機械動力學5,6章

1、第五章第五章 單自由度系統(tǒng)振動分析單自由度系統(tǒng)振動分析振動是日常生活和工程實際中常見的現(xiàn)象。例如：鐘擺的往復擺動,汽車行駛時的顛簸，電動機、機床等工作時的振動，以及地震時引起的建筑物的振動等。往復運動。如聲源的振動、鐘擺的擺動等。機械振動 物體在它的平衡位置附近所作的物體發(fā)生機械振動的條件：物體受到始終指向平衡位置的恢復力；物體具有慣性。1 振動概述振動概述 （1）振動的分類振動的分類 按體系的能量變化情況可把振動分為自由振動（機械能守恒）、阻尼振按體系的能量變化情況可把振動分為自由振動（機械能守恒）、阻尼振動（機械能不斷轉化為熱能）和強迫振動（不斷從外界獲得能量）三類，動（機械能不斷轉化為熱

2、能）和強迫振動（不斷從外界獲得能量）三類，其運動微分方程是同一種類型的。其運動微分方程是同一種類型的。 按體系的自由度劃分，振動分為單自由度振動、有限多自由度振動和無限自由按體系的自由度劃分，振動分為單自由度振動、有限多自由度振動和無限自由度振動三類。度振動三類。 按微分方程的類型，振動分為線性振動和非線性振動兩類。按微分方程的類型，振動分為線性振動和非線性振動兩類。 （2）線性振動概念）線性振動概念 凡力學體系在平衡位置附近作微振動（振幅很?。?，只考慮一級（最低凡力學體系在平衡位置附近作微振動（振幅很?。?，只考慮一級（最低級）近似時，其運動微分方程為線性方程，這種振動都屬于線性振動。級）近似

3、時，其運動微分方程為線性方程，這種振動都屬于線性振動。 1單自由度系統(tǒng)振動單自由度系統(tǒng)振動 一、自由振動的概念一、自由振動的概念： 單自由度系統(tǒng):是指用一個獨立參量便可以確定系統(tǒng)位置的振動系統(tǒng)。所有單自由度振動系統(tǒng)經(jīng)簡化都可以抽象成單振子。單自由度振動系統(tǒng)通常包括一個定向振動的質量m，連接于振動質量和基礎之間的彈性元件（其剛度為k），以及運動過程產生的阻尼（阻尼系數(shù)為c），有時在振動系統(tǒng)中還存在一個持續(xù)作用的激振力P。系統(tǒng)振動時振動質量產生位移 x ,速度 和加速度 ，從而產生彈性力kx , 阻尼力 和慣性力由達朗伯原理，單自由度線性振動系統(tǒng)的運動微分方程可寫為：x x xc xm tPkxx

4、cxmsin0 可分為以下幾種情況1 單自由度無阻尼自由振動0kxxm 2 單自由度有阻尼自由振動tPkxxcxmsin0 0kxxcxm 3 單自由度無阻尼受迫振動tPkxxmsin0 4 單自由度有阻尼受迫振動 運動過程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復力恢復力。 物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復力作用下在其平衡位置附近的振動稱為無阻尼自由振動無阻尼自由振動。 二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程及其解二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程及其解 對于任何一個單自由度系統(tǒng)，以q 為廣義坐標（從平衡位置開始量取 ），則自由振動的運動微分方程必將是：0kqqm m, k是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關

5、的常數(shù)。令mkn/2則自由振動的微分方程的標準形式：則自由振動的微分方程的標準形式：02qqn 解解為：)sin(tAqn 0022020arctg , qqqqAnn設設 t = 0 時時， 則可求得則可求得：00 , qqqq 或：tCtCqnnsincos21C1，C2由初始條件決定為由初始條件決定為nq CqC/ ,02 01tqtqqnnnsincos 00 三、自由振動的特點三、自由振動的特點： A物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。 n t + 相位，決定振體在某瞬時相位，決定振體在某瞬時 t 的位置的位置 初相位，決定振體運動的起始位置。

6、初相位，決定振體運動的起始位置。 T 周期，每振動一次所經(jīng)歷的時間。周期，每振動一次所經(jīng)歷的時間。 f 頻率，每秒鐘振動的次數(shù)，頻率，每秒鐘振動的次數(shù)， f = 1 / T 。 固有頻率，振體在固有頻率，振體在2 秒內振動的次數(shù)。秒內振動的次數(shù)。反映振動系統(tǒng)的動力學特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關。反映振動系統(tǒng)的動力學特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關。 nT2n 無阻尼自由振動的特點是： (2) 振幅振幅A和初相位和初相位取決于運動的初始條件取決于運動的初始條件(初位移和初度初位移和初度)；(1) 振動規(guī)律為簡諧振動；振動規(guī)律為簡諧振動；(3)周期周期T 和固有頻率和固有頻率 僅決定于系統(tǒng)本身

7、的固有參數(shù)僅決定于系統(tǒng)本身的固有參數(shù)(m,k,I )。n 2. 彈簧并聯(lián)系彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度統(tǒng)的等效剛度212121212211 , )( , kkkkkmgkkmgFFmgkFkFeqststst并聯(lián)并聯(lián)2121eq21212121k )11()11( kkkkkkmgkmgkkmgkmgkmgeqstststst串聯(lián)串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)1. 由系統(tǒng)的振動微分方程的標準形式由系統(tǒng)的振動微分方程的標準形式2. 靜變形法：靜變形法：3. 能量法能量法： 2 2 求系統(tǒng)固有頻率的方法求系統(tǒng)固有頻率的方法02qqn stngst：集中質量在全部重力集中質量在全部重力 作用下的

8、靜變形作用下的靜變形n由Tmax=Umax , 求出 無阻尼自由振動系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機械能守恒。無阻尼自由振動系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機械能守恒。 當振體運動到距靜平衡位置最遠時，速度為零，即系統(tǒng)當振體運動到距靜平衡位置最遠時，速度為零，即系統(tǒng)動能等于零，勢能達到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢動能等于零，勢能達到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢能點）。能點）。 當振體運動到靜平衡位置時，系統(tǒng)的勢能為零，動能達當振體運動到靜平衡位置時，系統(tǒng)的勢能為零，動能達到最大值。到最大值。 能量法是從機械能守恒定律出發(fā)，對于計算較復雜的振能量法是從機械能守恒定律出發(fā)，對于計算較復雜的振動系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡便

9、的一種方法。動系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡便的一種方法。 3 3 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振動過程中，系統(tǒng)所受的阻力。（包括干摩擦阻尼、：振動過程中，系統(tǒng)所受的阻力。（包括干摩擦阻尼、粘性阻尼和結構阻尼）粘性阻尼和結構阻尼） 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，由于介質粘性：在很多情況下，振體速度不大時，由于介質粘性引起的阻尼認為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘引起的阻尼認為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。性阻尼。vcR投影式：投影式：xcRx c 粘性阻尼系數(shù)，簡稱阻尼系數(shù)。粘性阻尼系數(shù)

10、，簡稱阻尼系數(shù)。 二、有阻尼自由振動微分方程及其解二、有阻尼自由振動微分方程及其解： 質量質量彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：xckxxm 02 2 , 22nxxnx mcnmkn 則令有阻尼自由振動微分方程的標準形式。有阻尼自由振動微分方程的標準形式。 4 4 單自由度系統(tǒng)的無阻尼強迫振動單自由度系統(tǒng)的無阻尼強迫振動二、無阻尼強迫振動微分方程及其解二、無阻尼強迫振動微分方程及其解一、強迫振動的概念一、強迫振動的概念 強迫振動：在外加激振力作用下的振動。強迫振動：在外加激振力作用下的振動。 簡諧激振力：簡諧激振力： P0力幅；力幅； 激振力的圓頻率激振力的圓頻率 ； 激振力的初相

11、位。激振力的初相位。)sin(tHS)sin(0tPkxxm 則則令令 , mPpmkn02)sin(2tpxxn 無阻尼強迫振動微分方程的標準形式，無阻尼強迫振動微分方程的標準形式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。)sin(0tPs 21xxx)sin()sin(21tbxtAxn為對應齊次方程的通解為特解)sin( , 22222thxhbnn)sin()sin(22thtAxnn全解為：穩(wěn)態(tài)強迫振動 3、強迫振動的振幅大小與運動初始條件無關，而與振動系統(tǒng)、強迫振動的振幅大小與運動初始條件無關，而與振動系統(tǒng) 的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關。的固有頻率

12、、激振力的頻率及激振力的力幅有關。三、穩(wěn)態(tài)強迫振動的主要特性三、穩(wěn)態(tài)強迫振動的主要特性：1、在簡諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強迫振動亦為簡諧振動。、在簡諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強迫振動亦為簡諧振動。2、強迫振動的頻率等于簡諧激振力的頻率，與振動系統(tǒng)的、強迫振動的頻率等于簡諧激振力的頻率，與振動系統(tǒng)的 質量及剛度系數(shù)無關。質量及剛度系數(shù)無關。 5 5 單自由度系統(tǒng)的有阻尼強迫振動單自由度系統(tǒng)的有阻尼強迫振動一、有阻尼強迫振動微分方程及其解一、有阻尼強迫振動微分方程及其解tPQxcRkxFxxxsin , , 0tPxckxxmsin0 將上式兩端除以將上式兩端除以m ，并令，并令mPpmcnmkn0

13、2 ; 2 ; tpxxnxnsin22 有阻尼強迫振動微分方程的標準形式，二階常系數(shù)非齊次微有阻尼強迫振動微分方程的標準形式，二階常系數(shù)非齊次微分方程。分方程。21xxx x1是齊次方程的通解是齊次方程的通解)02(2xxnxn 小阻尼：小阻尼：)sin(221tAexnnt（A、 積分常數(shù)，取決于初始條件）積分常數(shù)，取決于初始條件）x2 是特解是特解：)sin(2tbx代入標準形式方程并整理代入標準形式方程并整理22222222tg4)(nnnnhb 強迫振動的振幅強迫振動的振幅 強迫振動相位滯后激振力相位角強迫振動相位滯后激振力相位角振動微分方程的全解為振動微分方程的全解為)sin()s

14、in(22tbtAexnnt 衰減振動衰減振動 強迫振動強迫振動 振動開始時，二者同時存在的過程振動開始時，二者同時存在的過程瞬態(tài)過程。瞬態(tài)過程。僅剩下強迫振動部分的過程僅剩下強迫振動部分的過程穩(wěn)態(tài)過程。需著重討論部分。穩(wěn)態(tài)過程。需著重討論部分。 nnnbb ; , 0令 頻率比頻率比 振幅比振幅比 阻尼比阻尼比因此：因此：2222212 tg; 4)1 (1二、阻尼對強迫振動的影響二、阻尼對強迫振動的影響1、振動規(guī)律、振動規(guī)律 簡諧振動。簡諧振動。2、頻率：、頻率： 有阻尼強迫振動的頻率，等于激振力的頻率。有阻尼強迫振動的頻率，等于激振力的頻率。3、振幅、振幅)sin(2tbx第六章第六章

15、多自由度系統(tǒng)的振動分析多自由度系統(tǒng)的振動分析、 （2） 設體系的兩個廣義坐標為設體系的兩個廣義坐標為1x2x（2） 以如圖所示的雙彈簧質量系統(tǒng)為例，運動微分方程的列寫如下0)(0)(122221221111xxkxmxxkxkxm 令令121mkka12mkb 22mkc （1） 00212211cxcxxbxaxx 上式可改寫成如下形式：（3） （2）微分方程的解）微分方程的解.頻率方程（久期方程）頻率方程（久期方程） 用常規(guī)方法求解。設上式的解為用常規(guī)方法求解。設上式的解為 )sin()sin(2211 tAxtAx （4 4）0)(0)(2211212AcAcbAAann （5 5）由（

16、由（5）知：）知： 021 AA，由此得，由此得 021 xx所需要的解。要使（所需要的解。要使（5）中的）中的 21,AA不是有異于零的解，方程的系數(shù)行不是有異于零的解，方程的系數(shù)行列式必須為零列式必須為零 將上式分別取一階及二階導數(shù)，并代入（3）式，整理得（6） )sin()sin()sin()sin(22)2( 1)2(211)1( 1)1(2222)2( 111)1( 11 tAtAxtAtAx （7） )0(),0(),0(),0(2121xxxx式中四個常數(shù)式中四個常數(shù) 21)2( 1)1( 1, AA由初始條件由初始條件 決定。決定。 若兩個正根相等（正等根）：若兩個正根相等（正

17、等根）： 21，則通解為，則通解為 )sin()sin(222111 tAxtAx（8） 022nnccba方程的通解為： 例例1 兩個相同的單擺耦合成雙單擺。求體系微振動的運動規(guī)律。兩個相同的單擺耦合成雙單擺。求體系微振動的運動規(guī)律。1 2 解：解：自由度為自由度為2 2，取，取和和為廣義坐為廣義坐標，則標，則 )2(21)22(2122212122212 mglVmlT （1） 將（將（1）代入拉格朗日方程得）代入拉格朗日方程得 0022221121 lglg （2）令（令（2）式的特解為）式的特解為 )sin()sin(2211 tAtA （3）將（將（3）代入（）代入（2）得）得 0)

18、(0)(222122212AlgAAAlg （4）要使上式的要使上式的21,AA有不恒為零的解，必須有不恒為零的解，必須0)(2)(24222222 lglglg（5）由（由（5）得）得)22(),22(2221 lglg （6）將（將（6）代入（）代入（4）中的任一式得振幅比值）中的任一式得振幅比值2)(22121)1(1)1(2 lgAA2)(22222)2(1)2(2 lgAA（7） )sin(2)sin(2)sin()sin(22)2(111)1(1222)2(111)1(11 tAtAtAtA（8）這里這里 )2(2)1(2)2(1)1(1,AAAA為方程（為方程（4）的根，于是兩個

19、特解即可確定，兩個特）的根，于是兩個特解即可確定，兩個特解的解的 線性疊加即得通解線性疊加即得通解 常數(shù)常數(shù) 21)2(2)1(1, AA由初始條件決定。由初始條件決定。 例例2 試求如圖試求如圖6.3所示的兩個耦合振子的振動頻率。所示的兩個耦合振子的振動頻率。 解：自由度為解：自由度為2，以位移，以位移21,xx為廣義坐標，則為廣義坐標，則)(21)(2122212212221xxxxkVxxmT （1） 將（將（1）代入拉格朗日方程得）代入拉格朗日方程得2112kxkxxm （2）2122kxkxxm （3）引進兩個新的坐標引進兩個新的坐標 ,212211xxqxxq 分別將（分別將（2）

20、和（）和（3）相加減，得）相加減，得011 qmkq 0322 qmkq 1q2q由此得由此得和和振動模式的頻率分別為振動模式的頻率分別為mk /1 mk/32 和和 7 7 多自由度自由振動系統(tǒng)多自由度自由振動系統(tǒng) （1）拉格朗日方程）拉格朗日方程 將體系的動能和勢能在平衡位置展開成泰勒級數(shù)保留到二級小量，得將體系的動能和勢能在平衡位置展開成泰勒級數(shù)保留到二級小量，得 njijiijnjijiijxxbVxxaT1,1,2121 （4） 代入拉格朗方程，得代入拉格朗方程，得 nixbxajijnjjij , 2 , 1, 01 （5） （2）振動規(guī)律（拉格朗方程的通解）振動規(guī)律（拉格朗方程的

21、通解） 令（令（5）的特解為）的特解為nitAxii, 2 , 1),sin( （6） （6）代入（）代入（5）式：）式：niabAijijnjj, 2 , 1,0)(21 （7） 要使上式有不為零的解的條件為要使上式有不為零的解的條件為0222221122222222221212112121221111 nnnnnnnnnnnnababababababababab（8） 2 ), 2 , 1(2njj 上式是關于上式是關于的的n次多項式，有次多項式，有n個根個根且都是正的實根。且都是正的實根。 振幅比：振幅比：2j 1A 將將代入（代入（7）式，把）式，把看作已知的，然后已知對（看作已知的，

22、然后已知對（n-1）個）個 nAAA,32求解，可得求解，可得 )(1)()()(1)(3)(3)(1)(2)(2,jjnjnjjjjjjAAAAAA （9） 這些這些)( ji 都是常數(shù)，共有都是常數(shù)，共有n（n-1）個。）個。 方程（方程（5）的一個特解為）的一個特解為nitAxjjjii, 2 , 1),sin()(（10） 這些特解的線性疊加即為通解：這些特解的線性疊加即為通解：nitAxjjnjjii, 2 , 1)sin(1)( （11） 個振幅個振幅 ,（9）式中提供了）式中提供了n（n-1）個已知的比）個已知的比2n)( jiA2nnnnn )1(2)(1)2(1)1(1,nA

23、AAn,21方程（方程（11）中共有）中共有個振幅中獨立的只有個振幅中獨立的只有個，即個，即再加上再加上n個相角個相角，共有，共有2n個待定常數(shù)，可由初始條件決定。個待定常數(shù)，可由初始條件決定。值，因此，值，因此，取廣義坐標為取廣義坐標為: x1: x1、 x2 x2 、x3x3系統(tǒng)的動能為：系統(tǒng)的動能為：23322221121xmxmxmT系統(tǒng)的彈性勢能為：系統(tǒng)的彈性勢能為：22332122211)()(21xxkxxkxkU例：如圖所示系統(tǒng)，求振動方程及系統(tǒng)固有頻率例：如圖所示系統(tǒng)，求振動方程及系統(tǒng)固有頻率系統(tǒng)的能量散失函數(shù)為：系統(tǒng)的能量散失函數(shù)為：22332122211)()(21xxc

24、xxcxcD代入拉格朗日方程得：代入拉格朗日方程得：333233323332332323323212221221212212111)()()()(PxkxkxcxcxmPxkxkkxcxccxcxmPxkxkkxcxccxm Pxkxcxm 各系數(shù)矩陣為：各系數(shù)矩陣為： 321000000mmmm 00033322221ccccccccc 00033322221kkkkkkkkk 0 xkxm ntieAx代入微分方程代入微分方程 02Amkn若得非零解，則系數(shù)行列式必須為零，即若得非零解，則系數(shù)行列式必須為零，即 0det2mkn由此解出由此解出n n個個值值 由由n個具有確定相對比值的振幅

25、所組成的列陣稱為系統(tǒng)的第個具有確定相對比值的振幅所組成的列陣稱為系統(tǒng)的第r階階主振型主振型 若將系統(tǒng)的各階固有頻率代入到方程若將系統(tǒng)的各階固有頻率代入到方程 即可得到系統(tǒng)的第一階、第二階、即可得到系統(tǒng)的第一階、第二階、第第n階主振型。階主振型。主振型主振型 02Amkn解：取各質量塊偏離平解：取各質量塊偏離平衡位置的位移衡位置的位移x1 x2 x3為廣義坐標，系統(tǒng)的運動為廣義坐標，系統(tǒng)的運動方程式為：方程式為：式中：式中：如圖所示三自由度系統(tǒng)，已如圖所示三自由度系統(tǒng)，已知：知：m1=m2=m3=m,K1=k4=2k，k2=k3=k,計算計算此系統(tǒng)的固有頻率和主陣型。此系統(tǒng)的固有頻率和主陣型。

26、0 xkxm 100010001000000321mmmmmmmkn1mkn32mkn23系統(tǒng)的特征值方程為：系統(tǒng)的特征值方程為： 310121013004333322221kkkkkkkkkkkk0001000100013101210133212AAAmkn030023222nnnmkkmkkkkmk 解上式，得系統(tǒng)的三個固有頻率為：解上式，得系統(tǒng)的三個固有頻率為：mkn1mkn32mkn23將一階固有頻率代回到系統(tǒng)的特征值問題的方程中得將一階固有頻率代回到系統(tǒng)的特征值問題的方程中得00030203)1(3)1(2)1(1AAAkkkkkkkkkk展開上式并令展開上式并令A1（1）1A則則

27、A2（1）2， A3（1）1即即121)1(A同理同理101)2(A111)3(A各階主振型如圖所示各階主振型如圖所示塔式起重機起升機構的動力學模型塔式起重機起升機構的動力學模型 分別選取 和 的靜平衡位置為 和 的坐標原點1x2x1m2m 整個起升過程分三個階段： 第一階段：收緊松弛的繩索 第二階段：得到微分方程為：1 11 1c xk x1 1m x skscxccxkkxm2212112111)()( )()(1212sxksxc 第三階段： 最終得到微分方程組：221()kxxs221()cxxs1 1m x 1 1c x 1 1k x22m x 221()kxxs221()cxxs1

28、 1121121222222222122212222()()m xkkxcc xc xk xc sk sm xc xc xk xk xc sk s 6.1 主振型主振型. 正則化正則化. 振型迭加振型迭加. 初始條件初始條件 廣義坐標廣義坐標X下：下： （ 、 、 、 均為矩陣）均為矩陣） 振動方程：振動方程： 齊次方程：齊次方程： 設解為：設解為： 代入代入 得：得： 即即由由 detF KMX KxMxF t 0KxMx sin()xAt 0KxMx2 0KAMA2 0KMA20KM得圓頻率（得圓頻率（ 特征值），特征值），進而由式得主振型（特征向量）進而由式得主振型（特征向量）主振型矩陣

29、主振型矩陣 （具有正交性）（具有正交性）對角陣對角陣 對角陣對角陣（正交性：（正交性： ）線性變換線性變換主坐標主坐標Y下：下：式變換為式變換為此時，皆為對角陣，因此已解偶此時，皆為對角陣，因此已解偶標準坐標標準坐標Z（正則坐標）下：（正則坐標）下：用特征向量用特征向量 對質量陣對質量陣 實施運算實施運算得正則化后的特征向量得正則化后的特征向量2i2ii2 0KAMAiA123 AAATMMTKK0TijA MAijxy KxMxF t TKyMyF tF t,K M TKyMyF tF tiAMTiiiMA MAiiiTiiiiAAAMA M A正則化后的主振型矩陣正則化后的主振型矩陣單位陣

30、單位陣對角陣對角陣線性變換：線性變換：此時方程已解耦，可分別計算。此時方程已解耦，可分別計算。振型截斷振型截斷（自由度縮減）：（自由度縮減）：主坐標下：，僅取前主坐標下：，僅取前 m階階線性變換線性變換得得此時方程既解耦又已降階。此時方程既解耦又已降階。123AAA TMI2TiKxZ 2TiZZF t12nQAAAxQyTTTQ MQyQ KQyQ F KyMyF t正則坐標下：正則坐標下：線性變換：線性變換： 因為因為得出得出 初始條件的處理初始條件的處理：利用正則化后的主振型矩陣利用正則化后的主振型矩陣 ，通過線性變換，通過線性變換 ，則原，則原來來 坐標下的初始條件變?yōu)檎齽t坐標坐標下的

31、初始條件變?yōu)檎齽t坐標 下新的初始條件：下新的初始條件：由由 ， 得出得出 12nQAAAiiTiiiAAA M AXQZTTQ MQZQ KQZQF2 , TTQ MQIQ KQ 2TiZZQ F tQXQZxz00 xQZ100ZQ x由，由， 得出得出 的特殊求法：因為當?shù)奶厥馇蠓ǎ阂驗楫?為正則化振型時有為正則化振型時有 ，故故有有最后將正則坐標最后將正則坐標 下的結果返回原坐標下的結果返回原坐標 ：00 xQz100ZQ x1QQ TQ MQI x tQz t1TQQ M 振型疊加法振型疊加法 應用系統(tǒng)各階主陣型組成的模態(tài)陣作為變換矩陣，對系統(tǒng)應用系統(tǒng)各階主陣型組成的模態(tài)陣作為變換矩陣

32、，對系統(tǒng)原來的方程進行坐標變換，使質量矩陣和剛度矩陣同時對原來的方程進行坐標變換，使質量矩陣和剛度矩陣同時對角化，得到一組獨立的互不耦合的運動方程，可以應用單角化，得到一組獨立的互不耦合的運動方程，可以應用單自由度求解的方法求解每一個方程，從而得到多自由度系自由度求解的方法求解每一個方程，從而得到多自由度系統(tǒng)的響應的整個過程。統(tǒng)的響應的整個過程。 陣型疊加法的步驟陣型疊加法的步驟 1 1求出系統(tǒng)的各階固有頻率求出系統(tǒng)的各階固有頻率 和主陣型和主陣型 組成模態(tài)陣組成模態(tài)陣 組成正則模態(tài)陣組成正則模態(tài)陣 2 2 用模態(tài)陣用模態(tài)陣或正則模態(tài)陣或正則模態(tài)陣 NN 對原方程作如下坐標對原方程作如下坐標變

33、換：變換：221n )()2()1(nAAA N NNNQqqQqKqM2 NNNqxqx或將原方程變換為模態(tài)方程或正則模態(tài)方程將原方程變換為模態(tài)方程或正則模態(tài)方程3 按單自由度的方法分別求解模態(tài)方程或正則模態(tài)方按單自由度的方法分別求解模態(tài)方程或正則模態(tài)方程中程中n n個互相獨立的方程，求得個互相獨立的方程，求得qq或或 qNqN ，即是以模，即是以模態(tài)坐標或正則坐標表示的系統(tǒng)對態(tài)坐標或正則坐標表示的系統(tǒng)對PP的響應。的響應。4 應用應用 的線性變換將的線性變換將模態(tài)坐標模態(tài)坐標qq或正則坐標或正則坐標 qNqN 變?yōu)槲锢碜鴺俗優(yōu)槲锢碜鴺藊x即系統(tǒng)即系統(tǒng)原來的廣義坐標，最后求得的物理坐標原來的廣義坐標，最后求得的物理坐標xx即是系統(tǒng)即是系統(tǒng)運動方程的解。運動方程的解。 NNNqxqx或6.2 大型振動方程自由度縮減方法：大型振動方程自由度縮減方法：、振型截斷法、振型截斷法 （見上節(jié)）（見上節(jié)） 2、靜力凝聚法、靜力凝聚法嚴格意義上的靜力凝聚，只有一部分質量為零時才能使用嚴格意義上的靜力凝聚，只有