專題10數(shù)列與不等式的綜合問題【解析版】

1、落戰(zhàn)2020高考,沖破壓軸題講與練第二章數(shù)列與不等式專題io數(shù)列與不等式的綜合問題【壓軸綜述】縱觀近幾年的高考命題，考查常以數(shù)列的相關(guān)項以及關(guān)系式，或數(shù)列的前n項和與第n項的關(guān)系入手，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式與等差數(shù)列或等比數(shù)列白定義展開，求解數(shù)列的通項、前n項和，有時與參數(shù)的求解、數(shù)列不等式的證明等加以綜合.數(shù)列與不等式的結(jié)合，一般有兩類題：一是利用基本不等式求解數(shù)列中的最值；二是與數(shù)列中的求和問題相聯(lián)系 ，證明不等式或求解參數(shù)的取值范圍 ，此類問題通常是抓住數(shù)列通項公 式的特征，多采用先求和后利用放縮法或數(shù)列的單調(diào)性證明不等式，求解參數(shù)的取值范圍.本專題通過例題說明此類問題解答規(guī)律與方法函數(shù)方

2、法：即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實數(shù)的不等式，通過對關(guān)于正實數(shù)的不 等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式；放縮方法：數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到； 比較方法：作差或者作商比較.【壓軸典例】例1. （2013全國高考真題（理）設(shè)nRC的三邊長分別為 an,bn,Cn, AnRG的面積為S, n=1,2,3,.c an ban右'bi>c, bi + c = 2ai, an+i=an, bn+i=, cn+1 =,貝U ()A. Sn為遞減數(shù)列B. Sn為遞增數(shù)列C. S2n 1為遞增數(shù)列，S 2n為遞減數(shù)列D. . S2n 1為遞減數(shù)列，S 2n

3、為遞增數(shù)列【答案】B4al2 al1 , P "(ac) 3a；215 2a1 ；12a2a143a12&76a1c3a1 a1 2a1 a16 2S2 J a1 ；,2 2 3 36同理，a3ai ,.b25aiai429 , 8ai c33ai ai-73，3aiai3al 5ai3,52 曰.q Q47)S3 - j ai)S3 S2 .-Gai ,228 8 i628例2. （20i8 江蘇高考真題）n已知集合 A x|x 2n i,n N,B x|x 2 ,n N .將AUB 的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列an.記Sn為數(shù)列an的前n項和，則使得&

4、i2an i成立的n的最小值為【答案】27【解析】 k_k i2k設(shè) an =2，則 Sn (2 i i)+(2 2 i)+L (2 2i) 2 2 L 2 k2(i2 ) c2k 2 小 i c-222i 2 1 22 c /口 2 k 2 k ik . . . k i、2k i、 . - k i -.5 .由 Sn i2ani得 222 i2(2i),(2)20(2 ) i4 0,22 ,k 6所以只需研究25an26是否有滿足條件的解,此時 Sn (2 i i)+(2 2 i)+L一-一 2(2m i) 22L25 m2 25 i 2 , an+i 2m i , m 為等差數(shù)列項數(shù)，且m

5、 i6.由 m2 25 i 2 i2(2m i),m2 24m 50 0, m 22,n m 5 27得滿足條件的n最小值為27.例3. （20i8 浙江高考模擬）設(shè)數(shù)列叫M的前項和分別為瑞足，其中% =-而+加丸=同，使 = * 成立的最大正整數(shù) ，,前出+ %。】白=.【答案】6. ii4.【解析】根據(jù)題意，數(shù)列an中，an=-3n+20,則數(shù)列an為首項為i7,公差為-3的等差數(shù)列，且當(dāng) nW 6 時，an>0,當(dāng) n>7 時，an< 0,又由 bn=|a n| ,當(dāng) n<6 時，bn=an,當(dāng) n>7 時，bn=-a n ,則使 Tn=Sn 成立的最大正整

6、數(shù)為6, T20i8 + S20i8= ( ai + a2+a6+a7+a8+a 20i8)+(bi + b2+b6+b7 + b8+b20i8) = ( ai + a2+a6 + a7+a8 +a20i8) + ( ai+a2+a6-a 7-a 8-a 20i8)(17 * 2) *62 x二 114=2 (ai+a2+a6)=*,故答案為：6, ii4例4. （2019 江西師大附中高考模擬（文）數(shù)列an中的項按順序可以排成如圖的形式，第一行1項，排an的前n項和為Sn ,則ai;第二行2項，從左到右分別排 a2, a3；第三行3項，依此類推，設(shè)數(shù)列滿足Sn 2019的最小正整數(shù)n的值為（

7、）44433廿汽4*3A. 20B. 21C. 26D. 27【答案】B【解析】第一行為4,其和為4,可以變形為：T1 2 3 2;第二行為首項為4,公比為3的等比數(shù)列，共2項，其和為:_24 1 321 32 32 2；4 1 3332 33 2；1 3第三行為首項為4,公比為3的等比數(shù)列，共3項，其和為工依此類推：第n行的和：Tn 2 3n 2；則前6行共：1 2 3 4 5 6 21個數(shù)前6行和為：S212 3 223222362233236123715 2172滿足Sn 2019而第六行的第6個數(shù)為：4 35 972,則S20 S21 972 1200 2019滿足Sn 2019的最小

8、正整數(shù)n的值為：21本題正確選項：B1例5. （2019 內(nèi)蒙古高考模擬（理）數(shù)列an 1的前n項和為Sn,若s , Sm, Sn成等比數(shù)列 m 1,n n 1則正整數(shù)n值為an n n111 n nr . . Sn又Sm,Sn成等比數(shù)列mSmS1Sn，2m222，即 m 2m0,1 22，結(jié)合m >1可得mn 8,故答案為8.例6. （2016 天津高考真題 （理）已知1是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d,對任意的黃毛川"/升是(i)設(shè)，求證：數(shù)列7是等差數(shù)列;(n)設(shè)Ul = dTn= y(-D%«e/vJI求證:（i）詳見解析（n）詳見解析（i）證明：由題意得,

9、有“ = %： 1-£ =。+ l/ + 2- %/+ 1 =加與 +1因此 +% = 2d(% + z-u.l + i)=,所以I'/是等差數(shù)列.（n）證明:丁小一* + 硝 + (-吊 + 硝 + + ( 2n-1 +=24/ + /+ .+ + %n(Qz + a2n)=2d .所以一 ) ,“ (1 ) <* 必 + 12d2 "I 2d例7. （2016 四川高考真題（理）已知數(shù)列"的首項為1, 工為數(shù)列"'的前n項和,其中q>0,(I)若3cMM&+2成等差數(shù)列,求數(shù)列 0的通項公式;(n)設(shè)雙曲線冊 的離

10、心率為 、，且-3,證明： *3.【答案】(I)*=2"，(叱曠)；(n)詳見解析.【解析】(I )由已知，=%+ 1品+ 2 =再+1 + 1,兩式相減得到2 = 9七+ 1浦21 .又由% =心1 +1得到=眄,故%"產(chǎn)眄對所有內(nèi)之1都成立.所以，數(shù)列%)是首項為1,公比為q的等比數(shù)列.從而與1由2% 小 勺12成等差數(shù)列，可得 現(xiàn) 二3%+ 2,即23q + 2.,則|(2q + l)(q - 2) = 0 , 由已知，9>0,故4:2.所以5EN)(n)由(I)可知，優(yōu)n=/ '.所以雙曲線 口: 的離心率 = 1 + % =J +產(chǎn)")I2

11、 54/ =、1 +。=一 -?=由. "3解得3.因為產(chǎn)產(chǎn)，所以出丁產(chǎn)F>q»i *5).叼 + %> 1 * q +T g" 1= ?例8.(2016 浙江高考真題(理)設(shè)數(shù)列!記滿足%-小1(I)證明:|叫之2"七闖-2)(H)若【答案】(I)證明見解析；(n)證明見解析.(I)由日得同一/an + lF7r<2" N” ? ?憚一巴=（巴一巴所以Iazl 1a3I2工23l-il I %)+'*+ (2- 2n1 1+ 21 2J2"（n）任取nN ,由（I）知，對于任意l«J I%2&qu

12、ot; 2man 1%. + I2"氏+ il 1% + zl+ 2n + 12n + zlrn -11 lml)+*T嚴(yán)-12mn 4- L1+ - 加T2n 11111 1 工+ *2"+2產(chǎn)2n4從而對于任意m'H,均有啊 > iog由小的任意性得冏J$2.否則，存在%1-2，叫0 J1八mn 3 rnti3.7 Z 0,與式矛盾.20<24= |anJ - 2綜上，對于任意口 EN, ,均有【壓軸訓(xùn)練】1.（2019 安徽高考模擬（理）設(shè)4；是等差數(shù)列，下列結(jié)論一定正確的是（A.B 若 U + %M。則與 + 口3<0C.D.若% <

13、 0【解析】若 a+a2>0,則 2ai+d>0, a2+a3= 2ai+3d> 2d, d> 0 時，結(jié)論成立，即 A不正確;對于B選項，當(dāng)3分別為-4 , -1 , 2時，滿足ai+a3<0,但a2+a3=1>0,故B不正確;又an是等差數(shù)列，0vaia2, 2% =日+23>2、"仲3,，a2>J瓦可，即C正確;若 aiv0,則（a - a） （a2 a3）= - d2<0,即 D不正確.故選：C.2. （2018 浙江高考模擬）已知等差數(shù)列的前”項和是3,公差d不等于零，若 收,%，%成等比數(shù)列，則A.配 >0小3&

14、gt;。B .限>。履%<0C聯(lián)工口處>0 口 ,中。跌M0【答案】C【解析】由甌密口心成等比數(shù)列.可得 寸=。必，可得（%+ 2G * =包+山 口+ 5田即板1£ +-=0, .公差口不等于零,.,44< 2% + d=0./. dS3 = d （眄+即）=#> 口.故選：C.3. （2019 山東高考模擬（文）已知正項等比數(shù)列an滿足2a5 a4 a3,若存在兩項am, an,使得91 ,8jaman ai,貝U 一 的最小值為 . m n【答案】2【解析】Q正項等比數(shù)列an滿足2a5 a4 a3,c 4322a1q +aq =a1q ,21整理，

15、得2q +q 1 0,又q 0 ,解得，q 一,2Q存在兩項am , an使彳導(dǎo)8JamG a ,2 m n 264& q9n) m911,、,91、1m-(mn)(-)-(10mn 8mn8n1m 9n-(10 2 D 2,8n m-91則一一的最小值為2.m n8,m 9n*當(dāng)且僅當(dāng)取等號，又m, n N . m n n m所以只有當(dāng)m 6, n 2時，取得最小值是 2.故答案為：24. （2019 湖南師大附中高考模擬（理）已知等比數(shù)列an的前n項積為Tn,若a124 , a48,則9當(dāng)Tn取最大值時，n的值為.【答案】4【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,一、，83 a41-1因

16、為a124, a4一，可得q 一 二二，斛得q 一，9a1 2731.n 12 3 （n 1n z 1 2n n則 Tn aa2a3 an 24 q）24 ,1 V當(dāng)Tn取最大值時，可得n為偶數(shù)，函數(shù)y （-）x在R上遞減，3又由 T2192,T4小，T686,可得T2T4丁6,93當(dāng)n 6,且n為偶數(shù)時，T6,故當(dāng)n 4時，Tn取最大值.2,5. （2019 安徽高考模擬 （理）已知數(shù)列EJ的各項均為正數(shù)，記為也的前依項和，若 % +口口（4N；勺=1,則使不等式> 2019成立的力的最小值是 .【答案】11【解析】由 詢斗"可得% + 1=A 則（% + 廠2%）（% +

17、I+%）=。,又?jǐn)?shù)列%>的各項均為正數(shù)，/卡2aL °即%+1 = 2” 可得數(shù)列an是首項為口 1 = 1公比為q=2的等比數(shù)列，2n - 15n = r- L >201*）*2-1，則n>10,又小, .-.n的最小值是11,故答案為11.6. （2019 甘肅天水一中高考模擬（文）已知數(shù)列國滿足a11,an0 ,JO二亞 1,那么an32成立的n的最大值為【答案】5【解析】因為JO二反1 ,所有 弧成等差數(shù)列，且首項 百 1 ,公差d 1所以 JOT n , an n2解 an n2 32,得 n 4負(fù)所以an 32成立的n的最大值為5故答案為：5n2 19n

18、7. （2019 河北圖考模擬（理）已知數(shù)列 an的前n項和為Sn，且Sn1 Sn -一型 n N* ,若2a24,則Sn取最小值時n 【答案】10【解析】由610n2 19n22(n 1)19 n 12，兩式作差可得:01 Sn1 n 10 (n 2),即斗1 an n 10 (n 2),由斗 1 斗 n 10 an 2 an1n 9,兩式作差可得：斗2 a 1（n 2）,則 4 a28, a?4,故 a 4 03,進一步可得：a % a,©%閏0街,又a。&1 0,則 a。0 a,且0州電電為L ,則Sn取最小值時n 10.8. (2019 河南高考模擬(理)記首項為ai

19、(ai0),公差為d的等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若21的取值范圍為一，且Sn 1an Sn ,則頭數(shù)2【解析】【答案】9由Sn1anSn,得 Sn1Snan0,ana123 d2所以當(dāng)1 n 11時,an12 時，an0.(1)當(dāng) 1 n 11 時,an 1anan 1 付anan danan22n 232因為1 12n 23192119 一一 19 ,所以23 21(2)當(dāng)n 12時，由anan 1得an 1an22n 231.一， 2，因為1 1,所以2n 23綜上所述，的取值范圍是19 ,1219.(2019 四川重慶南開中學(xué)高考模擬(理)在正項遞增等比數(shù)列an中，a5 1 ,記Sn

20、a a2a1a21 一 口一，則使得SnTn成立的最大正整數(shù)n為an【解析】由題得a1(1 q )1 q(1 qn)_q 1nqa1(1 q)因為數(shù)列是正項遞增等比數(shù)所以 ai2qn 1 1因為a541 ,所以aq,所以1, a1ai0, q1,所以q 8n 1n 9q 1, q所以使得SnTn成立的最大正整數(shù)n為9.故答案為:10. （2017 吉林高考模擬（理）已知數(shù)列滿足a13,an21 3an 1 n N（1）若數(shù)列bn滿足bn一 1 一an 一,求證:2bn是等比數(shù)列;（2）若數(shù)列cn滿足cnlog3an,Tnc1c2cn,求證:Tn【答案】（1）見解析;(2)見解析.由題可知 n

21、N從而有bn 13bn, 1blbn是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列.(2)n 1由知bn 3,從而an3ncnnlog3 3n 1log 3 3TnC1c2 Lcn0所以Tn11. （2019 江蘇金陵中學(xué)高考模擬）已知各項均為正整數(shù)的數(shù)列an的前n項和為S,滿足：S 1+kan=tan2-1, n>2, nCN (其中 k, t 為常數(shù)).(1)若k= 1 , t = 1 ,數(shù)列an是等差數(shù)列，求 ai的值;24(2)若數(shù)列an是等比數(shù)列，求證：kvt.【答案】(1) ai=1 + J5, (2)見解析 Sn 112 an1 24 an 1 (n>2),設(shè)等差數(shù)列an的公差為d

22、,1 令 n= 2,貝U a1a22一一 ，一 .r1兩式相減可得：1 a221 _21_1_2.a21,令 n = 3,則a1a2 a3a31,424a3a3a2a3a2 , 1. a n>0, a 3- a2=2 = d.工 11 22由 a1 2a2 4a2 1 ,且 d = 2,化為 ai 2a1一4=0, a1>0.(2)n 1 + kan= ta n2 1，2.公n>2, nCN ,所以 S+kan+1= tan 1 1,2. 2.a n= ( an+1 an) t ( an+1+an) k,-得 an+kan+1 - kan= tan 1 - tan , /令公

23、比為 q>0,貝U an+1 = anq,(q1) k+1 = ta n (q2 1), * . 1= ( q 1) ta n (q+1) k ; .對任意 n>2, nCN , 1= (q-1) ta n (q+1) - k成立；，qw 1,n不是一個常數(shù)； t = 0 , 1- S n 1 + kan= - 1 ,且an是各項均為正整數(shù)的數(shù)列，k< 0,故 kv t.112. (2019 天津圖考模擬(理)已知單調(diào)等比數(shù)列an ,首項為-,其前n項和是Sna4 S4成等差數(shù)列，數(shù)列 bn滿足條件 1 (J2)*a1a2 a3L an(1)求數(shù)列 an、 bn的通項公式；，

24、、1(2)設(shè)Cn an 一,記數(shù)列 Cn的前n項和是Tn . bn求Tn ；求正整數(shù)k ,使得對任意n N ,均有Tk Tn.【答案】(1) ann1,bnn(n 1)；2(2). Tn；.k 4.【解析】設(shè)anaqn11.由已知信2 s5a32S3S4,即20進而有2 S5S41一%.所以2a522 a3 2s4 ,1.2由已知數(shù)列 an是單調(diào)等比數(shù)列,ai數(shù)列an的通項公式為anQ1aa2 a3L an2 22232n(1 n)n2k則 bn n(n 1).即數(shù)列bn的通項公式為bnn(n1).(2).由可得:Cnanbnn(n 1)分組求和可得：Tn12n由于Tn 11 (n1)(n2)

25、2n 1nn 1 ,22 (n 1)(n 2)由于2n 1比n 1 n 2變化快，所以令Tn 1 Tn0得n 4.即工,丁2,丁3,丁4遞增，而T4EL工遞減.所以，T4最大.即當(dāng)k 4時，Tk Tn.13. (2019 安徽高考模擬(文)已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差壯手。,其前項和為*,= 7',且取， 叫與成等比數(shù)列.(1)求等差數(shù)列的通項公式；與=1T <-(2)設(shè) * + 記數(shù)列【'一；的前打項和為Ji,求證''L【答案】(1)內(nèi)尸網(wǎng)(2)證明見解析 【解析】同二口工，)(% + 3d)2 = (% + d弧 + 7d)(1)由題意得：I %=72呵

26、十2加;72解得：i = = 2 uK = 2n中+ 9 +-& =廿島+)4114. (2019 廣東局考模擬(理)已知數(shù)列an滿足一(2a2 L 2 an) 2 (n N ). n(D求a1，a2和an的通項公式;(2)記數(shù)列an kn的前n項和為Sn,若Sn S4對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù) k的取值范圍.12 5【答案】 a14 a2 6； an 2n 2(2)一，.5 2【解析】(1)由題意得 a1 2a2 L 2n 1an n2n 1, 2_3所以 01 1 24, a1 2a2 2 2 ,得 a2 6；由 a1 2a2 L 2n 1an n?2n 1,所以 a 2a2

27、L2n 2為 1 n 12n( n 2),相減得 2n 1an nn+1n 1 n,得an 2n 2,當(dāng)n 1也滿足上式.所以an的通項公式為an 2n 2.(2)數(shù)列an kn的通項公式為an kn 2n 2 kn 2 k n 2,是以4 k為首項，公差為2 k的等差數(shù)列，若SnS4對任意的正整數(shù)n恒成立，等價于當(dāng)n 4時，Sn取得最大值a44k 4 2k20,所以a55k 5 2k2 0.125解得上k 5.52 12 5所以實數(shù)k的取值范圍是 ,5 215. (2017 浙江高考模擬)已知無窮數(shù)列，-1an的首項為 一 ,21an 111一an , n N2an(I)證明： 0 an 1

28、 ； 2 an an 1 .3(n) 記bn , Tn為數(shù)列 bn的前n項和，證明：對任意正整數(shù) n, Tn .an4 110【答案】(i)見解析；(n)見解析.【解析】(i)證明：當(dāng) n 1時顯然成立；假設(shè)當(dāng)n k k N 時不等式成立，即0 ak 1 ,那么當(dāng) n k 1 時，1 ak - 2Jak?1 1,所以 0 ak 1 1,ak 1 2ak2 , ak即n k 1時不等式也成立.綜合可知，0 an 1對任意n N成立.()an 1an-21 ,即 an 1an1an,所以數(shù)列 an為遞增數(shù)列p 11又 anan 111一二 anan21 1an ,易知2 an1 一 一an為遞減數(shù)列, an11.所以也為遞減數(shù)列, an an 1-1,11所以當(dāng)n 2時，1 an an 11 _12 a2a25 492 4 540所以當(dāng)n 2時，bn2anan 1anan 1119an 1 an 一- an 1 anan an 14093當(dāng) n 1 時，Tn T1 b1 一 一，成立;40