在數(shù)值計(jì)算時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題

1、5 在數(shù)值計(jì)算時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題在數(shù)值計(jì)算時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題 順序：基本運(yùn)算順序順序：基本運(yùn)算順序一、減少運(yùn)算次數(shù)一、減少運(yùn)算次數(shù) 不僅能提高計(jì)算精度，而且能減少誤差的積累不僅能提高計(jì)算精度，而且能減少誤差的積累1、對(duì)同一種算法（計(jì)算方式），要選用計(jì)算量少的運(yùn)算次序、對(duì)同一種算法（計(jì)算方式），要選用計(jì)算量少的運(yùn)算次序例如例如),(dcbaadacab dcxbxax 23精度（數(shù)值穩(wěn)定性）精度（數(shù)值穩(wěn)定性）.運(yùn)算方案能否控制誤差的傳播和積累以保證計(jì)算結(jié)果有足夠的運(yùn)算方案能否控制誤差的傳播和積累以保證計(jì)算結(jié)果有足夠的 一般標(biāo)準(zhǔn)一般標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)算次數(shù)的多少（計(jì)算效率）；運(yùn)算次數(shù)的多少（計(jì)算效率）；運(yùn)算過(guò)

2、程是否規(guī)律（易編程）；運(yùn)算過(guò)程是否規(guī)律（易編程）；需要記錄的中間結(jié)果的多少（儲(chǔ)存量）；需要記錄的中間結(jié)果的多少（儲(chǔ)存量）； ,)(dxcxbax 精度（數(shù)值穩(wěn)定性）精度（數(shù)值穩(wěn)定性）.運(yùn)算方案能否控制誤差的傳播和積累以保證計(jì)算結(jié)果有足夠的運(yùn)算方案能否控制誤差的傳播和積累以保證計(jì)算結(jié)果有足夠的運(yùn)算次數(shù)的多少（計(jì)算效率）；運(yùn)算次數(shù)的多少（計(jì)算效率）； 例例1的的值值。計(jì)計(jì)算算多多項(xiàng)項(xiàng)式式0111)(axaxaxaxpnnnnn 次次乘乘法法，需需作作計(jì)計(jì)算算nxann;2)1(12)1()( nnnnxpn的的值值需需作作乘乘法法次次數(shù)數(shù)：計(jì)計(jì)算算.n加加法法次次數(shù)數(shù)：(b) 利用秦九韶算法：利用

3、秦九韶算法：(a) 直接計(jì)算每一項(xiàng)再求和：直接計(jì)算每一項(xiàng)再求和： ).(,;)(1 , 2 , 1,11nnkkkknnnaxSSaSxp的的遞遞推推公公式式：計(jì)計(jì)算算 解：解：),(0 xpSn 則則次次加加法法。次次乘乘法法的的值值只只需需作作計(jì)計(jì)算算nnxpn)(011)()(aaaxaxxxxpnnn 例例2階階單單位位方方陣陣。試試求求是是維維向向量量均均為為和和已已知知nInxuu,21 解：解：,)(2)2(22221uxuxxuuIyTT .)(2)2(1111111uyuyyuuIyTT (a) 作矩陣和向量的乘法：作矩陣和向量的乘法：略略.(b) 作向量的內(nèi)積和加法：作向量

4、的內(nèi)積和加法：計(jì)算次數(shù)少計(jì)算次數(shù)少過(guò)程規(guī)律過(guò)程規(guī)律xuuIuuIyTT)2)(2(2211 乘除法乘除法: kn乘除法乘除法: kn22、對(duì)于不同的算法，要注意收斂速度，講效率、對(duì)于不同的算法，要注意收斂速度，講效率 例例3 計(jì)算計(jì)算 ln2 的近似值，要求誤差小于的近似值，要求誤差小于10 . 解：解：,1)1(211Sln211nnxn ，則得，則得取取,10112ln7 nSn誤誤差差. 1107 n 計(jì)算量太大；計(jì)算量太大； 各項(xiàng)的舍入誤差會(huì)損失和的有效數(shù)字各項(xiàng)的舍入誤差會(huì)損失和的有效數(shù)字 (b) 用級(jí)數(shù)用級(jí)數(shù) 來(lái)計(jì)算來(lái)計(jì)算)1()1231(211ln22 xmxxxxxm,)31(1

5、21)31(51)31(31132ln231242 mmx，則則取取,)31(171)31(51)31(31132ln216428 S用前用前 9 項(xiàng)（即取項(xiàng)（即取 m = 8）計(jì)算就能達(dá)到精度要求計(jì)算就能達(dá)到精度要求:.102ln78 S即即舍入誤差舍入誤差(a) 用級(jí)數(shù)用級(jí)數(shù) 來(lái)計(jì)算來(lái)計(jì)算)1 , 1() 1(321)ln(1132 xnxxxxnn結(jié)果不可靠，計(jì)算失敗結(jié)果不可靠，計(jì)算失敗否則，則稱這個(gè)算法是否則，則稱這個(gè)算法是數(shù)值不穩(wěn)定的數(shù)值不穩(wěn)定的。二、二、 數(shù)值計(jì)算中要構(gòu)造和使用數(shù)值計(jì)算中要構(gòu)造和使用數(shù)值穩(wěn)定數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算方法的計(jì)算方法算法是數(shù)值穩(wěn)定的算法是數(shù)值穩(wěn)定的 計(jì)算結(jié)果受計(jì)算

6、過(guò)程中舍入誤差影響較小時(shí)。計(jì)算結(jié)果受計(jì)算過(guò)程中舍入誤差影響較小時(shí)。1、注意、注意計(jì)算機(jī)數(shù)系計(jì)算機(jī)數(shù)系運(yùn)算特點(diǎn)運(yùn)算特點(diǎn)有理數(shù)的有限數(shù)集，即浮點(diǎn)集有理數(shù)的有限數(shù)集，即浮點(diǎn)集例例4 討論在計(jì)算機(jī)數(shù)系中分別用公式討論在計(jì)算機(jī)數(shù)系中分別用公式同同。中中點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)所所得得結(jié)結(jié)果果是是否否相相求求和和,2221baabambam 解：解：無(wú)誤差時(shí)，必相等；無(wú)誤差時(shí)，必相等；有舍入誤差時(shí)，可能不相等，有舍入誤差時(shí)，可能不相等，算算時(shí)時(shí)，結(jié)結(jié)果果如如下下：用用四四位位有有效效數(shù)數(shù)字字進(jìn)進(jìn)行行計(jì)計(jì)若若,355. 8,243. 5 ba a b m m 準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值 5.243 5.243 8.3558.355 6.

7、8001.556 6.7991.557 6.7991.5566.799-1.556,2,1 ,010),(21 nnnxaxxa，由由公公式式為為已已知知數(shù)數(shù)，對(duì)對(duì)任任意意數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) 解解:)(211axaxnn 由由遞遞推推公公式式得得).()21(011axaxnn 在實(shí)數(shù)集上，在實(shí)數(shù)集上，;0axaxn嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)趨趨于于只只要要 取取4位有效數(shù)字近似計(jì)算位有效數(shù)字近似計(jì)算：,680. 5,680. 5,686. 5:nx非嚴(yán)格單調(diào)序列非嚴(yán)格單調(diào)序列且極限也不等于且極限也不等于a4位有效數(shù)字舍入運(yùn)算：位有效數(shù)字舍入運(yùn)算：1234+0.4+0.3+0.2+0.1=12340.4+0.3+

8、0.2+0.1+1234=1235若出現(xiàn)若出現(xiàn)“溢出溢出”應(yīng)立即中應(yīng)立即中斷斷應(yīng)避免出現(xiàn)應(yīng)避免出現(xiàn)“大數(shù)吃小數(shù)大數(shù)吃小數(shù)” 事先預(yù)防事先預(yù)防 事后解決事后解決 例例7.)(2122ba 求求解解:，則則設(shè)設(shè),maxbac .)()()(21222122 cbcacba可防溢出可防溢出精確運(yùn)算精確運(yùn)算：例例6686. 5,678. 50 xa如如取取試試研研究究此此序序列列的的極極限限。所所得得的的序序列列為為.nx 例例52、防止兩接近的數(shù)相減、防止兩接近的數(shù)相減.01182 xx例例8 求下列方程的根求下列方程的根解解:.809,80921 xx用用 8 位浮點(diǎn)數(shù)位浮點(diǎn)數(shù) (有效數(shù)字有效數(shù)字

9、)計(jì)算計(jì)算1089442719. 080 .1055728091. 0,1017944272. 01221 xx用用 4 位浮數(shù)點(diǎn)位浮數(shù)點(diǎn)(有效數(shù)字有效數(shù)字)計(jì)算計(jì)算108944. 080 .105600. 0,101794. 01221 xx兩接近數(shù)相減兩接近數(shù)相減損失了有效數(shù)字損失了有效數(shù)字?jǐn)?shù)值不穩(wěn)定的方法數(shù)值不穩(wěn)定的方法121xx 改改用用公公式式.105574. 080911 仍用仍用4 位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算數(shù)值穩(wěn)定數(shù)值穩(wěn)定的方法的方法減法本身完全正確減法本身完全正確誤差傳播的研究十分重要誤差傳播的研究十分重要 是因?yàn)榍笫且驗(yàn)榍?的誤差的誤差(并不大并不大),進(jìn)行減法后導(dǎo)致不應(yīng)忽視

10、的后果進(jìn)行減法后導(dǎo)致不應(yīng)忽視的后果 80 xxxx 一一般般地地：| | x|時(shí)時(shí), 計(jì)算計(jì)算結(jié)果結(jié)果的誤差較小的誤差較小準(zhǔn)確準(zhǔn)確逆向遞推公式逆向遞推公式 例例9 當(dāng)當(dāng) n = 0,1,2, ,8 時(shí)時(shí),求積分求積分 的近似值的近似值.105dxxxynn 用遞推關(guān)系進(jìn)行計(jì)算時(shí)必須注意誤差的積累用遞推關(guān)系進(jìn)行計(jì)算時(shí)必須注意誤差的積累.見(jiàn)本章見(jiàn)本章2 例例1 解：解：ndxxdxxxxyynnnnn1555101011 .511 nnyny5ln6ln5100 xdxy).3(182. 0位位留留保保 .516. 0541,083. 0531,05. 0521,09. 05134231201 y

11、yyyyyyy錯(cuò)誤的原因？錯(cuò)誤的原因？將將 的誤差擴(kuò)大到的誤差擴(kuò)大到5 5倍。倍。：遞推公式遞推公式151 nnyny1 ny 的的絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限若若0y.5,5,5,5,4324321 的的絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限yyyy1823216. 00 y1875. 00135444 的的絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限y4013 其其絕絕對(duì)對(duì)誤誤差差限限,51511nnyny 改改用用：.0),(0jinyyijNny 且且的的誤誤差差影影響響小小。時(shí)時(shí)，遞遞推推求求nnyy1 3、設(shè)法控制誤差的傳播、設(shè)法控制誤差的傳播 逆向遞推公式：逆向遞推公式：知知由由nnyny51511 nyn的近似值：的近似值：由

12、此求由此求9y017. 06011015)1(999109 yyyyy由由遞遞推推公公式式設(shè)設(shè)020. 05010)2(910 yy由遞推公式由遞推公式設(shè)設(shè),182.0551,088.05101,058.05151,043.05201,034.05251,028.05301,025.05351,021.05401,019.05451102132435465768798 yyyyyyyyyyyyyyyyyy的的微微小小誤誤差差)(, 2 , 1njjx 引起引起A 的很大誤差的很大誤差 604751413112134131216113121321321321 xxxxxxxxx例例10 設(shè)有方程

13、組設(shè)有方程組是是其其準(zhǔn)準(zhǔn)確確解解。1321 xxx將系數(shù)舍入成將系數(shù)舍入成 2 位浮點(diǎn)數(shù)位浮點(diǎn)數(shù), 則方程為則方程為 78. 020. 025. 033. 01 . 125. 033. 050. 08 . 133. 050. 0321321321 xxxxxxxxx例例11 . 1)0()0(, 0 yyyy,xey 其其解解. 0y ，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,0 有有微微小小誤誤差差若若 y時(shí)時(shí)即即初初值值為為1)0(,1)0( yy ,)21(2)(xxeexy .y ，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x三、計(jì)算過(guò)程中應(yīng)十分小心處理三、計(jì)算過(guò)程中應(yīng)十分小心處理病態(tài)的數(shù)學(xué)問(wèn)題病態(tài)的數(shù)學(xué)問(wèn)題病態(tài)問(wèn)題一般要用高精度病態(tài)問(wèn)題一般要用高精度(雙精度雙精度)計(jì)算或解病態(tài)問(wèn)題的方法解決計(jì)