高中數(shù)學(xué)必修⑤112《余弦定理》教學(xué)設(shè)計

1、課題：必修1.1.2余弦定理三維目標(biāo)：1、知識與技能（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的合作探索，掌握余弦定理的內(nèi)容及其證明方法；（2）能運(yùn)用余弦定理與三角形內(nèi)角和定理及相關(guān)的三角知識解斜三角形的兩類基本問題；（3）通過簡單運(yùn)用，初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為下一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。2、過程與方法引領(lǐng)學(xué)生從已有的幾何、三角知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、實踐、交流，用各種方法推證余弦定理及其推論，在體驗知識的運(yùn)用過程和合作探究過程的同時，不斷認(rèn)識三角、向量知識的工具性作用及所帶來的分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想；通過用向量推導(dǎo)三角公式，體會向量的強(qiáng)大

2、威力，鍛煉自己的抽象思維能力和推理論證能力；通過公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，進(jìn)一步體會三角知識的本質(zhì)聯(lián)系以及數(shù)學(xué)工具應(yīng)用的廣泛性與重要性；培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣以及解題的規(guī)范性。3、情態(tài)與價值觀（1）培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。（2）通過三角知識的進(jìn)一步拓展和運(yùn)用，體會數(shù)學(xué)知識抽象性、概括性和廣泛性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識，培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，為遠(yuǎn)大的志向而不懈

3、奮斗。（3）通過對三角知識的進(jìn)一步學(xué)習(xí)及探索，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、主動探索、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，并提高參與意識和合作精神；教學(xué)重點(diǎn)：用向量法推導(dǎo)余弦定理及其基本應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的探索、推導(dǎo)以及綜合運(yùn)用。教 具：多媒體、實物投影儀教學(xué)方法：合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法教學(xué)過程：一、雙基回眸 科學(xué)導(dǎo)入：同學(xué)們，上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正弦定理，通過初步運(yùn)用，我們進(jìn)一步感受到了三角知識的強(qiáng)大威力和無限魅力請同學(xué)們回顧一下正弦定理所帶來的三角公式：若在中，已知和角A即已知兩邊及夾角，怎樣求另一邊BC？能直接用正弦定理求嗎？正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，

4、即顯然不能，能否還有其它的關(guān)于邊角的公式呢？有了正弦定理，是不是應(yīng)該還有余弦定理呢？今天，我們一起探討這個問題二、 創(chuàng)設(shè)情境 合作探究：【創(chuàng)設(shè)情境】下面，我們就來解決上面提出的問題：在中，已知和角A即已知兩邊及夾角，怎樣求另一邊BCC b aA c B【分析】聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。【合作探究】 A如圖 設(shè)，那么，則 C B 從而 同理可證 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即 【繼續(xù)探

5、究】 這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？（引導(dǎo)學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論： 【開拓視野】（根據(jù)班級學(xué)生實際情況，可與學(xué)生交流一下下面的兩種推導(dǎo)方法，一是進(jìn)一步鞏固相關(guān)知識的運(yùn)用；而是感受各種數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)和聯(lián)系。） 幾何法：在中，已知，和角，求。（即用、表示）分兩種情況討論(證明過程略)得出余弦定理：（當(dāng)為銳角、直角或鈍角時都成立，特別是當(dāng)為直角時即表現(xiàn)為勾股定理的形式）坐標(biāo)法：利用兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)出余弦定理：（這里點(diǎn)的坐標(biāo)對角是銳角、直角或鈍角都成立）同理，可得：，；?！军c(diǎn)評】從而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三

6、角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角?！舅伎肌抗垂啥ɡ碇赋隽酥苯侨切沃腥吰椒街g的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？（引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)）若ABC中，C=，則，這時由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。三、互動達(dá)標(biāo) 鞏固所學(xué)：問題.1在三角形ABC中，已知b=60cm,c=34cm，A=41.解三角形（角度精確到1,邊長精確到1cm）:【分析】直接運(yùn)用正弦定理求出其它元素即可【解析】 所以， 再用正弦定理求出【點(diǎn)評】此問題是一個最基本的問題，第一步直接利用余弦定理求出一條邊，然后再運(yùn)用

7、正弦利用正弦定理求出其它的元素。此題是一個運(yùn)用兩定理的基本問題。關(guān)于這方面的綜合題，兩個定理經(jīng)常要結(jié)合起來運(yùn)用。對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計算器。問題.2例2在ABC中，已知，解三角形【分析】顯然，可直接運(yùn)用余弦定理的推論來求解。【解析】由余弦定理的推論得：cos；cos；【分析】解決這類基本問題關(guān)鍵是運(yùn)算能力，所以要通過這些題目培養(yǎng)運(yùn)算能力。四、思悟小結(jié)：知識線：（1）余弦定理及其推論；（2）相關(guān)的三角公式和性質(zhì)；（3）向量性質(zhì)的運(yùn)用。思想方法線：（1）公式法； （2）等價轉(zhuǎn)化思想；（3）分類討論思想方法。題目線：（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例

8、；（2）利用余弦定理解決的基本問題已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。五、針對訓(xùn)練 鞏固提高：【小試牛刀】在三角形ABC中，已知下列條件，解三角形（角度精確到0.1,邊長精確到0.1cm）: (1) a=2.7cm , b=3.6cm , C=82.2.(2) b=12.9cm ,c=15.4cm , A=42.3.(3) a=7cm , b=10cm ,c=6cm.(4) a=9.4cm , b=15.9cm ,c=21.1cm.【鞏固提高】1.在中，一定成立的等式是：ABCD2.在ABC 中，則A=。3.如果在中，那么B等于：A B C D4.在中，這個三角形是_三角形。5.鈍角三角形的三邊長為，其最大角不超過，則的取值范圍是：ABCD6.在中，已知，求和角A