振動理論總結(jié)報告

1、研 究 生 試 卷2014 年2015年度第 2 學期評 分：_課 程 名 稱： 振動理論 專 業(yè)： 車輛工程 年 級： 2014級二班 任 課 教 師： 李偉 研 究 生 姓 名： 陳亮 學 號： 2140940011 注 意 事 項1. 答題必須寫清題號；2. 字跡要清楚，保持卷面清潔；3. 試題隨試卷交回；4. 考題課以百分制評分，考查課可按五級分制評分；5. 閱完卷后，授課教師一周內(nèi)講成績在網(wǎng)上登記并打印簽名后，送研究生部備案；6. 試題、試卷請授課教師保留三年備查。振動理論總結(jié) 目錄2014 年2015年度第 2 學期1第一章 概論31.1振動的定義31.2振動研究的問題31.3振動

2、的分類31.4振動研究的基本方法31.5簡諧振動4第二章 單自由度系統(tǒng)的振動62.1單自由度系統(tǒng)的參數(shù)的確定62.2振動微分方程的建立72.3單自由度振系的自由振動72.4單自由度振系的強迫振動102.5強迫振動的復數(shù)求解法122.6支座簡諧運動引起的強迫振動122.7一般性周期激勵的強迫振動132.8任意激勵下的響應13第三章 二自由度系統(tǒng)的振動153.1微分方程的建立163.2二自由度振系的自由振動163.3汽車二自由度無阻尼振動173.4二自由度有阻尼的自由振動183.5二自由度強迫振動19第四章 多自由度振動系統(tǒng)214.1多自由系統(tǒng)運動微分方程建立214.2多自由系統(tǒng)固有特性224.3

3、無阻尼多自由度振動系統(tǒng)的模態(tài)分析234.4無阻尼多自由度系統(tǒng)的響應計算244.5有阻尼多自由度系統(tǒng)的實模態(tài)分析244.6有阻尼系統(tǒng)的復模態(tài)分析26第六章 連續(xù)系統(tǒng)的振動276.1弦的橫向振動276.2桿的縱向振動286.3梁的橫向振動28第八章 隨機振動概述288.1隨機過程288.2隨機過程的統(tǒng)計特性298.3隨機過程的概率分布308.4線性系統(tǒng)對隨機激勵的響應31第一章 概論1.1振動的定義 廣義振動：如果表征一種運動的物理量作關于時間的時而增大時而減小的反復變化，就可以稱這種運動為振動。 機械振動：在廣義振動的前提下，若變化著的物理量是一些機械量或者力學量，例如物體的位移、速度、加速度、

4、應力、應變等，這種振動邊稱為機械振動。1.2振動研究的問題 （1）振動隔離 （2）在線控制 （3）工具開發(fā) （4）動態(tài)性能分析 （5）模態(tài)分析 按振動輸入、振動系統(tǒng)、輸出，可以把振動問題分為以下三類 （1）振動分析 （2）振動環(huán)境預測 （3）系統(tǒng)識別1.3振動的分類 （1）按系統(tǒng)輸入類型分類：自由振動、受迫振動、自激振動、參數(shù)振動 （2）按描述系統(tǒng)的微分方程分類：線性振動與非線性振動 （3）按系統(tǒng)的自由度分：單自由度系統(tǒng)振動、多自由度系統(tǒng)振動、無限自由度系統(tǒng)振動 （4）按系統(tǒng)輸出的振動規(guī)律分類：周期振動、非周期振動、隨機振動1.4振動研究的基本方法 （1）建立系統(tǒng)的力學模型：確定振動的激勵、質(zhì)

5、量、彈性和阻尼這四大要素。 （2）建立運動方程：對系統(tǒng)進行受力分析，用牛頓第二定律或者達朗貝爾原理建立運動微分方程。 （3）求解方程，得到響應規(guī)律1.5簡諧振動 （1）定義：簡諧振動是指機械系統(tǒng)的某個物理量（位移、速度、加速度）按時間的正弦（或者余弦）函數(shù)規(guī)律變化的振動。 （2）簡諧振動的表示方法 A、函數(shù)表示法 B、旋轉(zhuǎn)矢量表示法 C、復數(shù)表示法 （3）取虛部： 簡諧振動的合成 A、復數(shù)法 兩物理量表示為： 合成后為： 其中， B、三角函數(shù)法 兩物理量表示為： 合成后為： 其中， C、兩物理量表示為： 合成后為： 其中與的值有下圖矢量運算得到第二章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1單自由度系統(tǒng)的參數(shù)

6、的確定 單自由度振動系統(tǒng)是指在振動過程中，振系的任意瞬間形態(tài)有一個獨立坐標即可確定的系統(tǒng)。單自由度振系同樣需要確定質(zhì)量參數(shù)、剛度參數(shù)、和阻尼參數(shù)，并按一定的方法來研究單自由度振系在不同激勵下的運動規(guī)律。 （1）等效剛度 對參考點施加廣義力時產(chǎn)生的廣義位移，則剛度可表示為： 對于組合彈簧系統(tǒng)（如下圖所示），有一下結(jié)論： 串聯(lián)系統(tǒng)： 并聯(lián)系統(tǒng)： 當系統(tǒng)比較復雜時，用定義求等效剛度比較困難時，可以用能量法確定等效剛度，即 確定出系統(tǒng)總的彈性勢能能量，用表示，帶入公式，即可求出等效剛度。 （2）等效質(zhì)量 在實際系統(tǒng)較復雜時，用能量法確定等效質(zhì)量 在確定出兇總的動能后，用表示，帶入公式，即可求出等效質(zhì)量

7、。 （3）等效粘性阻尼 在各種阻尼中只有粘性阻尼是線性阻尼，它與速度成正比。對于比較復雜的非粘性阻尼，通常轉(zhuǎn)換為等效粘性阻尼來處理。 在工程實踐中，根據(jù)振動在一個周期中實際阻尼所耗散的能量等于粘性阻尼所耗散的能量的關系，確定出粘性阻尼，然后用粘性阻尼來處理問題。 將振動表示為 粘性阻尼在一個周期內(nèi)所做功為： 帶入一下公式，即可求出等效粘性阻尼 其中，為系統(tǒng)非粘性阻尼在一個周期內(nèi)所做的功。2.2振動微分方程的建立 （1）根據(jù)牛頓第二定律 其方法可遵循以下步驟： A、建立力學模型 B、取隔離體 C、進行受力分析 D、建立牛頓第二定律或建立微分方程 得到的運動微分方程為： （2）根據(jù)能量法 由以上可

8、建立運動微分方程。2.3單自由度振系的自由振動 單自由度振動系統(tǒng)自由振動的微分方程為： （1）無阻尼自由振動 當系統(tǒng)的阻尼很小，阻尼可忽略不計，令，得到微分方程為： 解以上微分方程，得到單自由度的通解為： 帶入初始條件，得到解為： 將解寫成 系統(tǒng)無阻尼自由振動的要素振幅 初相位固有圓頻率固有頻率固有周期 （2）固有頻率的求法 A、根據(jù)固有頻率的定義來求 根據(jù)系統(tǒng)的運動微分方程改寫為，定義，從而求得系統(tǒng)的固有圓頻率。 B、根據(jù)等效質(zhì)量和等效剛度來求 C、應用能量法來求 將簡諧振動表示為 建立振動微分方程，若動能達到最大，則勢能為0；動能為0時，勢能取最大。由可以得到關于的方程，從而求出固有圓頻率

9、。 （3）有阻尼自由振動 有阻尼自由振動的運動微分方程為 改寫為 令，稱為衰減系數(shù)，稱為相對阻尼系數(shù)，則有 解得特征根 求得通解為 結(jié)論 A、當>1（即），稱為過阻尼，此時為不相同的負實數(shù)，微分方程的解式中兩個指數(shù)均為負數(shù)，它所表示的運動是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動。 B、當=1（即），稱為臨界阻尼，特征方程具有相等的兩個實根，此時，這個方程表示的運動是非周期性的，根據(jù)不用的初始條件確定常數(shù)和后，可知運動是按指數(shù)規(guī)律衰減的。 由于臨界阻尼是區(qū)分系統(tǒng)振動與否的界限，因此，可用它作為衡量阻尼大小的基準。若 用Cc表示臨界阻尼時的臨界阻尼系數(shù)，則由n=p的關系式可得 于是把前面引入的相對阻尼系

10、數(shù)表示為 即相對阻尼系數(shù)等于實際阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，故又稱為阻尼比。 C、當<1（即），稱為弱阻尼。此時特征方程的兩個根為共軛復根 其中，令，的實際意義為有阻尼衰減振動時的固有圓頻率，它的值比 經(jīng)過變換得到 其中， 有阻尼時系統(tǒng)的自由振動已不再是等幅的簡諧振動，而是振幅被限制在曲線之內(nèi)，并隨時間作按指數(shù)衰減的振動。當時，即振動最終將完全消失。 阻尼對自由振動有一下兩方面的影響： A、阻尼使系統(tǒng)的周期略有增大 B、阻尼使系統(tǒng)的振幅按幾何級數(shù)衰減 綜合上面有阻尼自由振動運動微分方程解的三種情況，系統(tǒng)是否作自由振動的條件表示為： A、當<1時，系統(tǒng)作小阻尼的衰減振動； B、當&

11、gt;1時，系統(tǒng)作大阻尼的非周期運動，而非振動； C、當=1時，系統(tǒng)引起運動性質(zhì)突變的臨界情況。2.4單自由度振系的強迫振動 建立微分方程 設激振力為：，同時，則 該方程的解包括兩個部分：齊次方程的通解x1和特解 x2,即x=x1+x2。 x1對應有阻尼自由振動的齊次方程的解，在弱阻尼情況下，解得 它代表一種衰減振動，在振動開始的一段時間才有意義 ，稱為瞬態(tài)振動。 特解x2代表系統(tǒng)在簡諧激振下產(chǎn)生的強迫振動，是一種持續(xù)的等幅振動，為穩(wěn)態(tài)振動。設，求得 其中頻率比 系統(tǒng)的最大靜位移 。 ， 為放大因子，它代表穩(wěn)態(tài)振幅和靜位移之比。在不同的值時，得到的幅頻響應曲線和相頻響應曲線如下 由圖可見，當0

12、時，1，而與阻尼無關。這意味著，當激振力接近0時，振幅與靜位移相近。 當時，0，這意味著激振頻率很高時，質(zhì)量跟不上力的變化，將停在平衡位置。 當=1時，振幅趨于無窮大，這種現(xiàn)象叫做共振。此時的頻率為共振頻率。 可得振幅最大時的頻率比 振幅最大值為 當=1時，放大因子稱為品質(zhì)因子，用Q表示，可得 根據(jù)公式確定兩頻率之差，得2.5強迫振動的復數(shù)求解法 定義頻率響應函數(shù)為復數(shù)響應與復數(shù)激振力之比為，。設作用在系統(tǒng)上的激勵為單位幅值簡諧激振力，即，則得到微分方程為： 解方程得到 當簡諧激振力為時，則，則2.6支座簡諧運動引起的強迫振動 簡諧強迫振動不一定都是激振力引起的，有的情況下，振動支座的周期運動

13、同樣可使系統(tǒng)發(fā)生強迫振動，如機器振動引起的儀表振動，汽車駛過不平路面的振動。 路面不平激勵為： 根據(jù)牛頓運動定律，可列出振動微分方程為 將上述微分方程改寫為 設作用在系統(tǒng)的路面不平激勵為單位幅值，則響應為 可求出 由此得 2.7一般性周期激勵的強迫振動 實際問題中簡諧干擾力作用下的強迫振動是比較少的，大多數(shù)是一種非簡諧的周期性干擾。任意一個周期函數(shù)總可以根據(jù)傅里葉級數(shù)分解成一系列具有基頻倍數(shù)的簡諧分量，即進行諧波分析。對這些不同頻率的簡諧激勵，求出各自的響應，再根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將各響應疊加起來而求得一半周期干擾力作用下的總響應。 如果周期函數(shù)，滿足傅里葉級數(shù)展開的條件，則有 一個有阻尼

14、的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在周期激振力f(t)的作用下的微分方程式為 根據(jù)f(t)展開為傅里葉級數(shù)，則方程為 求解方程得到2.8任意激勵下的響應 由于現(xiàn)實中的激勵都是既非周期的，更非簡諧的，所以不能用數(shù)學方式求解微分方程，也不能通過一般的傅里葉級數(shù)分解成一系列間諧波來求解。 為解決這一問題，有兩個思路：把激勵分解為一系列微沖量和把激勵視為無線周期的周期激勵。 （1）杜哈美積分法 把激勵分解為一系列微沖量的連續(xù)作用，分別求解系統(tǒng)對每個微沖量的響應，再根據(jù) 系統(tǒng)的疊加原理把他們疊加起來，即可得到系統(tǒng)對任意激勵地響應 定義單位脈沖函數(shù)可以用函數(shù)當 假如 瞬時作用在系統(tǒng)上 當 帶入微分方程 施加初始條件，得到 初

15、始條件情況下單位脈沖引起的響應 單位脈沖輸入在t=時作用在系統(tǒng)上 通過積分得到總的響應在任意激勵開始作用時，質(zhì)量已有初位移和初速度，響應變?yōu)椋?當系統(tǒng)在支座運動的激勵下振動 微分方程為： 積分得 （2）傅式積分法 函數(shù)有以下傅式變換對同樣函數(shù)有一下傅式變換對于是有 通過傅式逆變換，可有可求得，得到時域解。 （3）拉式變換法 對函數(shù)求拉式變換 帶入公式 稱為系統(tǒng)的廣義阻抗，它的倒數(shù)稱為系統(tǒng)的導納或者傳遞函數(shù)，用表示。 于是有 對以上公式求拉式逆變換，得到第三章 二自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)振動問題，在我們所討論的范圍內(nèi)是線性定常方程。而多自由度系統(tǒng)則是二階多元聯(lián)立微分方程組，各廣義坐標間存在

16、相互“耦合”現(xiàn)象。 所謂耦合，就是變量之間互相聯(lián)系。由于這種耦合，使微分方程的求解變得非常困難。因此，分析多自由度系統(tǒng)振動問題的重要內(nèi)容之一就是如何將方程“解耦”，然后按單自由度的分析方法求解。3.1微分方程的建立 對系統(tǒng)進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律建立微分方程 寫成矩陣形式3.2二自由度振系的自由振動 微分方程為 設方程的解為 解方程得到 p1、p2就是系統(tǒng)的自由振動頻率，即固有頻率。較低的頻率p1稱為第一階固有頻率，簡稱基頻；較高的頻率p2稱為第二階固有頻率。 振幅比確定了系統(tǒng)的振動形態(tài)，因此，稱為主振型。主振型和固有頻率一樣，只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，而與初始條件無關。系統(tǒng)作主振動時

17、，任意瞬時的位移比和其振幅比相同系統(tǒng)作主振動時，任意瞬時的位移比和其振幅比相同。在第一主振動中，質(zhì)量m1與m2沿同一方向運動；在第二主振動中m1、m2的運動方向則是相反的。系統(tǒng)作主振動時，各點同時經(jīng)過平衡位置，同時到達最遠位置，以與固有頻率對應的主振型作簡諧振動。 帶入固有頻率可以得到第一主振動和第二主振動，根據(jù)微分方程理論，兩自由度系統(tǒng)的自由振動微分方程的通解，是它的兩個主振動的線性組合，即 添加初始條件3.3汽車二自由度無阻尼振動 （1） 以質(zhì)心點c（x,）為廣義坐標，建立方程 慣性項不耦合，彈性項耦合 （2）以c1點的垂向位移x和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)角為廣義坐標。 慣力項耦合，彈性力不耦合 （3

18、采用前后懸掛點的垂向位移（x1，x2）為坐標 既有慣性力耦合，又有彈性力耦合 變換以上公式，得 即 、 為聯(lián)系系數(shù)，表示兩坐標之間的聯(lián)系 、 為偏頻，表示前、后懸掛獨立振動時的振動頻率，x1=0時的振動頻率是2，x2=0時的振動頻率是1。 當 方程化簡為 方程解耦，于是可分別解兩個方程，得到、 ，即、3.4二自由度有阻尼的自由振動 振動運動微分方程 設式解的形式為 帶入公式中，得到 最后得到通解為3.5二自由度強迫振動 （1）二自由度無阻尼振系在簡諧激振力下的強迫振動 建立強迫振動的微分方程 令 得到 設簡諧振動微分方程組的特解為 得到系統(tǒng)的響應 兩質(zhì)量的振幅比 在一定幅值和頻率的激振力作用下

19、，系統(tǒng)振幅比同樣也是確定值，也就是說，系統(tǒng)有一定的振型。同時，系統(tǒng)在任何一個共振頻率下，振型就是相應的主振型。 （2）疊加法求系統(tǒng)響應 由于振動系統(tǒng)是線性振動系統(tǒng)，因此，可以利用疊加法，即把二自由度系統(tǒng)視為雙輸入、雙輸出系統(tǒng)，用頻率響應函數(shù)法求解系統(tǒng)的振動響應，即可得系統(tǒng)強迫振動的解。 m1上單獨作用單位諧波激振力 ，求出頻率響應函數(shù) 得到響應 同理，m2上單獨作用單位諧波激振力 ，求出頻率響應函數(shù)和響應，然后將兩者疊加，得到系統(tǒng)在兩個激振力下的總的響應 （3）路面激勵下的強迫振動 車身與車輪雙質(zhì)量系統(tǒng)，設路面不平激勵為單位諧波激振力 簧下質(zhì)量m1的頻率響應函數(shù) 簧上質(zhì)量m2的頻率響應函數(shù) 對

20、路邊激振力進行傅式變換 得到響應的傅式變換 對響應進行傅式逆變換 最終求得車身與車輪響應的時域解，分別為 雙軸汽車振動，建立微分方程 采用相同的方法和思路，得到系統(tǒng)的時域響應的矩陣表達式第四章 多自由度振動系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)，是指必須通過兩個以上的獨立廣義坐標才能夠描述系統(tǒng)運動特性的系統(tǒng)，或者說是自由度數(shù)目多于一個，但又不屬于連續(xù)彈性體（自由度數(shù)目為無窮）的系統(tǒng)。多自由度系統(tǒng)的振動微分方程式，一般是一組互相耦合的常微分方程組。在系統(tǒng)發(fā)生微小振幅振動的情況下，微分方程都是線性常系數(shù)的。在實際的工程應用中，廣泛采用模態(tài)分析的方法。模態(tài)分析的要點在利用模態(tài)矩陣進行坐標變換，將描述系統(tǒng)的原有坐標用一組

21、新的特定坐標（模態(tài)坐標或正則模態(tài)坐標）代替，使系統(tǒng)的振動微分方程組轉(zhuǎn)換為一組相互獨立的二階常微分方程組，其中每個方程都可以獨立求解。 4.1多自由系統(tǒng)運動微分方程建立 （1）直接法 直接利用動力學基本定律或定理（如牛頓第二定律或達朗貝爾原理）建立微分方程。首先對各質(zhì)量取隔離體，進行受力分析，然后根據(jù)牛頓第二定律建立微分方程： （2）拉格朗日法 是從能量的觀點建立系統(tǒng)的動能T、勢能U和功W之間的標量關系，研究靜、動力學問題的一種的方法。處理方法：取n自由度系統(tǒng)的n個互為獨立的變量q1,q2,q3,qn為廣義坐標，則拉格朗日方程形式為： （3）影響系數(shù)法 mij、kij又分別稱為質(zhì)量影響系數(shù)和剛度

22、影響系數(shù)。根據(jù)它們的物理意義可以直接寫出系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K，從而建立作用力方程，這種方法稱為影響系數(shù)方法. A、剛度矩陣影響系數(shù)：剛度矩陣 K 中的元素 kij 是使系統(tǒng)僅在第 j 個坐標上產(chǎn)生單位位移而相應于第 i 個坐標上所需施加的作用力的大小.根據(jù)麥克斯韋定理，在線性系統(tǒng)中，kij =kji，即剛度矩陣是對稱矩陣。 B、質(zhì)量矩陣影響系數(shù)：質(zhì)量矩陣 M 中的元素mij是使系統(tǒng)僅在第 j 個坐標上產(chǎn)生單位加速度而相應于第 i 個坐標上所需施加的力的大小。 C、多自由度微分方程的兩種形式 振動微分方程中的每一項都表示力，稱為作用力方程 中每一項都表示位移，稱為位移方程。為作用力方程，為

23、位移方程。稱為柔度矩陣 D、柔度矩陣影響系數(shù)：ij系統(tǒng)僅在第 j 個坐標受到單位力作用時相應于第 i 個坐標上產(chǎn)生的位移的大小。根據(jù)互易定理，也存在ij=ji。對于彈性系統(tǒng)，剛度矩陣總是存在的，而柔度矩陣不一定存在。當系統(tǒng)自由度中包括剛體振型（兩端無約束，如圖）時，就無法確定柔度系數(shù)，因此位移方程不適用于具有剛體自由度的系統(tǒng)。4.2多自由系統(tǒng)固有特性 多自由度系統(tǒng)的固有頻率和主振型可以根據(jù)系統(tǒng)的無阻尼自由振動得到。設方程的解為，然后解方程組，得到頻率方程或特征多項式 解出 n 個值，按升序排列為： 為第i階固有頻率，為基頻。 采用自由振動的位移方程：，可以解得的n個根，取其倒數(shù)得到的n個特征值

24、，從而求得系統(tǒng)的固有頻率。 利用質(zhì)量矩陣和剛度矩陣表達的作用力方程，有 對于利用質(zhì)量矩陣和柔度矩陣表達的位移方程，有 將任何一個特征值帶回主振型方程，都可以得到一個響應的非零向量，即特征向量。 對于一個振動系統(tǒng)，一個特征向量描繪了系統(tǒng)振動位移的一種形態(tài)，稱為主振型。主振型只與系統(tǒng)固有物理屬性（慣性和彈性）有關。對于n個自由度的系統(tǒng)，存在n個固有頻率和n個相應的主振型，第r階固有頻率對應第r階主振型Ar。4.3無阻尼多自由度振動系統(tǒng)的模態(tài)分析 （1）廣義坐標和坐標變換 用來描述振動系統(tǒng)的廣義坐標是任意選取的，但是選擇的廣義坐標不同，得出的運動微分方程就不同，方程的耦合情況就不同。運動微分方程可能

25、存在彈性耦合和慣性耦合。 如果存在一組同維線性無關的向量A1，A2，···，An，則可以將它們作為一個坐標系統(tǒng)的一組基向量，組成一個向量空間，Ap=A1 A2 ···An。于是。同樣，對微分方程進行坐標變換，有 整理后有 PP為廣義坐標Q下的廣義激振力，Mp和Kp為廣義坐標Q下的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。變換之后，并沒有改變系統(tǒng)性質(zhì)，但是改變了耦合狀況。 （2）根據(jù)多自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程可以得到n個特征值和相應的n個主振型向量。將各個主振型向量按照固有頻率的排列順序依次安排在一個方陣中，就組成了主振型矩陣，也叫主模態(tài)矩陣。 主振

26、型向量對質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都有正交性。因此，如果以主模態(tài)組成的模態(tài)矩陣作為坐標變換矩陣，可以使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣同時對角化。 Q成為模態(tài)坐標，M為模態(tài)質(zhì)量矩陣，K為模態(tài)剛度矩陣，為模態(tài)坐標Q上的廣義激振力列陣。 由于主振型不唯一，則主坐標也不唯一。為了應用方便，實際采用能夠使模態(tài)質(zhì)量矩陣正則化為單位矩陣的坐標變換矩陣進行坐標變換。 以正則模態(tài)矩陣作為坐標變換矩陣進行坐標變換，得到的模態(tài)方程為正則形式，主坐標為正則坐標 QN。坐標變換關系為 對應于正則坐標的廣義質(zhì)量陣為單位矩陣，正則坐標下的廣義剛度矩陣為由特征值組成的對角矩陣。正則變換后的模態(tài)坐標下的方程不僅是解耦的，而且廣義質(zhì)量矩陣為單位陣，

27、求解更方便。4.4無阻尼多自由度系統(tǒng)的響應計算 （1）自由振動響應 無阻尼多自由度系統(tǒng)的自由振動微分方程為 利用主振型矩陣作為坐標變換矩陣進行坐標變換，得到模態(tài)坐標下的微分方程。得到的方程組完全解耦，帶入初始條件，得到通解 求出模態(tài)坐標下的響應，再經(jīng)過坐標變換變換到物理坐標X下，得到系統(tǒng)在初始條件 和下的響應。 （2）無阻尼多自由度系統(tǒng)強迫振動響應 對微分方程利用主振型矩陣作為坐標變換矩陣進行坐標變換，得到模態(tài)坐標Q下的微分方程為 方程完全解耦，可以按照單自由度系統(tǒng)的自由振動求解。忽略自由振動，可以得到各個模態(tài)坐標下的通解 將求得的模態(tài)坐標Q下的響應變換到物理坐標下，就可以得到系統(tǒng)的響應。 當

28、激勵為任意激勵時，同樣，進行坐標變換到模態(tài)坐標下，由給定的初始條件，得到模態(tài)條件下的初始條件，再根據(jù)杜哈梅積分，就可以得到模態(tài)坐標下的響應。將其進行坐標變換，得到初始條件下的物理坐標下的響應。4.5有阻尼多自由度系統(tǒng)的實模態(tài)分析 （1）有阻尼系統(tǒng)實模態(tài)分析條件 對微分方程進行坐標變換，得到 坐標變換后得阻尼矩陣稱之為模態(tài)阻尼矩陣，其一般不是對角陣。 假設阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合，即：，于是得到 滿足上式的阻尼稱之為“比例阻尼”，其可以通過模態(tài)矩陣的坐標變換同時實現(xiàn)質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣的對角化，方程組解耦，得到相互獨立，互不耦合的方程組為： 此模態(tài)坐標Q表示的模態(tài)方程是一組

29、相互不耦合的單自由度方程組，可以應用有阻尼單自由度系統(tǒng)的分別進行求解。 （2）有阻尼系統(tǒng)的響應計算 A、有阻尼系統(tǒng)的自由衰減振動 對于該解耦的方程，按照欠阻尼單自由度系統(tǒng)求解，得解為 當系統(tǒng)作某i階純模態(tài)自由振動時，系統(tǒng)兩坐標頻率、初相位和衰減率相同，但振幅不同，不過任意瞬時的振幅保持固定的比例。系統(tǒng)的自由振動x為各階純模態(tài)運動的線性組合，系統(tǒng)的自由振動取決于初始條件。 B、有阻尼系統(tǒng)的強迫振動模態(tài)Q下的振動微分方程為： 利用坐標變換，并進行完全解耦，在忽略自由衰減振動的情況下，得其通解為： 變換到物理坐標X下，得系統(tǒng)響應為 對于非簡諧的周期振動，可以將激振力展開為傅立葉級數(shù)，在計算，后疊加，

30、即可。4.6有阻尼系統(tǒng)的復模態(tài)分析 一般有阻尼多自由度系統(tǒng)的振動微分方程的一般形式為 因為無法實現(xiàn)完全解耦，所以需要復模態(tài)分析的方法。一般有兩種途徑：狀態(tài)空間方法和拉氏變換法 狀態(tài)空間法 在狀態(tài)空間內(nèi)，將阻尼系數(shù)微分方程一般形式寫作 令 ，其由物理參數(shù)確定。 設，方程為，假設系統(tǒng)的解為，則 令，得特征方程為 則可以求得n對具有負實部的共軛復根，稱為復特征值 每一對共軛特征值代入則可得到相應的共軛特征向量，與之相對應，如將n對復特征值 組成對角矩陣，稱為特征值矩陣。復特征向量矩陣A、B具有正交性。 將空間任意狀態(tài)向量Y利用基向量的線性組合進行表達，則： 式中，Q為復模態(tài)坐標向量，為2維，他的元素

31、q表示Y在相應復特征向量上的廣義坐標。寫為： 對其進行坐標變換得： 于是得到2n互不耦合的一階線性微分方程組，可求得系統(tǒng)在激振力下的復模態(tài)空間的響應，取上半部就是物理坐標下的響應。第六章 連續(xù)系統(tǒng)的振動 實際的振動系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因而又稱連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng)。由于確定連續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點的位置需要無限多個坐標，因此連續(xù)體是具有無限多自由度的系統(tǒng)。連續(xù)體的振動要用時間和空間坐標的函數(shù)來描述，其運動方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程組，它是偏微分方程。6.1弦的橫向振動 建立運動方程 考慮到：得 邊界條件： ， 初始條件：， 解方程得最終解為：6.2桿的縱向

32、振動 對微段進行受力分析，建立運動方程 帶入相關數(shù)據(jù)，整理得 確定初始條件，解方程可以得到振動最終解6.3梁的橫向振動 對梁微段受力分析，并考慮相關材料力學的關系，建立運動方程 考慮邊界條件和初始條件，可求出響應第八章 隨機振動概述8.1隨機過程 樣本函數(shù)：重復的試驗記錄；隨機過程：所有樣本函數(shù)的集合，它是隨機激勵與響應的數(shù)學模型；隨機變量：在任意時刻各個樣本函數(shù)的取值，它是隨機過程在某時刻的狀態(tài)。 （1）總體平均與平穩(wěn)隨機過程 A、總體平均：是在各樣本函數(shù)之間進行的，即是各樣本函數(shù)在某時刻的取值的平均值。 總體均值（一階平均） 總體均值一般是時刻的函數(shù)。 自相關函數(shù)（二階平均）一般而言，總體自相關函數(shù)依賴所選定的起始時刻與時移它反映了和時刻兩個隨機變量之間的統(tǒng)計聯(lián)系。 B、平穩(wěn)隨機過程：一隨機過程的總體均值和自相關函數(shù)一般與時刻有關，這表明此過程的統(tǒng)計特性是隨時間變化的，這種過程稱