機(jī)械動(dòng)力學(xué)5,6章

1、第五章第五章 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)分析單自由度系統(tǒng)振動(dòng)分析振動(dòng)是日常生活和工程實(shí)際中常見的現(xiàn)象。例如：鐘擺的往復(fù)擺動(dòng),汽車行駛時(shí)的顛簸，電動(dòng)機(jī)、機(jī)床等工作時(shí)的振動(dòng)，以及地震時(shí)引起的建筑物的振動(dòng)等。往復(fù)運(yùn)動(dòng)。如聲源的振動(dòng)、鐘擺的擺動(dòng)等。機(jī)械振動(dòng) 物體在它的平衡位置附近所作的物體發(fā)生機(jī)械振動(dòng)的條件：物體受到始終指向平衡位置的恢復(fù)力；物體具有慣性。1 振動(dòng)概述振動(dòng)概述 （1）振動(dòng)的分類振動(dòng)的分類 按體系的能量變化情況可把振動(dòng)分為自由振動(dòng)（機(jī)械能守恒）、阻尼振按體系的能量變化情況可把振動(dòng)分為自由振動(dòng)（機(jī)械能守恒）、阻尼振動(dòng)（機(jī)械能不斷轉(zhuǎn)化為熱能）和強(qiáng)迫振動(dòng)（不斷從外界獲得能量）三類，動(dòng)（機(jī)械能不斷轉(zhuǎn)化為熱

2、能）和強(qiáng)迫振動(dòng)（不斷從外界獲得能量）三類，其運(yùn)動(dòng)微分方程是同一種類型的。其運(yùn)動(dòng)微分方程是同一種類型的。 按體系的自由度劃分，振動(dòng)分為單自由度振動(dòng)、有限多自由度振動(dòng)和無限自由按體系的自由度劃分，振動(dòng)分為單自由度振動(dòng)、有限多自由度振動(dòng)和無限自由度振動(dòng)三類。度振動(dòng)三類。 按微分方程的類型，振動(dòng)分為線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)兩類。按微分方程的類型，振動(dòng)分為線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)兩類。 （2）線性振動(dòng)概念）線性振動(dòng)概念 凡力學(xué)體系在平衡位置附近作微振動(dòng)（振幅很?。豢紤]一級(jí)（最低凡力學(xué)體系在平衡位置附近作微振動(dòng)（振幅很?。豢紤]一級(jí)（最低級(jí)）近似時(shí)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程，這種振動(dòng)都屬于線性振動(dòng)。級(jí)）近似

3、時(shí)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程，這種振動(dòng)都屬于線性振動(dòng)。 1單自由度系統(tǒng)振動(dòng)單自由度系統(tǒng)振動(dòng) 一、自由振動(dòng)的概念一、自由振動(dòng)的概念： 單自由度系統(tǒng):是指用一個(gè)獨(dú)立參量便可以確定系統(tǒng)位置的振動(dòng)系統(tǒng)。所有單自由度振動(dòng)系統(tǒng)經(jīng)簡(jiǎn)化都可以抽象成單振子。單自由度振動(dòng)系統(tǒng)通常包括一個(gè)定向振動(dòng)的質(zhì)量m，連接于振動(dòng)質(zhì)量和基礎(chǔ)之間的彈性元件（其剛度為k），以及運(yùn)動(dòng)過程產(chǎn)生的阻尼（阻尼系數(shù)為c），有時(shí)在振動(dòng)系統(tǒng)中還存在一個(gè)持續(xù)作用的激振力P。系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)振動(dòng)質(zhì)量產(chǎn)生位移 x ,速度 和加速度 ，從而產(chǎn)生彈性力kx , 阻尼力 和慣性力由達(dá)朗伯原理，單自由度線性振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為：x x xc xm tPkxx

4、cxmsin0 可分為以下幾種情況1 單自由度無阻尼自由振動(dòng)0kxxm 2 單自由度有阻尼自由振動(dòng)tPkxxcxmsin0 0kxxcxm 3 單自由度無阻尼受迫振動(dòng)tPkxxmsin0 4 單自由度有阻尼受迫振動(dòng) 運(yùn)動(dòng)過程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復(fù)力恢復(fù)力。 物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復(fù)力作用下在其平衡位置附近的振動(dòng)稱為無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)。 二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解 對(duì)于任何一個(gè)單自由度系統(tǒng)，以q 為廣義坐標(biāo)（從平衡位置開始量取 ），則自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程必將是：0kqqm m, k是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)

5、的常數(shù)。令mkn/2則自由振動(dòng)的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：則自由振動(dòng)的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：02qqn 解解為：)sin(tAqn 0022020arctg , qqqqAnn設(shè)設(shè) t = 0 時(shí)時(shí)， 則可求得則可求得：00 , qqqq 或：tCtCqnnsincos21C1，C2由初始條件決定為由初始條件決定為nq CqC/ ,02 01tqtqqnnnsincos 00 三、自由振動(dòng)的特點(diǎn)三、自由振動(dòng)的特點(diǎn)： A物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。 n t + 相位，決定振體在某瞬時(shí)相位，決定振體在某瞬時(shí) t 的位置的位置 初相位，決定振體運(yùn)動(dòng)的起始位置。

6、初相位，決定振體運(yùn)動(dòng)的起始位置。 T 周期，每振動(dòng)一次所經(jīng)歷的時(shí)間。周期，每振動(dòng)一次所經(jīng)歷的時(shí)間。 f 頻率，每秒鐘振動(dòng)的次數(shù)，頻率，每秒鐘振動(dòng)的次數(shù)， f = 1 / T 。 固有頻率，振體在固有頻率，振體在2 秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。反映振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。反映振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。 nT2n 無阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)是： (2) 振幅振幅A和初相位和初相位取決于運(yùn)動(dòng)的初始條件取決于運(yùn)動(dòng)的初始條件(初位移和初度初位移和初度)；(1) 振動(dòng)規(guī)律為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；振動(dòng)規(guī)律為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；(3)周期周期T 和固有頻率和固有頻率 僅決定于系統(tǒng)本身

7、的固有參數(shù)僅決定于系統(tǒng)本身的固有參數(shù)(m,k,I )。n 2. 彈簧并聯(lián)系彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度統(tǒng)的等效剛度212121212211 , )( , kkkkkmgkkmgFFmgkFkFeqststst并聯(lián)并聯(lián)2121eq21212121k )11()11( kkkkkkmgkmgkkmgkmgkmgeqstststst串聯(lián)串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)1. 由系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式由系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2. 靜變形法：靜變形法：3. 能量法能量法： 2 2 求系統(tǒng)固有頻率的方法求系統(tǒng)固有頻率的方法02qqn stngst：集中質(zhì)量在全部重力集中質(zhì)量在全部重力 作用下的

8、靜變形作用下的靜變形n由Tmax=Umax , 求出 無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。 當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，速度為零，即系統(tǒng)當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，速度為零，即系統(tǒng)動(dòng)能等于零，勢(shì)能達(dá)到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢(shì)動(dòng)能等于零，勢(shì)能達(dá)到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)）。能點(diǎn)）。 當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大值。到最大值。 能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對(duì)于計(jì)算較復(fù)雜的振能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對(duì)于計(jì)算較復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡(jiǎn)便

9、的一種方法。動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡(jiǎn)便的一種方法。 3 3 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振動(dòng)過程中，系統(tǒng)所受的阻力。（包括干摩擦阻尼、：振動(dòng)過程中，系統(tǒng)所受的阻力。（包括干摩擦阻尼、粘性阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼）粘性阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼） 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時(shí)，由于介質(zhì)粘性：在很多情況下，振體速度不大時(shí)，由于介質(zhì)粘性引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。性阻尼。vcR投影式：投影式：xcRx c 粘性阻尼系數(shù)，簡(jiǎn)稱阻尼系數(shù)。粘性阻尼系數(shù)

10、，簡(jiǎn)稱阻尼系數(shù)。 二、有阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解二、有阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解： 質(zhì)量質(zhì)量彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：xckxxm 02 2 , 22nxxnx mcnmkn 則令有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。 4 4 單自由度系統(tǒng)的無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)二、無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解二、無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解一、強(qiáng)迫振動(dòng)的概念一、強(qiáng)迫振動(dòng)的概念 強(qiáng)迫振動(dòng)：在外加激振力作用下的振動(dòng)。強(qiáng)迫振動(dòng)：在外加激振力作用下的振動(dòng)。 簡(jiǎn)諧激振力：簡(jiǎn)諧激振力： P0力幅；力幅； 激振力的圓頻率激振力的圓頻率 ； 激振力的初相

11、位。激振力的初相位。)sin(tHS)sin(0tPkxxm 則則令令 , mPpmkn02)sin(2tpxxn 無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。)sin(0tPs 21xxx)sin()sin(21tbxtAxn為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為特解)sin( , 22222thxhbnn)sin()sin(22thtAxnn全解為：穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng) 3、強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅大小與運(yùn)動(dòng)初始條件無關(guān)，而與振動(dòng)系統(tǒng)、強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅大小與運(yùn)動(dòng)初始條件無關(guān)，而與振動(dòng)系統(tǒng) 的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。的固有頻率

12、、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。三、穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的主要特性三、穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的主要特性：1、在簡(jiǎn)諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)亦為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。、在簡(jiǎn)諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)亦為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2、強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率等于簡(jiǎn)諧激振力的頻率，與振動(dòng)系統(tǒng)的、強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率等于簡(jiǎn)諧激振力的頻率，與振動(dòng)系統(tǒng)的 質(zhì)量及剛度系數(shù)無關(guān)。質(zhì)量及剛度系數(shù)無關(guān)。 5 5 單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)一、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解一、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解tPQxcRkxFxxxsin , , 0tPxckxxmsin0 將上式兩端除以將上式兩端除以m ，并令，并令mPpmcnmkn0

13、2 ; 2 ; tpxxnxnsin22 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次微有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次微分方程。分方程。21xxx x1是齊次方程的通解是齊次方程的通解)02(2xxnxn 小阻尼：小阻尼：)sin(221tAexnnt（A、 積分常數(shù)，取決于初始條件）積分常數(shù)，取決于初始條件）x2 是特解是特解：)sin(2tbx代入標(biāo)準(zhǔn)形式方程并整理代入標(biāo)準(zhǔn)形式方程并整理22222222tg4)(nnnnhb 強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅 強(qiáng)迫振動(dòng)相位滯后激振力相位角強(qiáng)迫振動(dòng)相位滯后激振力相位角振動(dòng)微分方程的全解為振動(dòng)微分方程的全解為)sin()s

14、in(22tbtAexnnt 衰減振動(dòng)衰減振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng) 振動(dòng)開始時(shí)，二者同時(shí)存在的過程振動(dòng)開始時(shí)，二者同時(shí)存在的過程瞬態(tài)過程。瞬態(tài)過程。僅剩下強(qiáng)迫振動(dòng)部分的過程僅剩下強(qiáng)迫振動(dòng)部分的過程穩(wěn)態(tài)過程。需著重討論部分。穩(wěn)態(tài)過程。需著重討論部分。 nnnbb ; , 0令 頻率比頻率比 振幅比振幅比 阻尼比阻尼比因此：因此：2222212 tg; 4)1 (1二、阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響二、阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響1、振動(dòng)規(guī)律、振動(dòng)規(guī)律 簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2、頻率：、頻率： 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率，等于激振力的頻率。有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率，等于激振力的頻率。3、振幅、振幅)sin(2tbx第六章第六章

15、多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分析、 （2） 設(shè)體系的兩個(gè)廣義坐標(biāo)為設(shè)體系的兩個(gè)廣義坐標(biāo)為1x2x（2） 以如圖所示的雙彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例，運(yùn)動(dòng)微分方程的列寫如下0)(0)(122221221111xxkxmxxkxkxm 令令121mkka12mkb 22mkc （1） 00212211cxcxxbxaxx 上式可改寫成如下形式：（3） （2）微分方程的解）微分方程的解.頻率方程（久期方程）頻率方程（久期方程） 用常規(guī)方法求解。設(shè)上式的解為用常規(guī)方法求解。設(shè)上式的解為 )sin()sin(2211 tAxtAx （4 4）0)(0)(2211212AcAcbAAann （5 5）由（

16、由（5）知：）知： 021 AA，由此得，由此得 021 xx所需要的解。要使（所需要的解。要使（5）中的）中的 21,AA不是有異于零的解，方程的系數(shù)行不是有異于零的解，方程的系數(shù)行列式必須為零列式必須為零 將上式分別取一階及二階導(dǎo)數(shù)，并代入（3）式，整理得（6） )sin()sin()sin()sin(22)2( 1)2(211)1( 1)1(2222)2( 111)1( 11 tAtAxtAtAx （7） )0(),0(),0(),0(2121xxxx式中四個(gè)常數(shù)式中四個(gè)常數(shù) 21)2( 1)1( 1, AA由初始條件由初始條件 決定。決定。 若兩個(gè)正根相等（正等根）：若兩個(gè)正根相等（正

17、等根）： 21，則通解為，則通解為 )sin()sin(222111 tAxtAx（8） 022nnccba方程的通解為： 例例1 兩個(gè)相同的單擺耦合成雙單擺。求體系微振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。兩個(gè)相同的單擺耦合成雙單擺。求體系微振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。1 2 解：解：自由度為自由度為2 2，取，取和和為廣義坐為廣義坐標(biāo)，則標(biāo)，則 )2(21)22(2122212122212 mglVmlT （1） 將（將（1）代入拉格朗日方程得）代入拉格朗日方程得 0022221121 lglg （2）令（令（2）式的特解為）式的特解為 )sin()sin(2211 tAtA （3）將（將（3）代入（）代入（2）得）得 0)

18、(0)(222122212AlgAAAlg （4）要使上式的要使上式的21,AA有不恒為零的解，必須有不恒為零的解，必須0)(2)(24222222 lglglg（5）由（由（5）得）得)22(),22(2221 lglg （6）將（將（6）代入（）代入（4）中的任一式得振幅比值）中的任一式得振幅比值2)(22121)1(1)1(2 lgAA2)(22222)2(1)2(2 lgAA（7） )sin(2)sin(2)sin()sin(22)2(111)1(1222)2(111)1(11 tAtAtAtA（8）這里這里 )2(2)1(2)2(1)1(1,AAAA為方程（為方程（4）的根，于是兩個(gè)

19、特解即可確定，兩個(gè)特）的根，于是兩個(gè)特解即可確定，兩個(gè)特解的解的 線性疊加即得通解線性疊加即得通解 常數(shù)常數(shù) 21)2(2)1(1, AA由初始條件決定。由初始條件決定。 例例2 試求如圖試求如圖6.3所示的兩個(gè)耦合振子的振動(dòng)頻率。所示的兩個(gè)耦合振子的振動(dòng)頻率。 解：自由度為解：自由度為2，以位移，以位移21,xx為廣義坐標(biāo)，則為廣義坐標(biāo)，則)(21)(2122212212221xxxxkVxxmT （1） 將（將（1）代入拉格朗日方程得）代入拉格朗日方程得2112kxkxxm （2）2122kxkxxm （3）引進(jìn)兩個(gè)新的坐標(biāo)引進(jìn)兩個(gè)新的坐標(biāo) ,212211xxqxxq 分別將（分別將（2）

20、和（）和（3）相加減，得）相加減，得011 qmkq 0322 qmkq 1q2q由此得由此得和和振動(dòng)模式的頻率分別為振動(dòng)模式的頻率分別為mk /1 mk/32 和和 7 7 多自由度自由振動(dòng)系統(tǒng)多自由度自由振動(dòng)系統(tǒng) （1）拉格朗日方程）拉格朗日方程 將體系的動(dòng)能和勢(shì)能在平衡位置展開成泰勒級(jí)數(shù)保留到二級(jí)小量，得將體系的動(dòng)能和勢(shì)能在平衡位置展開成泰勒級(jí)數(shù)保留到二級(jí)小量，得 njijiijnjijiijxxbVxxaT1,1,2121 （4） 代入拉格朗方程，得代入拉格朗方程，得 nixbxajijnjjij , 2 , 1, 01 （5） （2）振動(dòng)規(guī)律（拉格朗方程的通解）振動(dòng)規(guī)律（拉格朗方程的

21、通解） 令（令（5）的特解為）的特解為nitAxii, 2 , 1),sin( （6） （6）代入（）代入（5）式：）式：niabAijijnjj, 2 , 1,0)(21 （7） 要使上式有不為零的解的條件為要使上式有不為零的解的條件為0222221122222222221212112121221111 nnnnnnnnnnnnababababababababab（8） 2 ), 2 , 1(2njj 上式是關(guān)于上式是關(guān)于的的n次多項(xiàng)式，有次多項(xiàng)式，有n個(gè)根個(gè)根且都是正的實(shí)根。且都是正的實(shí)根。 振幅比：振幅比：2j 1A 將將代入（代入（7）式，把）式，把看作已知的，然后已知對(duì)（看作已知的，

22、然后已知對(duì)（n-1）個(gè)）個(gè) nAAA,32求解，可得求解，可得 )(1)()()(1)(3)(3)(1)(2)(2,jjnjnjjjjjjAAAAAA （9） 這些這些)( ji 都是常數(shù)，共有都是常數(shù)，共有n（n-1）個(gè)。）個(gè)。 方程（方程（5）的一個(gè)特解為）的一個(gè)特解為nitAxjjjii, 2 , 1),sin()(（10） 這些特解的線性疊加即為通解：這些特解的線性疊加即為通解：nitAxjjnjjii, 2 , 1)sin(1)( （11） 個(gè)振幅個(gè)振幅 ,（9）式中提供了）式中提供了n（n-1）個(gè)已知的比）個(gè)已知的比2n)( jiA2nnnnn )1(2)(1)2(1)1(1,nA

23、AAn,21方程（方程（11）中共有）中共有個(gè)振幅中獨(dú)立的只有個(gè)振幅中獨(dú)立的只有個(gè)，即個(gè)，即再加上再加上n個(gè)相角個(gè)相角，共有，共有2n個(gè)待定常數(shù)，可由初始條件決定。個(gè)待定常數(shù)，可由初始條件決定。值，因此，值，因此，取廣義坐標(biāo)為取廣義坐標(biāo)為: x1: x1、 x2 x2 、x3x3系統(tǒng)的動(dòng)能為：系統(tǒng)的動(dòng)能為：23322221121xmxmxmT系統(tǒng)的彈性勢(shì)能為：系統(tǒng)的彈性勢(shì)能為：22332122211)()(21xxkxxkxkU例：如圖所示系統(tǒng)，求振動(dòng)方程及系統(tǒng)固有頻率例：如圖所示系統(tǒng)，求振動(dòng)方程及系統(tǒng)固有頻率系統(tǒng)的能量散失函數(shù)為：系統(tǒng)的能量散失函數(shù)為：22332122211)()(21xxc

24、xxcxcD代入拉格朗日方程得：代入拉格朗日方程得：333233323332332323323212221221212212111)()()()(PxkxkxcxcxmPxkxkkxcxccxcxmPxkxkkxcxccxm Pxkxcxm 各系數(shù)矩陣為：各系數(shù)矩陣為： 321000000mmmm 00033322221ccccccccc 00033322221kkkkkkkkk 0 xkxm ntieAx代入微分方程代入微分方程 02Amkn若得非零解，則系數(shù)行列式必須為零，即若得非零解，則系數(shù)行列式必須為零，即 0det2mkn由此解出由此解出n n個(gè)個(gè)值值 由由n個(gè)具有確定相對(duì)比值的振幅

25、所組成的列陣稱為系統(tǒng)的第個(gè)具有確定相對(duì)比值的振幅所組成的列陣稱為系統(tǒng)的第r階階主振型主振型 若將系統(tǒng)的各階固有頻率代入到方程若將系統(tǒng)的各階固有頻率代入到方程 即可得到系統(tǒng)的第一階、第二階、即可得到系統(tǒng)的第一階、第二階、第第n階主振型。階主振型。主振型主振型 02Amkn解：取各質(zhì)量塊偏離平解：取各質(zhì)量塊偏離平衡位置的位移衡位置的位移x1 x2 x3為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式為：方程式為：式中：式中：如圖所示三自由度系統(tǒng)，已如圖所示三自由度系統(tǒng)，已知：知：m1=m2=m3=m,K1=k4=2k，k2=k3=k,計(jì)算計(jì)算此系統(tǒng)的固有頻率和主陣型。此系統(tǒng)的固有頻率和主陣型。

26、0 xkxm 100010001000000321mmmmmmmkn1mkn32mkn23系統(tǒng)的特征值方程為：系統(tǒng)的特征值方程為： 310121013004333322221kkkkkkkkkkkk0001000100013101210133212AAAmkn030023222nnnmkkmkkkkmk 解上式，得系統(tǒng)的三個(gè)固有頻率為：解上式，得系統(tǒng)的三個(gè)固有頻率為：mkn1mkn32mkn23將一階固有頻率代回到系統(tǒng)的特征值問題的方程中得將一階固有頻率代回到系統(tǒng)的特征值問題的方程中得00030203)1(3)1(2)1(1AAAkkkkkkkkkk展開上式并令展開上式并令A(yù)1（1）1A則則

27、A2（1）2， A3（1）1即即121)1(A同理同理101)2(A111)3(A各階主振型如圖所示各階主振型如圖所示塔式起重機(jī)起升機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型塔式起重機(jī)起升機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型 分別選取 和 的靜平衡位置為 和 的坐標(biāo)原點(diǎn)1x2x1m2m 整個(gè)起升過程分三個(gè)階段： 第一階段：收緊松弛的繩索 第二階段：得到微分方程為：1 11 1c xk x1 1m x skscxccxkkxm2212112111)()( )()(1212sxksxc 第三階段： 最終得到微分方程組：221()kxxs221()cxxs1 1m x 1 1c x 1 1k x22m x 221()kxxs221()cxxs1

28、 1121121222222222122212222()()m xkkxcc xc xk xc sk sm xc xc xk xk xc sk s 6.1 主振型主振型. 正則化正則化. 振型迭加振型迭加. 初始條件初始條件 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)X下：下： （ 、 、 、 均為矩陣）均為矩陣） 振動(dòng)方程：振動(dòng)方程： 齊次方程：齊次方程： 設(shè)解為：設(shè)解為： 代入代入 得：得： 即即由由 detF KMX KxMxF t 0KxMx sin()xAt 0KxMx2 0KAMA2 0KMA20KM得圓頻率（得圓頻率（ 特征值），特征值），進(jìn)而由式得主振型（特征向量）進(jìn)而由式得主振型（特征向量）主振型矩陣

29、主振型矩陣 （具有正交性）（具有正交性）對(duì)角陣對(duì)角陣 對(duì)角陣對(duì)角陣（正交性：（正交性： ）線性變換線性變換主坐標(biāo)主坐標(biāo)Y下：下：式變換為式變換為此時(shí)，皆為對(duì)角陣，因此已解偶此時(shí)，皆為對(duì)角陣，因此已解偶標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)Z（正則坐標(biāo)）下：（正則坐標(biāo)）下：用特征向量用特征向量 對(duì)質(zhì)量陣對(duì)質(zhì)量陣 實(shí)施運(yùn)算實(shí)施運(yùn)算得正則化后的特征向量得正則化后的特征向量2i2ii2 0KAMAiA123 AAATMMTKK0TijA MAijxy KxMxF t TKyMyF tF t,K M TKyMyF tF tiAMTiiiMA MAiiiTiiiiAAAMA M A正則化后的主振型矩陣正則化后的主振型矩陣單位陣

30、單位陣對(duì)角陣對(duì)角陣線性變換：線性變換：此時(shí)方程已解耦，可分別計(jì)算。此時(shí)方程已解耦，可分別計(jì)算。振型截?cái)嗾裥徒財(cái)啵ㄗ杂啥瓤s減）：（自由度縮減）：主坐標(biāo)下：，僅取前主坐標(biāo)下：，僅取前 m階階線性變換線性變換得得此時(shí)方程既解耦又已降階。此時(shí)方程既解耦又已降階。123AAA TMI2TiKxZ 2TiZZF t12nQAAAxQyTTTQ MQyQ KQyQ F KyMyF t正則坐標(biāo)下：正則坐標(biāo)下：線性變換：線性變換： 因?yàn)橐驗(yàn)榈贸龅贸?初始條件的處理初始條件的處理：利用正則化后的主振型矩陣?yán)谜齽t化后的主振型矩陣 ，通過線性變換，通過線性變換 ，則原，則原來來 坐標(biāo)下的初始條件變?yōu)檎齽t坐標(biāo)坐標(biāo)下的

31、初始條件變?yōu)檎齽t坐標(biāo) 下新的初始條件：下新的初始條件：由由 ， 得出得出 12nQAAAiiTiiiAAA M AXQZTTQ MQZQ KQZQF2 , TTQ MQIQ KQ 2TiZZQ F tQXQZxz00 xQZ100ZQ x由，由， 得出得出 的特殊求法：因?yàn)楫?dāng)?shù)奶厥馇蠓ǎ阂驗(yàn)楫?dāng) 為正則化振型時(shí)有為正則化振型時(shí)有 ，故故有有最后將正則坐標(biāo)最后將正則坐標(biāo) 下的結(jié)果返回原坐標(biāo)下的結(jié)果返回原坐標(biāo) ：00 xQz100ZQ x1QQ TQ MQI x tQz t1TQQ M 振型疊加法振型疊加法 應(yīng)用系統(tǒng)各階主陣型組成的模態(tài)陣作為變換矩陣，對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用系統(tǒng)各階主陣型組成的模態(tài)陣作為變換矩陣

32、，對(duì)系統(tǒng)原來的方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣同時(shí)對(duì)原來的方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣同時(shí)對(duì)角化，得到一組獨(dú)立的互不耦合的運(yùn)動(dòng)方程，可以應(yīng)用單角化，得到一組獨(dú)立的互不耦合的運(yùn)動(dòng)方程，可以應(yīng)用單自由度求解的方法求解每一個(gè)方程，從而得到多自由度系自由度求解的方法求解每一個(gè)方程，從而得到多自由度系統(tǒng)的響應(yīng)的整個(gè)過程。統(tǒng)的響應(yīng)的整個(gè)過程。 陣型疊加法的步驟陣型疊加法的步驟 1 1求出系統(tǒng)的各階固有頻率求出系統(tǒng)的各階固有頻率 和主陣型和主陣型 組成模態(tài)陣組成模態(tài)陣 組成正則模態(tài)陣組成正則模態(tài)陣 2 2 用模態(tài)陣用模態(tài)陣或正則模態(tài)陣或正則模態(tài)陣 NN 對(duì)原方程作如下坐標(biāo)對(duì)原方程作如下坐標(biāo)變

33、換：變換：221n )()2()1(nAAA N NNNQqqQqKqM2 NNNqxqx或?qū)⒃匠套儞Q為模態(tài)方程或正則模態(tài)方程將原方程變換為模態(tài)方程或正則模態(tài)方程3 按單自由度的方法分別求解模態(tài)方程或正則模態(tài)方按單自由度的方法分別求解模態(tài)方程或正則模態(tài)方程中程中n n個(gè)互相獨(dú)立的方程，求得個(gè)互相獨(dú)立的方程，求得qq或或 qNqN ，即是以模，即是以模態(tài)坐標(biāo)或正則坐標(biāo)表示的系統(tǒng)對(duì)態(tài)坐標(biāo)或正則坐標(biāo)表示的系統(tǒng)對(duì)PP的響應(yīng)。的響應(yīng)。4 應(yīng)用應(yīng)用 的線性變換將的線性變換將模態(tài)坐標(biāo)模態(tài)坐標(biāo)qq或正則坐標(biāo)或正則坐標(biāo) qNqN 變?yōu)槲锢碜鴺?biāo)變?yōu)槲锢碜鴺?biāo)xx即系統(tǒng)即系統(tǒng)原來的廣義坐標(biāo)，最后求得的物理坐標(biāo)原來的廣義坐標(biāo)，最后求得的物理坐標(biāo)xx即是系統(tǒng)即是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的解。運(yùn)動(dòng)方程的解。 NNNqxqx或6.2 大型振動(dòng)方程自由度縮減方法：大型振動(dòng)方程自由度縮減方法：、振型截?cái)喾?、振型截?cái)喾?（見上節(jié)）（見上節(jié)） 2、靜力凝聚法、靜力凝聚法嚴(yán)格意義上的靜力凝聚，只有一部分質(zhì)量為零時(shí)才能使用嚴(yán)格意義上的靜力凝聚，只有