二次曲線的直徑

1、22111222132333( , )2220F x ya xa xya ya xa ya(1)（2）的交點(diǎn)的交點(diǎn). 00,xxXtyyYt210020000( , )2( ,)( ,)( ,)0X Y tXF x yYF x ytF x y與過(guò)點(diǎn)與過(guò)點(diǎn) 且具有方向且具有方向 的直線的直線00( ,)x y:X Y5.4 二次曲線的直徑二次曲線的直徑1. 二次曲線的直徑二次曲線的直徑 在在5.1中我們已經(jīng)討論了直線與二次曲線相交中我們已經(jīng)討論了直線與二次曲線相交的各種情況，當(dāng)直線平行于二次曲線的某一非漸近方的各種情況，當(dāng)直線平行于二次曲線的某一非漸近方向時(shí)，這條直線與二次曲線總交于兩點(diǎn)向時(shí)，這

2、條直線與二次曲線總交于兩點(diǎn)(兩個(gè)不同實(shí)的，兩個(gè)不同實(shí)的，兩重合實(shí)的或一對(duì)共軛虛的兩重合實(shí)的或一對(duì)共軛虛的),這兩點(diǎn)決定了二次曲線的這兩點(diǎn)決定了二次曲線的一條弦一條弦.現(xiàn)在我們來(lái)研究二次曲線上一族平行弦的中點(diǎn)軌跡現(xiàn)在我們來(lái)研究二次曲線上一族平行弦的中點(diǎn)軌跡. 求二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡求二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡.即即 ，解解0),(YX而而 是平行于方向是平行于方向 的弦的中點(diǎn)，的弦的中點(diǎn)，00(,)xy:X YYX :設(shè)設(shè) 是二次曲線的一個(gè)非漸近方向，是二次曲線的一個(gè)非漸近方向，:X Y那么過(guò)那么過(guò) 的弦的方程為的弦的方程為00( ,)x y00,.xxXtyyYt它與二次曲線它與

3、二次曲線 的兩交點(diǎn)的兩交點(diǎn)(即弦的兩端點(diǎn)即弦的兩端點(diǎn))由下列二次方程由下列二次方程( , )0F x y 210020000( , )2( ,)( ,)( ,)0X Y tXF x yYF x ytF x y(1)從而有從而有12( , )( , )0,XF x yYF x y(5.4-1)兩根兩根 與與 所決定所決定,因?yàn)橐驗(yàn)?為弦的中點(diǎn)，所以有為弦的中點(diǎn)，所以有1t2t00( ,)x y120,tt100200(,)(,)0.XF x yYF x y這就是說(shuō)平行于方向這就是說(shuō)平行于方向 的弦的中點(diǎn)的弦的中點(diǎn) 的的坐標(biāo)滿足方程坐標(biāo)滿足方程,X Y00(,)xy即即111213122223()

4、()0,X a xa yaY a xa ya(5.4-2)或或上列方程的一次項(xiàng)系數(shù)不能全為零，這時(shí)因?yàn)槿羯狭蟹匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)不能全為零，這時(shí)因?yàn)槿魟t則一條直線一條直線.(5.4-3)所以所以(5.4-3)或或(5.4-1)是一個(gè)二元一次方程，它是是一個(gè)二元一次方程，它是反過(guò)來(lái)，反過(guò)來(lái)，111212221323()()0.a Xa Y xa Xa Y ya Xa Y111212220a Xa Ya Xa Y2211122211121222( , )2()()0,X Ya Xa XYa Ya Xa Y Xa Xa Y Y這與這與 是非漸近方向的假設(shè)矛盾，是非漸近方向的假設(shè)矛盾，:X Y12( ,

5、)( , )0,XF x yYFx y(5.4-1)定理定理 5.4.1二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)二次曲線的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡是一條直線軌跡是一條直線.),(00yx如果點(diǎn)如果點(diǎn)滿足方程滿足方程(5.4-1)100200(,)(,)0,XF xyYFxy(5.4-1)那么方程那么方程(1)中將有絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的兩個(gè)根，中將有絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的兩個(gè)根，210020000( , )2( ,)( ,)( ,)0X Y tXF x yYF x ytF x y(1)點(diǎn)點(diǎn) 就是具有方向就是具有方向 的弦的中點(diǎn)，的弦的中點(diǎn)，),(00yxYX,YX,因此方程因此方程(5.4-1)為一族平行于某一

6、非漸近方向?yàn)橐蛔迤叫杏谀骋环菨u近方向 的弦的中點(diǎn)軌跡方程的弦的中點(diǎn)軌跡方程.得到了結(jié)論定理！得到了結(jié)論定理！下面引進(jìn)二次曲線直徑的概念下面引進(jìn)二次曲線直徑的概念定義定義 5.4.1 二次曲線的平行弦中點(diǎn)的軌跡二次曲線的平行弦中點(diǎn)的軌跡叫做這個(gè)二次曲線的直徑，它所對(duì)應(yīng)的平行弦，叫叫做這個(gè)二次曲線的直徑，它所對(duì)應(yīng)的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦；而直徑也叫做共軛于做共軛于這條直徑的共軛弦；而直徑也叫做共軛于平行弦方向的直徑平行弦方向的直徑.（5.4-4）有多少條直徑有多少條直徑?12( , )( , )0.F x ykF x y推論推論 如果二次曲線的一族平行弦的斜率為如果二次曲線的一族平行弦

7、的斜率為 ，那，那么共軛于這族平行弦的直徑方程是么共軛于這族平行弦的直徑方程是k中心與非中心二次曲線的直徑中心與非中心二次曲線的直徑1. 中心二次曲線中心二次曲線中心滿足中心滿足:(2)(3)直徑方程直徑方程:12( , )( , )0,XF x yYFx y所以所以, 直徑過(guò)中心直徑過(guò)中心.所有直徑都過(guò)中心所有直徑都過(guò)中心1111213( , )0,F x ya x a y a2112223( , )0,F x ya x a y a111213122223()()0,X a x a y aY a x a y a1. 非中心二次曲線非中心二次曲線非中心二次曲線滿足非中心二次曲線滿足(2)(3)

8、又分兩種情形又分兩種情形或或無(wú)心曲線：無(wú)心曲線：直徑平行漸近方向直徑平行漸近方向因直徑方程因直徑方程:12( , )( , )0,XF x yYF x y111213122223aaaaaa111213122223aaaaaa1111213( , )0,F x ya x a ya2112223( , )0,F x ya x a ya111213122223aaaaaa111212221323()()0.a X a Y xa X a Y y a X a Y方向矢量方向矢量12221112(): ()a Xa Ya Xa Y11121222aakaa22221212(): ()ka Xa Yka

9、Xa Y2212:aa容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證2212:aa是漸近方向是漸近方向;因?yàn)榇藭r(shí)：因?yàn)榇藭r(shí)：22111222( , )20X Ya Xa XYa Y線心曲線：線心曲線：直徑就是其中心直線直徑就是其中心直線可以化為可以化為因?yàn)橹睆椒匠桃驗(yàn)橹睆椒匠?31112122223aaakaaa111212221323()()0.a Xa Y xa Xa Y y a Xa Y111212221323()()0.a Xa Y xa Xa Y ya Xa Y12( , )( , )0,XF x yYF x y或或定理定理 5.4.2 中心二次曲線的直徑通過(guò)曲線中心二次曲線的直徑通過(guò)曲線中心，無(wú)心二次曲線的直徑

10、平行于曲線的漸近方向中心，無(wú)心二次曲線的直徑平行于曲線的漸近方向,線心二次曲線的直徑只有一條線心二次曲線的直徑只有一條,就是曲線的中心直線就是曲線的中心直線.12( , )( , )0,XF x yYFx y1111213( ,)0,Fx ya xaya11121222aaaa 因此當(dāng)因此當(dāng) ，即二次曲線為中心曲線時(shí)，即二次曲線為中心曲線時(shí),它的全部直徑屬于一個(gè)中心直線束，這個(gè)直線束的它的全部直徑屬于一個(gè)中心直線束，這個(gè)直線束的中心就是二次曲線的中心；中心就是二次曲線的中心； 當(dāng)當(dāng) ，即，即二次曲線為無(wú)心曲線時(shí)，直徑屬于一個(gè)平行線束；二次曲線為無(wú)心曲線時(shí)，直徑屬于一個(gè)平行線束；11121312

11、2223aaaaaa0),(2322122ayaxayxF例例 1 求橢圓或雙曲線求橢圓或雙曲線 的直徑的直徑.解解12( , )( , )0,XF x yYF x y(5.4-1)顯然，直徑通過(guò)曲線的中心顯然，直徑通過(guò)曲線的中心22221xyab2222( , )10,xyF x yab 12( , ),xF x ya22( , ).yF x yb 220,XYxyab根據(jù)根據(jù)(5.4-1),共軛于非漸近方向共軛于非漸近方向 的直徑方程是的直徑方程是:X Y(0,0)例例 2 解解求拋物線求拋物線 的直徑的直徑.pxy22, 02),(2ypxyxF,),(1pyxF.),(2yyxF所以共

12、軛于非漸近方向所以共軛于非漸近方向 的直徑為的直徑為YX :, 0YyXp即即, pYXy 所以拋物線所以拋物線 的直徑平行于它的漸近方向的直徑平行于它的漸近方向pxy22. 0:112( , )( , )0,XF x yYF x y(5.4-1)解解直徑方程為直徑方程為即即例例 3 求二次曲線求二次曲線的共軛于非漸近方向的共軛于非漸近方向 的直徑的直徑.:X Y1( , )1,F x yxy 2( , )1,F x yxy (1)(1) 0,X x yY x y ()(1)0.XYxy因?yàn)橐阎€因?yàn)橐阎€ 的漸近方向?yàn)榈臐u近方向?yàn)?),(yxF:1:1,X Y 所以對(duì)于非漸近方向所以對(duì)于

13、非漸近方向 一定有一定有 YX :,XY03222),(22yxyxyxyxF2. 共軛方向與共軛直徑共軛方向與共軛直徑所以有所以有其中其中(4)12221112:():()XYa Xa Ya Xa Y 我們把二次曲線的與非漸近方向我們把二次曲線的與非漸近方向 共軛的直徑方向共軛的直徑方向:X YYX :叫做非漸近方向叫做非漸近方向 的共軛方向，的共軛方向，:X Y1222() ,Xa Xa Y t1112() ,Ya Xa Y t0t 10,xy因此曲線的共軛于非漸近方向因此曲線的共軛于非漸近方向 的直徑為的直徑為:X Y因此有因此有所以所以另外又有另外又有 ，0t因此得以下結(jié)論因此得以下結(jié)

14、論2 211122212122222 21112221112(,)()2()()()X Yaa Xa Y taa Xa Ya Xa Y taa Xa Y t222211 2212111222()(2)a aaa Xa XYa Y t22(,)IX Y t(, )0,X YYX :因?yàn)橐驗(yàn)?為非漸近方向，為非漸近方向，:X Y這就是說(shuō)，中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍然這就是說(shuō)，中心二次曲線的非漸近方向的共軛方向仍然是非漸近方向，而在非中心二次曲線的情形是漸近方向是非漸近方向，而在非中心二次曲線的情形是漸近方向.(5.4-5)非漸近非漸近方向方向當(dāng)當(dāng) 即二次曲線為中心曲線時(shí)，即二次曲線為中心

15、曲線時(shí)， ；20I (,)0X Y當(dāng)當(dāng) 即二次曲線為非中心曲線時(shí)，即二次曲線為非中心曲線時(shí)， 20I (,)0.X Y111222()0.a XXaXYX Ya YY從從(5.4-5)式看出，兩個(gè)方向式看出，兩個(gè)方向 與與 是對(duì)稱(chēng)是對(duì)稱(chēng)的，因此對(duì)中心曲線來(lái)說(shuō)，非漸近方向的，因此對(duì)中心曲線來(lái)說(shuō)，非漸近方向 的共的共軛方向?yàn)檐椃较驗(yàn)?，而，而 的共軛方向就是的共軛方向就是:X Y:XY:XY:XY:X Y:X Y 由由(4)得二次曲線的非漸近方向得二次曲線的非漸近方向 與它的與它的共軛方向共軛方向 之間的關(guān)系之間的關(guān)系YX :YX(4)12221112:():()XYa Xa Ya Xa Y22(

16、,)IX Y t),(YX 中心曲線的一對(duì)具有相互共軛方向中心曲線的一對(duì)具有相互共軛方向的直徑叫做一對(duì)共軛直徑的直徑叫做一對(duì)共軛直徑.定義定義 5.4.2設(shè)設(shè)代入代入(5.4-5)，得，得(5.4-6)這就是一對(duì)共軛直徑的斜率滿足的關(guān)系式這就是一對(duì)共軛直徑的斜率滿足的關(guān)系式.111222()0.a XXaXYX Ya YY,YkX,YkX221211()0,a kkakka(5.4-5), 01122akkb即即.22abkk(5.4-7)有著關(guān)系有著關(guān)系12222byaxkk例如橢圓例如橢圓的一對(duì)共軛直徑的斜率的一對(duì)共軛直徑的斜率與與, 0)(111222akkakka而雙曲線而雙曲線 的一對(duì)共軛直徑的斜率的一對(duì)共軛直徑的斜率 與與 有著關(guān)系有著關(guān)系22221xyabkk.22abkk (5.4-8)在在(5.4-5)中，如果設(shè)中，如果設(shè)那么有那么有因