基金最佳使用計劃

1、1一、基金最佳使用計劃一、基金最佳使用計劃1、問題的提出、問題的提出 某?；饡幸还P數(shù)額為某校基金會有一筆數(shù)額為M元的基金，打算將其存入元的基金，打算將其存入銀行銀行 或購買國庫券。當(dāng)前銀行存款及各期國庫券的利或購買國庫券。當(dāng)前銀行存款及各期國庫券的利率見下表。率見下表。 銀行存款稅后年利率銀行存款稅后年利率（%）國庫券年利率國庫券年利率（%）活期活期0.792半年期半年期1.664一年期一年期1.800二年期二年期1.9442.55三年期三年期2.1602.89五年期五年期2.3043.14 假設(shè)國庫券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時間不定。取假設(shè)國庫券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時間不定。取款政策參考

2、銀行的現(xiàn)行政策?？钫邊⒖笺y行的現(xiàn)行政策。2?；饡媱澰谛；饡媱澰趎年內(nèi)每年用部分本息獎勵優(yōu)秀師生，年內(nèi)每年用部分本息獎勵優(yōu)秀師生，每年的獎金額。每年的獎金額。 請你幫助?；饡谌缦虑闆r下設(shè)計基金使用方案，請你幫助?；饡谌缦虑闆r下設(shè)計基金使用方案， 并對并對5000M萬元，萬元，10n年給出具體結(jié)果：年給出具體結(jié)果： 1）只存款不購國庫券；）只存款不購國庫券；2）可存款也可購國庫券）可存款也可購國庫券 3）學(xué)校在基金到位后的第）學(xué)校在基金到位后的第3年要舉行百年校慶，年要舉行百年校慶，基金會希望這一年的獎金比其它年度多基金會希望這一年的獎金比其它年度多20%。 要求每年的獎金額大致

3、相同，且在要求每年的獎金額大致相同，且在n年末仍保留原基金年末仍保留原基金數(shù)額。數(shù)額。?；饡Ｍ@得最佳的基金使用計劃，以提高校基金會希望獲得最佳的基金使用計劃，以提高32、問題分析、問題分析 定期存款年限越長，存款稅后年利率越大。因此，在不影響?yīng)劷鸢l(fā)放的情況下，應(yīng)盡可能存年限較長的定期存款，這樣才能獲得較高的利息。 此基金的最佳使用計劃是：拿出一部分基金存入一年定期，一年后的本息 全部用于發(fā)放第一年的獎金再拿出一部分基金存入二年定期，二年后的本息全部用于發(fā)放第二年的獎金 以此類推，且每年發(fā)放獎金數(shù)額相同最后一年存入銀行的款項(xiàng)在發(fā)完獎金后仍然為基金總額M。 4 同期國庫券年利率明顯高于銀行存

4、款的年利率，盡可能多購國庫券 國庫券發(fā)行時間不固定，若一味的追求高利率，可能會增加活期存款所占的比重，平均年利率不一定為最優(yōu)。分析研究在每個年限n種最佳的方案歸納出公式，并針對具體數(shù)值M=5000萬元，n=10年求出最佳存儲方案用問題一、二所歸納出的方案，只需把第三年的獎金增加20%，再分別代入兩個最優(yōu)方案，可求出在兩種不同情況下的最佳基金存款方案 。53 、模型假設(shè)、模型假設(shè) 1）每年發(fā)放獎學(xué)金一次，且均在年末發(fā)放。 2）銀行發(fā)行國庫券時間不固定。 3）國庫券可在發(fā)行當(dāng)日購買。 4）國庫券在沒有到期之前，不得進(jìn)行貼現(xiàn)。4模型建立模型建立 問題一：只存款不購買國庫券的情況。定理定理1 一定數(shù)額

5、的資金一定數(shù)額的資金H先存定期先存定期m年再存定期年再存定期k年和先存定期年和先存定期k年再存定期年再存定期m年，本息和相等。年，本息和相等。)5 , 3 , 2 , 1 (, km（6證明：證明： 設(shè)Lm、Lk分別為定期m年和k年的年利率,(1)mHmL先存定期k年再定期m年的本息和為 先存定期m年再存定期k年的本息和為 (1)kHkL定理定理1得證。得證。 (1)kkL(1)mmL推論推論1、一定數(shù)額的資金H若把存款年限n分成j個存期， jnnnnn321其中，ni0.5,1,2,3,5，則n年后本息和與存期順序無關(guān)。 資金H:7 定理定理2、使一定數(shù)額的資金、使一定數(shù)額的資金H存儲存儲n

6、年后本息和最大的年后本息和最大的存款策略為存款策略為當(dāng)當(dāng)n=1時，存定期時，存定期1年；年；當(dāng)當(dāng)n=2時，存定期時，存定期2年；年；當(dāng)當(dāng)n=3時，存定期時，存定期3年；年；當(dāng)當(dāng)n=4時，先存定期時，先存定期3年，然后再存定期年，然后再存定期1年；年；當(dāng)當(dāng)n=5時，存定期時，存定期5年；年；當(dāng)當(dāng)5n時，首先存儲時，首先存儲5n個個5年定期，年定期， 剩余年限存儲情況與剩余年限存儲情況與5n時相同。時相同。 證明：證明： 下表中用形如下表中用形如(I,j)的形式表示存款策略，的形式表示存款策略， (I,j)表示先存表示先存i年定期，再年定期，再j年定期。年定期。8表表1 銀行存款各種存款策略年均利

7、率銀行存款各種存款策略年均利率存款策略存款策略銀行存款稅后年銀行存款稅后年均利率（均利率（%）最佳存款策最佳存款策銀行存款稅后最佳年均利銀行存款稅后最佳年均利率（率（%）一年期一年期（1）1.800(1)1.800二年期二年期（1,1）1.816(2)1.944（2）1.944三年期三年期（1,1,1）1.833(3)2.164(2,1)1.919(3)2.160四年期四年期(1,1,1,1)1.849(3,1)2.099(2,2)1.982(3,1)2.099五年期五年期(1,1,1,1,1)1.866(5)2.304(2,2,1)1.974(3,2)2.124(5)2.304六年期六年期(

8、3,3)2.230(5,1)2.255(5,1)2.2559 由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（和（3,3）。）。 由由1,2,3,5四種定期能夠組成的策略（四種定期能夠組成的策略（5年定期不重復(fù)）年定期不重復(fù)）只能有（只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5), (5,1), (5,2),(5,3), (5,3,1)九種，九種， 它們分別對應(yīng)它們分別對應(yīng)n=1到到9年的最優(yōu)存款策略，年的最優(yōu)存款策略， 當(dāng)當(dāng)9n時的最佳存款策略只能是首先重復(fù)存時的最佳存款策略只能是首先

9、重復(fù)存5n個定期個定期5年，年， 剩余年限剩余年限)5,mod( n只能是只能是1、2、3、4, 當(dāng)當(dāng))5 ,mod(n=3時，再存時，再存3年定期；年定期； 當(dāng)當(dāng))5 ,mod(n=4時，先存時，先存3年定期，再存年定期，再存1年定期。年定期。 定理定理2得證。得證。 10定理定理3 基金基金M使用使用n年的情況，首先把年的情況，首先把M分成分成n份份 其中第其中第)1 (nii份基金份基金,ix 存款期限為存款期限為i年，年， 那么只有當(dāng)?shù)谀敲粗挥挟?dāng)?shù)? 11 (nii份基金份基金ix按最優(yōu)按最優(yōu)i年后年后 策略存款策略存款存款存款的本息和等于當(dāng)年的獎學(xué)金數(shù)的本息和等于當(dāng)年的獎學(xué)金數(shù), 并

10、且第并且第n份基金按最佳存款策略存款份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于年后的本息和等于 原基金原基金M與當(dāng)年的獎學(xué)金數(shù)之和時，每年發(fā)放的獎學(xué)金才與當(dāng)年的獎學(xué)金數(shù)之和時，每年發(fā)放的獎學(xué)金才能達(dá)到最多。能達(dá)到最多。 證明：證明： 當(dāng)當(dāng)n=1時，即將基金存入銀行一年后的所得利息時，即將基金存入銀行一年后的所得利息全部用于發(fā)放獎學(xué)金，此種情況顯然成立。全部用于發(fā)放獎學(xué)金，此種情況顯然成立。 當(dāng)當(dāng)1n時，首先需要證明：時，首先需要證明： 第一份基金第一份基金1x存入銀行存入銀行1年定期，年定期， 到期后本息和正好到期后本息和正好 等于獎學(xué)金數(shù)額等于獎學(xué)金數(shù)額 即即 11%)8 . 11/(,%)

11、8 . 11 (11pxpx下面試用反證法予以證明：下面試用反證法予以證明：假設(shè)假設(shè)%)8 . 11/(1 px，可分兩種情況：，可分兩種情況：（一）假設(shè)（一）假設(shè)%)8 . 11/(1 px，那么基金，那么基金1x存入銀行存入銀行1年后，年后， 到期本息和小于獎學(xué)金數(shù)額到期本息和小于獎學(xué)金數(shù)額, p為了使每年的獎學(xué)金數(shù)額盡可能相同，所差資金為了使每年的獎學(xué)金數(shù)額盡可能相同，所差資金只能從其它定期存款中按活期存款提前支取，只能從其它定期存款中按活期存款提前支取， 這樣的這樣的結(jié)果比按結(jié)果比按%)8 . 11/(1 px存入一年定期（即到期存入一年定期（即到期本息和正好本息和正好 等于獎學(xué)金數(shù)額

12、），等于獎學(xué)金數(shù)額）， 其它基金均按定期其它基金均按定期的總利息要少。的總利息要少。 為使獎學(xué)金數(shù)額最大，為使獎學(xué)金數(shù)額最大， 所以所以 1x %)8 . 11/( p存款存款12（二）假設(shè)（二）假設(shè)%)8 . 11/(1 px，那么基金，那么基金1x存入銀行存入銀行1年，年， 到期后本息和大于獎學(xué)金數(shù)額到期后本息和大于獎學(xué)金數(shù)額, p剩余資金再按最優(yōu)存款策略存剩余資金再按最優(yōu)存款策略存k年，這種情況所年，這種情況所 得利息顯然不比在開始時多余部分資金直接最優(yōu)得利息顯然不比在開始時多余部分資金直接最優(yōu) 存款策略存存款策略存1k年后利息多，年后利息多， 所以所以1x %).8 . 11/( p因

13、此因此%)8 . 11/(1 px 同理可證，同理可證， 為使獎學(xué)金數(shù)額最大，第為使獎學(xué)金數(shù)額最大，第i份基金份基金 ) 11 (nixi按最優(yōu)存款策略存按最優(yōu)存款策略存i年后本息和應(yīng)正好等于獎學(xué)金數(shù)額。年后本息和應(yīng)正好等于獎學(xué)金數(shù)額。第第n份基金為份基金為11niixM存儲存儲n年應(yīng)按最佳策略存款。年應(yīng)按最佳策略存款。 13根據(jù)問題條件，第根據(jù)問題條件，第n份基金按最優(yōu)策略存份基金按最優(yōu)策略存n年后年后 所得本息和應(yīng)為所得本息和應(yīng)為. pM 定理定理3得證。得證。5模型的求解模型的求解由定理由定理1、2及定理及定理3可得可得n年的最佳存款方案公式一年的最佳存款方案公式一: 其中其中)1 (n

14、ixi表示把基金表示把基金M分成分成n份中的第份中的第i份基金，份基金， p為每年的獎學(xué)金數(shù)額為每年的獎學(xué)金數(shù)額 px%)8 . 11 (1px)2%944. 11 (2px)3%16. 21 (314px%)8 . 11)(3%16. 21 (4px)5%304. 21 (505516)()(5555jjnjpxpxpxjjjj且且當(dāng)當(dāng)）（，pxpxjj55)(055jj當(dāng)當(dāng)MpxpxpxMninnni)()(11)55(5515根據(jù)上公式可用根據(jù)上公式可用Matlab求得求得n=10年，年，M=5000萬元時萬元時 基金使用的最佳方案：基金使用的最佳方案： 獎學(xué)金獎學(xué)金816947.109

15、p（萬元）（萬元）16表表2 ix值及其存值及其存i年的最佳存款策略年的最佳存款策略2x3x4x5x6x7x8x9x10 x資金數(shù)額（萬元）資金數(shù)額（萬元）最佳存款策略最佳存款策略107.875194(1)105.707057(2)103.133872(3)101.310287(3,1)98.472872(5)96.731702(5,1)94.787533(5,2)92.480158(5,3)90.844949(5,3,1)4108.656375(5,5)1x17 M=5000萬元，萬元，n=10年基金使用最佳方案（單位：萬元）年基金使用最佳方案（單位：萬元） 存存1年年 定期定期 存存2年年

16、定期定期 存存3年年定期定期 存存5年定年定期期取款數(shù)額取款數(shù)額每年發(fā)放獎每年發(fā)放獎學(xué)金數(shù)額學(xué)金數(shù)額第一第一年初年初107.75194105.707057204.44441594581.97359第一第一年末年末109.816947109.816947第二第二年末年末109.816947109.816947第三第三年末年末107.75194217.692141109.816947第四第四年末年末109.816947109.816947第五第五年末年末107.75194105.707057204.44441594691.7902815109.816947109.81694718M=5000萬元，

17、萬元，n=10年基金使用最佳方案（單位：萬元）年基金使用最佳方案（單位：萬元）存存1年年定期定期存存2年年定期定期存存3年年定期定期存存5年年定期定期取款數(shù)額取款數(shù)額每年發(fā)放獎學(xué)每年發(fā)放獎學(xué)金數(shù)額金數(shù)額第六第六年末年末109.816947109.816947第七第七年末年末109.816947109.816947第八第八年末年末107.875194217.692141109.816947第九第九年末年末109.816947109.816947第十第十年末年末5109.816947109.81694719問題二的求解問題二的求解 我們對可購買國庫券也可存款這種情況，考慮到我們對可購買國庫券也可存

18、款這種情況，考慮到國庫券發(fā)行日期不定，若準(zhǔn)備購買它，則一般需要國庫券發(fā)行日期不定，若準(zhǔn)備購買它，則一般需要等待一段時間，因?yàn)橐荒陜?nèi)至少發(fā)行一次國庫券，等待一段時間，因?yàn)橐荒陜?nèi)至少發(fā)行一次國庫券，有可能上半年發(fā)行，也有可能下半年發(fā)行，所以我有可能上半年發(fā)行，也有可能下半年發(fā)行，所以我們首先把準(zhǔn)備購買國庫券的資金全部按半年定期存?zhèn)兪紫劝褱?zhǔn)備購買國庫券的資金全部按半年定期存儲，如果上半年未發(fā)行國券，儲，如果上半年未發(fā)行國券，7月月1日取出本息后再日取出本息后再存半年定期，如果下半年的某日比如存半年定期，如果下半年的某日比如8月月1日發(fā)行國日發(fā)行國庫券，則取出資金購買國庫券，但這部分資金未到庫券，則取

19、出資金購買國庫券，但這部分資金未到期，只能按活期計息。期，只能按活期計息。 如果是購買兩年國庫券，則兩年國庫券到期，如果是購買兩年國庫券，則兩年國庫券到期，因未到期末，肯定面對繼續(xù)采取怎樣的存儲策略的因未到期末，肯定面對繼續(xù)采取怎樣的存儲策略的問題，或者存定期，或者存活期，或者等待購買國問題，或者存定期，或者存活期，或者等待購買國庫券。庫券。 20 如果等待購買國庫券，因國庫券發(fā)行時間未定，如果等待購買國庫券，因國庫券發(fā)行時間未定，有可能還要等待將近一年的時間，如果準(zhǔn)備存整有可能還要等待將近一年的時間，如果準(zhǔn)備存整年定期，那么等到基金使用最后一年的年定期，那么等到基金使用最后一年的8月月1日即

20、日即可到期，剩下的可到期，剩下的5個月只能存活期。個月只能存活期。 根據(jù)定理根據(jù)定理2可得：可得： 推論推論2 購買國庫券時，需要存半年的定期和總共半年的活期。購買國庫券時，需要存半年的定期和總共半年的活期。 一定數(shù)量的資金存儲一定數(shù)量的資金存儲n年，存期種類相同，任意改年，存期種類相同，任意改變順序，本息保持不變，再加上以上分析，如果準(zhǔn)變順序，本息保持不變，再加上以上分析，如果準(zhǔn)備購買兩年期國庫券可以這樣想象：先存半年定期，備購買兩年期國庫券可以這樣想象：先存半年定期，再存再存1個月的活期，在個月的活期，在8月月1日購買兩年期的國庫券，日購買兩年期的國庫券，兩年后的兩年后的8月月1日取出國庫

21、券本息后，再存日取出國庫券本息后，再存5個月的活個月的活期，即需要存半年的定期和總共半年的活期。期，即需要存半年的定期和總共半年的活期。21 單位資金購買兩年國庫券、存入銀行半年定期和單位資金購買兩年國庫券、存入銀行半年定期和半年活期后的本息為：半年活期后的本息為： 0638. 1)5 . 0%644. 11 ()5 . 0%792. 01 ()2%55. 21 (這種存款策略稍劣于存入銀行的三年定期，這種存款策略稍劣于存入銀行的三年定期，其年利率為：其年利率為：%13. 20213. 03/ ) 10638. 1 ( 同理，單位資金購買三年期國庫券、存入銀行同理，單位資金購買三年期國庫券、存

22、入銀行半年定期和半年活期后的本息為：半年定期和半年活期后的本息為：09997. 1)5 . 0%644. 11 ()5 . 0%792. 01 ()3%89. 21 (這種存儲策略稍優(yōu)于存入銀行的四年定期，其年利率為：這種存儲策略稍優(yōu)于存入銀行的四年定期，其年利率為： 22%499. 202499. 04/ ) 109997. 1 ( 單位資金購買五年期國庫券、存入銀行半年單位資金購買五年期國庫券、存入銀行半年定期和半年活期后的本息為：定期和半年活期后的本息為： 1711. 1)5 . 0%644. 11 ()5 . 0%792. 01 ()5%14. 31 ( 這種存儲策略稍優(yōu)于存入銀行的六

23、年定期，這種存儲策略稍優(yōu)于存入銀行的六年定期，其年利率為：其年利率為：%852. 202852. 06/ ) 11711. 1 ( 在上面的分析中，因購買國庫券而帶來的總共半年在上面的分析中，因購買國庫券而帶來的總共半年的兩次活期存款，其本息是按一次半年活期計算的它的兩次活期存款，其本息是按一次半年活期計算的它與按一次半年活期計算，其本息差別很小，可以忽略與按一次半年活期計算，其本息差別很小，可以忽略不計。不計。所以，可以不考慮購買兩年國庫券情況。所以，可以不考慮購買兩年國庫券情況。 23 購買三年期國庫券再加半年活期和半年定期共四年購買三年期國庫券再加半年活期和半年定期共四年的平均年利率的平

24、均年利率2.499%大于先存三年定期再存一年定期大于先存三年定期再存一年定期存款最大的四年平均年利率存款最大的四年平均年利率2.099%。 所以，增加一項(xiàng)定期四年存款，其年利率為所以，增加一項(xiàng)定期四年存款，其年利率為2.499%。 購買五年國庫券再加半年活期和半年定期共六年購買五年國庫券再加半年活期和半年定期共六年的平均年利率的平均年利率2.852%大于先存五年定期再存一年定大于先存五年定期再存一年定期存款最大的六年平均年利率期存款最大的六年平均年利率2.255%.所以，增加一項(xiàng)定期六年存款，其年利率為所以，增加一項(xiàng)定期六年存款，其年利率為2.852% 綜上分析，可購買國庫券的最優(yōu)銀行存款稅后

25、利率如下表6-16.24銀行存款稅后年利率（銀行存款稅后年利率（%）活期活期0.792半年期半年期1.644一年期一年期1.800二年期二年期1.944三年期三年期2.160四年期四年期2.499六年期六年期2.852 當(dāng)當(dāng)n=1時，基金只能存入銀行，使用方案參照問題一。時，基金只能存入銀行，使用方案參照問題一。 當(dāng)當(dāng)n=2時，可購買國庫券，但國庫券發(fā)行日期正好在時，可購買國庫券，但國庫券發(fā)行日期正好在1月月1日的概率非常小，也只能把基金存入二年定期，而日的概率非常小，也只能把基金存入二年定期，而不購買國庫券。不購買國庫券。25根據(jù)以上的推理，可得根據(jù)以上的推理，可得n年的最優(yōu)存儲方案公式二為

26、：年的最優(yōu)存儲方案公式二為： px%)8 . 11 (1px)2%944. 11 (2px)3%16. 21 (3px)5 . 0%644. 11)(5 . 0%792. 01)(3%89. 21 (4 px%)8 . 11)(5 . 0%644. 11)(5 . 0%792. 01)(3%89. 21 (5px)5 . 0%644. 11)(5 . 0%792. 01)(5%14. 31 (606 617)()(6666jjnjPxpxpxjjjj且且當(dāng)當(dāng)）（2606 6)(66jjPxpxjj當(dāng)MPxpxpxMnnnnii)()()66(6116據(jù)上公式用據(jù)上公式用Matlab可以求得可以

27、求得n=10年，年，M=5000萬元時萬元時基金使用的最優(yōu)方案：（單位：萬元）基金使用的最優(yōu)方案：（單位：萬元）每年獎學(xué)金：每年獎學(xué)金：423384.127P,654574.122,170318.12521xx27842454.115,668843.11943xx731825.104,879959.106,803799.108,794159.1138765xxxx271687.3980,182380.102109xx28問題三求解：問題三求解：方案一：只存款不購買國庫券方案一：只存款不購買國庫券 因?qū)W校要在基金到位后的第因?qū)W校要在基金到位后的第3年舉行校慶，所以年舉行校慶，所以此年獎金應(yīng)是其他

28、年度的此年獎金應(yīng)是其他年度的1.2倍，倍， 計算公式只需把公式一、公式二中：計算公式只需把公式一、公式二中： Px)3%16. 21 (3改為改為 Px2 . 1) 3%16. 21 (3利用利用matlab 軟件求解（程序略）軟件求解（程序略）M=5000萬元，萬元，n=10年基金使用最佳方案：（單位：萬元）年基金使用最佳方案：（單位：萬元）29M=5000萬元，萬元，n=10年基金使最佳方案（單位：萬元）年基金使最佳方案（單位：萬元） 存存1 1年年定期定期 存存2 2年年定期定期 存存3 3年年定期定期 存存5 5年年定期定期取款數(shù)額取款數(shù)額（到期本（到期本息和）息和）每年發(fā)放每年發(fā)放獎

29、學(xué)金數(shù)獎學(xué)金數(shù)額額第一第一年初年初105.650105.650679679103.527103.527252252220.429220.4297057054570.3924570.392364364每一每一年末年末107.55239107.552392 2107.5523107.55239292第二第二年末年末107.55239107.552392 2107.5523107.55239292第三第三年末年末105.650105.650679679234.71354234.713549 9129.0628129.06287070第四第四年末年末107.55239107.552392 2107.5

30、523107.55239292第五第五年末年末105.650105.650679679103.527103.527253253220.429220.4297057054678.1474678.1476026025107.75525107.7552392392107.5523107.5523929230M=5000萬元，萬元，n=10年基金使最佳方案（單位：萬元）年基金使最佳方案（單位：萬元） 存存1 1年年定期定期 存存2 2年年定期定期 存存3 3年年定期定期 存存5 5年年定期定期取款數(shù)額取款數(shù)額（到期本息（到期本息和）和）每年發(fā)放每年發(fā)放獎學(xué)金數(shù)額獎學(xué)金數(shù)額第一第一年初年初105.650

31、105.650679679103.52103.5272527252220.429220.4297057054570.34570.39236492364第六第六年末年末107.552392107.552392107.552392107.552392第七第七年末年末107.552392107.552392107.552392107.552392第八第八年末年末105.650105.650679679213.203071213.203071107.552392107.552392第九第九年末年末107.552392107.552392107.552392107.552392第十第十年末年末5107.7552325107.755232107.552392107.55239231方案二，既可存款又可購買國庫券方案二，既可存款又可購買國庫券當(dāng)當(dāng)n=1,2時不涉及到校慶問題，分配方案參照問題二。時不涉及到校慶問題，分配方案參照問題二。當(dāng)當(dāng)n=3時，將錢直接存入銀行，分配方案參照問題一。時，將錢直接存入銀行，分配方案參照問題一。 當(dāng)當(dāng)n=4時，執(zhí)行方案為購買三年期國庫券、一個