數(shù)學建模綜合評價類問題

1、 姓名： 常志勇 辦公地點：數(shù)學與統(tǒng)計學院 統(tǒng)計學系 電話：電子郵箱： 0.評價問題 “評價”為衡量評定人或事物的價值。新華字典 如：咱們班誰最高？誰家最有錢？ 誰是高富帥？一個樹的價值是？第一節(jié)第一節(jié) 綜合評價方法的基本概念 綜合評價的問題綜合評價的問題: :對被評價對象所進行的對被評價對象所進行的客觀、公正、合理客觀、公正、合理的全面評價。通常的綜合評價問題都是有若干個同類的的全面評價。通常的綜合評價問題都是有若干個同類的被評價對象被評價對象( (或系統(tǒng)或系統(tǒng)) )，每個被評價對象往往都涉及到，每個被評價對象往往都涉及到多個屬性（或指標）多個屬性（或指標）。 綜合

2、評價的目的綜合評價的目的: :根據系統(tǒng)的屬性判斷確定這些系統(tǒng)的運行根據系統(tǒng)的屬性判斷確定這些系統(tǒng)的運行（或發(fā)展）狀況哪個優(yōu)，哪個劣，即按優(yōu)劣對各被評價對象進（或發(fā)展）狀況哪個優(yōu)，哪個劣，即按優(yōu)劣對各被評價對象進排排序或分類序或分類。這類問題又稱為這類問題又稱為多屬性（或多指標）的綜合評價問題多屬性（或多指標）的綜合評價問題。如：如：教師績效測評教師績效測評。 綜合評價的應用綜合評價的應用: :研究多目標決策問題的前提，因此研究解決這研究多目標決策問題的前提，因此研究解決這類問題在實際中是很有意義的，特別是在政治、經濟、社會及軍事類問題在實際中是很有意義的，特別是在政治、經濟、社會及軍事管理、工

3、程技術及科學決策等領域都有重要的應用價值。管理、工程技術及科學決策等領域都有重要的應用價值。 構成綜合評價問題的五個要素分別為構成綜合評價問題的五個要素分別為: :被評價對象、評價指標、被評價對象、評價指標、權重系數(shù)、綜合評價模型和評價者。權重系數(shù)、綜合評價模型和評價者。1.1.被評價對象被評價對象 被評價對象就是綜合評價問題中所研究的對象，被評價對象就是綜合評價問題中所研究的對象，或稱為系統(tǒng)。通常情況下，在一個問題中被評價或稱為系統(tǒng)。通常情況下，在一個問題中被評價對象是屬于同一類的，且個數(shù)要大于對象是屬于同一類的，且個數(shù)要大于1 1，不妨假設，不妨假設一個綜合評價問題中有一個綜合評價問題中有

4、 個被評價對象（或系個被評價對象（或系統(tǒng)），分別記為統(tǒng)），分別記為 。 2.2.評價指標評價指標 評價指標評價指標是反映被評價對象是反映被評價對象( (或系統(tǒng)或系統(tǒng)) )的運行的運行( (或發(fā)展或發(fā)展) )狀況的基本要素。通常的問題都是有狀況的基本要素。通常的問題都是有多多項指標項指標構成，每一項指標都是從不同的側面刻畫構成，每一項指標都是從不同的側面刻畫系統(tǒng)所具有某種特征大小的一個度量。系統(tǒng)所具有某種特征大小的一個度量。 一個綜合評價問題的評價指標一般可用一個綜合評價問題的評價指標一般可用一個一個向量向量表示，其中每一個分量就是從一個側面反映表示，其中每一個分量就是從一個側面反映系統(tǒng)的狀態(tài)，

5、即稱為系統(tǒng)的狀態(tài)，即稱為綜合評價的指標體系。綜合評價的指標體系。 n12,(1)nS SS n3 3權重系數(shù)權重系數(shù) 每一綜合評價的問題都有相應的評價目的，針對某種評價目每一綜合評價的問題都有相應的評價目的，針對某種評價目的，各評價指標之間的相對重要性是不同的，評價指標之間的這種的，各評價指標之間的相對重要性是不同的，評價指標之間的這種相對重要性的大小可以用權重系數(shù)來刻畫。如果用相對重要性的大小可以用權重系數(shù)來刻畫。如果用 來表示評價來表示評價指標指標 的的權重系數(shù)權重系數(shù)，則應有則應有 且且 。jw(1,2,)jxjm0(1,2,)jwjm11mjjw 評價指標體系應遵守的原則：系統(tǒng)性、科學

6、性、可比性、可測性評價指標體系應遵守的原則：系統(tǒng)性、科學性、可比性、可測性（即可觀測性）和獨立性。這里不妨設系統(tǒng)有（即可觀測性）和獨立性。這里不妨設系統(tǒng)有 個評價指標（或屬個評價指標（或屬性），分別記為性），分別記為 ，即評價指標向量為，即評價指標向量為 。 12,(1)mx xxm m12( ,)Tmx xxx 注意到注意到: :當各被評價對象和評價指標值都確定以后，問題的綜當各被評價對象和評價指標值都確定以后，問題的綜合評價結果就完全依賴于權重系數(shù)的取值了，即權重系數(shù)確定的合評價結果就完全依賴于權重系數(shù)的取值了，即權重系數(shù)確定的合理與否，直接關系到綜合評價結果的可信度，甚至影響到最后合理與

7、否，直接關系到綜合評價結果的可信度，甚至影響到最后決策的正確性。決策的正確性。4.4.綜合評價模型綜合評價模型 對于多指標（或多因素）的綜合評價問題對于多指標（或多因素）的綜合評價問題, ,就是要通過建立合就是要通過建立合適的綜合評價數(shù)學模型將多個評價指標綜合成為一個適的綜合評價數(shù)學模型將多個評價指標綜合成為一個整體的綜合整體的綜合評價指標評價指標，作為綜合評價的依據，從而得到相應的評價結果。，作為綜合評價的依據，從而得到相應的評價結果。 不妨假設不妨假設n n個被評價對象的個被評價對象的m m個評價指標向量為個評價指標向量為 指標權重向量為指標權重向量為 ，由此構造綜合評價函數(shù)為，由此構造綜

8、合評價函數(shù)為 。 12( ,)Tmx xxx12(,)Tmw www( , )yfw x 如果已知各評價指標的如果已知各評價指標的 個觀測值為個觀測值為 5 5 ，其中，其中 ，則可以計算出各系統(tǒng)的綜合，則可以計算出各系統(tǒng)的綜合評價值評價值 ， 。根據。根據 值的大小將這值的大小將這 個系統(tǒng)進行排序或分類，即得到綜合評價結果。個系統(tǒng)進行排序或分類，即得到綜合評價結果。5.評價者評價者 評價者是直接參與評價的人，可以是某一個人，也可以是一個團評價者是直接參與評價的人，可以是某一個人，也可以是一個團體。對于評價目的選擇、評價指標體系確定、評價模型的建立和權重體。對于評價目的選擇、評價指標體系確定、

9、評價模型的建立和權重系數(shù)的確定都與評價者有關。系數(shù)的確定都與評價者有關。 n (1,2, ;ijxin1,2,)jm( )( ,)iiyfw x( )12(,)iTiiimxxxx(1,2, )in(1,2, )iy inn綜合評價的一般步驟：綜合評價的一般步驟： 明確評價目的；確定被評價對象；建立明確評價目的；確定被評價對象；建立評價指標體系（包括評價指標的原始值、評價指標體系（包括評價指標的原始值、評價指標的若干預處理等）；確定與各項評價指標的若干預處理等）；確定與各項評價指標相對應的權重系數(shù)；選擇或構造評價指標相對應的權重系數(shù)；選擇或構造綜合評價模型；計算各系統(tǒng)的綜合評價值綜合評價模型；

10、計算各系統(tǒng)的綜合評價值, ,并給出綜合評價結果。并給出綜合評價結果。構造權重的方法構造權重的方法1. 多元統(tǒng)計方法，如多元回歸、主成分分析、多元統(tǒng)計方法，如多元回歸、主成分分析、因子分析等。因子分析等。2. 模糊數(shù)學方法：由模糊數(shù)學發(fā)展而來，包括模糊數(shù)學方法：由模糊數(shù)學發(fā)展而來，包括模糊聚類、模糊判別、模糊綜合評價等方法。模糊聚類、模糊判別、模糊綜合評價等方法。3. 簡易方法：主要包括頭腦風暴法、層次分析簡易方法：主要包括頭腦風暴法、層次分析法、法、Topsis法、秩和比法等法、秩和比法等4. 其他，如：數(shù)據包絡分析法，熵值法等其他，如：數(shù)據包絡分析法，熵值法等 第二節(jié)第二節(jié) 模糊綜合評判綜合

11、評判是綜合決策的內容。模糊綜合評判又稱為模糊綜合決策或模糊多元決策下面以電腦評判為例來說明如何評價。某同學想購買一臺電腦，他關心電腦的以下幾個指標：“運算功能（數(shù)值、圖形等）”；“存儲容量（內、外存）”；“運行速度（CPU、主板等）”；“外設配置（網卡、多媒體部件等）”；”價格”。于是請同宿舍幾個同學一起去買電腦。1u=“運算功能（數(shù)值、圖形等）”；2u=“存儲容量（內、外存）”；3u=“運行速度（CPU、主板等）”；4u=“外設配置（網卡、調制調解器、多媒體部件等）”；5u=“價格”。,54321uuuuuU 稱因素集。為了數(shù)學處理簡單，先令評語集,4321vvvvV 其中1v=“很受歡迎”

12、；2v=“較受歡迎”；3v=“不太受歡迎”；=“不受歡迎”；4v任選幾臺電腦，請同學和購買者對各因素進行評價。若一個給定的電腦，對于運算功能 有20%的人認為是“很受歡迎”，50%的人認為“較受歡迎”，30%的人認為“不太受歡迎” ，沒有人認為“不受歡迎”，則 的單因素評價向量為,1u1u)0 , 3 . 0 , 5 . 0 , 2 . 0(1R同理，對存儲容量 ，運行速度 ，外設配置 和價格2u3u4u分別作出單因素評價，得5u) 1 . 0 , 5 . 0 , 3 . 0 , 1 . 0(2R) 1 . 0 , 5 . 0 , 4 . 0 , 0(3R)3 . 0 , 6 . 0 , 1

13、. 0 , 0(4R組合成評判矩陣4,R3,R2,R1,R5(0.5,0.3,0.2,0.0)R 5RR0 . 02 . 03 . 05 . 03 . 06 . 01 . 00 . 01 . 05 . 04 . 00 . 01 . 05 . 03 . 01 . 00 . 03 . 05 . 02 . 0R對微機的要求是：工作速度快，外設配置較齊全，價格便宜，而對運算和存儲量則要求不高。于是得各因素的權重分配向量：(0.1,0.1,0.3,0.15,0.35)A 作模糊變換：存儲容量 運行速度 外設配置 價格運算功能 BA R(0.1 0.1 0.3 0.15 0.35)0 . 02 . 03

14、. 05 . 03 . 06 . 01 . 00 . 01 . 05 . 04 . 00 . 01 . 05 . 03 . 01 . 00 . 03 . 05 . 02 . 0(0.10.2)(0.10.1)(0.30.0)(0.150.0)(0.350.5),(0.10.5)(0.10.3)(0.30.4)(0.150.1)(0.350.3),(0.10.3)(0.10.5)(0.30.5)(0.150.6)(0.350.2),(0.10.0)(0.10.1)(0.30.1)(0.150.3)(0.350.0)(0.10.2)(0.10.1)(0.30.0)(0.150.0)(0.350.5

15、),(0.10.5)(0.10.3)(0.30.4)(0.150.1)(0.350.3),(0.10.3)(0.10.5)(0.30.5)(0.150.6)(0.350.2),(0.10.0)(0.10.1)(0.30.1)(0.150.3)(0.350.0)(0.00.35,0.10.3,0.150.2,0.050.0)15. 0 , 3 . 0 , 3 . 0 ,35. 0(若進一步將結果歸一化得：)14. 0 ,27. 0 ,27. 0 ,32. 0(B結果表明，該用戶對這種微機表現(xiàn)為“最受歡迎”的程度為0.32，“

16、較受歡迎”和“不太受歡迎”的程度為0.27，“不受歡迎”的程度為0.14。按最大隸屬原則，結論是：該電腦“很受歡迎”。模糊數(shù)學知識簡介 設設U是論域，映射是論域，映射A(x)：U0,1確定了一確定了一個個U上的模糊子集上的模糊子集A，映射，映射A(x)稱為稱為A的隸的隸屬函數(shù)，它表示屬函數(shù)，它表示x對對A的隸屬程度的隸屬程度. 使使A(x) = 0.5的點的點x稱為稱為A的過渡點，此點最的過渡點，此點最具模糊性具模糊性. 當映射當映射A(x)只取只取0或或1時，模糊子集時，模糊子集A就是經就是經典子集，而典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù)就是它的特征函數(shù). 可見經可見經典子集就是模糊子集的特殊

17、情形典子集就是模糊子集的特殊情形.例 設論域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個模糊集“高個子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為也可用也可用Zadeh表示法：表示法：140190140)(xxA100200100)(xxA65432118 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxxA6543219 . 08 . 06 . 042. 02 . 015. 0 xxxxxxA隸屬函數(shù)的確定隸屬函數(shù)的確定 1. 1. 模糊統(tǒng)計方法模糊統(tǒng)計方法 2. 2. 指派方法

18、指派方法 3. 3. 借用已有的借用已有的“客觀客觀”尺度尺度(A) = A = x | A(x) - -截集：截集： 模糊集的模糊集的 - -截集截集A 是一個經典集合，由隸是一個經典集合，由隸屬度不小于屬度不小于 的成員構成的成員構成. . 例：論域例：論域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6( (學生集學生集) )，他們的成績依次為他們的成績依次為50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“學學習成績好的學生習成績好的學生”的隸屬度分別為的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.950.5,0.6,0.7,0.8, 0.9

19、,0.95，則，則A0.9 (90分以上者分以上者) = u5 , u6,A0.6 (60分以上者分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6.常用的綜合評判模型 1、主因素決定型 2、主因素突出型 3、加權平均型),( M),(M),(M),( M第三節(jié)第三節(jié) 層次分析模型層次分析模型背背景景 日常工作、生活中的決策問題日常工作、生活中的決策問題 涉及經濟、社會等方面的因素涉及經濟、社會等方面的因素 作比較判斷時人的主觀選擇起相當作比較判斷時人的主觀選擇起相當大的作用，各因素的重要性難以量化大的作用，各因素的重要性難以量化 Saaty于于1970年代提出層次分析法年代提出層次分析

20、法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP一種一種定性與定量相結合的、定性與定量相結合的、系統(tǒng)化、層次化系統(tǒng)化、層次化的分析方法的分析方法目標層目標層O(選擇旅游地選擇旅游地)P2黃山黃山P1桂林桂林P3北戴河北戴河準則層準則層方案層方案層C3居住居住C1景色景色C2費用費用C4飲食飲食C5旅途旅途一一. . 層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟例例. . 選擇旅游地選擇旅游地如何在如何在3 3個目的地中按照景色、個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇費用、居住條件等因素選擇. .“選擇旅游地選擇旅游地”思維過程的歸思維過程的歸納納 將決策問題分為將

21、決策問題分為3個層次：目標層個層次：目標層O，準則層，準則層C，方案層方案層P；每層有若干元素，；每層有若干元素， 各層元素間的關系各層元素間的關系用相連的直線表示。用相連的直線表示。 通過相互比較確定各準則對目標的權重，及各方通過相互比較確定各準則對目標的權重，及各方案對每一準則的權重。案對每一準則的權重。 將上述兩組權重進行綜合，確定各方案對目標的將上述兩組權重進行綜合，確定各方案對目標的權重。權重。層次分析法將定性分析與定量分析結合起來層次分析法將定性分析與定量分析結合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結果。完成以上步驟，給出決策問題的定量結果。1135/13/11125/13/13/

22、12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1, 0,)(層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟成對比較陣成對比較陣和權向量和權向量 元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度 設要比較各準則設要比較各準則C1,C2, , Cn對目標對目標O的重要性的重要性ijjiaCC:A成對比較陣成對比較陣A是正互反陣是正互反陣要由要由A確定確定C1, , Cn對對O的權向量的權向量選選擇擇旅旅游游地地nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21222121211171242/11A成對比較的不一致情況成對比較的不一致情況):(2/

23、12112CCa ):(43113CCa ):(83223CCa 一致比較一致比較不一致不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況考察完全一致的情況nwwwW,) 1(21jiijwwa/令權向量),(21Tnwwww成對比較陣和權向量成對比較陣和權向量wAwnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221212111成對比較完全一致的情況成對比較完全一致的情況nkjiaaaikjkij, 2 , 1,滿足滿足的正互反陣的正互反陣A稱稱一致陣一致陣，如，如 A的秩為的秩為1，A的唯一非零特征根為的唯一非零特征根為n A的任一列

24、向量是對應于的任一列向量是對應于n 的特征向量的特征向量 A的歸一化特征向量可作為權向量的歸一化特征向量可作為權向量對于不一致對于不一致( (但在允許范圍內但在允許范圍內) )的成對的成對比較陣比較陣A，建議用對應于最大特征根，建議用對應于最大特征根 的特征向量作為權向量的特征向量作為權向量w ，即，即一致陣一致陣性質性質成對比較陣和權向量成對比較陣和權向量2 4 6 8比較尺度比較尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2, , 9及其互反數(shù)及其互反數(shù)1,1/2, , 1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 ija相同相同 稍強稍強 強強 明顯強明顯強 絕對強絕對強

25、的重要性jiCC :jiCC :aij = 1,1/2, ,1/9的重要性與上面相反的重要性與上面相反 心理學家認為成對比較的因素不宜超過心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個個 用用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27種比較尺度對若干實例構造成對比較種比較尺度對若干實例構造成對比較陣，算出權向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)，陣，算出權向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)， 19尺度較優(yōu)。尺度較優(yōu)。 便于定性到定量的轉化：便于定性到定量的轉化：成對比較陣和權向量成對比較陣和權向量一致性檢驗一致性檢驗對對A確定不一致的允許范圍確定不一致的允許范圍已知：

26、已知：n 階一致陣的唯一非零特征根為階一致陣的唯一非零特征根為n可證：可證：n 階正互反陣最大特征根階正互反陣最大特征根 n, 且且 =n時為一致陣時為一致陣1nnCI定義一致性指標定義一致性指標:CI 越大，不一致越嚴重越大，不一致越嚴重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110為衡量為衡量CI 的大小，引入的大小，引入隨機一致性指標隨機一致性指標 RI隨機模隨機模擬得到擬得到aij , 形成形成A，計算，計算CI 即得即得RI。定義一致性比率定義一致性比率 CR = CI/RI 當當CR0.1時，通過

27、一致性檢驗時，通過一致性檢驗Saaty的結果如下的結果如下“選擇旅游地選擇旅游地”中中準則層對目標的權準則層對目標的權向量及一致性檢驗向量及一致性檢驗1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A準則層對目標的準則層對目標的成對比較陣成對比較陣最大特征根最大特征根 =5.073權向量權向量( (特征向量特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指標一致性指標隨機一致性指標隨機一致性指標 RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.

28、1通過一致通過一致性檢驗性檢驗組合權向量組合權向量記第記第2層（準則）對第層（準則）對第1層（目標）層（目標）的權向量為的權向量為Tnwww),()2()2(1)2(同樣求第同樣求第3層層(方案方案)對第對第2層每一元素層每一元素(準則準則)的權向量的權向量12/15/1212/15211B方案層對方案層對C1(景色景色)的成對比較陣的成對比較陣1383/1138/13/112B方案層對方案層對C2(費用費用)的成對比較陣的成對比較陣CnBn最大特征根最大特征根 1 2 n 權向量權向量 w1(3) w2(3) wn(3) 第第3層對第層對第2層的計算結果層的計算結果k)3(kwkkCI10.

29、5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權向量組合權向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通過一致性檢驗均可通過一致性檢驗 w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110方案方案P1對目標的組合權重為對目標的組合權重為0.595 0.263+ =0.300方案層對目標的組合權向量為方案層對目標的組合權向量為 (0.300, 0.246, 0.456)TTnwww),()2()2(1)2

30、()2()3()3(wWw組合組合權向量權向量第第1層層O第第2層層C1,Cn第第3層層P1, PmnkwwwTkmkk, 2 , 1,),()3()3(1)3(第第2層對第層對第1層的權向量層的權向量第第3層對第層對第2層各元素的權向量層各元素的權向量,)3()3(1)3(nwwW構造矩陣構造矩陣則第則第3層對第層對第1層的組合權向量層的組合權向量)2()3() 1()()(wWWWwsss第第s層對第層對第1層的組合權向量層的組合權向量其中其中W(p)是由第是由第p層對第層對第p-1層權向量組成的矩陣層權向量組成的矩陣層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結構模型）建立層

31、次分析結構模型深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標準則或指標準則或指標方案或對象），上層受下層影響，而層內方案或對象），上層受下層影響，而層內各因素基本上相對獨立。各因素基本上相對獨立。2）構造成對比較陣）構造成對比較陣用成對比較法和用成對比較法和19尺度，構造各層對上一層每一因素的尺度，構造各層對上一層每一因素的成對比較陣。成對比較陣。3）計算權向量并作一致性檢驗）計算權向量并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權向量。檢驗，若通過，則

32、特征向量為權向量。4）計算組合權向量（作組合一致性檢驗）計算組合權向量（作組合一致性檢驗*）組合權向量可作為決策的定量依據。組合權向量可作為決策的定量依據。二二. . 層次分析法的廣泛應用層次分析法的廣泛應用 應用領域：經濟計劃和管理，能源政策和分配，應用領域：經濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產決策，交通運輸，科研選題，人才選拔和評價，生產決策，交通運輸，科研選題，產業(yè)結構，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。產業(yè)結構，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。 處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。 建立層次分析結構模型是關鍵一步，要有主要決建立層次分析結構

33、模型是關鍵一步，要有主要決策層參與。策層參與。 構造成對比較陣是數(shù)量依據，應由經驗豐富、判構造成對比較陣是數(shù)量依據，應由經驗豐富、判斷力強的專家給出。斷力強的專家給出。國家綜合實力國家綜合實力國民國民收入收入軍事軍事力量力量科技科技水平水平社會社會穩(wěn)定穩(wěn)定對外對外貿易貿易美、俄、中、日、德等大國美、俄、中、日、德等大國工作選擇工作選擇貢貢獻獻收收入入發(fā)發(fā)展展聲聲譽譽關關系系位位置置供選擇的崗位供選擇的崗位例例1 國家國家實力分析實力分析例例2 工作選擇工作選擇過河的效益過河的效益 A經濟效益經濟效益B1社會效益社會效益B2環(huán)境效益環(huán)境效益B3節(jié)節(jié)省省時時間間C1收收入入C2岸岸間間商商業(yè)業(yè)C3

34、當當?shù)氐厣躺虡I(yè)業(yè)C4建建筑筑就就業(yè)業(yè)C5安安全全可可靠靠C6交交往往溝溝通通C7自自豪豪感感C8舒舒適適C9進進出出方方便便C10美美化化C11橋梁橋梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3（1）過河效益層次結構）過河效益層次結構例例3 橫渡橫渡江河、海峽江河、海峽方案的抉擇方案的抉擇(2002(2002年賽年賽) )過河的代價過河的代價 A經濟代價經濟代價 B1環(huán)境代價環(huán)境代價B3社會代價社會代價B2投投入入資資金金C1操操作作維維護護C2沖沖擊擊渡渡船船業(yè)業(yè)C3沖沖擊擊生生活活方方式式C4交交通通擁擁擠擠C5居居民民搬搬遷遷C6汽汽車車排排放放物物C7對對水水的的污污染染C8對對生生態(tài)態(tài)的的破破壞壞

35、C9橋梁橋梁D1隧道隧道D2渡船渡船D2（2）過河代價層次結構）過河代價層次結構例例3 橫渡橫渡江河、海峽江河、海峽方案的抉擇方案的抉擇待評價的科技成果待評價的科技成果直接直接經濟經濟效益效益 C11間接間接經濟經濟效益效益 C12社會社會效益效益 C13學識學識水平水平 C21學術學術創(chuàng)新創(chuàng)新 C22技術技術水平水平 C23技術技術創(chuàng)新創(chuàng)新 C24效益效益C1水平水平C2規(guī)模規(guī)模C3科技成果評價科技成果評價例例4 科技成果科技成果的綜合評價的綜合評價三三. 層次分析法的若干問題層次分析法的若干問題 正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？

36、一致性指標能否反映正互反陣接是否為正向量？一致性指標能否反映正互反陣接近一致陣的程度？近一致陣的程度？ 怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？ 為什么用特征向量作為權向量？為什么用特征向量作為權向量？ 當層次結構不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用當層次結構不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？層次分析法？1. 正互反陣的最大特征根和特征向量的性質正互反陣的最大特征根和特征向量的性質定理定理1 1 正矩陣正矩陣A 的的最大特征根最大特征根 是正單根，對應是正單根，對應正特征向量正特征向量w，且，且TkTkkeweAeeA) 1 , 1 , 1

37、 (,lim定理定理2 2 n階階正互反陣正互反陣A的最大特征根的最大特征根 n , = n是是A為一致陣的充要條件。為一致陣的充要條件。 正互反陣的最大特征根是正數(shù)，正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。特征向量是正向量。一致性指標一致性指標 定義合理定義合理1nnCI2. 正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算 精確計算的復雜和不必要精確計算的復雜和不必要 簡化計算的思路簡化計算的思路一致陣的任一列向量都是特征向量，一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應近似特征向量，可取一致性尚好的正互反陣的列向量都應近似特征向量，可

38、取其某種意義下的平均。其某種意義下的平均。（1）和法）和法取列向量的算術平均取列向量的算術平均14/ 16/ 1412/ 1621A例091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 0w089. 0324. 0587. 0286. 0974. 0769. 1Aw009. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31列向量列向量歸一化歸一化算術算術平均平均wAw精確結果精確結果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010(2)根法根法取列向量的幾何平均取列向量的幾何平均(3)冪法冪法迭代算

39、法迭代算法1）任取初始向量）任取初始向量w(0), k:=0，設置精度，設置精度 )()1(kkAww2) 計算計算nikikkwww1)1()1()1(/3）歸一化）歸一化nikikiwwn1)()1(15) 計算計算簡化簡化計算計算4）若）若 ，停止；，停止；否則，否則，k:=k+1, 轉轉2)()1(maxkikiiww3. 特征向量作為權向量特征向量作為權向量成對比較的多步累積效應成對比較的多步累積效應問題問題一致陣一致陣A, 權向量權向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wjA不一致不一致, 應選權向量應選權向量w使使wi/wj與與 aij相差相差盡量?。▽λ斜M量小（對所有i,

40、j)。211),1(min ninjjiijniwwwai用擬合方法確定用擬合方法確定w非線性非線性最小二乘最小二乘211),1(lnlnmin ninjjiijniwwwai線性化線性化對數(shù)最小二乘對數(shù)最小二乘結果與根法相同結果與根法相同 按不同準則確定的權向量不按不同準則確定的權向量不同，特征向量有什么優(yōu)點。同，特征向量有什么優(yōu)點。成對比較成對比較Ci:Cj (直接比較）直接比較） aij 1 1步強度步強度)()2(2ijaA sjnsisijaaa1)2(aisasj Ci通過通過Cs 與與Cj的比較的比較aij(2) 2步強度步強度更能反映更能反映Ci對對Cj 的強度的強度步強度kaaAkijkijk),()()(多步累積效應多步累積效應體現(xiàn)體現(xiàn)多步累積效應多步累積效應), 1,)()()()(00nsaaaakkkjikjskiskjskis（或定理定理1 1weAeeAkTkklim特征向量體現(xiàn)特征向量體現(xiàn)多步累積效應多步累積效應當當k足