圖解自然數(shù)的平方和公式_第1頁
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文檔簡介

1、我們知道以下前n項(xiàng)自然數(shù)平方和的計(jì)算公式:I2 + 22 + 3, + n2 = *班北 + 1)(2?1 十 1)*有很多關(guān)于這個(gè)公式的證明方法，比如數(shù)學(xué)歸納法、待定系數(shù)法、裂項(xiàng)相消法等。今 天介紹兩個(gè)數(shù)形結(jié)合的方法。方法一我們知道前n項(xiàng)自然數(shù)的和1 + 2 + 3 +門=扌如1).于是I2 + 22 +32 +n2 (1+2 + 3+ * + n)(2n + 1) x這是巧合嗎?把左邊平方和拆開，乘法拆成加法，寫成12 + 23 + 3 + 34 + 4 + 4 + 4n + n + n + * n第一行1個(gè)數(shù)，第二行 2個(gè)數(shù)，第三行 3個(gè)數(shù)， ，第n行n個(gè)數(shù)，這樣一共n)=n(n+1)/

2、2個(gè)數(shù)相加。簡記為一張三角形圖：22333逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120 °，得到再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，又得到仃32n23n對(duì)上面三個(gè)三角形，相同位置處的三個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)相加，其和恰為定值（于是+ 2?十 3三十十 T? = (1 + 2 十 3 + 十 n)(2n + 1) X1 ,=ri(n + l)(2n + 1)*6方法二立體的看，平方和就是下面所有方塊的體積和:2 2 2 21 + 2+3+ +n堆起來，就是類似地，取三堆相同的3(1 +2"+3 +. + n )然后再堆起來最上面一層的方塊，從中間切開，拼到缺的那部分，就得到一個(gè)三邊分別為 1的長方體：于是總體積3 x (? + 2丄 + 3"十+ n2) = n(n + l)(n +I2 + 2, + 32 + * * + n2 = n(n + l(e += 4n(n + 1)(2n. + 1).326當(dāng)然，第二種方法也可以取6堆，直接拼成一個(gè)三邊分別為2n+1, n,n+1殊途

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