初中數學競賽專題培訓(12)：平行四邊形

1、 鼎吉教育（Dinj Education）中小學生課外個性化輔導中心資料 初中數學競賽專題培訓講練初中數學競賽專題培訓第十二講 平行四邊形學習地址：佛山市南海區(qū)南海大道麗雅苑中區(qū)雅廣居2 D 第3頁 咨詢熱線13760993549（吉老師）平行四邊形是一種極重要的幾何圖形這不僅是因為它是研究更特殊的平行四邊形矩形、菱形、正方形的基礎，還因為由它的定義知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關平行線的許多性質，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應用由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質：(1)平行四邊形對角相等；(2)平行四邊形對邊相等；(3)平行四邊形

2、對角線互相平分除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：(1)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形例1 如圖2-32所示在ABCD中，AEBC，CFAD，DN=BM求證：EF與MN互相平分分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手證 因為ABCD是平行四邊形，所以ADBC，ABCD，B=D又AEBC，CFAD，所以AECF是矩形，從而AE=CF所以RtABERtCDF(HL，或AAS)，BE=DF又由已知BM=DN，

3、所以BEMDFN(SAS)，ME=NF 又因為AF=CE，AM=CN，MAF=NCE，所以MAFNCE(SAS)，所以 MF=NF 由，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對角線EF與MN互相平分例2 如圖2-33所示RtABC中，BAC=90°，ADBC于D，BG平分ABC，EFBC且交AC于F求證：AE=CF分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系若作GHBC于H，由于BG是ABC的平分線，故AG=GH，易知ABGHBG又連接EH，可證ABEHBE，從而AE=HE這樣，將AE“轉移”到EH位置設法證明EHCF為平行四邊形，問題即可獲解證 作GHBC于H，連接

4、EH因為BG是ABH的平分線，GABA，所以GA=GH，從而ABGHBG(AAS)，所以 AB=HB 在ABE及HBE中，ABE=CBE，BE=BE，所以 ABEHBE(SAS)，所以 AE=EH，BEA=BEH下面證明四邊形EHCF是平行四邊形因為ADGH，所以AEG=BGH(內錯角相等) 又AEG=GEH(因為BEA=BEH，等角的補角相等)，AGB=BGH(全等三角形對應角相等)，所以AGB=GEH從而EHAC(內錯角相等，兩直線平行)由已知EFHC，所以EHCF是平行四邊形，所以FC=EH=AE說明 本題添加輔助線GHBC的想法是由BG為ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點到角的

5、兩邊距離相等)，從而構造出全等三角形ABG與HBG繼而發(fā)現ABEHBE，完成了AE的位置到HE位置的過渡這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了人們在學習中，經過刻苦鉆研，形成有用的經驗，這對我們探索新的問題是十分有益的例3 如圖2-34所示ABCD中，DEAB于E，BM=MC=DC求證：EMC=3BEM 分析 由于EMC是BEM的外角，因此EMC=B+BEM從而，應該有B=2BEM，這個論斷在BEM內很難發(fā)現，因此，應設法通過添加輔助線的辦法，將這兩個角轉移到新的位置加以解決利用平行四邊形及M為BC中點的條件，延長EM與DC延長線交于F，這樣B=MCF及BEM=F，因此， 只要證明MC

6、F=2F即可不難發(fā)現，EDF為直角三角形(EDF=90°)及M為斜邊中點，我們的證明可從這里展開證 延長EM交DC的延長線于F，連接DM由于CM=BM，F=BEM，MCF=B，所以MCFMBE(AAS)，所以M是EF的中點由于ABCD及DEAB，所以，DEFD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質知F=MDC，又由已知MC=CD，所以MDC=CMD，則MCF=MDC+CMD=2F從而EMC=F+MCF=3F=3BEM例4 如圖2-35所示矩形ABCD中，CEBD于E，AF平分BAD交EC延長線于F求證：CA=CF分析 只要證明CAF是等腰三角形，即C

7、AF=CFA即可由于CAF=45°-CAD，所以，在添加輔助線時，應設法產生一個與CAD相等的角a，使得CFA=45°-a為此，延長DC交AF于H，并設AF與BC交于G，我們不難證明FCH=CAD證 延長DC交AF于H，顯然FCH=DCE又在RtBCD中，由于CEBD，故DCE=DBC因為矩形對角線相等，所以DCBCDA，從而DBC=CAD，因此，FCH=CAD 又AG平分BAD=90°，所以ABG是等腰直角三角形，從而易證HCG也是等腰直角三角形，所以CHG=45°由于CHG是CHF的外角，所以CHG=CFH+FCH=45°，所以 CFH=4

8、5°-FCH 由，CFH=45°-CAD=CAF，于是在三角形CAF中，有CA=CF例5 設正方形ABCD的邊CD的中點為E，F是CE的中點(圖2-36)求證：分析 作BAF的平分線，將角分為1與2相等的兩部分，設法證明DAE=1或2證 如圖作BAF的平分線AH交DC的延長線于H，則1=2=3，所以FA=FH設正方形邊長為a，在RtADF中，從而所以 RtABGRtHCG(AAS)，從而RtABGRtADE(SAS)，例6 如圖2-37所示正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E，F，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G求證：GHD是等腰三角形分析 準確地畫圖可啟示我們證明GDH=GHD證 因為DEBC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以1=4又BD=FD，所以所以 BC=GC=CD因此，DCG為等腰三角形，且頂角DCG=45°，所以又所以 HDG=GHD，從而GH=GD，即GHD是等腰三角形練習十二1如圖2-38所示DEAC，BFAC，DE=BF，ADB=DBC求證：四邊形ABCD是平行四邊形2如圖2-39所示在平行四邊形ABCD中，ABE和BCF都