理.級數(shù)是收斂的.且其和S：:&

24、quot;=1.余項|rn|-Un訂=1三、絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂oOCOO0若級數(shù)X|Un|收斂.則稱級數(shù)7Un絕對收斂若級數(shù)7Unn=1nWn4收斂.而級數(shù)'|Un|發(fā)散.則稱級vUn條件收斂n=1n=1OUA84例10級數(shù)v(-1)心-2是絕對收斂的.而級數(shù)v(-if丄是條件收斂的nnn=1nOCI00定理7如果級數(shù)7Un絕對收斂.則級數(shù)vun必定收斂.nz!n=1值得注意的問題：如果級數(shù)'|Un|發(fā)散.我們不能斷定級數(shù)7Un也發(fā)散n=1n丄QO但是.如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)a|Un|發(fā)散n=1qQ則我們可以斷定級數(shù)xun必定發(fā)散，n=1這是因為.此

25、時|Un|不趨向于零.從而Un也不趨向于零.因此級數(shù)7Un也是發(fā)散的，n=10.例11判別級數(shù)7豈警的收斂性，n¥n解因為|響4.而級數(shù)V是收斂的nn心n所以級數(shù)|sinna1也收斂.從而級數(shù)sinJna絕對收斂.n=1nnTn例12判別級數(shù)旳1'(T)計(1n=12的收斂性n解由吩丹擴.有l(wèi)imn|unIlim(1n2nod可知limun=0.因此級數(shù)'(T)n斗(1丄)"發(fā)散n心nW2nn§11,3幕級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)：給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列Un(X).由這函數(shù)列構(gòu)成的表達式Ul(x)亠U2(x)亠U3(x)Un(x)亠q

26、Q稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)級數(shù).記為；un(x).n丄收斂點與發(fā)散點：對于區(qū)間I內(nèi)的一定點xo.若常數(shù)項級數(shù)7Un(xo)收斂.則稱n=1qQqQ點xo是級數(shù)'Un(X)的收斂點.若常數(shù)項級數(shù)x'Un(xo)發(fā)散.則稱nAn=1點xo是級數(shù)vUn(x)的發(fā)散點.n=1收斂域與發(fā)散域：函數(shù)項級數(shù)aUn(x)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域.所心有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域和函數(shù)在收斂域上.函數(shù)項級數(shù)''Un(x)的和是x的函數(shù)S(x).n=1qocos(x)稱為函數(shù)項級數(shù)XUn(x)的和函數(shù).并寫成S(x)Un(x).nTn=1QO刀Un(x)是vUn(x)

27、的簡便記法.以下不再重述.n=1在收斂域上.函數(shù)項級數(shù)刀Un(x)的和是x的函數(shù)S(x).s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)刀Un(x)的和函數(shù).并寫成S(X)二刀Un(x).這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域.部分和QO函數(shù)項級數(shù)'Un(x)的前n項的部分和記作Sn(x).n4函數(shù)項級數(shù)刀un(x)的前n項的部分和記作Sn(x).即Sn(X)=Ul(x)U2(X)U3(X)Un(X).在收斂域上有nlim.Sn(x)=S(x)或(x)；s(x)(n心)，余項函數(shù)項級數(shù)'Un(X)的和函數(shù)S(X)與部分和Sn(X)的差n4rn(x)=s(x)-Sn(x)叫做函數(shù)項級數(shù)cdUn(x)的余項n=1函

28、數(shù)項級數(shù)刀Un(x)的余項記為rn(x).它是和函數(shù)s(x)與部分和Sn(x)的差n(X)=S(X)-Sn(X),在收斂域上有l(wèi)imrn(x)=0.nT°o二、幕級數(shù)及其收斂性幕級數(shù)函數(shù)項級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項都幕函數(shù)的函數(shù)項級數(shù).這種形式的級數(shù)稱為幕級數(shù).它的形式是aoaixa2X2anxn其中常數(shù)aoai£2.an.叫做幕級數(shù)的系數(shù).幕級數(shù)的例子：1XX2X”圧xn”，.：1X2!X2n!注：幕級數(shù)的一般形式是aoai(x-xo)a(x審0)2an(x-xo)n.經(jīng)變換t=x%就得aoait宀”:：-antn"“幕級數(shù)23n1XXX可以看成是公比為

29、X的幾何級數(shù).當|x|：1時它是收斂的當兇1時.它是發(fā)散的因此它的收斂域為(=.1).在收斂域內(nèi)有=1xx2x3亠亠xn.1-xqQ定理1(阿貝爾定理)如果級數(shù)anXn當x-xo(Xo=o)時收斂.則適合不等式n=oO0|x|：|xo|的一切X使這幕級數(shù)絕對收斂反之.如果級數(shù)二anXn當n=ox=xo時發(fā)散.則適合不等式XIXo|的一切X使這幕級數(shù)發(fā)散定理1(阿貝爾定理)如果級數(shù)刀anxn當Xg(X0=O)時收斂.則適合不等式|x|：:：|xo|的一切X使這幕級數(shù)絕對收斂.反之.如果級數(shù)刀anXn當x=xo時發(fā)散.則適合不等式XIXo|的一切X使這幕級數(shù)發(fā)散，提示：刀anxn是vanxn的簡記

30、形式，nqQqQ證先設(shè)xo是幕級數(shù)aanxn的收斂點.即級數(shù)anxn收斂.根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件.有n=0n=0limanxS=0.于是存在一個常數(shù)M.使n_.n|anxo|M(n=0,1,2,).這樣級數(shù)vanxn的的一般項的絕對值n=0|anXn|=|anX0令|=卅|產(chǎn)一皿l&n.O0因為當|x|：|xo|時.等比級數(shù)VMn=0oO二:anxn絕對n=0XoXoXoQ|n收斂.所以級數(shù)v|anxn|收斂.也就是級數(shù)Xon=0收斂簡要證明設(shè)刀anxn在點Xo收斂.則有anxon>0(n心).于是數(shù)列anXon有界.即存在一個常數(shù)M.使|anxon|如(n=0,1,2,).因為

31、Ex,昭升昭1和皿和.qQ而當|x|<|x01時.等比級數(shù)M|2|n收斂所以級數(shù)刀|anxn|收斂.也就是級數(shù)刀anxn絕對收斂n=0Xo定理的第二部分可用反證法證明倘若幕級數(shù)當XNo時發(fā)散而有一點X!適合為|>|xo|使級數(shù)收斂.則根據(jù)本定理的第一部分.級數(shù)當X=Xo時應(yīng)收斂.這與所設(shè)矛盾.定理得證qQ推論如果級數(shù)7anxn不是僅在點x=o點收斂.也不是在整個數(shù)軸上都收斂.則必有一n=0個完全確定的正數(shù)R存在.使得當|x|R時.幕級數(shù)絕對收斂當|x|R時.幕級數(shù)發(fā)散當X爭與x=_R時.幕級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散，qQ收斂半徑與收斂區(qū)間：正數(shù)R通常叫做幕級數(shù)'anxn的收斂半

32、徑，開區(qū)間（_r.R）叫做幕級nMqQqQ數(shù)vanXn的收斂區(qū)間，再由幕級數(shù)在XWR處的收斂性就可以決定它的收斂域，幕級數(shù)VanXnn=0n=0的收斂域是（-R,R）（或-R,R）、（-R,R、_RR之一qQqQ規(guī)定：若幕級數(shù)'anXn只在X=0收斂.則規(guī)定收斂半徑R=0.若幕級數(shù)7anXn對一切X都n=0n=0收斂.則規(guī)定收斂半徑Rh：這時收斂域為（：，：）.定理2如果lim旦丄戶卜，.:其中an、a.i是幕級數(shù)anXn的相鄰兩項的系數(shù).則這幕級數(shù)的收斂n°ann=0半徑'+0P=0Rn1PO,0p=+oc定理2qQ如果幕級數(shù)anXn系數(shù)滿足lim|an-1H

33、9;.則這幕級數(shù)的收斂半徑nTnT蟲an"+旳P=0r=-1po“0P=+oC定理2a如果”m于FT則幕級數(shù)vanXn的收斂半徑R為當、0時R=2.當5時R-:當丄:時R=o簡要證明nim：an1Xn1anXn|x|x|.1如果0lb：.貝y只當:x：1時幕級數(shù)收斂.故R=.(2)如果亍=0.則幕級數(shù)總是收斂的.故R=如果亠二、則只當x=0時幕級數(shù)收斂.故R=0例1求幕級數(shù)x2QOx(-1)n=1的收斂半徑與收斂域:n例1求幕級數(shù)7(1)n的收斂半徑與收斂域n=1nan11解因為limanlHlimnJ=1n卡？ani30丄所以收斂半徑為丄邛當x=1時.幕級數(shù)成為心丄.是收斂的n當x

34、=-1時.幕級數(shù)成為V(-1).是發(fā)散的.因此.收斂域為(T,1.心n001例2求幕級數(shù)V1xnnn!1X討余3韶°o1例2求幕級數(shù).Xn的收斂域.nM!1因為r=1計也=lim®翌=lim皿0n*annT11(n+1)!n!所以收斂半徑為R=.從而收斂域為(-：，:-).OC例3求幕級數(shù)n!xn的收斂半徑.n=0r=lim|a1lim(nnann：n!所以收斂半徑為R=0.即級數(shù)僅在xd0處收斂例4求幕級數(shù)(2nx2n的收斂半徑.z(n!)解級數(shù)缺少奇次幕的項.定理2不能應(yīng)用.可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑：幕級數(shù)的一般項記為Un(X)=(2嗎X2n.(n!)2因為nim丿

35、咤？匸4兇2.Un(X)當4X|2：1即|x|：2時級數(shù)收斂當4Xf1即|X|2時級數(shù)發(fā)散.所以收斂半徑為,2(n1)!X2(n-1)Un1(x)(n1)!2(2n2)(2n1)x2X提示：Un(X)(2n)!X2n9A侃)2(n1)2例5求幕級數(shù)匚勞的收斂域tn解令t次-1.上述級數(shù)變?yōu)?quot;nn三2n因為rm：詈1=莎?青2nn所以收斂半徑RQ01旳(_1)當t=2時.級數(shù)成為二1.此級數(shù)發(fā)散當t=-2時.級數(shù)成為.此級數(shù)收斂.因此級nnnwn旳tn數(shù).一的收斂域為因為-2_x-1：:2.即-1_x：:3.所以原級數(shù)的收斂域為-1,3).n2nn三、幕級數(shù)的運算0O0設(shè)幕級數(shù)VanX

36、n及VbnXn分別在區(qū)間(-R,R)及(-R：R)內(nèi)收斂.則在(_RR)與(-R,R)中n=©n=0較小的區(qū)間內(nèi)有加法：anxn-二：bhxn'(anbn)xn.n=0n=0n=0qQqQqQ減法：anxn-=a(a-bn)xnnz0n=0n=0設(shè)幕級數(shù)刀anxn及刀bnxn分別在區(qū)間(_R,R)及(-R；R)內(nèi)收斂.則在(_R,R)與(-R,R)中較小的區(qū)間內(nèi)有加法：刀anxn送bnxn=E(anbn)xn.減法:刀anXn_刀bnxn(an-bn)xn,乘法:(為anx0)(為bnxn)=aobo+(aobi七ibojx+gobzibi七2比)乂2+n=0n=0(aobn

37、aibn亠亠anbo)xnqQ性質(zhì)1幕級數(shù)anXn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)n曲如果幕級數(shù)在x=R(或X-R)也收斂.則和函數(shù)s(x)在(-R,R(或-R,R)連續(xù)qQ性質(zhì)2幕級數(shù)_anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積.并且有逐項積分公式n=e；s(x)dx=；(二anxn)dx='；anXndxaxn1(xI).n=0n=0nM*1逐項積分后所得到的幕級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑Q0性質(zhì)3幕級數(shù)；anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R.R)內(nèi)可導(dǎo).并且有逐項求導(dǎo)公式s(x)WanXn)J(anXn):=nanXn*(|x|：R).n=0n£nT逐項求導(dǎo)后所

38、得到的幕級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.性質(zhì)1幕級數(shù)刀anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)性質(zhì)2幕級數(shù)刀anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積.并且有逐項積分公式(XI)；s(x)dx=：(VanXn)dx：anXndxaxn'1n=0n=0n=0n十1逐項積分后所得到的幕級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑性質(zhì)3幕級數(shù)刀anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(_R.R)內(nèi)可導(dǎo)并且有逐項求導(dǎo)公式oOoOoOs(x)=anXn)八(anXn)八nanxn(|x|：R).n=0n=0n=0逐項求導(dǎo)后所得到的幕級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑1例6求幕級數(shù)vxn的和函數(shù).nn+1解求得幕級數(shù)的收斂

39、域為-1.1)1設(shè)和函數(shù)為s(x).即s(x)=瓦一xn.1),顯然s(0)=1n£n+1在xs(x)1-xn1的兩邊求導(dǎo)得5+1xs(x)(&xn1)八xn=入n=0n+1n=01x對上式從0到x積分.得于是xs(x)二11-xdx二_ln(1x)1.當x#0時.有s(x)=-丄ln(1_x).從而s(x)=x丄1n(1_x)x10町x|：1x=0aOa因為xs(x):百八xn1dx打xndx二；n=0丄dx=-ln(1-x)1-x所以.當x-0時.有s(x)=-11n(1-x).x從而s(xKln(1x)g|x|<11x=0001例6求幕級數(shù)一匕xn的和函數(shù),nM+

40、1解求得幕級數(shù)的收斂域為-1.1)001設(shè)幕級數(shù)的和函數(shù)為s(x).即s(x)=E七xn.x1.1)“nM1顯然S(0)=1.因為oo彳nn1=dx=Tn(1-x)(T：x：1).1-xxs(x)八xn1nn+1=0二xndx0n£所以.當0,x：1時有s(x)j|n(1x).x從而s(x)=*-IlnCI-x)x0：x：1x=0由和函數(shù)在收斂域上的連續(xù)性.S(-1)=limS(x)=ln2.xt+1_綜合起來得s(x)匚1n(1X)x=-1,0)50,1)1x=0提示：應(yīng)用公式；F(x)dx二F(x)-F(0).即F(x)二F(0)；F(x)dx.:-(_1)n例7求級數(shù)補n1?的

41、和11 解考慮冪級數(shù)此級數(shù)在卜1,1)上收斂設(shè)其和函數(shù)為s(x).則s(-1)-CC空n£n+1辺(_1)n1在例6中已得到xs(x)Tn(1-x).于是-s(-1)=1n2.s(-1)=ln.即In.nmn十12§11,4函數(shù)展開成幕級數(shù)一、泰勒級數(shù)要解決的問題：給定函數(shù)f(x).要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成幕級數(shù)”.就是說是否能找到這樣一個幕級數(shù).它在某區(qū)間內(nèi)收斂.且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x).如果能找到這樣的幕級數(shù).我們就說.函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成幕級數(shù).或簡單地說函數(shù)f(x)能展開成幕級數(shù).而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達了函數(shù)f(x).泰勒多項式：如果

42、f(x)在點X0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù).則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于f(x)=f(X0)f(X0)(X-X0)f2x°)(x-X0)2字m(x).n!fE)嚴、彳其中Rn(X)F(X-Xo)1(介于X與xo之間).(n+1)!泰勒級數(shù)：如果f(x)在點xo的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f(x)f(X).f(n)(x)則當n：:時f(x)在點xo的泰勒多項式f*(x)f(n)(x)Pn(X)二f(Xo)f(Xo)(X-Xo)W(X-Xo)2'(X-X°)n2!n!成為幕級數(shù)f(Xo)f(Xo)(x-Xo)ld-Xo)2lgXo).畀(xXo)n2!3!n!這一幕級數(shù)稱為函數(shù)f

43、(x)的泰勒級數(shù).顯然.當X承0時f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(Xo),需回答的問題：除了X=xo外.f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂？如果收斂.它是否一定收斂于f(x)?定理設(shè)函數(shù)f(x)在點xo的某一鄰域U(Xo)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù).則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)當n>o時的極限為零.即nim：_Rn(x)=O(xU(Xo).證明先證必要性，設(shè)f(x)在u(xo)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù).即f(x)二f(Xo)f(Xo)(x-Xo)f(x)(xXo)2(Xo)(Xo)n.2!n!又設(shè)Sn1(X)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n1項的和.則在U(xo)

44、內(nèi)sni(x)>f(x)(n心).而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(X)=Sn1(X)Rn(x).于是Rn(X)=f(X)-Snl(x)>O(n：).再證充分性設(shè)Rn(x).O(n匚)對一切xU(xo)成立因為f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=Sn1(X)Rn(x).于是Sn1(X)二f(X)Rn(X)rf(x).即f(x)的泰勒級數(shù)在U(Xo)內(nèi)收斂.并且收斂于f(x).麥克勞林級數(shù)：在泰勒級數(shù)中取Xo=o.得f(O)+f(Ojx+mx"+f5)(O)xn+.2!n!此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù).展開式的唯一性：如果f(x)能展開成X的幕級數(shù).那么這種展式是唯一

45、的.它一定與f(x)的麥克勞林級數(shù)一致.這是因為.如果f(x)在點Xo=O的某鄰域(-RR)內(nèi)能展開成x的幕級數(shù).即f(x)=aoaixa2X2亠亠anxn-那么根據(jù)幕級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo).有,2nd.f(x)=ai2a2x3a3xnanxf(x)=2!a232a3Xn(n-1)anxn_2.f(x)=3!a3n(n-1)(n_2)anxnJ3.f(n)(x)=n!an(n1)n(n_1)2anixaof(0)af(0baf(0.an=2!f叫0)n!于是得應(yīng)注意的問題：如果f(x)能展開成x的幕級數(shù).那么這個幕級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù)，但是反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點X

46、0=0的某鄰域內(nèi)收斂.它卻不一定收斂于f(x).因此.如果f(x)在點X0=0處具有各階導(dǎo)數(shù).則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來.但這個級數(shù)是否在某個區(qū)間內(nèi)收斂.以及是否收斂于f(x)卻需要進一步考察.二、函數(shù)展開成幕級數(shù)展開步驟：第一步求出f(X)的各階導(dǎo)數(shù):f(x)f(xf(n)(x).第二步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值f(0)f(0).f(0).f(n)(0).第三步寫出冪級數(shù)f(0)f(0)x口02(0)xn.2!n!并求出收斂半徑R第四步考察在區(qū)間(R.R)內(nèi)時是否R1(x)>0(n)：),f(n%)是否為零如果Rn(x)>0(n心).則f(x)在(_RR)內(nèi)有展開

47、式f"(0)f(n)(0)f(X)二f(0)f(O)X2pX2nXn(_R：X：:R),例1將函數(shù)f(x)弋X展開成X的幕級數(shù)解所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f(n)(xeX(n=1.2.).因此f(0)=1(n=1.2.)于是得級數(shù)11n!1xx2xn2!它的收斂半徑R=匚:.對于任何有限的數(shù)x、'(介于0與x之間).有|Rn(x)H(n1)!e八®歸Ixln卅_而占T0所以nRn(x)9從而有展開式ex=1x2_xJ_xn.-(-：x：)，例2將函數(shù)f(x)=sinx展開成x的幕級數(shù).解因為f(n)(x)=sin(x+n=)(n=1.2.)、所以f5)(0)順序循環(huán)地取0

48、.1.0.-1.(n=0.1.2.).于是得級數(shù)x3x5x2nX_Nx(_1)n73!5!(2n-1)!它的收斂半徑為R=:.對于任何有限的數(shù)x、'(介于0與x之間).有sinIRn(x)|斗(n1)二2(n1)!因此得展開式lxT帯>0(nindx2n曲*普P(-曠希(=x例3將函數(shù)f(x)=(1-x)m展開成x的幕級數(shù).其中m為任意常數(shù)，解:f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為f(x)=m(1x)m4.f(x)刊(m-1)(1X)mf(x)二m(m1)(m2)(mn1)(1x)m1所以f(0)=1.f"(0)=m.f"(0)=m(m-1).f(n)(0)=m(m-1)(m

49、-2)(m-n+1)第29頁于是得幕級數(shù)1mx弩n!可以證明(1宀mx呼宀yF.(一1：x：1).間接展開法：例4將函數(shù)f(x)=cosx展開成x的幕級數(shù).心x2n解已知sinxrx疋X(1)n_(-；：x：),3!5!(2n-1)!對上式兩邊求導(dǎo)得x2x4x2n一一COSX=1-(T)n_(_：X；：).2!4!(2n)!1例5將函數(shù)f(X)丄廳展開成x的幕級數(shù).1+x21解因為1XX2亠亠Xn(一1:：X”：1).1X124n2n2=xx-(T)X(-1：x：1).把X換成-X2.得1x注：收斂半徑的確定：由-1：:-x2：1得-1:x：1.例6將函數(shù)f(x)=ln(1x)展開成x的幕級數(shù)

50、.解因為f(X)-.1+x1迓而丄是收斂的等比級數(shù)V(-1)nxn(-1：x：1)的和函數(shù)：1Xn=0=xx2-x3_(T)nxn1x所以將上式從0到x逐項積分.得ln(1X)=X誇號斗(-1)n需解:f(x)=ln(1x)二:In(1x)dx二dxx二x:-1而ln（1x）在x=1處有上述展開式對X也成立.這是因為上式右端的幕級數(shù)當X時收斂定義且連續(xù)，解將函數(shù)f（x）=sinx展開成的幕級數(shù)4sin(x_T)并且有COS一（-：:X：）.sin（x_4型-衛(wèi)-訴盲）35f（x_N）5_（=x：）所以sinx=將函數(shù)f（x）-(X)_(x42!1展開成(x-1)的幕級數(shù)，x24x3駕r3x-j

51、1x_1)4丿因為f(X)=X24x3(x1)(x3廠2(1x)2(3x)4(r號)8(11:(x1)n2n1:譏(TV8n=0(X-1)n4n°od鳥t)E1_22n3)(X-1)n(-1：X：3)1x=2(x-1)=2(1)3x=4(x-1)=4(1提示A(_1)nn=0(X-1)n2n（T呼叮）(x-1)n4n（-1：號：1）1:七鳥TT1亠X1n=04收斂域的確定：由八學(xué)4和-1展開式小結(jié)：=1XxJ：小xn(-1：x：:1)1-Xex=1x1x2235sinx3!5!24cosx=12!4!1jXn（_：:X：:二）.x22(-1)n詔-(_：:x'丿(2n-1)!

52、'八2n珂-1)x(-：:：X；)(2n)!2x3x4xn1ln(1x)二x-xxx1)n-(-1：xid)'丿234'丿n+1')m彳m(m-1)2m(m-1)(m-n1)n(1x)=1mx2!x2xn(_1：x：1),n!§11,5函數(shù)的幕級數(shù)展開式的應(yīng)用、近似計算計算5240的近似值.要求誤差不超過00001.計算5240的近似值（誤差不超過10）.因為5240二5243-3=3(1-*)1/5所以在二項展開式中取-534.即得5240*5才黔38錯弄廠這個級數(shù)收斂很快，取前兩項的和作為5240的近似值.其誤差（也叫做截斷誤差）為141.1491

53、.149141、應(yīng)卜3(522!38533!312544!316)丄812訂6111.12538丄一252740'20000于是取近似式為5240、3（1£J4）為了使“四舍五入”引起的誤差（叫做舍入誤差）與截斷誤差之和不超過10鼻.計算時應(yīng)取五位小數(shù).然后四舍五入，因此最后得524029926.2計算In2的近似值.要求誤差不超過00001,2計算In2的近似值（誤差不超過10）.在上節(jié)例5中.令x=1可得1宀-23-(“叫如果取這級數(shù)前n項和作為ln2的近似值.其誤差為|rn片七.n+1為了保證誤差不超過10°.就需要取級數(shù)的前10000項進行計算這樣做計算量太

54、大了我們必需用收斂較快的級數(shù)來代替它把展開式x2x3x4嚴In(1x)二x-xxx(-1尸上(-1：XE1)234n+1中的x換成孑.得x2x3x4In（尸*2巧-匸（仁x：1）.兩式相減.得到不含有偶次幕的展開式：In#=ln(1x)-ln(1-X=2(xfx3fx5)(-1：x：1).令匕=2.解出x=3以代入最后一個展開式得1111111、ln2=2（31331357了）'如果取前四項作為In2的近似值.則誤差為1±.111)391131113313諭19（9）2211.1311門一有7000009于是取點2（3舄為坍同樣地.考慮到舍入誤差.計算時應(yīng)取五位小數(shù)3033333113330.01235135心00082137心00007因此得In2：06931,例3利用sinxjx3求sin9的近似值并估計誤差解首先把角度化成弧度9.面9（弧度）頁3從而1二sin20203!20其次.估計這個近似值的精確度，在sinx的幕級數(shù)展開式中令jiX頁.得nnsin202015丫1兀十1兀丫I十II-f*3l20丿5!120丿7!120.丿等式右端是一個收斂的交錯級數(shù).且各項的絕對值單調(diào)減少.取它的前兩項之和作為的近似值.起誤差為|r