數(shù)值分析--1誤差

1、 數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型模型對復(fù)雜的實際問題對復(fù)雜的實際問題.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 計算計算方法方法計算機計算機編程編程近似解近似解第一章第一章 誤差誤差 /* Error */1 誤差的背景介紹誤差的背景介紹 /* Introduction */1. 來源與分類來源與分類 /* Source & Classification */ 從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型 模型誤差模型誤差 /* Modeling Error */ 通過測量得到模型中參數(shù)的值通過測量得到模型中參數(shù)的值 觀測誤差觀測誤差

2、/* Measurement Error */ 求近似解求近似解 方法誤差方法誤差 (截斷誤差截斷誤差 /* Truncation Error */ ) 機器字長有限機器字長有限 舍入誤差舍入誤差 /* Roundoff Error */1 Introduction: Source & Classificationdxex 102 近近似似計計算算: :例例大家一起猜？大家一起猜？ dxe2x1011 / e解法之一解法之一：將將 作作Taylor展開后再積分展開后再積分2xe 91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4 /*

3、Remainder */,104 Sdxe2x取取則則 111!5191!414R稱為稱為截斷誤差截斷誤差 /* Truncation Error */005091!414.R 這這里里7430024010333014211013114.S 0010200050. | 舍入誤差舍入誤差 /* Roundoff Error */ |006000100050102.dxe-x 的的總總體體誤誤差差計計算算= 0.747 由截去部分由截去部分/* excluded terms */引起引起由留下部分由留下部分/* included terms */引起引起1 Introduction: Spread

4、 & Accumulation2. 傳播與積累傳播與積累 /* Spread & Accumulation */例：例：蝴蝶效應(yīng)（氣象學(xué)家洛倫茲，蝴蝶效應(yīng)（氣象學(xué)家洛倫茲，1963） 南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶翅膀一拍，偶南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶翅膀一拍，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩周后引起美國德克薩斯引起一爾扇動幾下翅膀，可能在兩周后引起美國德克薩斯引起一場龍卷風(fēng)？！場龍卷風(fēng)？！South AmericaTexas以上是一個以上是一個病態(tài)問題病態(tài)問題 /* ill-posed problem*/ 其原因在于：蝴蝶翅膀的運動，導(dǎo)致其身邊的空氣系統(tǒng)發(fā)生變化

5、，并引起微弱氣流的產(chǎn)生，而微弱氣流的產(chǎn)生又會引起它四周空氣或其他系統(tǒng)產(chǎn)生相應(yīng)的變化，由此引起連鎖反映，最終導(dǎo)致其他系統(tǒng)的極大變化。 此效應(yīng)說明，事物發(fā)展的結(jié)果，對初始此效應(yīng)說明，事物發(fā)展的結(jié)果，對初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的極小偏差，將會引起結(jié)果的極大差異。的極小偏差，將會引起結(jié)果的極大差異。1 Introduction: Spread & Accumulation.210110,n,dxexeIxnn 例：計算例：計算11 nnInI 公式一：公式一：注意此公式注意此公式精確精確成成立立632120560111100.edxeeIx 記為

6、記為*0I80001050 .IIE則初始誤差則初始誤差111111110010 nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.II ? ! !1 Introduction: Spread & Accumulation考察第考察第n步的誤差步的誤差nE| )1()1( |*11* nnnnnnInIIIE| !01En|

7、Enn 我們有責(zé)任改變。我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法不穩(wěn)定的算法 /* unstable algorithm */迅速積累，誤差呈遞增走勢。迅速積累，誤差呈遞增走勢?？梢姵跏嫉男_動可見初始的小擾動801050| .E)1(1111nnnnInIInI 公式二：公式二：注意此公式與公式一注意此公式與公式一在理論上在理論上等價等價。方法：先估計一個方法：先估計一個IN , ,再反推要求的再反推要求的In ( n N )。11)1(1 NINeNNNINNeI 11)1(121*可取可取0* NNNIIEN, ,時時當(dāng)當(dāng)1 Introduction: Spread

8、& Accumulation632120560)1(11367879440)1(210838771150)1(1110773517320)1(1210717792140)1(1310668702200)1(1410638169180)1(151042746233016116121*1*0*2*1*11*10*12*11*13*12*14*13*15*14*15.II.II.II.II.II.II.II.eI 取取1 Introduction: Spread & Accumulation考察反推一步的誤差：考察反推一步的誤差：|1)1 (1)1 (1|*1NNNNENININE

9、以此類推，對以此類推，對 n 6 log6，即，即 n 6，應(yīng)取，應(yīng)取 * = 3.14159。3 函數(shù)的誤差估計函數(shù)的誤差估計 /*Error Estimation for Functions*/問題問題：對于：對于 y = f (x)，若用，若用 x* 取代取代 x，將對，將對y 產(chǎn)生什么影響？產(chǎn)生什么影響？分析分析：e*(y) = f (x*) f (x) e*(x) = x* xMean Value Theorem= f ( )(x* x)x* 與與 x 非常接近時，可認為非常接近時，可認為 f ( ) f (x*) ，則有：，則有：|e*(y)| | f (x*)|e*(x)|即：即

10、：x*產(chǎn)生的誤差經(jīng)過產(chǎn)生的誤差經(jīng)過 f 作用后被放大作用后被放大/縮小了縮小了| f (x*)|倍。故稱倍。故稱| f (x*)|為為放大因子放大因子 /* amplification factor */ 或或 絕對條件數(shù)絕對條件數(shù) /* absolute condition number */.3 Error Estimation for Functions*)()(*| )(|xfyey*er *)(*| )(|xxex*er )(*)(*)(*)(*)(*)(xexfxfxxxxxfxxxxfxfr 相對誤差條件數(shù)相對誤差條件數(shù) /* relative condition number*

11、/ f 的條件數(shù)在某一點是的條件數(shù)在某一點是小小大大，則稱，則稱 f 在該點是在該點是好條件的好條件的 /* well-conditioned */ 壞條件的壞條件的 /* ill-conditioned */。注：關(guān)于多元函數(shù)注：關(guān)于多元函數(shù) 的討論，請參閱教的討論，請參閱教材第材第11、12、13、14頁。頁。).,(21nx,x,xfy 3 Error Estimation for Functions例例:計算計算 y = ln x。若。若 x 20，則取，則取 x 的幾位有效數(shù)字可保證的幾位有效數(shù)字可保證 y 的相對誤差的相對誤差 0.1% ?*ln| )(*| )(*|*)(*)(*

12、| )(|xxexexyxyxy*errr 解：設(shè)截取解：設(shè)截取 n 位有效數(shù)字后得位有效數(shù)字后得 x* x，則，則估計估計 x 和和 y 的相對誤差上限滿足近似關(guān)系的相對誤差上限滿足近似關(guān)系)(*ln)(*yxxrr %1 . 0*ln102111 xan不知道怎么辦??？不知道怎么辦??？可能是可能是1，也可能是，也可能是9，取最壞情況，即取最壞情況，即a1 = 1。 n 4例：計算例：計算 ，取，取 4 位有效，即位有效，即 , 則相對誤差則相對誤差 9820ln)8920ln(. %.1010029820ln9820ln8920ln5 4 幾點注意事項幾點注意事項 /* Remarks *

13、/1. 避免相近二數(shù)相減避免相近二數(shù)相減 (詳細分析請參閱教材詳細分析請參閱教材p.13)例：例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有，各有5位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 而而 a2 a1 = 0.00001，只剩下，只剩下1位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 幾種經(jīng)驗性避免方法：幾種經(jīng)驗性避免方法：;xxxx ;1lnlnln xxx當(dāng)當(dāng) | x | 1 時：時：;2sin2cos12xx .6121112xxxex更多技巧請見教材第更多技巧請見教材第13頁、頁、22頁習(xí)題頁習(xí)題4。4 Remarks2. 避免小分母避免小分母 : 分母小會造成浮點溢出分母小會造成浮點溢出 /* ove

14、r flow */3. 避免大數(shù)避免大數(shù)吃吃小數(shù)小數(shù)例：用單精度計算例：用單精度計算 的根。的根。 010)110(992 xx精確解為精確解為110291 x,x 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式aacbbx242 在計算機內(nèi)，在計算機內(nèi)，109存為存為0.1 1010，1存為存為0.1 101。做加法時，做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即1 的指數(shù)部分須變?yōu)榈闹笖?shù)部分須變?yōu)?010，則：，則：1 = 0.0000000001 1010，取，取單精度時就成為：單精度時就成為： 109+1=0.10000000 1

15、010+0.00000000 1010=0.10000000 1010大數(shù)大數(shù)吃吃小數(shù)小數(shù)024,102422921 aacbbxaacbbx4 Remarks算法算法2：先解出先解出 再利用再利用9211024)( aacbbsignbx11010991221 xacxacxx求和時求和時從小到大從小到大相加，可使和的誤差減小。相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1 + 2 + 3 + + 40 + 1094. 先化簡再計算，減少步驟，避免誤差積累。先化簡再計算，減少步驟，避免誤差積累。一般來說，計算機處理下列運算的速度

16、為一般來說，計算機處理下列運算的速度為 exp ,5. 選用穩(wěn)定的算法。選用穩(wěn)定的算法。HW: p.22-23 #4, #6 , #9Lab 01. Numerical Summation of a Series Produce a table of the values of the series (1)for the 3001 values of x, x = 0.0, 0.1, 0.2, , 300.00. All entries of the table must have an absolute error less than 1.0e-10. This problem is bas

17、ed on a problem from Hamming (1962), when mainframes were very slow by todays microcomputer standards. InputThere is no input.Output The output is to be formatted as two columns with the values of x and (x) printed as in the C fprintf: fprintf(outfile,%6.2f%16.12fn,x,psix); /* hererepresents a space

18、 */ 1)(1)(kxkkx As an example, the sample output below shows 4 acceptable lines out of 3001, which might appear in the output file. The values of x should start at 0.00 and increase by 0.1 until the line with x = 300.00 is output. Sample Output ( represents a space)0.001.6449340668480.101.534607244904.1.001.000000000000.2.000.7500