大學物理競賽專題輔導之磁學

1、理理 學學 院院 物物 理理 系系 張晚云張晚云一、磁感應強度的計算；二、磁力和力矩的計算；三、介質中磁場的有關計算。本講主要內容大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講一、磁感應強度的計算對于運動點電荷：對于運動點電荷：200 4rrqB 注意矢量叉注意矢量叉積的運算積的運算對于載流導體：對于載流導體：方法方法204rrlIdBdBQ0 用畢用畢薩定律薩定律方法方法典型帶載流體的磁強典型帶載流體的磁強 磁場疊加原理磁場疊加原理熟記長直電流、圓電流、長直螺線管、螺繞環(huán)、無熟記長直電流、圓電流、長直螺線管、螺繞環(huán)、無限大面電流、無限長柱面限大面電流、無限長柱面/ /體電流的磁場分布。體電流的

2、磁場分布。 內內I Il ld dB BL L0方法方法利用環(huán)路定理求特殊對稱分布帶電體的場強利用環(huán)路定理求特殊對稱分布帶電體的場強大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講例例1 1 兩根長直導線沿半徑方向引到鐵環(huán)上兩根長直導線沿半徑方向引到鐵環(huán)上A、B 兩點，兩點，并與很遠的電源相連，如圖所示。求：環(huán)中心的磁感并與很遠的電源相連，如圖所示。求：環(huán)中心的磁感應強度。應強度。ABIIO BI10dl 40r2=1l1解：解：=I1I2R2R1l2l10=B=B1B2 BI20dl 40r2=2l2I l=I21l21大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講ABIOIl21l21一、磁感應

3、強度的計算其他幾種變化：其他幾種變化：AoB0:0 B BO O處處環(huán)環(huán)心心OR 11200RBOR 11200RB大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講I II I一、磁感應強度的計算1IIabco200 B12IIoab00 B12abcdoII00 B大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講一、磁感應強度的計算例例2 2 半徑為半徑為R的木球上繞有細導線，所繞線圈很緊密，的木球上繞有細導線，所繞線圈很緊密，相鄰的線圈彼此平行地靠著，以單層蓋住半個球面，相鄰的線圈彼此平行地靠著，以單層蓋住半個球面，共有共有N 匝。如圖所示。設導線中通有電流匝。如圖所示。設導線中通有電流I 。求：

4、在。求：在球心球心O處的磁感應強度。處的磁感應強度。2R解：解：=yRcosqRsinq=xxyxyqdqoRq qNdNd=22Iy2()+ 0Bd=x23 2y2Nd=q qNdI 0cosq q R22=Bq qNdI 0cosq q R2 0=NI 0R4思考：若變?yōu)樾D帶電球面（體）呢？思考：若變?yōu)樾D帶電球面（體）呢？大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講一、磁感應強度的計算變變1 1 在一圓錐臺的側面均勻繞有在一圓錐臺的側面均勻繞有N 匝導線匝導線, ,其中通有電其中通有電流流I, , 尺寸如圖所示。求錐頂處尺寸如圖所示。求錐頂處P點的磁感應強度。點的磁感應強度。 Pbbb

5、I解：解：xbadq qPxb2a2()+ 0Bd=x23 2a2Idq q=axtgb=IdINldcos=bxdq q2 0=xINbxdq q2sin =B2 0 xINbxdq q2sincosbq qcos2bq q=2 0INbq q2sinln2大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講一、磁感應強度的計算變變2 2 有一蚊香狀的平面有一蚊香狀的平面N 匝線圈，通有電流匝線圈，通有電流I ，每一，每一圈近似為一圓周，其內外半徑分別為圈近似為一圓周，其內外半徑分別為a及及b 。求圓心處。求圓心處 P點的磁感應強度。點的磁感應強度。 Pab.解：解：Pab.drrb=dINIdra

6、d2Br 0=dI()2r 0=bNIdra ()2r 0bNIdraB=ba()2 0bNIa=lnba思考：若將該平面沿直徑折成直角呢？思考：若將該平面沿直徑折成直角呢？大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講I I一、磁感應強度的計算變變3 3 如圖，在均勻磁場如圖，在均勻磁場B中有一總匝數為中有一總匝數為N的均勻密繞的均勻密繞平面螺旋線圈，其半徑由平面螺旋線圈，其半徑由a繞至繞至b，并通有電流并通有電流I 。求。求線圈平面的磁矩。線圈平面的磁矩。 ab.解：解：oBBPab.drrb=dINIdradrrIabNrdIdpm22 mmdpp badrrIabN2 )(322baba

7、NI 090sinBpMm )(322babaNIB 思考：若將該平面線圈換成旋轉帶電圓盤呢？思考：若將該平面線圈換成旋轉帶電圓盤呢？大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講一、磁感應強度的計算例例3. 3. 一半徑為一半徑為R2 帶電薄圓盤帶電薄圓盤, ,其中半徑為其中半徑為R1 的陰影部分均勻帶的陰影部分均勻帶正電荷正電荷, ,面電荷密度為面電荷密度為+ + , ,其余部分均勻帶負電荷其余部分均勻帶負電荷, ,面電荷密度面電荷密度為為 , ,當圓盤以角速度當圓盤以角速度 旋裝轉時旋裝轉時, ,測得圓盤中心點測得圓盤中心點o 的磁感應的磁感應強度為零強度為零, , 問問R1 與與R2 滿

8、足什么關系？滿足什么關系？ 1R2Ro解：帶電圓盤轉動時解：帶電圓盤轉動時, ,可看作無數個圓電流的磁場在可看作無數個圓電流的磁場在o 點點的迭加的迭加r rdrdr半徑為半徑為 r r , ,寬為寬為 d dr r 的圓電流的圓電流: :dI= rdr磁場磁場：dB = 0dI/2r = 0R/2 10021RdrB 210R )(2121211200 RRRRdrB 122R RR RB BB B 則有則有已知：已知：大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講一、磁感應強度的計算變變1.1.有一閉合回路由半徑為有一閉合回路由半徑為a和和 b 的兩個同心共面半圓連接而成的兩個同心共面半圓連

9、接而成, ,如圖其上均勻分布線密度為如圖其上均勻分布線密度為 的電荷的電荷, ,當回路以勻角速度當回路以勻角速度 繞過繞過 o點垂直于回路平面的軸轉動時點垂直于回路平面的軸轉動時, ,求圓心求圓心o點處的磁感強度的大小點處的磁感強度的大小. .解解:令帶電的大半圓線圈和小半圓線圈令帶電的大半圓線圈和小半圓線圈轉動產生的磁感應強度分別為轉動產生的磁感應強度分別為B1、B2 ，oab帶電線段帶電線段cd 轉動產生的磁感應強度為轉動產生的磁感應強度為B3.B B= =B B1 1+ +B B2 2+ +B B3 3 21b cdbB2101 40 22a 40 aIB2202 drd 223 bar

10、dIB203 abln20 abBln20 大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講一、磁感應強度的計算變變. .如圖半徑為如圖半徑為R的均勻帶電無限長直圓筒，電荷面的均勻帶電無限長直圓筒，電荷面密度密度 ，筒以速度，筒以速度 繞其軸轉動。求圓筒內部的繞其軸轉動。求圓筒內部的B。Ri 思路：當成螺線管看待思路：當成螺線管看待LRLRI 22總總 RNILNnIBOO 總總0平平行行軸軸向向右右方方向向 :思考：（思考：（1）若變?yōu)樾D帶電球圓柱筒呢？）若變?yōu)樾D帶電球圓柱筒呢？ (3) 若轉速隨時間變化呢？若轉速隨時間變化呢？大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講一、磁感應強度的計算

11、 例例4 4 在半徑為在半徑為R的長圓柱形導體內與軸線平行地挖去一半徑為的長圓柱形導體內與軸線平行地挖去一半徑為r 的的圓柱形空腔體圓柱形空腔體, ,如圖。如圖。電流電流I在橫截面內均勻分布。在橫截面內均勻分布。 (1)分別求圓柱分別求圓柱軸線上和空心部分軸線上的磁感應強度的大小；軸線上和空心部分軸線上的磁感應強度的大??；(2)空心處任一點空心處任一點磁感應強度。磁感應強度。 aRdrO O. .Rdroo 用用補償法補償法：小圓柱體通有等量反向電流密度。：小圓柱體通有等量反向電流密度。j j=RI()2r2 =Ij jr2=RI()2r2r2設小圓柱體中的電流為設小圓柱體中的電流為故大圓柱體

12、軸線上的磁感應強度大小為故大圓柱體軸線上的磁感應強度大小為2 d=0BR()2r2r2I 0大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講一、磁感應強度的計算=Ij jd2I=R()2r2d2()0B2=R2r2dI 0 （2 2）小圓柱體的電流在小圓柱體的電流在O 點的磁感應強度為零，點的磁感應強度為零， 所以所以O 的磁場等于大圓柱體電流在該點的的磁場等于大圓柱體電流在該點的磁場。磁場。 . .Rdroo 大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講一、磁感應強度的計算B(3)(3)空心部分中任一點空心部分中任一點P的磁感應強度的磁感應強度RrdIoBPoo 1r 1B2r2Bx2L1Ioo

13、 2I1LydPB1012rjB 2022rjB 21BBB 102rj 202rj )(2210rrj dj 20 空腔內為垂直于空腔內為垂直于 的均勻磁場：的均勻磁場：d)rR(IdB2202 大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講一、磁感應強度的計算練習：如圖，沿練習：如圖，沿Z軸放置兩根相互絕緣的長直非磁性導體，其中軸放置兩根相互絕緣的長直非磁性導體，其中的電流分別沿的電流分別沿Z軸的正方向和負方向，電流強度均為軸的正方向和負方向，電流強度均為I，圖中畫，圖中畫斜線部分為兩導體的正截面，設兩圓的半徑均為斜線部分為兩導體的正截面，設兩圓的半徑均為R，兩圓心的間，兩圓心的間距也為距也

14、為R，且每根導體中的電流都只均勻地分布在其自身的正截，且每根導體中的電流都只均勻地分布在其自身的正截面內。試求兩根導體之間空白區(qū)域內的磁場分布。面內。試求兩根導體之間空白區(qū)域內的磁場分布。xy大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講一、磁感應強度的計算二、磁力和力矩的計算、洛侖茲力、洛侖茲力B Bq qf fm m v2、安培力、安培力 B Bl lI IF FF Fdd在均勻磁場中在均勻磁場中B Br rI IB Bl lI IF F 起末起末3、磁力矩（勻場中）、磁力矩（勻場中）B Be eN NI IS SM M n3、磁力（矩）的功、磁力（矩）的功 IA應特別注意霍耳電勢的產生機理

15、及其應用應特別注意霍耳電勢的產生機理及其應用大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算關于洛侖茲力應注意關于洛侖茲力應注意B Bq qf fm m v(1) (1) 在均勻磁場中在均勻磁場中B B 勻速圓周運動勻速圓周運動不不垂垂直直與與B B帶電粒子作螺旋運帶電粒子作螺旋運動動qBmkkTdt2cos q q 帶電粒子螺旋運動帶電粒子螺旋運動到某指定點的條件到某指定點的條件(2) (2) 在非均勻磁場中在非均勻磁場中B B 橫向漂移橫向漂移不不垂垂直直與與B B螺旋運動螺旋運動+ +磁約束磁約束大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講例例1 1 在一個電視顯象管的電

16、子束中，電子能量為在一個電視顯象管的電子束中，電子能量為E，這，這個顯象管的取向使電子水平地由南向北運動，該處地球個顯象管的取向使電子水平地由南向北運動，該處地球磁場的垂直分量向下，大小為磁場的垂直分量向下，大小為B 。(1)電子束受地磁場的電子束受地磁場的影響將偏向什么方向？影響將偏向什么方向？ (2)電子的加速度是多少？電子的加速度是多少？ (3)電電子束在顯象管內在南北方向上通過子束在顯象管內在南北方向上通過y y時將偏轉多遠？時將偏轉多遠？vB東東南南西西北北fm解：解：(1) (1) 電子束向東偏轉電子束向東偏轉2Emv=(2)BFq=v=anFm=Bqvm大學物理競賽培訓第五講大學

17、物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算BRq=vm(3)(3)電子的軌跡為一圓周電子的軌跡為一圓周yxxyxRovB東東南南西西北北fm西西東東Rx =x =R2R2y112()=R RyR2偏轉量為：偏轉量為：2=2yR大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算例例3 3 一長一長l、高高h、寬寬b的矩形管，其上下兩側面為金屬板，的矩形管，其上下兩側面為金屬板，前后兩面為絕緣板，用導線將兩金屬板相連，金屬板和前后兩面為絕緣板，用導線將兩金屬板相連，金屬板和導線的電線可忽略，今有電阻率為導線的電線可忽略，今有電阻率為的高溫高壓等離子的高溫高壓等離子體氣流過矩形管，其體氣流

18、過矩形管，其流速與管兩端壓強成正比，且流速與管兩端壓強成正比，且流速流速為為vo時時管兩端壓強為管兩端壓強為Po，試計算在垂直于矩形管左右平，試計算在垂直于矩形管左右平面的方向加感應強度為面的方向加感應強度為B B 的均勻磁場后，管中等離子氣的均勻磁場后，管中等離子氣的流速。的流速。大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算vhbBmf+ + + + +qlv mf HE解解：設載流子電量為設載流子電量為q，載流子濃度為載流子濃度為n它受到與它受到與v方向相反的方向相反的洛侖茲力為洛侖茲力為f =qvB在上下方向上利用電流在上下方向上利用電流密度與電阻率的關系密度與電阻率

19、的關系 HEnqj BEH nqB nBf2 bhlBF2 大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算vhbBmf+ + + + +qlv mf HE bhlBF2 因為此力方向與因為此力方向與v反向，故將在管兩端產生附加壓強反向，故將在管兩端產生附加壓強 lBbhFp2 p pp pp p 0實實際際：由題設：由題設：00pp 02001plB 大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算練習：磁流體的工作原理如圖所示，橫截面為矩形的管道長為練習：磁流體的工作原理如圖所示，橫截面為矩形的管道長為l，寬為寬為a，高為，高為b，上、下兩個側面是絕緣體，左

20、右兩側面為電阻可，上、下兩個側面是絕緣體，左右兩側面為電阻可略的導體，且這兩個側面與電阻為略的導體，且這兩個側面與電阻為的負載相連。整個管道置于的負載相連。整個管道置于勻強磁場區(qū)域，且勻強磁場區(qū)域，且垂直于水平面向上。管道內沿長度方向流有垂直于水平面向上。管道內沿長度方向流有電阻率為電阻率為 的電離氣體，氣體流速處處相等，并設所受摩擦阻力的的電離氣體，氣體流速處處相等，并設所受摩擦阻力的大小與流速成正比?，F在管的兩端維持恒定的壓強差大小與流速成正比?，F在管的兩端維持恒定的壓強差，無磁場，無磁場時氣體的流速為時氣體的流速為v 。試求：有磁場存在時，此發(fā)電機的電動勢。試求：有磁場存在時，此發(fā)電機的

21、電動勢。ablRB0大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算例例4 4 半徑為半徑為R 的平面圓形線圈中載有電流的平面圓形線圈中載有電流I2，另一無限，另一無限長直導線長直導線AB 中載有電流中載有電流I1。設設AB通過圓心，并和圓形通過圓心，并和圓形線圈在同一平面內（如圖）線圈在同一平面內（如圖）, ,求圓形線圈所受的磁力求圓形線圈所受的磁力. . RI1I2BA.FdRxy2I dlqqd2IFdFdFd解：解：BFd=2I dlq qRd=dl0F=y 由對稱性由對稱性acosI 02=1BRq q19010sinBFd=2I dl=2Iq qRdcosI 02

22、Rq q1大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算Fd=xFd cosq q=2Iq qdI 021=F=xFFd x2=2Iq qdI 021 0=2II 01Fd=2Iq qRdcosI 02 Rq q1.FdRxy2I dlqqd2IFdFdFd大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算變變1:1:若若AB與圓心相距與圓心相距d (d R ) 仍在同一平面內。求圓仍在同一平面內。求圓線圈所受的磁力。線圈所受的磁力。RI1I2BAdFdRxy2I dlqqdFd2I0F =y由對稱性由對稱性cosI 02Rq q1d+()=1B1BFd=2I

23、dlFd=xFd cosq q=2Iq qRdcosI 02Rq q1d+()cosq q=F=xFFd x=2Iq qRdcosI 02Rq q1d+()cosq q 20()2II 0R1d22d1d d大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講=2Iq qRdcosI 02Rq q1d+()二、磁力和力矩的計算變變2:2:若直電流垂直于圓電流所在平面放置且與圓線圈相若直電流垂直于圓電流所在平面放置且與圓線圈相切。求圓線圈所受的磁力矩。切。求圓線圈所受的磁力矩。RI21Ixyl dI21Bq qq qrIB 2101 r所受的磁場力：所受的磁場力：電流元電流元dldlI I2q q q

24、qsin2sin21021dlrIIdlIBdF 方向垂直線圈平面向外，對方向垂直線圈平面向外，對y y軸的力矩軸的力矩dlIIrdFdMq q q q2210sin2sin q q2q qq qRdRddl2)2( q qq q dRIIdM2210sin RIIdRIIdMM21022221021sin q qq q 大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算其他：求下列電流之間的相互作用：其他：求下列電流之間的相互作用：IIo大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算例例5 5如圖，一質量為如圖，一質量為m的的U形導線，其上段長形導線，其上段長

25、l，處在均勻磁場，處在均勻磁場B中，兩端浸沒在水銀槽中。當接通電流脈沖時，這導線就會從水中，兩端浸沒在水銀槽中。當接通電流脈沖時，這導線就會從水銀槽中跳起來。試由導線跳起所達到的高度銀槽中跳起來。試由導線跳起所達到的高度h 計算電流脈沖的電計算電流脈沖的電荷量荷量qlBHgI解：解：qBl= Bifldt= dt0t0tBil= dt0tmv0=mv f dt0t由動量原理：由動量原理：v0=0)(qBl=mv上跳過程上跳過程122=mvmghqBl=m2gh大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算例例6 6 如圖，在均勻外磁場如圖，在均勻外磁場B中，中， 有一邊長為有

26、一邊長為l、載有電流載有電流I 的正的正方形線圈，線圈可以繞通過中心的豎直軸方形線圈，線圈可以繞通過中心的豎直軸OO轉動，其轉動慣量轉動，其轉動慣量為為J。求線圈在平衡位置附近作微小振動的周期。求線圈在平衡位置附近作微小振動的周期T 。BIoo解：設磁力矩為解：設磁力矩為M q qMBsin=pm l2Iq qB由轉動定律由轉動定律: :J2dtM =q qd2l2Iq qBJdt=q qd2式中的負號是因為磁力矩和式中的負號是因為磁力矩和q 角符號相反角符號相反0+l2Iq qBJ2dt=q qd20+q q2dt=q qd22大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算

27、 變變1 1 一羅盤針質量為一羅盤針質量為m、長為、長為l，可視為均勻細棒，并可繞過中，可視為均勻細棒，并可繞過中點的驅動軸在水平面內自由轉動。若已知羅盤針的磁矩為點的驅動軸在水平面內自由轉動。若已知羅盤針的磁矩為p , ,在在方向指北、水平分量為方向指北、水平分量為B的地磁場中相對正北方向作小角擺動，的地磁場中相對正北方向作小角擺動，求其擺動頻率。求其擺動頻率。 pmBqMsinpmq q=BMpmq q=Bd2q qdt2=J+d2q qdt2pmq q=0BJ解：解： =pmBJ1212 =pmBml2112 =pmBJfm大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算

28、練習練習1如圖，在絕緣水平桌面上放置一半徑為如圖，在絕緣水平桌面上放置一半徑為r r、質量為、質量為mm的載流圓環(huán)，其豎直上方另有一完全相同但通有等大、反向的載流圓環(huán)，其豎直上方另有一完全相同但通有等大、反向的電流的圓環(huán)，若它們在相距為的電流的圓環(huán)，若它們在相距為h h時恰好能使上圓環(huán)漂浮不動。時恰好能使上圓環(huán)漂浮不動。1)1)、試求此時兩圓環(huán)中的電流強度大小；、試求此時兩圓環(huán)中的電流強度大??；2)2)、若使上圓環(huán)保持水平，并使其稍稍偏上或偏下，則圓環(huán)、若使上圓環(huán)保持水平，并使其稍稍偏上或偏下，則圓環(huán)將上、下振動，試求振動周期將上、下振動，試求振動周期。hrr大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講二、磁力和力矩的計算三、介質中磁場的有關計算磁化強度矢量與磁化電流的關系磁化強度矢量與磁化電流的關系nMjmmIMabcd磁介質中的磁場磁介質中的磁場M MB BH H 0H HM Mm m H HH HB Br r 0m mr r 1大學物理競賽培訓第五講大學物理競賽培訓第五講例例1 1 在均勻磁化在均勻磁化( (磁化強度為磁化強度為M) )的無限大磁介質中的無限大磁介質中, ,有一高為有一高為h、半徑為半徑為r (r r故磁化電流可等效為載流長直螺線管故磁化電流可等效為載流長直螺線管M Mi iI In