瑕積分的收斂判別法

1、8.4 瑕積分的收斂與計算0+ ( )lim( ),bbaaf x dxf x dx 的的右右上上有有定定義義，而而在在點點在在區(qū)區(qū)間間設設abaxf,()(上上在在但但對對鄰鄰域域內內無無界界)(),0(,baxfa,b .)( badxxf為為記記一一、無界函數的廣義積分無界函數的廣義積分 定義定義4.14.1可積，若可積，若0+lim( ),baf x dx 存存在在, .當當上上述述的的極極限限不不存存在在時時瑕瑕積積分分發(fā)發(fā)散散稱稱在在則則稱稱此此極極限限為為)(xf(a,b 上上的的廣廣義義積積瑕瑕分分（也也稱稱積積分分），,. a瑕瑕積積分分收收斂斂這這也也稱稱稱稱為為瑕瑕點點時

2、時即：即：可以定義可以定義類似地，類似地，0+ ( )lim( ),bbaaf x dxf x dx 為為瑕瑕點點，上上瑕瑕積積分分，在在區(qū)區(qū)間間bbaxf),)()1()()(),()2(a,bxfcxfa,bc在在點無界，則點無界，則在在且且若若 上的積分為上的積分為b0+0+ ( )( )( )lim( )lim( )bcbaaccacf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 當上述右邊的兩個極限都存在時，稱該瑕積分收斂；當上述右邊的兩個極限都存在時，稱該瑕積分收斂；當上述右邊的其中的一個極限不存在時，稱該瑕積分發(fā)散當上述右邊的其中的一個極限不存在時，稱該瑕積分發(fā)散.

3、 .例例1 1解解: : .)(討論瑕積分10的收斂性01 pdxxp是瑕點，且是瑕點，且由于由于0 x1,11(1),1,11(01)ln ,1.ppppdxxp 且且瑕瑕積積分分收收斂斂時時故故當當，p10 ;111lim11010 pdxxdxxpp1,.p 當時 瑕積分發(fā)散于解：解：例例2 2所所以以為瑕點，為瑕點，由于由于1 x 計算廣義積分計算廣義積分.)1(3032 xdx 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 例

4、例3 3 計算廣義積分計算廣義積分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原廣義積分發(fā)散故原廣義積分發(fā)散.注意注意（1） 瑕積分與定積分表達方式相同，遇到有限區(qū)瑕積分與定積分表達方式相同，遇到有限區(qū)間上的積分時，要仔細檢查是否有瑕點。間上的積分時，要仔細檢查是否有瑕點。 （2） 瑕積分瑕積分N-L公式，換元積分公式、分部積分公式，換元積分公式、分部積分公式仍然成立，代入上、下限時對應的是極限值。公式仍然成立，代入上、下限時對應的是極限值。則則作代換作代

5、換 , 1yax abdyyyaf121)1(無窮積分無窮積分瑕積分瑕積分 ,)(, )( , :baRxgxfa 是是瑕瑕點點積積分分下下限限約約定定 ,)(的的瑕瑕點點是是設設xfa1120011lim( )lim()bb aaf x dxf adyy y 問題：問題：?性性如如何何判判斷斷瑕瑕積積分分的的斂斂散散二二. . 瑕積分的性質瑕積分的性質性質性質性質性質瑕積分與無窮積分有平行的理論和結果瑕積分與無窮積分有平行的理論和結果 . . 為為任任意意常常數數，的的瑕瑕點點同同為為若若2111,)(),(,kkaxxfxf 都都收收斂斂時時，與與則則當當瑕瑕積積分分dxxfdxxfbab

6、a )()(21也也收收斂斂，且且瑕瑕積積分分dxxfkxfkba)()(2211 .)()()()(22112211dxxfkdxxfkdxxfkxfkbababa 為為任任意意常常數數，且且的的瑕瑕點點為為若若)(,)(a,bcaxxf ( )( )bcaaf x dxf x dx則則瑕瑕積積分分與與同同斂斂散散，且且.)()()(dxxfdxxfdxxfbccaba 三、瑕積分收斂的判別法三、瑕積分收斂的判別法. .定理定理4.1(4.1(柯西準則柯西準則) )在在上有定義，且上有定義，且在在若若)(, 0,)()(limxfxfa,bxfax 收斂的充要條件是收斂的充要條件是為瑕點為瑕

7、點上可積，則上可積，則 baadxxf,ba)()( 120,0,auua 只只要要當當有有.)(21 uudxxf( ),|( )|( ).bbbaaaf x dxf x dxf x dx 則則收收斂斂絕對收斂絕對收斂.收斂收斂收斂收斂.絕對收斂絕對收斂 2. 2. 定理定理4.24.2( )(,( )dbaf xa,baf xx 若若在在上上有有定定義義, , 為為瑕瑕點點 且且收收斂斂，;d)(d)( 1收斂收斂收斂收斂若若 babaoxxfxxg.d)(d)( 2發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散若若 babaoxxgxxf1(0) ()1bpapdxaxap 當當時時收收斂斂；當當時時發(fā)發(fā)散散常用的比

8、較對象：常用的比較對象：3. 3. 定理定理4.34.3（比較判別法）（比較判別法）且且對對上上有有定定義義，瑕瑕點點同同為為在在，設設,()()(axa,bxgxf 的的上上可可積積，對對充充分分靠靠近近在在a,baxgxf)(),(, 0 (),0( )( ),f xg xxxa 如如果果有有則則，則則且且設設lxgxfxgxfax )()(lim , 0)(),(同同斂斂散散；與與時時當當 babaxxgxxfld)(d)(,0 1收收斂斂；收收斂斂時時，當當 babaxxfxxgld)(d)( 0 2.d)(d)( , 3發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散時時當當 babaxxfxxgl4. 4. 定理

9、定理4.44.4（比較判別法極限形式）（比較判別法極限形式），有，有使得對使得對abM 0 0, 1, 0)(lim,( 2 xgbagax且且上單調上單調在在,)()(),(axxfa,bxgxf 有有唯唯一一瑕瑕點點上上有有定定義義，且且在在設設.)d()(收斂收斂則則xxgxfba ;|d )(|Mxxfba 5. 5. 定理定理4.5(Dirichlet4.5(Dirichlet判別法判別法) )滿足滿足上可積，如果上可積，如果在在)(),()(),(, 0 xgxf,baxgxf 下列條件：下列條件：;d )( 1收斂收斂xxfba .,()( 2中中單單調調有有界界在在baxg.)

10、d()(收斂收斂則則xxgxfba .,有類似的結果有類似的結果間值時間值時瑕點為積分上限或者中瑕點為積分上限或者中6. 6. 定理定理4.5(Abel4.5(Abel判別法判別法) ),)()(),(axxfa,bxgxf 有唯一瑕點有唯一瑕點上有定義，且上有定義，且在在設設滿滿足足上上可可積積，如如果果在在)(),()(),(, 0 xgxf,baxgxf 下下列列條條件件：例例4 410lnln(1)(1)xxdxxx 1411000014414ln ln(1)ln1(1)limlimlnlim4lim01xxxxxxxxxxxxxxx 收斂收斂解解.ln31的收斂性的收斂性判別廣義積分

11、判別廣義積分 xdx解解的左鄰域內無界的左鄰域內無界被積函數在點被積函數在點1 x由洛必達法則知：由洛必達法則知：xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根據判別法極限形式根據判別法極限形式,所給廣義積分發(fā)散所給廣義積分發(fā)散.例例5 5例例6 6 1011)1(dxxxqp研究研究.的斂散性的斂散性解：解：.1 ,1 ;0 ,1是瑕點是瑕點時時當當是瑕點是瑕點時時當當 xqxp: , )1 , 0(把積分拆成兩部分把積分拆成兩部分故取故取 a aqpqpdxxxdxxx0111011)1()1( 111)1(aqpdxxx,0時時當當 x,)1(111 pqpxxx ; ,0

12、第一個積分收斂第一個積分收斂時時故當故當 pBeta函數函數.0, 0時時收收斂斂綜綜上上，原原積積分分在在 qp).,(qpB函函數數故故積積分分定定義義了了一一個個二二元元例例7 7.)0()(01的斂散性的斂散性研究積分研究積分 sdxxessxs)(s o,1時時當當 x,)1()1(111 qqpxxx ; ,0第第二二個個積積分分收收斂斂時時故故當當 q解：解：,0 ,1是是瑕瑕點點時時當當 xs.但它又是無窮積分但它又是無窮積分:部部分分來來討討論論下下面面我我們們把把它它拆拆成成兩兩個個 函函數數,0時時當當 x,11 ssxxxe 1110101dxxedxxedxxesxs

13、xsx.0時時收收斂斂所所以以第第一一個個積積分分當當 s,時時當當x, 012 sxxex.為為何何值值都都收收斂斂所所以以第第二二個個積積分分不不論論s.0時收斂時收斂因此原積分當因此原積分當 s).(ss 為為變變量量的的函函數數該該積積分分定定義義了了一一個個以以 函數的幾個重要性質：函數的幾個重要性質：).0()()1( ssss遞推公式遞推公式.)(0 ss時，時，當當).10(sin)1()(3 ssss余元公式余元公式.2)()(0122012 duuesuxdxxessusx有有，中，作代換中，作代換在在 20sinmxdxx 220sinlim1,21,3mmxxxmmx

14、2sin1cos21,2mmxxmxx 2221001sinsinsinmmmxxxdxdxdxxxx2sin11mmxmxx由于，由于，收斂收斂收斂收斂發(fā)散發(fā)散1m3,收斂收斂例例8 8解：解：例例9 9.sin , 0101的斂散性的斂散性討論積分討論積分設設dxxppx 解：解： , 0 是瑕點是瑕點易見易見 x得得作變換作變換 ,1tx ,sinsin12101dtttdxxppx . ,2 .1積分發(fā)散積分發(fā)散時時當當 po 02)1(222sin)2(|sin|tdtktdttpkkp, 2)2(22 pk 時，時，則當則當這是因為若取這是因為若取 kkAkA,)12(,2 ,C收

15、收斂斂原原理理所所以以由由auchy. ,2 積分發(fā)散積分發(fā)散時時當當 p. ,10 .2積積分分絕絕對對收收斂斂時時當當 po,1|sin| 22ppttt . 由由比比較較判判別別法法可可知知. ,21 .3積積分分條條件件收收斂斂時時當當 po 0, ,21 2單調地趨于單調地趨于時時當當 ptp. ,Dirichlet 積積分分收收斂斂判判別別法法由由所以所以是發(fā)散的是發(fā)散的而此時而此時 ,t|sint| ,1p-2dt 例例1010.1ln102的斂散性的斂散性判斷積分判斷積分dxxx 由于解：解：,1ln1ln1ln12122102102dxxxdxxxdxxx 又因為,211ln

16、21lim xxx所以，.1ln11212存存在在不不是是瑕瑕點點，因因此此dxxxx 而而，由于對充分小的，由于對充分小的對于對于|,ln|2|1ln| ,1ln22102xxxxdxxx 存在，存在，2102100210lnlnlnlimlimxxxdxxdxx .故故所所給給積積分分收收斂斂例例1111解：解： , 0 是瑕點是瑕點易見易見 x: ,把積分分成兩部分把積分分成兩部分為此為此dxxxdxxxI 1101sin11sin1 21II : 1的收斂性的收斂性現討論現討論 I.1)sin1(, 00的收斂性的收斂性討論積分討論積分設設dxxx 的收斂性和的收斂性和顯然顯然 1I.

17、sin1101的收斂性相同的收斂性相同dxxxI ,0時時因為當因為當x351sin( ),3!x xxOx , 所以所以 ,0時時因而當因而當x.61sin12 xxx. ,211收斂收斂時時故當故當I . , 1sin1絕對收斂絕對收斂故故由于由于Ixx ).(1(61)(! 31sin12242xOxxOxxx : 2的收斂性的收斂性再討論再討論 I, , 1|sin| 由二項式展開得由二項式展開得 xx).1(sin1sin12xOxxxx ,所以所以).1(sin1sin12xOxxxx 因為積分因為積分 1 ,sin條件收斂條件收斂dxxx 12 , )1(絕對收斂絕對收斂dxxO

18、. 2條件收斂條件收斂所以所以 I.210 時條件收斂時條件收斂當當故故 I.arctan0的收斂性的收斂性討論積分討論積分 dxxxp 原積分原積分110arctanarctandxxxdxxxpp,)0(1arctan1可知可知由由 xxxxpp時時第第一一項項積積分分收收斂斂；當當2 p可可知知，由由)(2arctan xxxxpp .1時時第第二二項項積積分分收收斂斂當當 p.21發(fā)散發(fā)散時積分收斂，其他情況時積分收斂，其他情況所以當所以當 p例例1 12 2解：解：.cos 0sin的斂散性的斂散性討論積分討論積分 dxxxepx 原積分原積分1sin10sincoscosdxxxedxxxepxpx可知，可知，由由)0(1cossin xxxxeppx時第一項積分收