西安交大教授談如何學好高等數(shù)學課件

1、為什么要學習高等數(shù)學為什么要學習高等數(shù)學 高等數(shù)學是高等學校許多專業(yè)學生必修高等數(shù)學是高等學校許多專業(yè)學生必修的重要基礎(chǔ)理論課程。的重要基礎(chǔ)理論課程。數(shù)學主要是研究現(xiàn)數(shù)學主要是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式。實世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式。 在現(xiàn)實世界中，一切事物都發(fā)生變化，在現(xiàn)實世界中，一切事物都發(fā)生變化，并遵循量變到質(zhì)變的規(guī)律，并遵循量變到質(zhì)變的規(guī)律，凡是研究量的凡是研究量的大小，量的變化，量與量之間關(guān)系以及這大小，量的變化，量與量之間關(guān)系以及這些關(guān)系的變化，就少不了高等數(shù)學。些關(guān)系的變化，就少不了高等數(shù)學。 數(shù)學不但研究數(shù)量關(guān)系與空間形式，還數(shù)學不但研究數(shù)量關(guān)系與空間形式，還研究現(xiàn)實世界的

2、任何關(guān)系和形式。因此，研究現(xiàn)實世界的任何關(guān)系和形式。因此，數(shù)學的研究對象是抽象的關(guān)系與形式，數(shù)數(shù)學的研究對象是抽象的關(guān)系與形式，數(shù)學研究的是各種抽象的學研究的是各種抽象的“數(shù)數(shù)”和和“形形”的模的模式式結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)。 恩格斯說：恩格斯說：“要辯證而又唯物地了解自然，要辯證而又唯物地了解自然，就必須掌握數(shù)學就必須掌握數(shù)學”。英國著名哲學家培根說：。英國著名哲學家培根說：“數(shù)學是打開科學大門的鑰匙數(shù)學是打開科學大門的鑰匙”。 數(shù)學數(shù)學如今已經(jīng)越來越被人們認為是在科學如今已經(jīng)越來越被人們認為是在科學發(fā)展中具有高度重視課程。它不僅發(fā)展中具有高度重視課程。它不僅是各專業(yè)是各專業(yè)的后繼課程所必需。而且它本身

3、就是科學思維，的后繼課程所必需。而且它本身就是科學思維，邏輯分析的素質(zhì)邏輯分析的素質(zhì)*訓練。訓練。通俗地說數(shù)學是通俗地說數(shù)學是思維方法的體操。思維方法的體操。 自然科學各學科數(shù)學化的趨勢，社會科學自然科學各學科數(shù)學化的趨勢，社會科學各部門定量化的要求，使許多學科都在直接各部門定量化的要求，使許多學科都在直接間接地，或先或后地經(jīng)歷著一場數(shù)學化的進間接地，或先或后地經(jīng)歷著一場數(shù)學化的進程。程。 聯(lián)合國教科文組織在一份調(diào)查報告中強調(diào)聯(lián)合國教科文組織在一份調(diào)查報告中強調(diào)指出：指出：“目前科學研究工作的特點之一是各目前科學研究工作的特點之一是各門學科的數(shù)學化門學科的數(shù)學化”?！胺催^來科學技術(shù)的發(fā)展，反過

4、來科學技術(shù)的發(fā)展，又成為數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展的源泉與動力。又成為數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展的源泉與動力?！?數(shù)學有一個特殊的位置，它是一個專門數(shù)學有一個特殊的位置，它是一個專門的領(lǐng)域，但又為其他科學領(lǐng)域提供思維的的領(lǐng)域，但又為其他科學領(lǐng)域提供思維的工具。工具。 在在常量數(shù)學時期常量數(shù)學時期, ,即即“初等數(shù)學初等數(shù)學”時期時期，在，在這個時期里，數(shù)學已由具體的階段過渡到抽這個時期里，數(shù)學已由具體的階段過渡到抽象的階段，并逐漸形成一門獨立的、演繹的象的階段，并逐漸形成一門獨立的、演繹的科學?？茖W。數(shù)學的發(fā)展的幾個主要階段數(shù)學的發(fā)展的幾個主要階段 算術(shù)、初等幾何、初等代數(shù)、三角學等算術(shù)、初等幾何、初等代數(shù)、三角學等

5、都已成為獨立的分支都已成為獨立的分支這個時期的基本成這個時期的基本成果就構(gòu)成現(xiàn)在中學課程的主要內(nèi)容。果就構(gòu)成現(xiàn)在中學課程的主要內(nèi)容。 在在變量數(shù)學時期變量數(shù)學時期, ,即即“高等數(shù)學高等數(shù)學”時期時期。這個。這個時期以時期以17世紀中葉笛卡兒的解析幾何的誕生世紀中葉笛卡兒的解析幾何的誕生為起點為起點, ,在這一時期用運動和變化的觀點來在這一時期用運動和變化的觀點來探究事物變化和發(fā)展的規(guī)律。探究事物變化和發(fā)展的規(guī)律。 變量與函數(shù)的概念進入了數(shù)學，隨后產(chǎn)生變量與函數(shù)的概念進入了數(shù)學，隨后產(chǎn)生了微積分。這個時期基本成果是解析兒何、了微積分。這個時期基本成果是解析兒何、微積分、線性代數(shù)、微分方程等，微

6、積分、線性代數(shù)、微分方程等，就是現(xiàn)今就是現(xiàn)今高等院校中的基礎(chǔ)課程。高等院校中的基礎(chǔ)課程。 在在現(xiàn)代數(shù)學時期，現(xiàn)代數(shù)學時期，這個時期始于這個時期始于1919世紀中葉世紀中葉直到現(xiàn)在。在這個階段，數(shù)學研究的對象被推直到現(xiàn)在。在這個階段，數(shù)學研究的對象被推廣，這相應(yīng)地引起了量的關(guān)系和空間形式在概念廣，這相應(yīng)地引起了量的關(guān)系和空間形式在概念本身的重大突破。本身的重大突破。 現(xiàn)代數(shù)學不僅研究各種變化著的量的關(guān)系，現(xiàn)代數(shù)學不僅研究各種變化著的量的關(guān)系，而且研究各種量之間的可能關(guān)系和形式。而且研究各種量之間的可能關(guān)系和形式。 數(shù)學基礎(chǔ)學科數(shù)學基礎(chǔ)學科之間、數(shù)學和物理等其他學之間、數(shù)學和物理等其他學科之間科之

7、間相互交叉和滲透相互交叉和滲透，形成了許多邊緣學形成了許多邊緣學科和綜合性學科?？坪途C合性學科。 集合論、集合論、計算數(shù)學、電子計算機等的出現(xiàn)計算數(shù)學、電子計算機等的出現(xiàn)和發(fā)展構(gòu)成了現(xiàn)在豐富多彩、滲透到各個科和發(fā)展構(gòu)成了現(xiàn)在豐富多彩、滲透到各個科學技術(shù)部門的現(xiàn)代數(shù)學。學技術(shù)部門的現(xiàn)代數(shù)學。 高等數(shù)學課教學的特點高等數(shù)學課教學的特點 (1) 課堂大。課堂大。高等數(shù)學一般都是一個系同高等數(shù)學一般都是一個系同年級的幾個小班合班上課。教師授課的基點，年級的幾個小班合班上課。教師授課的基點，只能照顧大多數(shù)，不可能給跟不上、聽不全只能照顧大多數(shù)，不可能給跟不上、聽不全懂的少數(shù)同學細講、重復(fù)講。懂的少數(shù)同學

8、細講、重復(fù)講。 (2) 時間長時間長, ,連貫性強。連貫性強。高等數(shù)學每上一次課，高等數(shù)學每上一次課，一般都是連續(xù)講授兩節(jié)一般都是連續(xù)講授兩節(jié)。而且各章的內(nèi)容有很而且各章的內(nèi)容有很強的連貫性。強的連貫性。 (3) 概念多，概念多，進度快。進度快。由于高等數(shù)學的內(nèi)容由于高等數(shù)學的內(nèi)容極為豐富極為豐富, ,而學時又有限，因此平均每一大節(jié)而學時又有限，因此平均每一大節(jié)課要講授教材的課要講授教材的8至至10頁（有時還更多）頁（有時還更多）, ,老師老師的講課主要是講重點、難點、疑點，講思路。的講課主要是講重點、難點、疑點，講思路。講概念多，推理多，舉例也較少。講概念多，推理多，舉例也較少。 高等數(shù)學的

9、主要學習內(nèi)容高等數(shù)學的主要學習內(nèi)容 高等數(shù)學高等數(shù)學的內(nèi)容為兩部分，即微積分學的內(nèi)容為兩部分，即微積分學和線性代數(shù)、空間解析幾何。但和線性代數(shù)、空間解析幾何。但主要是微主要是微積分學和線性代數(shù)。積分學和線性代數(shù)。 微積分學研究的對象是函數(shù)，而微積分學研究的對象是函數(shù)，而極限則極限則是微積分學的基礎(chǔ)，也是最主要的推理方法。是微積分學的基礎(chǔ)，也是最主要的推理方法。與微積分創(chuàng)立密切相關(guān)的科學技術(shù)問題，與微積分創(chuàng)立密切相關(guān)的科學技術(shù)問題， 從數(shù)學角度歸納起來有四類：從數(shù)學角度歸納起來有四類： 第一類第一類是，在已知是，在已知變速運動的變速運動的路程為時間路程為時間的函數(shù)時，求的函數(shù)時，求瞬時速度瞬時速

10、度和和加速度加速度； 第二類第二類是，求已知是，求已知曲線的切線曲線的切線； 第三類第三類是，求給定是，求給定函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值； 第四類第四類是，求給定是，求給定曲線長曲線長；求已知；求已知平面曲平面曲線圍成的面積線圍成的面積；求已知；求已知曲面圍成的體積曲面圍成的體積；求；求物體的重心；已知變速運動物體的速度、加物體的重心；已知變速運動物體的速度、加速度，求速度，求物體運動的路程與時間的關(guān)系物體運動的路程與時間的關(guān)系等。等。 第一類、第二類問題為第一類、第二類問題為微分學的基本內(nèi)容，微分學的基本內(nèi)容，屬于求函數(shù)的導數(shù)問題。屬于求函數(shù)的導數(shù)問題。第三類問題為第三類問題為

11、導數(shù)導數(shù)的應(yīng)用的應(yīng)用，也是微分學的主要內(nèi)容。第四類問，也是微分學的主要內(nèi)容。第四類問題屬于題屬于積分學的中心問題。積分學的中心問題。怎樣才能學好高等數(shù)學怎樣才能學好高等數(shù)學 要學好高等數(shù)學，首先要了解高等數(shù)學的要學好高等數(shù)學，首先要了解高等數(shù)學的特點，特點，高等數(shù)學具有三個顯著的特點：高等數(shù)學具有三個顯著的特點：高度的抽象性，嚴謹?shù)倪壿嬓愿叨鹊某橄笮?，嚴謹?shù)倪壿嬓?，廣泛的應(yīng)用性。廣泛的應(yīng)用性。 (1) 高度的抽象性。高度的抽象性。數(shù)學的抽象性在高等數(shù)學的抽象性在高等數(shù)學中非常突出。我們運用抽象的數(shù)字，概數(shù)學中非常突出。我們運用抽象的數(shù)字，概念來表達客觀變化的事物和規(guī)律，卻并不打念來表達客觀變化

12、的事物和規(guī)律，卻并不打算每次都把它同具體的對象聯(lián)系起來。算每次都把它同具體的對象聯(lián)系起來。 (2) 嚴謹?shù)倪壿嬓?。嚴謹?shù)倪壿嬓?。?shù)學的每一個定義，數(shù)學的每一個定義，定理，只有當它已經(jīng)從邏輯的推論上嚴格地定理，只有當它已經(jīng)從邏輯的推論上嚴格地被證明了的時候，才能在數(shù)學中成立。而且被證明了的時候，才能在數(shù)學中成立。而且每門課的各章節(jié)之間又有很強的連貫性。每門課的各章節(jié)之間又有很強的連貫性。 (3) 廣泛的應(yīng)用性。廣泛的應(yīng)用性。高等數(shù)學廣泛的應(yīng)用性高等數(shù)學廣泛的應(yīng)用性是很明顯的。是很明顯的。 一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限若數(shù)列若數(shù)列 nx及常數(shù)及常數(shù) a ，當當n 趨向于無窮大時趨向于無窮大時,趨向

13、于趨向于a 時，則稱時，則稱 xn 以以a為極限，記作為極限，記作 nxnnnnxaxa,lim讓我們來看一些實例：讓我們來看一些實例：怎樣來嚴格地刻畫這個概念呢？怎樣來嚴格地刻畫這個概念呢？若數(shù)列若數(shù)列 nx及常數(shù)及常數(shù) a 有下列關(guān)系有下列關(guān)系 :此時也稱數(shù)列此時也稱數(shù)列收斂收斂 , 否則稱為否則稱為數(shù)列數(shù)列發(fā)散發(fā)散。幾何解釋幾何解釋 :axan)(Nn 即nxU a( ,) )(Nn aaa)(1Nx2Nx0, ,N正數(shù)當當 n N 時時, 總有總有axn記作記作axnnlim或或nxa n() 則稱該數(shù)列則稱該數(shù)列nx的極限為的極限為 a ,時的時的無窮小量無窮小量 。定義定義1 .

14、若若0 xx 時時 , 函數(shù)函數(shù)( )0 ,f x 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf0 xx x) (或為當為當x) (或0無窮小量的運算和比較無窮小量的運算和比較*設(shè)設(shè) , 對同一自變量的變化過程為無窮小對同一自變量的變化過程為無窮小, 且且lim,0, )0(C,1 是 的高階無窮小 是 的低階無窮小 是 的同階無窮小 是 的等價無窮小實際上，整個微、積分可以說就是無窮小量的分析。實際上，整個微、積分可以說就是無窮小量的分析。, ()nxan 0nxa若若則則就是無窮小量無窮小量 。定義定義:)(xfy 在在0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù)則

15、稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)且且)(xfy xoy0 xxxy,0 xxx有有函數(shù)的增量：函數(shù)的增量：yf xf x0( )() )()(00 xfxxf當當,0 xxx為無窮小量時，為無窮小量時，yf xf x0( )() 也為無窮小量時，也為無窮小量時， 則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù)函數(shù)函數(shù)0 x)(xf在點在點連續(xù)有下列連續(xù)有下列等價命題等價命題:,0,0當xxx0時, 有0yf xf x( )() 曲線曲線)(:xfyC在在 M 點處的點處的切線

16、切線割線割線 M N 的極限位置的極限位置 M T(當 時) xyo)(xfy CNT0 xMx 割線割線 M N 的斜率的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切線切線 MT 的斜率的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 四、導數(shù)四、導數(shù)so0t)(0tf)(tft瞬時速度瞬時速度tt v0lim ftft0( )() tt0 切線斜率切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .變化率問題變化率問題類似問題還有:加速度角速度線密度電

17、流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限曲線的切線方程曲線的切線方程xyo)(xfy CNT0 xMx由直線的點斜式方程知由直線的點斜式方程知()tan ()()()00000yyk xxxxfxxx函數(shù)的極大值與極小值函數(shù)的極大值與極小值(1) )(xf “左左正正右右負負” ,;)(0取極小值在則xxf(2) )(xf “左左負負右右正正” ,.)(0取極大值在則xxf所以函數(shù)取得極值的必要條件是所以函數(shù)取得極值的必要條件是0fx0() ,)(0的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù)xxf內(nèi)有導數(shù),0時由小到大通過當xx

18、且在空心鄰域經(jīng)濟學的廠商理論里有一個稱為經(jīng)濟學的廠商理論里有一個稱為“邊際邊際”的概念。的概念。 設(shè)某廠商在組織生產(chǎn)時追求利潤極大。令他達到設(shè)某廠商在組織生產(chǎn)時追求利潤極大。令他達到利潤極大時的生產(chǎn)量為利潤極大時的生產(chǎn)量為q，產(chǎn)品的市場價格為產(chǎn)品的市場價格為p,故他故他的收入為的收入為p q。設(shè)他生產(chǎn)設(shè)他生產(chǎn)q 的成本為的成本為c (q),則他的利潤則他的利潤為為( )( )F qpqc q q0( )F q 當他生產(chǎn)當他生產(chǎn)q0使其使其達到利潤極大達到利潤極大時，他的時，他的邊際利潤必為零，邊際利潤必為零，即即0( )|( )0q qFqpc q 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形

19、是由連續(xù)曲線設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線以及兩直線bxax,所圍成所圍成 , 求其面積求其面積 A .矩形面積矩形面積ahhaahb梯形面積梯形面積)(2bah?A)(xfy 1) 化整為另化整為另. 在區(qū)間在區(qū)間 a , b 中中任意任意插入插入 n 1 個分點個分點nnaxxxxxb0121 用直線用直線ixx 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形個小曲邊梯形;2) 以常代變以常代變.iiixx1, 在第在第i 個窄曲邊梯形上個窄曲邊梯形上任取任取并以此小并以此小作以作以iixx1, 為底為底 ,if () 為高的小矩形為高的小矩形,梯形面積近似

20、代替相應(yīng)梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積窄曲邊梯形面積,iA得得iiiiiiAfxxxx1()() in,(1,2, ) 1xix1ixxabyoi if () niiAA1 niiifx1() 4) 取極限取極限. 令令ii nx1max, 則曲邊梯形面積則曲邊梯形面積niiAA01lim niiifx01lim() xabyo1xix1ixi解決步驟解決步驟:1) 化整為另化整為另. .2) 以常代變以常代變. .iiitt1, 任任取取,)(代替變速以iv得得iiisvt()in(1, 2, ) 設(shè)某物體作直線運動設(shè)某物體作直線運動,vv tC TT12( ),且且v t ( )0,

21、求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.已知速度已知速度將它將它在每個小段上在每個小段上isin(1, 2,)iittin1,(1, 2,), ,1,21個分點中任意插入在nTTn 個小段個小段物體經(jīng)物體經(jīng)過的路程為過的路程為分成分成niiissvt1() 4) 取極限取極限 .niiisvt01lim() ii nt1(max) 上述兩個問題的共性上述兩個問題的共性: 解決問題的方法步驟相同，即解決問題的方法步驟相同，即 :“化整為另化整為另 , 以常代變以常代變 , 近似和近似和 , 取極限取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限

22、。特殊乘積和式的極限。線性代數(shù)線性代數(shù)線性方程組的基本問題：線性方程組的基本問題： 解線性方程組的基本方法是解線性方程組的基本方法是消去法，消去法，何時有無窮多解？何時有無窮多解？如何求出通解（全部解）？如何求出通解（全部解）？何時無解？何時無解？ 何時有解何時有解何時有唯一解？何時有唯一解？11 11221331121 1222233221 12233nnnnmmmmnnma xa xa xa xba xa xa xa xba xa xa xa xb 11121121222212nnmmm nmaaabaaabAaaab 將線性方程組簡化和抽象為一個數(shù)組，將線性方程組簡化和抽象為一個數(shù)組，稱為系數(shù)的增廣矩陣。稱為系數(shù)的增廣矩陣。例如例如 求解線性方程組的解：求解線性方程組的解： 12312312312329223113660358xxxxxxxxxxxx 11292231136601358 12131423rr