復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)

1、1.3 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)一、復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)y=sinu , y=sin(x2+1) u=x2+1 y=sin(x2+1)y=sinu , u=x2+1 是由復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。u中間變量或者說(shuō)y=sin(x2+1)y=sinu 與 u=x2+1是的復(fù)合函數(shù)。 設(shè)函數(shù) z = f ( y ) 定義在數(shù)集B上 , 函數(shù) y = ( x ) 定義在數(shù)集 A 上 , G是 A 中使 y = ( x ) B 的 x 的非空子集，即定義定義G=x| xA , (x)B xG，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系 ,對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)yB ,再按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f 對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)zR. 這樣，對(duì) xG，都有唯一的 z 與之對(duì)應(yīng)

2、。xy= ( x ) fz=f(y)= f ( x ) 于是在G上定義了一個(gè)函數(shù)h，表為f ，稱(chēng)為函數(shù)y = ( x )與z = f ( y ) 的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)。即：即：h (x)= (f ) (x)=f (x)xGy中間變量中間變量z = ln y ,y =1+exz = ln (1+ex)可推廣到若干個(gè)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)：y = ln u ,u =1+ev,v = sin xy=ln (1+esinx)中間變量u , v*（1）一般地，對(duì)兩個(gè)函數(shù) f 、g，有fggf（2）對(duì)任意函數(shù) f、g、h，有（f g）h = f（g h）例1.函數(shù)) 1ln(sin2xy是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？

3、uysin解：vu wvln12 xw以上過(guò)程稱(chēng)為對(duì)復(fù)合函數(shù)的分解*例2.已知:,)(3xxf, 1)( xxg，)()(xfgxgf求:)()(xggxff，解：)(xgf) 1( xf31 x)(xfg)(3xg13 x)(xff)(3xf33)(x9x)(xgg) 1( xg1) 1( x2 x二、反函數(shù)二、反函數(shù)已給函數(shù)y = ln ( x3 + 1 )f : xln (x3 + 1 ) = y對(duì)任意的 x( - 1 , + )，對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)y。反之，給定一個(gè)y ( - , + ) ，通過(guò)上述的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也對(duì)應(yīng)唯一一個(gè) x：yx = (ey 1)1/3稱(chēng)為函數(shù)函數(shù) y = ln (x3

4、 + 1)的反函數(shù)。的反函數(shù)。這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系確定了( - , + ) 上的一個(gè)函數(shù)。定義定義不是每一個(gè)函數(shù)都有反函數(shù)。*什么函數(shù)才有反函數(shù)？什么函數(shù)才有反函數(shù)？對(duì)應(yīng)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)才會(huì)有反函數(shù)。對(duì)應(yīng)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)才會(huì)有反函數(shù)。函數(shù) y = x2在區(qū)間（- ，+ ）上沒(méi)有反函數(shù)函數(shù) y = x2在區(qū)間（0，+ ）上有反函數(shù)函數(shù) y = x2在區(qū)間（- ，0）上有反函數(shù)yxyx（略）單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)。單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)。例。求函數(shù) y=ex x+1的反函數(shù)解：y=ex x+1ex x = y-1x =ln(y-1)（1）函數(shù) y = f (x)與函數(shù) x = f -1(y)互為反函數(shù)。*（2

5、）函數(shù) y = f (x) 的反函數(shù)x = f -1(y)一般記為y = f -1(x)如: 函數(shù) y=ex x+1的反函數(shù)為y=ln(x-1)（3）函數(shù) y = f (x)與函數(shù) y = f -1(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn) y = x 對(duì)稱(chēng)。Oxy)(xfy )(1xfyxy M(a,b)M(b,a)三、初等函數(shù)1?；境醯群瘮?shù)以下六種簡(jiǎn)單函數(shù)稱(chēng)為基本初等函數(shù)（1） 常數(shù)函數(shù) y = C ( C 為常數(shù) )（2） 冪函數(shù) y = x ( R 為常數(shù) )（3） 指數(shù)函數(shù) y = a x ( a 0, a 1 )（4） 對(duì)數(shù)函數(shù) y = loga x ( a 0, a 1 ) （5） 三角函數(shù) y =

6、 sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x （6） 反三角函數(shù) y = arcsin x y = arccos y = arctan x y = arccot x y = arcsec x y = arccsc x 對(duì)每一個(gè)基本初等函數(shù)，要了解它們的定義域、性質(zhì)、圖象。2。初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算而成的函數(shù), 稱(chēng)為初等函數(shù)。都是初等函數(shù)都是初等函數(shù). . 1523xxy112xxxyxxeey23xyxxxy22sin1 cos1 sin ,0 ,1)(D為無(wú)理數(shù)為有理數(shù)xxxyxy 0 0 0 , 1, 0 , 1 sgnxxxxy都不是初等函數(shù)都不是初等函數(shù)0 ,0 , xxxxy2xxxy1xxeln1都是初等函數(shù)都是初等函數(shù)雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)雙曲正弦,2