第二章離散系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程課件

1、2.1 實(shí)際系統(tǒng)離散化的力學(xué)模型實(shí)際系統(tǒng)離散化的力學(xué)模型 2.2 力學(xué)基礎(chǔ)力學(xué)基礎(chǔ) 2.3 振動(dòng)微分方程的建立振動(dòng)微分方程的建立 2.4 振動(dòng)微分方程的一般形式振動(dòng)微分方程的一般形式 2.1 實(shí)際系統(tǒng)離散化的力學(xué)模型實(shí)際系統(tǒng)離散化的力學(xué)模型一一. .實(shí)際系統(tǒng)的離散化實(shí)際系統(tǒng)的離散化 依依 據(jù)據(jù) 簡(jiǎn)化的程度取決于系統(tǒng)本身的復(fù)雜程度、外界對(duì)它的作用形式和分析結(jié)果的精度要求等 原原 則則 彈性較小而質(zhì)量較大的構(gòu)件 質(zhì)量元件 質(zhì)量較小而彈性較大的構(gòu)件 彈性元件 阻尼較大的部分 阻尼元件 質(zhì)量、彈性和阻尼均布 質(zhì)量、彈性、阻尼均有的單元振動(dòng)力學(xué)系振動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)“三要素三要素”2.1 實(shí)際系統(tǒng)離散化的力學(xué)

2、模型實(shí)際系統(tǒng)離散化的力學(xué)模型例例2-1機(jī)組質(zhì)量集中機(jī)組質(zhì)量集中為為一個(gè)質(zhì)量元一個(gè)質(zhì)量元件件，彈性支承，彈性支承簡(jiǎn)化成并聯(lián)的簡(jiǎn)化成并聯(lián)的彈簧彈簧和和阻尼器阻尼器。 2.1 實(shí)際系統(tǒng)離散化的力學(xué)模型實(shí)際系統(tǒng)離散化的力學(xué)模型例例2-2二二. .離散化的力學(xué)模型離散化的力學(xué)模型 （“三要素三要素”）1.1.質(zhì)量元件質(zhì)量元件 -無(wú)彈性、不耗能的剛體，儲(chǔ)存動(dòng)能的元件 xmFm 平動(dòng)：力、質(zhì)量和加速度的單位分別為N、kg和m / s 2。 JTm轉(zhuǎn)動(dòng)：力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角加速度的單位分別為Nm、kg m 2和rad / s 2 222212121JVxmVxmVc剛體轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體移動(dòng)：剛體移動(dòng)：，質(zhì)點(diǎn)

3、平動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)：2.2.彈性元件彈性元件 -無(wú)質(zhì)量、不耗能，儲(chǔ)存勢(shì)能的元件 xkFs平動(dòng)：力、剛度和位移的單位分別為N、N / m和m 。tskT轉(zhuǎn)動(dòng)：力矩、扭轉(zhuǎn)剛度和角位移的單位分別為Nm、 Nm / rad和rad 221kxU 勢(shì)能：勢(shì)能：3.阻尼元件 -無(wú)質(zhì)量、無(wú)彈性、線性耗能元件 xcFd平動(dòng)：力、阻尼系數(shù)和速度的單位分別為N、N s/ m和m/s。tdcT轉(zhuǎn)動(dòng)：力矩、扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)和角速度的單位分別為Nm、 Nms / rad和rad/s nitiinitiiitxcxxcP10210dd耗散能：2.2 力學(xué)基礎(chǔ)力學(xué)基礎(chǔ)2.2 力學(xué)基礎(chǔ)力學(xué)基礎(chǔ)2.2 力學(xué)基礎(chǔ)力學(xué)基礎(chǔ)2.2 力學(xué)基礎(chǔ)

4、力學(xué)基礎(chǔ)2.2 力學(xué)基礎(chǔ)力學(xué)基礎(chǔ)2.3 振動(dòng)微分方程的建立振動(dòng)微分方程的建立 一一. .單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng) 1. 1. 力法力法 工具：牛頓第二定律、質(zhì)系動(dòng)量矩定理 步驟： 1）建立廣義坐標(biāo) 2）作質(zhì)量元件的隔離體受力分析圖 3）建立振動(dòng)微分方程并整理成標(biāo)準(zhǔn)的形式 2.3 振動(dòng)微分方程的建立振動(dòng)微分方程的建立 例2-3 建立圖示系統(tǒng)在鉛垂方向振動(dòng)的微分方程。 圖2-3 有阻尼單自由度系統(tǒng) 建立廣義坐標(biāo)。取質(zhì)量元件沿鉛垂方向的位移作為廣義坐標(biāo)x。原點(diǎn)在系統(tǒng)的靜平衡位置，向下為正。 隔離體受力分析 由力學(xué)原理得到 xmtFmgxcxk )()()(tFkxxcxm 2.3 振動(dòng)微分方程的建立

5、振動(dòng)微分方程的建立 例2-4 建立圖示單擺作微小振動(dòng)的微分方程。 圖2-4 單擺 建立廣義坐標(biāo)。單擺偏離平衡位置的轉(zhuǎn)角，坐標(biāo)零位在鉛垂位置，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?隔離體受力分析 由動(dòng)量矩原理得到 0sin2lgmlm sin0）（lg 2.3 振動(dòng)微分方程的建立振動(dòng)微分方程的建立 例2-5 建立圖示U形管中液柱振動(dòng)的微分方程。（截面積a，液柱長(zhǎng) ） 圖2-5 U形管 建立廣義坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)液面的位置為廣義坐標(biāo)的零位，液柱沿直管上升的距離y為廣義坐標(biāo)。 受力分析 由DAlembert原理得到 0)/2(ylgy l2.3 振動(dòng)微分方程的建立振動(dòng)微分方程的建立 2. 能量法 工具：機(jī)械能守恒定律

6、步驟： 1）建立廣義坐標(biāo)。建立方法與前者相同。 2）寫(xiě)出系統(tǒng)的動(dòng)能V、勢(shì)能U和耗散能P得到的方程經(jīng)整理，線性化后就能得到系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。 nitiinitiiitxcxxcP10210dd0d/dtPUV）（ 3）利用能量守恒原理當(dāng)系統(tǒng)中質(zhì)量較當(dāng)系統(tǒng)中質(zhì)量較多時(shí)，用此方法多時(shí)，用此方法關(guān)鍵是要清楚各個(gè)關(guān)鍵是要清楚各個(gè)元件的能量表達(dá)式元件的能量表達(dá)式2.3 振動(dòng)微分方程的建立振動(dòng)微分方程的建立 例2-6 建立圖示系統(tǒng)作微振動(dòng)的微分方程。解： 圖2-6 多質(zhì)量系統(tǒng) 建立廣義坐標(biāo)。 選為廣義坐標(biāo)，逆時(shí)為負(fù)，OB靜止時(shí) 為零，則x1=a ，x2=2a 。 2.3 振動(dòng)微分方程的建立振動(dòng)微分方程的建

7、立 系統(tǒng)的動(dòng)能V 勢(shì)能U 耗散能P 由能量守恒原理得到 22322222121221amamamV223222221492142121akakakU0P0)4124(4232221232221 akakakamamam）（0)4124(4232221232221akakakamamam ）（2.3 振動(dòng)微分方程的建立振動(dòng)微分方程的建立 二二. 等效系統(tǒng)等效系統(tǒng) 多個(gè)質(zhì)量（彈性、阻尼）元件等效為一個(gè)質(zhì)量（剛度、阻尼）元件。 連續(xù)系統(tǒng)的質(zhì)量和彈性等效成一個(gè)質(zhì)量元件和一個(gè)彈性元件。 平動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：?jiǎn)巫杂啥日駝?dòng)系統(tǒng)微分方程的一般形式 )(eeetFxkxcxm )(etetetTkcJ 2.3 振動(dòng)微分

8、方程的建立 1. 等效剛度等效剛度 計(jì)算方法：1) 剛度的定義。 2)等效前后系統(tǒng)勢(shì)能不變。 斜置彈簧 v 斜向布置的彈簧斜向布置的彈簧 等效彈簧剛度方向的位移方向的力xxkxecosFFxcosx2cos/ekxFkxx2.3 振動(dòng)微分方程的建立 v 并聯(lián)彈簧并聯(lián)彈簧 并聯(lián)彈簧 等效彈簧剛度xFkxexkFniix)(1niik12.3 振動(dòng)微分方程的建立 v 串聯(lián)彈簧串聯(lián)彈簧 串聯(lián)彈簧 等效彈簧剛度xFkxeniixniixniikFkFxx1111niik1112.3 振動(dòng)微分方程的建立 v 傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)系統(tǒng) 傳動(dòng)系統(tǒng) 等效前勢(shì)能. 12/i速比 222t2221 t222t211 t2

9、121kikkkU等效后勢(shì)能2/2/222t22e1 tekkU21 te1 t/ikk等效剛度2.3 振動(dòng)微分方程的建立 2. 等效阻尼等效阻尼 計(jì)算方法：（類似于等效剛度） niicc1eniicc1e11v并聯(lián)阻尼：v串聯(lián)阻尼：v傳動(dòng)系統(tǒng)：傳動(dòng)比i，主動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)ct1，從動(dòng)軸 扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)ct2，主動(dòng)軸向從動(dòng)軸等效時(shí)， 主動(dòng)軸等效扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù) ct1e=ct1 / i 22.3 振動(dòng)微分方程的建立 3. 等效質(zhì)量等效質(zhì)量 計(jì)算方法：等效前后系統(tǒng)動(dòng)能不變 例2-7 求圖示系統(tǒng)對(duì)A點(diǎn)的等效質(zhì)量 彈簧-杠桿（質(zhì)量不計(jì)）-質(zhì)量系統(tǒng) 等效前系統(tǒng)的動(dòng)能 22242122121xmmllxmxm

10、Vbaba等效后系統(tǒng)的動(dòng)能 2ee21xmVVV ebammm4e2.3 振動(dòng)微分方程的建立 例2-8 求把軸等效到軸時(shí)盤(pán)1的等效慣量J1e 傳動(dòng)系統(tǒng) 解： 等效前系統(tǒng)的動(dòng)能 等效后系統(tǒng)的動(dòng)能 VV e222222122221121212121JiJJJV22222e1e2121JJV21e1/iJJ2.3 振動(dòng)微分方程的建立 三. 多自由度系統(tǒng) 1. 力法 牛頓第二定律和質(zhì)系動(dòng)量矩定理 n個(gè)自由度的系統(tǒng) （1）建立廣義坐標(biāo)。質(zhì)量mi 的位移xi，質(zhì)量mi靜平衡位置為原點(diǎn)，方向向右為正。 （2）隔離體受力分析 廣義位移、速度、加速度均為正 例 2-10 2.3 振動(dòng)微分方程的建立 （3）建立方

11、程 1121211212111)()()(xmxxkxkxxcxctF iiiiiiiiiiiiiiixmxxkxxkxxcxxctF )()()()()(111111)1, 3, 2(ninnnnnnnnnnnnnxmxkxxkxcxxctF 1111)()()(整理后用矩陣形式表示為： tFxKxCxM 2.3 振動(dòng)微分方程的建立 tFxKxCxM T21,nixxxxx T21,nixxxxx T21,nixxxxx 廣義坐標(biāo)廣義速度廣義加速度 外力向量 T21)(,),(,),(),()(tFtFtFtFtFni2.3 振動(dòng)微分方程的建立 tFxKxCxM 剛度矩陣 (對(duì)稱、半正定)

12、111113322221000000nnnnnnniiiikkkkkkkkkkkkkkkkkkK2.3 振動(dòng)微分方程的建立 tFxKxCxM 質(zhì)量矩陣 (對(duì)稱、正定)nimmmmM000000212.3 振動(dòng)微分方程的建立 tFxKxCxM 阻尼矩陣 (對(duì)稱) 111113322221000000nnnnnnniiiiccccccccccccccccccC2.3 振動(dòng)微分方程的建立 2. 視察法（力法的物理意義） 質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣的特點(diǎn) 1) 質(zhì)量矩陣M是對(duì)角矩陣，對(duì)角元mii=mi，即第i個(gè)對(duì)角元素就是第i個(gè)質(zhì)量元件的質(zhì)量。 2) 阻尼矩陣C是對(duì)稱矩陣，對(duì)角元cii為所有與第i個(gè)

13、質(zhì)量元件相連接的阻尼元件阻尼系數(shù)之和（等效阻尼），非對(duì)角元cij = cji ，連接第i個(gè)質(zhì)量元件和第j個(gè)質(zhì)量元件的阻尼元件阻尼系數(shù)之和是cij 。 3) 剛度矩陣K 是對(duì)稱矩陣，對(duì)角元kii為所有與第i個(gè)質(zhì)量元件相連接的彈性元件剛度之和（等效剛度），非對(duì)角元kij = kji ，連接第i個(gè)質(zhì)量元件和第j個(gè)質(zhì)量元件的彈性元件剛度之和是kij 。 2.3 振動(dòng)微分方程的建立 例 2-11 用視察法寫(xiě)出圖示鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的振動(dòng)微分方程鏈?zhǔn)较到y(tǒng) 解: 1) 建立廣義坐標(biāo)如圖所示，坐標(biāo)原點(diǎn)在系統(tǒng)靜平衡時(shí)各質(zhì)量的位置。 2)由視察法得到系統(tǒng)振動(dòng)微分方程 : 0 xKxCxM T4321,xxxxx T4321

14、,xxxxx T4321,xxxxx4321000000000000mmmmM2.3 振動(dòng)微分方程的建立 鏈?zhǔn)较到y(tǒng) 振動(dòng)微分方程 : 0 xKxCxM T4321,xxxxx T4321,xxxxx T4321,xxxxx 000000000646226262cccccccccC2.3 振動(dòng)微分方程的建立 鏈?zhǔn)较到y(tǒng) 振動(dòng)微分方程 : 0 xKxCxM T4321,xxxxx T4321,xxxxx T4321,xxxxx 5556543363322626210000kkkkkkkkkkkkkkkkkkK2.4 振動(dòng)微分方程的一般形式 )(tFxKxCxMnnnnnn T21,nxxxx T21

15、,nxxxxT21)(,),(),()(tFtFtFtFn)(eeetFxkxcxm 特例：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng) 有阻尼自由振動(dòng)： F(t)=0 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)： F(t) 0 無(wú)阻尼自由振動(dòng) ： C=0， F(t)=0 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)： C=0 求系統(tǒng)的等效剛度（ B ）321kkk32121kkkkkA B C32111111kkk D321kkk忽略桿的重量，以圖示的x坐標(biāo)系，系統(tǒng)的等效質(zhì)量為（ D ）abmm2abmm 3abmm 4abmm 大題：振動(dòng)微分方程的建立（力法、能量法、觀察法）ABCD 實(shí)際振系離散化的力學(xué)模型實(shí)際振系離散化的力學(xué)模型離散化離散化“原則原則”；“三要素三要素”及其在不同運(yùn)動(dòng)方式時(shí)的能量表及其在不同運(yùn)動(dòng)方式時(shí)的能量表達(dá)式達(dá)式 力學(xué)基礎(chǔ)力學(xué)基礎(chǔ)關(guān)于關(guān)于“自由度自由度”和和“廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)”動(dòng)力學(xué)的幾個(gè)基本原理動(dòng)力學(xué)的幾個(gè)基本原理 振動(dòng)微分方程的建立方法振動(dòng)微