高二數(shù)學矩陣的運算4

1、回章目錄在理論研究及一些實際問題中，經(jīng)常遇到階數(shù)在理論研究及一些實際問題中，經(jīng)常遇到階數(shù)很高或結構特殊的矩陣。為了簡化運算，經(jīng)常很高或結構特殊的矩陣。為了簡化運算，經(jīng)常采用采用分塊法分塊法。定義：定義：將矩陣用若干縱橫直線分成若干個小塊，將矩陣用若干縱橫直線分成若干個小塊，每一小塊稱為矩陣的子塊（或子陣），以子塊每一小塊稱為矩陣的子塊（或子陣），以子塊為元素形成的矩陣稱為為元素形成的矩陣稱為分塊矩陣分塊矩陣。例例 bbaaA110101000001,321 BBB即即 A 001a1Bba1100002Bb1103B bbaaA110101000001,4321 CCCC即即 A1Caa010

2、0002C10013Cbb114C(1) (1) 分塊矩陣的加法分塊矩陣的加法設矩陣設矩陣 與與 的行數(shù)相同的行數(shù)相同,列數(shù)相同列數(shù)相同,采用相同的分塊采用相同的分塊AB有有 srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,其中其中 與與 的行數(shù)相同的行數(shù)相同,列數(shù)相同列數(shù)相同,那么那么ijAijB.11111111 srsrssrrBABABABABA(2) (2) 分塊矩陣的數(shù)乘分塊矩陣的數(shù)乘 srsrkAkAkAkAkA1111 ,1111那么那么是數(shù)是數(shù)設設kAAAAAsrsr 例例 654123321A,3 k 654123321A3333333333 /p>

3、3 分分塊塊成成矩矩陣陣為為矩矩陣陣為為設設,pnBnmA (3) (3) 分塊矩陣的數(shù)乘分塊矩陣的數(shù)乘,11111111 ststrsrsBBBBBAAAAA的的行行數(shù)數(shù)。的的列列數(shù)數(shù)分分別別等等于于其其中中sjjjisiiBBBAAA,2121那么那么 rsrrCCCCAB1111 ., 1;, 11rjsiBACkjtkikij 其其中中設設例例1616,1011012100100001 A,0211140110210101 B.AB求求解解分塊成分塊成把把BA, EEO1A 10011001A00001121 10011001A00001121 0211140110210101B 11

4、BE21B22B則則 2221111BBEBEAOEAB.2212111111 BABBAEB又又21111BBA 110121011121 11012043,1142 于是于是 2212111111BABBAEBAB.1311334210410101 (4) (4) 分塊矩陣的轉置分塊矩陣的轉置大塊小塊一起轉。大塊小塊一起轉。,11rsAAA設sA1rsATsA1TrA1.11TrsTTAAA則注注:(5) (5) 分塊對角矩陣分塊對角矩陣設設 為為 階矩陣，若階矩陣，若 的分塊矩陣只有對角線上的分塊矩陣只有對角線上AnA有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且非零子塊有非零子塊，其余子塊都為零矩

5、陣，且非零子塊TTAAAAAAA 232221131211 TTTTTTAAAAAA231322122111例例都是方陣。即都是方陣。即,21 sAAAAOO siAi, 2 , 1 其中其中 都是方陣，那么稱都是方陣，那么稱 為分塊對為分塊對A角矩陣。角矩陣。分塊對角矩陣的行列式具有下述性質分塊對角矩陣的行列式具有下述性質: :| )1(21sAAAA 112111sAAAA這這時時(2)(2)A可逆可逆iA), 2 , 1(si 可逆可逆證明證明: : 由結論由結論(1)(1)知知), 2 , 1(0|0|siAAi sAAA21 11211 sAAA 111 AA122 AA1 ssAA

6、例例 3000013002500002A1 A求求解解: 3000013002500002A 321AAA00 1325 2 21AA 31 ,5321 ,21 31211 AAA故故 1312111AAAA 310000530021000021例例1717設設,0 CDBA其中其中 分別為分別為 階和階和CB,st階可逆方陣階可逆方陣,證明證明 可逆可逆,并求并求A.1 A證證:, 可可逆逆由由CB, 0 CBA有有.可逆可逆得得A,1 YWZXA設設.000 EEYWZXCDB則則 .,ECYOCWODYBZEDWBX .,1111OWDCBZCYBX.11111 CODCBBA因因此此回章目錄分塊矩陣的運算分塊矩陣的運算加法加法數(shù)乘數(shù)乘乘法乘法轉置轉置分塊對角陣性質分塊對角陣性質前提條前提條件件?前提條前提條件件?回章目錄.:)2(;)1(.,111BACDADCBAXYZEOBAEZDCBAYEACOEXnEAnDCBA 證證明明求求乘乘積積并并且且階階單單位位陣陣是是是是非非奇奇異異的的階階方方陣陣都都是是設設(1) 根據(jù)分塊矩陣的乘法，得根據(jù)分塊矩陣的乘法，得