網絡系統可靠性

1、第五章第五章 網絡系統可靠性網絡系統可靠性 第一節(jié)第一節(jié) 網絡的基本概念網絡的基本概念 第二節(jié)第二節(jié) 網絡可靠性計算網絡可靠性計算 第三節(jié)第三節(jié) 單調關聯系統單調關聯系統 習題習題更多內容請關注http:/ 網絡的基本概念網絡的基本概念 u網絡系統是比較復雜的系統。圖5-1所示的橋形系統就是一個網絡圖圖5-1 橋形網絡橋形網絡 有向弧 : 有方向的弧無向弧: 無方向的弧輸出節(jié)點 : 只有流出弧而沒有流入弧的節(jié)點輸入節(jié)點: 只有流入弧而沒有流出弧的節(jié)點最小通路: 若從連接兩節(jié)點間的一條路中去掉任一條弧后，就不再是連接此兩節(jié)點間的路對網絡系統的理解：可以將弧理解為分系統或者設備，能量和物質從起點經

2、過這些設備加工后到達終點。第二節(jié)第二節(jié) 網絡可靠性計算網絡可靠性計算 從可靠性的角度分析，往往可以將一個系統化為一個網絡來研究。 為了討論方便，假定：（1）弧或系統只有正?；蚴煞N狀態(tài)，而節(jié)點不失效；（2）弧之間的失效是獨立的。一、計算網絡可靠性的兩種方法一、計算網絡可靠性的兩種方法1最小通路法最小通路法 由系統的最小通路出發(fā)，由最小通路的可靠度由系統的最小通路出發(fā)，由最小通路的可靠度去求系統的可靠度，這就是最小通路法。去求系統的可靠度，這就是最小通路法。 設網絡設網絡s所有的最小通路為所有的最小通路為 ， ， ，且用，且用 （i=1, 2, ,m）也表示）也表示“第第i條路中所有弧正常條路

3、中所有弧正常”事件，則網絡事件，則網絡s正常事件為：正常事件為： （5-1） 從而從而,求網絡系統可靠度求網絡系統可靠度R的問題就可歸為兩步。的問題就可歸為兩步。 第一步：求出網絡第一步：求出網絡s的最小通路的最小通路 ， ， ；1A2AmAiAmiA1iS1A2AmA 第二步：計算概率 (5-2) 當m=2時，則 當m=3時，則 miiAPSPR1)()()()()()(212121AAPAPAPAAPR)()()()(321321APAPAPAAAPR)()()()(321323121AAAPAAPAAPAAP 可以歸納出一般公式為： （5-3）).()1()(211.1111iijjnj

4、jjmiimiiAAAPAP 如圖5-2所示的網絡系統S，各弧的可靠度分別為 ， ， ， ,試求此網絡系統S的可靠度R。圖圖5-2 橋形網絡系統橋形網絡系統7 . 01p9 . 02p8 . 03p95.04p6 . 05p例例5-15-1 解解 此系統共有4個最小通路 則各最小通路的可靠度分別為： 211xxT，3512xxxT，2543xxxT，344xxT，63. 0211PPAP336. 03512PPPAP513. 02543PPPAP76. 0344PPAP且 3024. 0532121PPPPAAP3591. 0542131PPPPAAP4788. 0432141PPPPAAP2

5、8728. 05432132PPPPPAAP3192. 0543142PPPPAAP4104. 0543243PPPPAAP28728. 0)()()()(543214321432431421321PPPPPAAAAPAAAPAAAPAAAPAAAP 從而得： 94366. 0)()()()()()()()()()()()()()()()(432143232143132143423241312143211AAAAPAAAPAAAPAAAPAAAPAAPAAPAAPAAPAAPAAPAPAPAPAPAPRmii2最小割集法若在網絡上去掉某一部分弧后，發(fā)點與收點之間便無路可通，則稱這部分弧構成一個

6、割集 若在割集中隨意去掉一個弧就不再成為割集，則稱此割集為最小割集。 最小割集和最小路集的求法 割集是通過畫一條經過系統各方框的線，顯示出可能導致系統失效的最小數量的失效方框。合集、或路集則是通過畫一條經過各方框的線，當這些方框全部都在工作時，才會使系統工作。 容易看出，發(fā)點與收點之間和每條最小路集都至少包含割集中的一個弧。圖圖5-3 網絡系統網絡系統 最小割集法的基本思想是；若最小割集失效，即割集中所有弧全部失效，則網絡失效。因此，可由各個最小割集的不可靠度，求得網絡的不可靠度，從而求得網絡的可靠度。 設網絡S，其中 個最小割集為 ，當任一割集 的所有弧全發(fā)生失效的事件也記為 。其概率記為

7、；又設系統S失效事件記為B，其概率為 。則 lliBi, 2 , 1 iBiB), 2 , 1)(liBQi)(BQliiBB1 從而求網絡系統可靠性R的問題就可歸納為以下3步。 （1）求出網絡S的所有最小割集 ； （2）計算概率 ； 當 =2時，則 當 =3時，則 12,lB BB)()(1liiBPBQ)()()()(2121BBPBPBPBQ)()()()()()()()(321323121321BBBPBBPBBPBBPBPBPBPBQll 一般公式為： （5-4） （3）網絡系統可靠度為： （5-5） njjjijjliiiAAAPBQ12111),() 1()()(1BQR 例例5

8、-2 如圖5-2所示的橋形網絡系統S，各弧的不可靠度分別為 =0.3， =0.1, =0.2， =0.05， =0.4，試求網絡系統S的可靠度。 解解 此網絡系統共有4個最小割集，即 ，各個最小割集的不可靠度分別為 1q2q3q4q5q411,xxB3512,xxxB2543,xxxB423,Bx x015. 005. 03 . 0)(411qqBQ024. 02 . 04 . 03 . 0)(3512qqqBQ002. 01 . 04 . 005. 0)(2543qqqBQ02. 02 . 01 . 0)(324qqBQ 并且 0012. 0)(21BBQ0006. 0)(31BBQ0003

9、. 0)(41BBQ00012. 0)(32BBQ0024. 0)(42BBQ34()0.0004Q B B00012. 0)()()()()(4321321421431432BBBBQBBBQBBBQBBBQBBBQ 則系統不可靠度為： 系統可靠度為：( )(0.015 0.024 0.002 0.02) (0.0012 0.0006 0.00030.00012 0.0024 0.0004) 4 0.00012 0.000120.05634Q B 94366. 0)(1BQR第三節(jié)第三節(jié) 單調關聯系統單調關聯系統一、單調關聯系統的定義和基本性質一、單調關聯系統的定義和基本性質 例例 5-3

10、考慮由兩臺發(fā)動機、兩臺設備和一個開關考慮由兩臺發(fā)動機、兩臺設備和一個開關組成的并網供電系統，其工程結構見圖組成的并網供電系統，其工程結構見圖5-4。若。若系統僅當兩套設備都不能工作時才失效，則其可系統僅當兩套設備都不能工作時才失效，則其可靠性框圖成橋式形狀，見圖靠性框圖成橋式形狀，見圖5-5。圖圖5-4 工程結構圖工程結構圖圖圖5-5 可靠性框圖可靠性框圖 顯然，它不屬于我們定義過的任何一種系顯然，它不屬于我們定義過的任何一種系統，為此需引進新的系統概念。統，為此需引進新的系統概念。 串聯、并聯、表決、混聯等系統以及如例串聯、并聯、表決、混聯等系統以及如例5-1所表示的系統等，都有如下的共同點

11、：所表示的系統等，都有如下的共同點：部件或系統都只有正?；蚴煞N可能的部件或系統都只有正?；蚴煞N可能的狀態(tài)；系統正常與否，完全由其結構及部狀態(tài)；系統正常與否，完全由其結構及部件的狀態(tài)所決定。件的狀態(tài)所決定。 X1X4X3X2X5 假定系統由n個部件組成。若所有部件只有正常和失效兩狀態(tài)，令 我們用 表示部件狀態(tài)向量。假定系統亦只有正常和失效兩狀態(tài)，且系統正常與否完全由系統的結構和部件的狀態(tài)所決定這樣，對給定的部件狀態(tài)向量x，系統的狀態(tài)可表示為 我們稱 為系統的結構函數。1,ii1,2,0,iixn若第 個部件正常，若第 個部件失效，1,( )0,x若系統正常，若系統失效，( )x12( ,

12、)nxx xx 對任意兩個n維狀態(tài)向量 表示 定義1 設P是系統的結構函數，若對任意的： 有 (5-6) 則稱 是單調結構函數，或單調系統單調系統記作, ,x y xy(1,2, )iy inixxy( )( )xyMS 顯然，單調結構函數反映了部件狀態(tài)的改善不會使系統反而變壞，進一步，引入記號 定義2 若對某個部件i，存在x使 （5-7） 則稱部件部件i與系統有關與系統有關。111111111(1 , )( ,1,),(0 , )( ,0,),( , )( , ,)iiiniiiniiinxxxxxxxxxxxxxxx( , )0, (1 , )10iixx 上述性質稱為部件與系統的關聯性。

13、反之，若某個部件i，對所有x，都有 則部件部件i與系統無關與系統無關，即不論部件i是好還是壞（xi=1或xi=0），在任何情況下對系統都沒有影響。從可靠性的角度來看，無關部從可靠性的角度來看，無關部件對系統不起任何作用件對系統不起任何作用。(0 , )(1 , )iixx結構函數的意義 通過以上分析，結構函數反映了系統和分系統或者零部件在結構上的關系。 通過結構函數還能反映分系統或者零部件在結構上的重要程度。 定義3 若系統具有單調結構函數 ，且系統中的所有部件都與系統有關，則稱系統為單調關聯系統單調關聯系統，記作 。 n個部件的串聯系統是單調關聯系統，其結構函數 （5-8） 并聯系統也是單調

14、關聯系統,其結構函數是 （5-9）CS1( )minniiiixxx1( )max1(1)niiiixxx 在可靠性理論中常用下列特別的記號：對任意在可靠性理論中常用下列特別的記號：對任意的的 ，記，記 （5-10） 因此并聯系統的結構函數可表示為因此并聯系統的結構函數可表示為 （5-11） 用式（用式（5-8）和（）和（5-9）可表示串、并混聯系統的）可表示串、并混聯系統的結構函數。結構函數。 表決系統的結構函數是表決系統的結構函數是 （5-12）01(1,2, )ipin11(1)nniiiiPP ( )niixxn11,x( )0,iikx若其他/ ( )k n G二、二、 單調關聯系統

15、的數學描述單調關聯系統的數學描述 假設 。對任意狀態(tài)向量 。記 ， (5-16)定義5 若 ，則稱x為 的一個路向量， 叫做 的一個路集。若 是路向量，且對任意 有 。則稱x為 的最小路向量， 為 的最小路集。 中元素的個數稱作最小路的階或長度。CS1( , , )nxxx0( ) :0ic xi x1( ) :1ic xi x( )1x1( )c xxyx( )0y1( )c x1( )c x定義6 若 ，則稱x為 的一個割向量， 叫做 的一個割集。若x是割向量，且對任意 有 ，則稱x為 的最小割向量， 為 的最小割集。 中元素的個數稱作最小割的階。( )0 x0( )c xyx( ) 1y

16、0( )c x0( )c x 三、單調關聯系統的可靠度三、單調關聯系統的可靠度 設部件 的狀態(tài) 是二值隨機變量 ， （5-20） 即 為部件 正常的概率（可靠度），記 ， 于是系統正常的概率（可靠度）為 （5-21）我們的問題是：若 相對獨立，給定系統的結構 和部件的可靠度向量 求系統的可靠度。iixiX1(1)iiiiP Xppqipi12(,)nXXXX ()1()PXEX12,nXXX1( ,)nppp 顯然，由于n個部件相互獨立， （5-22） 其中 求狀態(tài)向量x的所有 個可能情形。因此，系統可靠度只是部件可靠度的一個函數。故式（5-22）可表示為 （5-23） 稱 為結構 的可靠度函

17、數。111()() ()()()iiniiinxxiiiEXX P XxXP XxXp q2n12()( )(,)nEXh ph ppp( )h p 串聯系統的可靠度函數是 （5-24） 并聯系統為 （5-25） 系統，若 ， ，則有 （5-26）1( )niih pp11( )1(1)nniiiih ppp / ( )k nG(1,2, )ipp in1qp 11( ) ( ) 1nnin iiiinh pPXPXkpqi 回顧-安全系統工程-三個重要系數:1. 結構重要系數結構重要系數 從事故樹結構上反映從事故樹結構上反映 的重要程度的重要程度. 2. 概率重要系數概率重要系數 反映反映

18、的變化對的變化對 的影響度的影響度.3. 臨界重要系數臨界重要系數 從敏感度從敏感度 和自身概率雙重角度反映和自身概率雙重角度反映 的重要的重要程度程度. )(iIixTqix)(iITq)(iCITqix四、結構重要度分析 從事故樹結構上分析各基本事件的重從事故樹結構上分析各基本事件的重要程度，即在假定各基本事件的發(fā)生概要程度，即在假定各基本事件的發(fā)生概率都相等的情況下，分析各基本事件的率都相等的情況下，分析各基本事件的發(fā)生對頂上事件發(fā)生所產生的影響程度。發(fā)生對頂上事件發(fā)生所產生的影響程度。 結構重要度分析常采用兩種方法，結構重要度分析常采用兩種方法，一種是計算結構重要系數一種是計算結構重要

19、系數，以系數大小，以系數大小排列各基本事件的重要順序；排列各基本事件的重要順序；另一種是另一種是利用最小割集或最小徑集判斷系數的大利用最小割集或最小徑集判斷系數的大小小，排出順序。前者精確但計算繁瑣；，排出順序。前者精確但計算繁瑣；后者簡單但不夠精確。后者簡單但不夠精確。 判定結構重要系數的原則1 1單事件最小割（徑）集中的基本事件結構重要系數最大。單事件最小割（徑）集中的基本事件結構重要系數最大。2 2僅在同一最小割（徑）集中出現的所有基本事件結構重僅在同一最小割（徑）集中出現的所有基本事件結構重要系數相等。要系數相等。3 3兩基本事件僅出現在基本事件個數相等的若干最小割集兩基本事件僅出現在

20、基本事件個數相等的若干最小割集（徑）中：在不同最小割（徑）集中出現次數相等的基（徑）中：在不同最小割（徑）集中出現次數相等的基本事件，其結構重要系數相等，出現次數少的結構重要本事件，其結構重要系數相等，出現次數少的結構重要系數小，出現次數多的結構重要系數大。系數小，出現次數多的結構重要系數大。4 4兩個基本事件僅出現在基本事件個數不等的若干最小割兩個基本事件僅出現在基本事件個數不等的若干最小割集（徑）中：若它們重復在各最小割（徑）集中出現的集（徑）中：若它們重復在各最小割（徑）集中出現的次數相等，則在少事件最小割（徑）集中出現的基本事次數相等，則在少事件最小割（徑）集中出現的基本事件結構重要系

21、數大；在少事件最小割（徑）集中出現的件結構重要系數大；在少事件最小割（徑）集中出現的次數少的與在多事件最小割（徑）集中出現次數多的基次數少的與在多事件最小割（徑）集中出現次數多的基本事件比較，以及其它錯綜復雜的比較情況，可采用下本事件比較，以及其它錯綜復雜的比較情況，可采用下面的判別式。面的判別式。 考察基本事件l,假設除l外的其它底事件的狀態(tài)不變，僅僅改變l的狀態(tài)，則頂時間的變化可能狀態(tài)有三種 若事件l發(fā)生，則頂事件發(fā)生；若事件l不發(fā)生，則頂事件不發(fā)生： 無論事件l是否發(fā)生，頂事件都發(fā)生： 無論事件l是否發(fā)生，頂事件都不發(fā)生：),1 (xl),0(xl=1=0),0(xl),1 (xl=1=

22、1),0(xl=0),1 (xl=0 xl,1)(ln112),0(),1 (2)()(nllnxxlnlI由此可見，底事件的發(fā)生對頂事件發(fā)生有影響的只有第一種情況。這時的狀態(tài)矢量稱為底事件的危險割集，統計其危險割矢量數底事件的結構重要度定義為 ）(概率重要度分析 考慮各基本事件發(fā)生概率的變化，會給頂考慮各基本事件發(fā)生概率的變化，會給頂上事件的發(fā)生概率以多大影響。利用頂上事上事件的發(fā)生概率以多大影響。利用頂上事件發(fā)生概率是一個多重線性函數這一性質，件發(fā)生概率是一個多重線性函數這一性質，只要對自變量只要對自變量 q qi i求一階偏導，就可得到該求一階偏導，就可得到該基本事件的概率重要系數，即頂

23、上事件發(fā)生基本事件的概率重要系數，即頂上事件發(fā)生概率對該基本事件發(fā)生概率的變化率概率對該基本事件發(fā)生概率的變化率 。iTqqqiIT)( 計算出各基本事件的概計算出各基本事件的概率重要度系數后，就可以了率重要度系數后，就可以了解在諸多的基本事件中，降解在諸多的基本事件中，降低哪個基本事件的發(fā)生頻率，低哪個基本事件的發(fā)生頻率，就可以迅速有效地降低頂上就可以迅速有效地降低頂上事件的發(fā)生概率。事件的發(fā)生概率。 概率重要度分析的作用 若所有的基本事件的發(fā)生概率都等若所有的基本事件的發(fā)生概率都等于于1/21/2時，概率重要系數等于結構重要時，概率重要系數等于結構重要系數，即系數，即可以用求概率重要系數的

24、公式求取結可以用求概率重要系數的公式求取結構重要系數。構重要系數。 概率重要度分析的作用概率重要度分析的作用 ), 2, 1(21| )()(njqqjTiIiI 五、臨界重要度分析 一般減少概率大的基本事件一般減少概率大的基本事件的概率要比減少概率小的容易，而的概率要比減少概率小的容易，而概率重要度系數并未反映這一事實。概率重要度系數并未反映這一事實。因此，需要用相對變化率的比值來因此，需要用相對變化率的比值來衡量各基本事件的重要度，定義臨衡量各基本事件的重要度，定義臨界重要度系數為基本事件發(fā)生概率界重要度系數為基本事件發(fā)生概率的變化率與頂上事件發(fā)生概率的變的變化率與頂上事件發(fā)生概率的變化率

25、的比值化率的比值)()(iIqqqqqqiCITTqTiiiTTq,q),q)-g(g(l,l01g(q)ql=三個重要系數:1. 結構重要系數結構重要系數 從事故樹結構上反映從事故樹結構上反映 的重要程度的重要程度. 2. 概率重要系數概率重要系數 反映反映 的變化對的變化對 的影響度的影響度.3. 臨界重要系數臨界重要系數 從敏感度從敏感度 和自身概率雙重角度反映和自身概率雙重角度反映 的重要的重要程度程度. 通過臨界重要度分析產生的檢查表更具實際意通過臨界重要度分析產生的檢查表更具實際意義義. .)(iIixTqix)(iITq)(iCITqix四、部件重要度四、部件重要度 1.結構重要

26、度結構重要度設設 是系統中任一部件，若對某個是系統中任一部件，若對某個（0j，x），有，有 （5-27）則稱則稱 在在（0j，x）情形下是一個關鍵部件。因為式情形下是一個關鍵部件。因為式（5-27）等價于）等價于 , 即此時部件即此時部件 正常系統就正常，部件正常系統就正常，部件 失效系統失效系統就失效。我們也稱向量就失效。我們也稱向量 為部件為部件 的關鍵路向的關鍵路向量，記量，記 (5-28)j(1 , )(0 , )1jjxxj(0 , )0jx(1 , )1jxjj(1 , )ixj1 ,0 ,jjxx( )n j 其中其中 對對（0j，x）的所有可能求和。顯的所有可能求和。顯 然然

27、是部件是部件 關鍵路向量的總數關鍵路向量的總數.因為狀態(tài)向量因為狀態(tài)向量（0j，x）總共有總共有 種不同的結果，因此種不同的結果，因此我們給出如下的定義。我們給出如下的定義。 定義定義6 稱稱 （5-29） 為部件為部件 的結構重要度的結構重要度 。( )njj12n11( )( )2nIjnj1,2,jnj 2.B-P重要度 在沒有部件可靠度信息時，除用部件結構重要度，還可用下列的B-P重要度。 定義7 部件 的B-P重要度定義為 （5-30） 這里 為第 個分量為1，其余分量都為 的向量。 類似理解。 由于沒有部件可靠度信息，因此不妨認為所有部件的可靠度都等于p，然后將p的取值從0到1“平

28、均”掉，由此就得B-P重要度概念。j10( )1 ,0 ,B PjjpIjhphp d1 ,jpjp0 ,jp 3.C重要度和P重要度 設單調關聯系統的所有最小割集為 ，令Ci包含部件i的最小割集的最小階數， 為所有包含部件i的最小階最小割集的個數 。 定義8 部件i的C重要度 由 和 來確定。對于任意的 ，若 則稱部件i比部件j重要。 當 = ， = 時可認為 有相同的重要度。若有必要，還可進一步在較高階的最小割集中作類似的比較。用定義8可對系統中每一個部件按C重要度來排序。12,PC CCid1,2,in CIiicid, i jicjcicjcidjdicjcidjd, i j 定義9 部件i的P重要度 由 和 來確定。對于任意 ，若 ，則稱部件i比部件j重要。 當 = ， = 時可認為 有相同的重要度。若有必要，還可進一步在較高階的最小路集中作類似的比較。 PIiibie, i jibjbibjbiejeibjbieje, i j4.概率重要度和相對概率重要度 若n個部件相互獨立且可靠度為 系統地可靠度函數為 . 定義10 部件j的概率重要度定義為 （5-31）12,nPp pp h P (1,2, )hjh PIjj