八年級數(shù)學(xué)(下冊)第二章

1、八年級數(shù)學(xué)（下冊）第二章 分解因式1 分解因式多項式分解因式的概念請同學(xué)觀察下面兩個等式： a3b3=(ab)(a2-abb2)， 32-323()(-). 可以看出，這兩個等式的左邊都是多項式，右邊都是整式乘積的形式，并且右邊的每一個因式都能整除左邊的式項式. 我們把上面這種從左式到右式的恒等變形叫做多項式的分解因式. 多項式分解因式的概念 分解因式與整式乘法的關(guān)系： 分解因式 結(jié)合：a2-b2 （a+b）（a-b） 整式乘法把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式分解因式，也叫做把這個多項式因式分解. 分解因式與整式乘法的關(guān)系 結(jié)論：分解因式與整式乘法正好相反. 說明：從左到右

2、是分解因式其特點是：由和差形式（多項式）轉(zhuǎn)化成整式的積的形式；從右到左是整式乘法其特點是：由整式積的形式轉(zhuǎn)化成和差形式（多項式）. 問題：你能利用分解因式與整式乘法正好相問題：你能利用分解因式與整式乘法正好相反這一關(guān)系，舉出幾個分解因式的例子嗎？反這一關(guān)系，舉出幾個分解因式的例子嗎？ 如： 由(x+1)(x-1)=x2-1得x2-1=(x+1)(x-1) 由(x+2)(x-1)=x2+x-2得x2+x-2=(x+2)(x-1)等.分解因式是整式中的一種恒等變形 分解因式與整式乘法是兩種相反的恒等變形，也是思維方向相反的兩種思維方式，因此，分解因式的思維過程實際也是整式乘法的逆向思維的過程。 問

3、：下列各題中，從左式到右式的變形，哪些是分解因式?哪些不是分解因式?為什么? (1)222()2； (2)232(1)(2)；(3)(2)(1)22； (4)(2)22；(5)22()()； (6)24(3)(2)2. 答：(1)，(2)，(5)題中，從左式到右式的變形是分解因式，因為各題中的左式都是多項式，而右式都是整式乘積形式，均符合分解因式的定義；而(3)，(4)，(6)題中，從左式到右式的變形都不是分解因式，各題中的右式都不是整式乘積的形式，因此不符合分解因式的定義. 多項式的分解因式，必須是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式. 單項式與多項式相乘，得 ()； 多項式與多項式相乘，得

4、()(2+(n)n. 乘法公式有： 平方差公式：()()22. 完全平方公式:()2222， ()2222. 立方和與立方差公式: ()(22)33， ()(22)33. 觀察乘法運算及乘法公式中，等號的左邊和右邊各是什么式子?答：各式的等號左邊都是整式乘積形式，而各式的等號右邊都是多項式. 如果我們把上面的乘法運算及乘法公式中的等號左邊的式子與等號右邊的式子互換，就得到: ()，2()()()，2-2()(-)，222()2，222()2，33()(a22)，33()(a22). 這些式子中，從等式左邊到等式右邊的變形就是多項式的分解因式. 由此可得出：多項式的分解因式與整式乘法是方向相反的

5、恒等式.整式的乘法運算是把幾個整式的積變?yōu)槎囗検降男问?，特征是向著積化和差的形式發(fā)展；而多項式的分解因式是把一個多項式化為幾個整式乘積的形式，特征是向著和差化積的形式發(fā)展. 課堂練習(xí) 1.選擇題. (1)下列等式中，從左到右的變形為分解因式的是( ). .12234 .(2)(2)24 .42814(2)-1 .121212(). (2)下列等式中從左到右的變形分解因式的是( ). .(5)(1)245 .221()()-1 .210252(5)2 222() DC(3)下列等式中從左到右的變形分解因式的是( ).()22 .(3)(3)29.() .2() 2.判斷下列各題從左到右的變形，哪

6、些是分解因式?哪些不是?為什么? (1)()2222； (2)216(4)(4)； (3)2-45(2)21； (4)221(1)2； (5)2251(5)(5)1； (6)256(6)(1).D否是否是否是小結(jié) 1.多項式的分解因式的概念是，把一個多項式化為幾個整式乘積的形式，叫做把這個多項式分解因式. 2.多項式的分解因式與整式乘法是方向相反的恒等變形. 1.判斷正誤. (1)把一個代數(shù)式化為乘積形式，叫做把這個代數(shù)式分解因式； ( ) (2)把一個整式化為乘積形式，叫做把這個整式分解因式； ( ) (3)把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式分解因式. ( )作業(yè) 2.下列

7、由左到右的變形，哪些是分解因式?哪些不是?為什么? (1)22+y21(1)(1)； (2)223()() 3； (3)22n2-22()22()； (4)9(21)9(1)(1)； (5)23(23)； (6)(2)(3)+521； (7)922(3+)(3). 利用分解因式與整式乘法的關(guān)系，可以從整式乘法探求分解因式的結(jié)果。什么是完全平方式 ： 兩個數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或者差)的平方. 222()2； 222()2 . 式子a2+2ab+b2及a22ab+b2叫做完全平方式，上面的兩個公式就是完全平方公式.運用這兩個公式，可以把形式是完全平方式

8、的多項式分解因式. 注意 完全平方式是指代數(shù)式: a2+2ab+b2.a22ab+b2.具備什么特征的多項是完全平方式? 答：一個多項式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個式子(或數(shù))的平方，并且這兩部分的符號都是正號，第三部分是上面兩個式子(或數(shù))的乘積的二倍，符號可正可負(fù)，像這樣的式子就是完全平方式.多項式 x24y2+4xy是否符合完全平方式的結(jié)構(gòu)特點?這樣的多項式能否進(jìn)行因式分解? 分析：這個多項式的兩個平方項的符號均為負(fù)，因此不符合完全平方式的形式，不能直接運用完全平方公式把它因式分解，如果把它的各項均提出一個負(fù)號，那么括號內(nèi)的多項式就符合完全平方式的結(jié)構(gòu)特點，從而可以運用完全平方

9、公式分解因式. 解：x2+4y2+4xy = (x24xy+4y2) =x222xy+(2y) 2 =(x2y) 2. 注意： 1.在一個多項式中，兩個平方項的符號必須相同，才有可能成為完全平方式. 2.在對類似例1的多項式分解因式時，一般都是先把完全平方項的符號變?yōu)檎?，也就是先把?fù)號提到括號外面，然后再把括號內(nèi)的多項式運用完全平方公式分解因式.例2 把(x+y) 26(x+y)+9分解因式. 分析：多項式中的兩個平方項分別是(x+y) 2和32 ，另一項6(x+y)=2(x+y)3，符合完全平方式的形式，這里“x+y”相當(dāng)于完全平方式中的a，“3”相當(dāng)于相當(dāng)于公式中的b，設(shè)a=x+y，我們

10、可以把原式變?yōu)?(x+y) 26(x+y)+9=a26a+9， 因而能運用完全平方公式，得到(a3) 2. 在解題過程中，可以把代換這一步驟省略. 解 ：(x+y) 26(x+y)+9 =(x+y) 22 (x+y)3+32 =(x+y3) 2. 例3. 把m2+10m(a+b)+25(a+b) 2分解因式. 問：觀察和分析這個多項式，是否符合完全平方式形式?為什么? 答：可以把m2+10m(a+b)+25（a+b）2寫成m2+2 m 5(a+b)+5(a+b) 2.這里m相當(dāng)于完全平方式里的a，5(a+b)相當(dāng)于完全平方式里的b.原式是完全平方式，可以運用完全平方公式因式分解. 解：m2+1

11、0m(a+b)+25(a+b) 2 = m2+2 m 5(a+b)+5(a+b) 2 = m+5(a+b) 2 = (m+5a+5b) 2. 注意：通過以上各例題可以看到，在給出的多項式中，兩個平方項可以是單項式 (或數(shù))，也可以是多項式. 例4 把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)81m472m2n2+16n4. 對于(1)，請同學(xué)觀察和分析，這個多項式的結(jié)構(gòu)有什么特點?怎樣分解因式? 答：這個多項式的各項都有公因式3a，可以先提出，即 3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2). 括號內(nèi)的多項式是一個完全平方式，可以用完全平方公式因式分解. 對于(2

12、)，結(jié)合這個多項式的結(jié)構(gòu)特點，怎樣分解因式? 答：所給的多項式是三項式，其中第一、三項可以變形為平方項，即81m4=(9m2) 2，16n4=(4n2) 2，中間項72m2n2=29m24n2，所以這個多項式符合完全平方式形式，因此可以運用完全平方公式因式分解. 解(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y) 2. 注意：如果多項式的各項有公因式，應(yīng)該先提出這個公因式，再進(jìn)一步分解因式. (2)81m472m2n2+16n4 =(9m2) 229m24n2+(4n2) 2 =(9m24n2) 2. 問：做到這一步還能不能繼續(xù)再分解? 答：括號內(nèi)的多項式是平方差

13、形式，可以運用平方差公式分解因式. 原式=(9m24n2) 2 =(3m) 2(2n) 2 2 =(3m+2n)(3m2n) 2 =(3m+2n) 2 (3m2n) 2. 三、課堂練習(xí) 把下列各式分解因式： (1)(x+y) 210(x+y)+25；(2)2xyx2y2； (3)ax2+2a2x+a3；(4)a2c2c4+2ac3； (5)(a+b) 216(a+b)+64；(6)(x2+2x) 2+2(x2+2x)+1； (7)(m26) 2 6(m26)+9；(8)a48a2b2+16b4. 答案： (1)(x+y5) 2； (2)(x+y) 2； (3)a(x+a) 2； (4)c2 (

14、ac) 2； (5)(a+b8) 2； (6)(x+1)4； (7)(m+3) 2 (m3) 2；(8)(a+2b) 2 (a2b) 2. 小結(jié)運用完全平方公式把一個多項式分解因式的主要思路與方法是： 1.首先要觀察、分析和判斷所給出的多項式是否為一個完全平方式，如果這個多項式是一個完全平方式，再運用完全平方公式把它進(jìn)行分解因式.有時需要先把多項式經(jīng)過適當(dāng)變形，得到一個完全平方式，然后再把它分解因式.2.在選用完全平方公式時，關(guān)鍵是看多項式中的第二項的符號，如果是正號，則用公式 a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是負(fù)號，則用公式 a22ab+b2=(ab) 2. 3.在一個多項式中，兩個平方項的符號必須相同，才有可能成為完全平方式.4.在對類似例1的多項式分解因式時，一般都是先把完全平方項的符號變?yōu)檎模簿褪窍劝沿?fù)號提到括號外面，然后再把括號內(nèi)的多項式運用完全平方公式分解因式. 5.當(dāng)給出的多項式的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時，不能直接看出是否為完全平方式的形式，可以通過代換的方法或經(jīng)過適當(dāng)?shù)?/p>