高等數(shù)學(xué)第七章第三節(jié)數(shù)量積_向量積_混合積最終

1、返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五1第三節(jié)第三節(jié) 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積 * *混合積混合積 第七章第七章 （Scalar Product、Vector Product & Mixed Product of Vectors）四、小結(jié)與思考練習(xí)四、小結(jié)與思考練習(xí)一、向量的數(shù)量積一、向量的數(shù)量積二、向量的向量積二、向量的向量積三、向量的混合積三、向量的混合積*返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五21M一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線(xiàn)移動(dòng),W引例引例 設(shè)一物體在常力 F 作用下, F位移為 s , 則力F 所做的功為co

2、ssF2Ms返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五3 cos|sFW 啟示啟示 cos|baba 實(shí)例實(shí)例兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, , 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量結(jié)果是一個(gè)數(shù)量. .定義定義1 1、定義、定義sFW 數(shù)量積也稱(chēng)為數(shù)量積也稱(chēng)為“點(diǎn)積點(diǎn)積”、“內(nèi)積內(nèi)積”. .返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五4,0時(shí)當(dāng)a上的投影為在ab記作記作故,0,時(shí)當(dāng)同理babj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個(gè)非零非零向量, 則有Prjabcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0babeababjPraa即

3、：結(jié)論結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積量在這向量的方向上的投影的乘積. .返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五5關(guān)于數(shù)量積性質(zhì)的證明：關(guān)于數(shù)量積性質(zhì)的證明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 思考？思考？性質(zhì)性質(zhì)2對(duì)于零向量也是成立的嗎？對(duì)于零向量也是成立的嗎？返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18

4、日星期五60)2( ba.ba 所以性質(zhì)所以性質(zhì)對(duì)于任意向量都是成立的對(duì)于任意向量都是成立的返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五7ABCabccos2222abbac證證:則cos2222abbac如圖 . 設(shè),aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,例例1 證明三角形余弦定理返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五8(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實(shí)數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實(shí)上, 當(dāng)0c時(shí), 顯然成立 ;時(shí)當(dāng)0cc()abba

5、bcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacbPrj ()cab3. 運(yùn)算律（利用數(shù)量積的定義即得證）運(yùn)算律（利用數(shù)量積的定義即得證）返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五9設(shè)則, 10zzyyxxbababa當(dāng)為非零向量時(shí),cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,5. 兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示

6、 , 得4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五10另：兩向量垂直的充要條件為（用坐標(biāo)表示法）另：兩向量垂直的充要條件為（用坐標(biāo)表示法） ba0 zzyyxxbababa解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五11)(MB, )(MA BM, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:,

7、1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故已知三點(diǎn)例例3返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五12思考題思考題1思考思考題題2 書(shū)上書(shū)上P21返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五13二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例 設(shè)O 為杠桿L 的支點(diǎn) ,有一個(gè)與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個(gè)向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點(diǎn)上 ,則力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五14定義向量方向 :

8、(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱(chēng)c的與為向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積abba21S1. 定義定義返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五15向量的向量積 : 按下列方式確定的向量和是由設(shè)bac );b , a ( 0 ,sin|b| |a| |c| )1( ; ) ( , )2(所確定的平面與垂直于bacbcac , , )3(確定轉(zhuǎn)到按右手法則從的方向bac , 。記為的向量積與為則稱(chēng)bacbac , : 的角度四個(gè)手指以不超過(guò)伸開(kāi)右手右手法則 , 拇指的正向握攏時(shí)的正向轉(zhuǎn)向從b

9、a 。的正向所指的方向?yàn)閏abbac綜上：綜上：返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五16為非零向量, 則，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時(shí)當(dāng)baba0basinab03. 運(yùn)算律運(yùn)算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律(證明略)cba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:ab右手定則2. 性質(zhì)性質(zhì)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五17)(kajaiazyx)(kbjbibzyx設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(k

10、jbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk4. 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五18kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式計(jì)算見(jiàn)線(xiàn)性代數(shù)行列式計(jì)算見(jiàn)線(xiàn)性代數(shù)) 向量積的行列式計(jì)算法向量積的行列式計(jì)算法返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五19 向量積

11、的幾何意義 : 面積為鄰邊的平行四邊形的和以向量baab sin|b|a| h|a| S。 。bacABCDc , sin|b|a| |ba| |c| |ba| ba b a 的模的向量積與向量 : 面積為鄰邊的平行四邊形的與等于以baABCD S|ba|h|ba| 2 1 SAB 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五20, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積。 解解: 如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三例例4 已知三點(diǎn)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下

12、頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五21, )2,1,2(C),1, 1 ,3(B, )0,0, 1(A解解: 求一個(gè)垂直于平面II的向量n設(shè)平面II過(guò)空間三點(diǎn)例例5)1, 1 ,2(AB)2, 1, 1(AC211112kjiACABn 由題可知以上兩個(gè)向量不共線(xiàn)且它們均位于平面II內(nèi)，因而 垂直于平面II，故可取向量)3, 5, 1( ACAB 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五22解解: 記368(8 03)010, , ijkbaj368(8 03)010, , ijkbaj368(8 03)010, , ijkbaj1(8 03)73, , bb1(8 03)

13、73, , bb返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五23三三. 向量的混合積向量的混合積1. 向量的混合積的概念.2. 向量的混合積的坐標(biāo)形式. 3. 向量的混合積的幾何意義.返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五241. 向量的混合積的概念 ),( ),( ),( 則稱(chēng)設(shè)zyxzyxzyxccccbbbbaaaa , , )( 的混合積。為向量數(shù)值cbacba , , , , ?；虻幕旌戏e記為通常也將向量cbacbacba , , ),()( :的故由數(shù)量積的交換律cbabaccba )( ?；旌戏e也可表示為bac返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄20

14、22年3月18日星期五252. 向量的混合積的坐標(biāo)形式 ),( ),( ),( 則設(shè)zyxzyxzyxccccbbbbaaaa kbbaajbbaaibbaabbbaaakjibayxyxzxzxzyzyzyxzyx )(zyxyxyzxzxxzyzycbbaacbbaacbbaacba zyxzyxzyxcccbbbaaa返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五26 式向量的混合積的坐標(biāo)形 ),( ),( ),( 則設(shè)zyxzyxzyxccccbbbbaaaa )(zyxzyxzyxcccbbbaaacba zyxzyxzyxcccbbbaaacba或 a b c返回返回上

15、頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五27 zyxyxyzxzxxzyzycbbaacbbaacbbaa )(zyxzyxzyxaaacccbbbacb )( 。cbacccbbbaaazyxzyxzyx按第二行展開(kāi) 其余部分類(lèi)似可證。返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五282. 向量的混合積的幾何意義abcbacprjba , , 構(gòu)成設(shè)非零向量cba , )( 則如圖所示右手系 cprj |ba| c)ba(ba。 , 為鄰邊的以ba 平行四邊形的面積 , , 為鄰邊的以cba 平行六面體的高 , , )( ,體積。為鄰邊的平行六面體的表示以此時(shí)cbacba

16、返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五29 , )( , , 則時(shí)如圖所示構(gòu)成左手系設(shè)非零向量cba 0。cprjba | | | |)( |cprjbacbaba , , 為鄰邊的平行表示以cba ,此時(shí) 六面體的體積。 , , ,的混合積的絕對(duì)值等于非零向量綜上所述cba , , 體積。為鄰邊的平行六面體的以cbaabcbacprjba返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五30 混合積的幾何意義 ),( ),( ),( 則設(shè)zyxzyxzyxccccbbbbaaaa 體的體積為以它們?yōu)槔獾钠叫辛?|)( | cbaV 。zyxzyxzyxcccbb

17、baaa返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五31 ),7 , 4 , 2(D ),5 , 5 , 3(C ),4 , 4 , 3(B ),1 , 1 , 1(A例 : 3點(diǎn)中不在同一平面上的四已知空間 R 的體積。求四面體 ABCDABCD解解 等于以的體積四面體VABCD , ,為棱的平行六面體ADACAB , 6 1 而體積的 ; )3 , 3 , 2(AB ; )4 , 4 , 2(AC ; )6 , 3 , 1(AD 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五32 故 |) ( | 61ADACABV 644442332 61。 混和積的應(yīng)用1返回

18、返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五33內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)1. 向量運(yùn)算向量運(yùn)算加減加減:數(shù)乘數(shù)乘:點(diǎn)積點(diǎn)積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa（結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量）（結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量）叉積叉積:kjixayazaxbybzbba返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五342. 向量關(guān)系向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五35思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)計(jì)算并求夾角 的正弦與余弦 .ba,2jibkjia,baba及2. 已知向量的夾角,43ba ,且. |ba 求, 2|a, 3|bABCD在頂點(diǎn)為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 邊上的高 BD .3.答案答案答案答案答案答案返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2022年3月18日星期五36)3, 1, 1 (,321cos1211sin,1baba1. 設(shè)計(jì)算并求夾角 的正弦與余弦 .ba,2jibkjia,baba及答案答案返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄