極限的運算法則及計算方法-文檔資料

1、第二節(jié)第二節(jié) 極限的運算法則極限的運算法則一一極限的四則運算法則極限的四則運算法則定理定理lim(),lim(),(1)lim()();(2)lim()();()(3)lim,0.()fxAg xBfxg xABfxg xA BfxABg xB 設設則則其其 中中推論推論1 1lim(),lim()lim().fxccfxcfx 如如果果存存在在 而而 為為常常數(shù)數(shù) 則則常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.lim( ),lim( )lim( ) .nnf xnf xf x 如如果果存存在在 而而 是是正正整整數(shù)數(shù) 則則推論推論2 2lim( ),lim ( )f xg x

2、該法則成立的前提是：該法則成立的前提是： 都存在都存在23031023031 lim(23)2 lim(7sin4cos )3 lim4 lim(1)(5)lim(1)ln(10)xxxxxxxxxxxxex （）； （ ）；（ ）； （ ）； 例例1:1:求下列極限求下列極限解解:23lim(23)xxx2333limlim2lim3xxxxx2333(lim)2limlim3xxxxx 232 3318 02 lim(7sin4cos )xxx （ ）007limsin4limcosxxxx 7 04 14 03lim1xxe （ ）01limln(10)ln10 xxex 0limln(

3、10)ln100 xx 334lim(1)112xx （ ）3333lim(1)28xx 2(5)lim(1)1xx10102lim(1)11xx2(lim0)xx 定理：初等函數(shù)在其定理：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內任一點的定義區(qū)間內任一點的極限值等于函數(shù)值。極限值等于函數(shù)值。二、計算有理分式極限的運算法則二、計算有理分式極限的運算法則 （1 1）計算有理分式在）計算有理分式在 極限的運算極限的運算 0 xx2222222122(1)lim;(2)lim;(3)lim322xxxxxxxxxxxx 例例2 2：求下列極限求下列極限22(1)lim(21)11xxx 解解: :2lim(3)10 x

4、x 222111lim1131xxxx 222(2)lim2xxxx 因為分母的極限為因為分母的極限為0 0，而分子極限為，而分子極限為8 8( )( )( ),( )P xP xQ xQ x設設、都都是是多多項項式式 則則稱稱為為有有理理分分式式222(3)lim2xxxx 222lim(2)0,lim(2)0 xxxxx 所以極限的四則運算法則不能用所以極限的四則運算法則不能用22(2)(1)xxxx但但是是2222(2)(1)limlim22xxxxxxxx 2lim(1)xx3 從而可以總結出下列從而可以總結出下列規(guī)律：規(guī)律：0( )( ),P xQ xx設設、都都是是多多項項式式為為

5、有有限限數(shù)數(shù)，則則 當當 時，時， （代入即可）（代入即可） 0()0Q x 000()( )lim( )()xxP xP xQ xQ x= =00()0,()0P xQ x0( )lim( )xxP xQ x = = 當當 時，時，00()0,()0P xQ x 0( )lim( )xxP xQ x= = 當當 時，時， 約去零因子約去零因子0()xx 后的有理分式的極限（分子分母都要分解因式）后的有理分式的極限（分子分母都要分解因式）22221232252(1)lim;(2)lim54372xxxxxxxxxx 例例3 3：利用上面的規(guī)律求下列極限利用上面的規(guī)律求下列極限解解: :2213

6、2lim54xxxxx 22(1)(1)13 126,(1)15 140PQ 22(2)(2)225220,(2)327220PQ 分子分母分解因式分子分母分解因式22252(21)(2),372(31)(2)xxxxxxxx 2222252(21)(2)limlim372(31)(2)xxxxxxxxxx 2(21)lim(31)xxx 35 （2 2）計算有理分式在）計算有理分式在 極限的運算極限的運算 x 222222142(1)lim;(2)lim;(3)lim5424xxxxxxxxxxx 例例4 4：求下列極限求下列極限解解: : 由于當由于當 時，分子分母均趨于無窮大，極限不存在

7、時，分子分母均趨于無窮大，極限不存在x 所以極限的四則運算法則不能用所以極限的四則運算法則不能用在分子分母中同時除以在分子分母中同時除以 的最高次冪，可化為極限存在的情況的最高次冪，可化為極限存在的情況x2222212221(1)limlim54541xxxxxxxxxx 2002100222414(2)limlim122xxxxxxx 222122(3)limlim441xxxxxxx 0 從而可以總結出下列從而可以總結出下列規(guī)律：規(guī)律：0,0,nmabmn 當當和和 為為非非負負整整數(shù)數(shù)時時有有110110,lim0,nmnnnnmmxmmanmba xaxanmb xbxbnm 當當當當

8、當當( )( )P xQ x設設、分分別別是是n n次次和和m m次次多多項項式式，則則4345236221(1) (12 )(1)lim;(2)lim54(13 ) (12 )xxxxxxxxxx 例例 5： 利用以上規(guī)律求下列極限利用以上規(guī)律求下列極限223(3)lim32xxxx 432221(1)lim54xxxxx 解解: :4536(1) (12 )(2)lim(13 ) (12 )xxxxx59369( 2)lim( 3)( 2)xxx 5361 ( 2)( 3)( 2) 311( 3)( 2)54 223(3)lim32xxxx 22(23)lim32xxxx 22(23)li

9、m32xxxx 2221三、無窮小量的運算法則三、無窮小量的運算法則 (1)非零無窮小量的倒數(shù)是無窮大量，反之亦然。非零無窮小量的倒數(shù)是無窮大量，反之亦然。(2)無窮小量與有界變量的乘積還是無窮小量。無窮小量與有界變量的乘積還是無窮小量。(3)有限個無窮小量之和還是無窮小量。有限個無窮小量之和還是無窮小量。例例 6： 求下列極限求下列極限0214(1)lim;(2)limsincosxxxx 解解: :(1)0sin0 xx時時，為為無無窮窮小小量量01limsinxx (2)cos02xx 時時，為為無無窮窮小小量量24limcosxx 001(1)lim(sin);(2)lim(1)cos;xxxxxex 例例7: 求下列極限求下列極限111(3)lim lnsin;(4)limsin1xxxxxx 解解: :(1)0sin0 xx時時，為為無無窮窮小小量量0lim(sin)0 xxx (2)010 xxe 時時，為為無無窮窮