從平行公理說起

1、從平行公理說起從平行公理說起微分幾何的歷史和現(xiàn)狀簡介微分幾何的歷史和現(xiàn)狀簡介幾何的歷史與現(xiàn)狀幾何的歷史與現(xiàn)狀 古代人們在生產(chǎn)活動中，由于丈量土地，設計房屋等，逐步有了幾何圖形的概念。 古希臘幾何學家歐幾里得(Euclid)創(chuàng)立的歐氏幾何，影響了人類幾千年的歷史。通過后人的不斷完善，建立了嚴密的公理體系。 十六世紀黎曼(Riemann)首先對歐氏幾何的平行公理提出質(zhì)疑質(zhì)疑，建立了黎曼幾何。隨后又有了羅拔切夫斯基(Lobachevsky)幾何，也叫雙曲幾何。 自從發(fā)明了微積分以后，在幾何中應用微積分的工具，產(chǎn)生了微分幾何。 上世紀初，愛因斯坦(Einstein)創(chuàng)立了相對論。由于理論物理研究的需要

2、，微分幾何得到了迅猛的發(fā)展。 當前，微分幾何是數(shù)學研究領域中一個非?；钴S的分支。它與微分方程、拓撲、分析等其他數(shù)學分支學科有著密切的聯(lián)系。幾何的歷史與現(xiàn)狀幾何的歷史與現(xiàn)狀平行公理平行公理 歐幾里德在他的名著幾何原本中，以5個基本假設為基礎，把當時人類已經(jīng)掌握的紛雜的幾何知識變成一個演繹系統(tǒng)，使用邏輯推理方法，一共推出了465個定理。 這個系統(tǒng)所依據(jù)的只是幾個雖然沒有加以證明，但是看起來相當明顯，并且合乎人類經(jīng)驗的假設。這幾個“不證自明”的事實叫做公理公理(axioms)。平行公理平行公理這些公理一共有五個： 1. 兩點間必可連一條直線；兩點間必可連一條直線；2. 直線可以任意延長；直線可以任意

3、延長； 3. 已知圓心及半徑可作一圓；已知圓心及半徑可作一圓； 4. 凡直角皆相等；凡直角皆相等；5. 兩直線兩直線 AB，CD 與另一直線交于與另一直線交于 E，F(xiàn)，若，若 ，則兩直線在，則兩直線在 BD 側相交。側相交。BEFEFD ADFECB平行公理平行公理 第五個公理就是有名的平行公理。 它不像前面的四個公理那么自明，亦即那么簡單明了，那么眾所公認。 雖然前人并不懷疑歐氏幾何描述物理空間的真實性，但從有原本開始，大家就懷疑平行公理是否可以由其他的四個公理推出，或者可以用另一個更不證自明的公理來代替。 平行公理平行公理 平行公理通常以如下的等價形式出現(xiàn)：過直線外一點有唯一的一條直線與其

4、平行。過直線外一點有唯一的一條直線與其平行。所謂平行就是永不相交的意思，這就牽涉到“無窮”一個不很自明、無法親身體驗的觀念。 歐幾里得不采取后一種形式的平行公理，也許也是要使平行公理顯得更自明的緣故。A平行公理平行公理 這個平行公理在所有公理之中是最不明顯的，所以數(shù)學家或是對數(shù)學有興趣的人便想從前面的四條公理去推得第五條平行公理。 這努力延持了兩千年，后來證明這是不可能的，于是有了非歐幾何學的發(fā)現(xiàn)。這在人類思想史上是非常特別、有意思的事情，是西方數(shù)學和中國數(shù)學不同的地方。 平行公理平行公理 下文引自國際微分幾何學大師陳省身先生的一篇文章，原載于科學月刊第十八卷第六期。 平行公理平行公理 “九章

5、算經(jīng)是中國古代最有名的數(shù)學書，一共九章，第九章談的是所謂勾股。勾、股就是直角三角形中較短的兩條邊，一個叫做勾，另一個叫做股，而最長的那條邊便稱為弦。勾股定理也就是畢氏定理，所以它的發(fā)現(xiàn)，中國人也應該有份。但是在中國古代的幾何中，我無法找到類似三角形三內(nèi)角和等于180的結論，這是中國數(shù)學中沒有的結果?！?平行公理平行公理 “因此，得之于國外數(shù)學的經(jīng)驗和有機會看中國數(shù)學的書，我覺得中國數(shù)學都偏應用；講得過分一點，甚至可以說中國數(shù)學沒有純粹數(shù)學，都是應用數(shù)學。這是中國科學的一個缺點，這個缺點到現(xiàn)在還存在，大家都講應用，不注意基礎科學。當然應用很要緊，但是許多科學領域基本的發(fā)現(xiàn)都是在基礎科學。”球面幾

6、何球面幾何 突破歐幾里德平行公理的束縛，如果我們將平行公理換成 我們就得到球面幾何。在這種幾何體系中，也滿足歐氏幾何的前四條公理。 生活在地球上的人們，將大地看作平面。大地上的直線直線，是地球表面上連接兩點的最短曲線，就像筆直的鋼軌。如果從宇宙空間來看，其實是地球表面的大圓，即過球心的平面與球面的交線。P5. 過直線外一點沒有直線與已給直線平行過直線外一點沒有直線與已給直線平行球面幾何球面幾何 在球面幾何中， 的內(nèi)角和大于 事實上，有下面的公式： 式中 為球面半徑， 表示 的面積。.2(/)ABCABCSR RABCSBAABCCABC非歐幾何非歐幾何 如果我們將平行公理換成： 我們就得到非歐

7、幾何(羅拔切夫斯基幾何)，也叫雙曲幾何。在這種幾何體系中，也滿足歐氏幾何的前四條公理。5. 過直線外一點有兩條直線與已給直線平行過直線外一點有兩條直線與已給直線平行非歐幾何非歐幾何 非歐幾何的基本模型是龐加萊(Poincare)雙曲平面?？紤]右手直角坐標平面的上半平面 該平面上的 “直直線線”是圓心在 軸上的半圓 以及垂直于 軸的直線.( , )|0Px yy22( , )|()x yyRxayxaRaRaP.xcxx非歐幾何非歐幾何 在非歐幾何中， 的內(nèi)角和小于 這時，有下面的公式： 式中 為雙曲平面 的曲率， 表示 的面積。ByxCAABC.2(/)ABCABCSR ABCS21/RPAB

8、CGauss-Bonnet公式公式 歐氏幾何、非歐幾何和球面幾何的多邊形外角和可以用Gauss-Bonnet公式統(tǒng)一寫成： 式中K為曲率， 為多邊形內(nèi)部的區(qū)域，dA為面積元素，L為邊界曲線的長度，ds為邊界曲線弧長的微分， 為邊界曲線的測地曲率， 為第i 個外角。102 .LngiiKdAdsgiAii解析幾何解析幾何 歐幾里得幾何之后，第二個重要的發(fā)展是坐標幾何。 法國哲學家、數(shù)學家笛卡兒 (Descartes) 為了研究幾何，引進了坐標的概念，因此可用解析的方法來處理幾何的問題。 通過建立坐標系，將平面上或空間中的點與有序數(shù)組 或 建立起一一對應，某些圖形作為點集其坐標滿足某個方程，從而可

9、以使用代數(shù)的知識作為研究幾何的有力工具。( , )x yyxOz( , , )P x y z( , , )x y z解析幾何解析幾何 有了坐標系之后，使可研究的圖形的范圍擴大，除了直線的一次方程式，或者圓周的二次方程式，我們還可以取任意的方程 ，討論所有其坐標 適合該方程的點的軌跡。因此許多用幾何的方法很難處理的曲線，在解析化之后，都可從表示它的方程式中得到有關的幾何性質(zhì)。 ( , )0f x y ( , )x y解析幾何解析幾何 同時，研究的圖形不再局限在二維的平面上，可推廣至高維的空間。解析幾何把幾何研究的范圍大大地擴大了，而科學發(fā)展的基本要求，就是要擴大研究的范圍，了解更多的情形。笛卡兒

10、的解析幾何，便達到了這個目的，使幾何學邁入一個新的階段。群的觀念群的觀念 第三個發(fā)展是群群(group)的觀念在幾何中的應用。 群是數(shù)學中一個基本的概念。在一個集合 G 中如果定義了一個運算(稱為乘法) 滿足下列條件： 1. 結合律： 2. 有單位元： 使得 3. 有逆元： 使得 則稱 G 是一個群。:( , ),GGGa ba b,e aa a eaaG ,eG ()() ,a bcab caG ,bG ,a be b ae群的觀念群的觀念 歐氏幾何研究的是幾何對象經(jīng)剛體運動群后不變的幾何性質(zhì)。這個觀念立刻便有了重要的發(fā)展。既然可以討論剛體運動群，當然還可以討論更大的群，看是不是有些性質(zhì)不但

11、在剛體運動群下不變，在更大的群之下也是不變的。歷史上最主要的例子是射影幾何。什么是射影空間 夜晚絢麗的星空， 星星組成各種各樣的圖形。 它們在空間的位置可能是這樣的。什么是射影空間什么是射影空間我們看到的牛郎星。什么是射影空間什么是射影空間 所謂射影空間，就是將空間中過原點的直線看作一個“點”，由這樣的“點”構成的空間叫做射影空間。射影幾何就是研究由這樣的點構成的幾何圖形的性質(zhì)。例如，空間中過原點的平面構成了射影空間中的“直線”。群的觀念群的觀念 研究幾何對象在射影群之下不變的性質(zhì)是所謂射影幾何。射影幾何的發(fā)展，把幾何的觀念推廣了，不只是有普通的歐氏幾何，也可以討論在射影群作用下不變的性質(zhì)。有

12、許多經(jīng)運動群后不變的性質(zhì)，在射影變換后是變了的，像距離、角度，但是還有些更一般的性質(zhì)在射影下是不變的，像平行、相交。這些性質(zhì)能經(jīng)過比運動群大一點的射影群作用不變，在幾何上自有其重要的意義。 群的觀念群的觀念 在幾何學的發(fā)展之中，有許許多多幾何學，像歐氏幾何學、射影幾何學，及其他種種幾何學，自然就要有一個人把它綜合起來，那就是德國的數(shù)學家克萊恩(Klein)。群的觀念群的觀念 他在二十二歲的時候，前往德國小城Erlangen的一所大學任教。新教授上任必須做一次公開演講，而他講演的結果 Erlangen program(愛爾朗根綱領)，就是這個新幾何學。群的觀念群的觀念 他把幾何學建立在群的觀念上

13、：一個空間有一個變換群，允許把空間的圖形從這個位置移到另一個位置。 因此有了一個群之后，便有一種幾何，它研究所有經(jīng)過這個變換群不變的幾何性質(zhì)。這個群可以是歐幾里得運動群，也可以是射影變換群，或者其他種種的群。因為群的選擇不同，也就得到許多不同的幾何學，其中包括非歐幾何學。微分幾何與黎曼幾何微分幾何與黎曼幾何 在這階段前，還有黎曼(Riemann)幾何的發(fā)展，這是笛卡兒坐標幾何的自然推廣。 在 m 維空間 中，一個點 到原點的距離為 d , 則 即這個點到原點距離的平方是坐標的一個二次型。而黎曼不但用坐標，他還用坐標的微分，于是硬把笛卡兒幾何局部化。1( ,)mxxmR22,idx微分幾何與黎曼

14、幾何微分幾何與黎曼幾何 因此黎曼幾何可說是一個局部化的幾何。黎曼幾何主要建構在弧長 s 上，弧長微分的平方等于坐標的一個二次微分式，即 。用弧長即可建立一個幾何，因為既然有了ds，便可計算連接兩點的曲線的長度，也就是弧長?！皽y地線” (geodesic)是指在兩點間使弧長最短的那條曲線，它是平面上直線的推廣。有了弧長后，便可以有面積、角度及其他種種概念。 22idsdx微分幾何與黎曼幾何微分幾何與黎曼幾何 黎曼幾何最初在二維的情形是高斯(Gauss)發(fā)展的，他在1827年寫了一本差不多五十頁的小冊子，研究在二維(即曲面)的情形及這樣的 之下，所能夠發(fā)展的幾何性質(zhì)。他的目的是為了應用，因為當時的

15、德國政府要他主持一個測量工作，為了給這個測量工作一個理論甚礎，于是高斯寫下了這篇在微分幾何上最重要的論文，微分幾何自此誕生。以前關于把微積分用在幾何上的問題，只能說是微積分在幾何學上的應用，在高斯這篇文章之后，微分幾何便成了一門獨立的學問，就是從 得到一切的幾何性質(zhì)。2ds2ds微分幾何與黎曼幾何微分幾何與黎曼幾何 1854年，黎曼在為取得大學教書資格的公開演講上，發(fā)表了黎曼幾何的第一篇論文。黎曼幾何并不像其他我們所談的歐幾里得幾何，或者克萊恩的Erlangen program幾何，或者是射影幾何，需要整個的空間。在黎曼幾何的情形之下，我們只需要空間的一部分，因為 有意義，我們便可量弧長、面積

16、、角度等幾何性質(zhì)，不需要知道全部的空間。也就是說，在這樣的一個小塊里，便可發(fā)展全部的幾何性質(zhì)，這是黎曼幾何革命性的觀念，使幾何局部化，這件事和物理上的場論是完全符合的。2ds微分幾何與黎曼幾何微分幾何與黎曼幾何 真正使黎曼幾何受到重視的是愛因斯坦的廣義相對論。大致說起來，愛因斯坦的廣義相對論是要把物理幾何化，也就是說把物理的性質(zhì)變?yōu)閹缀蔚男再|(zhì)，因此黎曼幾何就成為理論物理學家一定要念的一門數(shù)學。到了黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因為黎曼空間是高維的，所以它的曲率概念就變得相當復雜。在愛因斯坦的廣義相對論中的基本公式里，大致說起來，物理的力是一個曲率；數(shù)學家講曲率和物理學家講力、位勢(potent

17、ial)、速度，是完全可以把它們連在一起的。聯(lián)絡、向量叢、規(guī)范場論聯(lián)絡、向量叢、規(guī)范場論 在黎曼幾何中，Levi-Civita平行性是一個重要的觀念。Levi-Civita 認為在黎曼幾何(包括廣義相對論里的其中一種，稱為洛倫茲幾何)都有一個很基本的性質(zhì)，那就是平行性；在這個時候，空間不再是只用一個坐標系就能表示的空間，而是需要很多不同的坐標系才能表現(xiàn)的“流形” (manifold)，這樣又把幾何研究的空間推廣了。什么是流形？什么是流形？ 所謂流形，簡單來說，就是將 n 維歐氏空間中的一些開集通過適當?shù)姆绞健肮饣钡卣澈掀饋怼Ｓ纱说玫降膸缀螌ο?，稱為 n 維流形。 以球面為例，通過球極射影，除

18、了北極 N 之外，球面 上每一點 P 一一地對應于平面 上的一點 。NP),(yx),(yx11yx 同樣地，在北極 N 放上一個平行的平面 ，從南極 S 向此平面作球極射影，P 點對應到平面 上的點 。 將平面 上的點 與平面 上的點 按照這種方式粘合起來，就得到一個流形球面 。NSP),(yx),(vu1222),(vu1),(yx),(vu22S聯(lián)絡、向量叢、規(guī)范場論聯(lián)絡、向量叢、規(guī)范場論 在流形上，經(jīng)常要作坐標變換，就好比現(xiàn)代人，不只穿一件衣服，要常常換。也許有些人不太能接受這樣“奇裝異服”式的換坐標，但是沒有關系，愛因斯坦花了七年的時間，才終于接受坐標可以轉換的概念，從而由狹義相對論進展到廣義相對論。 空間中有不同的坐標系，那么麻煩就來了，因為幾何的性質(zhì)是和坐標系的選取有關。不過不要緊，只要我們能控制坐標變換的性質(zhì)，使在變換前具有的性質(zhì)，經(jīng)過變換之后仍為我們所控制，那么換坐標就沒關系了，這是近代幾何學比較困難的地方。聯(lián)絡、向量叢、規(guī)范場論聯(lián)絡、向量叢、規(guī)范場論 用以表示流形的坐標系是任意的，因此可能是非線性的坐標，這在處理上就變得比較困難；但是我們可以取線性的空間去逼近流形。換句話說，雖然流形本身是非線性的，但在流形上的一點，都有一個和普通空間一樣的線性空間，即切空間。這些切空間之間原本是沒