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1、導(dǎo)數(shù)定義的利用例 若,則等于( ) A B C D以上都不是分析:本題考查的是對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的理解,根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接求解即可解:由于,應(yīng)選A求曲線方程的斜率和方程例 已知曲線上一點(diǎn),用斜率定義求:(1)點(diǎn)A的切線的斜率(2)點(diǎn)A處的切線方程分析:求曲線在A處的斜率,即求解:(1)(2)切線方程為即說(shuō)明:上述求導(dǎo)方法也是用定義求運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻處的瞬時(shí)速度的步驟判斷分段函數(shù)的在段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)例 已知函數(shù),判斷在處是否可導(dǎo)?分析:對(duì)分段函數(shù)在“分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,要根據(jù)定義來(lái)判斷是否可導(dǎo)解:在處不可導(dǎo)說(shuō)明:函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),是指一個(gè)極限值,即,當(dāng);包括;,判定分段函數(shù)在“分界處”的導(dǎo)數(shù)是否存在時(shí),要驗(yàn)
2、證其左、右極限是否存在且相等,如果存在且相等,才能判定這點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù),否則不存在導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)定義的求解 例 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),試求下列各極限的值1;23若,則等于( )A1 B2 C1 D分析:在導(dǎo)數(shù)的定義中,增量的形式是多種多樣的,但不論選擇哪種形式,也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式利用函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的條件,可以將已給定的極限式班等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式解:1原式2原式3(含),故選A說(shuō)明:概念是分析解決問(wèn)題的重要依據(jù),只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性,把握其內(nèi)涵與外延,才能靈活地應(yīng)用概念進(jìn)行解題,不能準(zhǔn)確分析和把握給定的極限式與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,盲目套用導(dǎo)數(shù)的定義是使思維受阻的主要原因解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是
3、等價(jià)變形,使問(wèn)題轉(zhuǎn)化利用定義求導(dǎo)數(shù)例 1求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù); 2求函數(shù)(a、b為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)分析:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的基本方法,確定函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)有兩種方法,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義法和導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法解:1解法一(導(dǎo)數(shù)定義法):,解法二(導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法):,2說(shuō)明:求導(dǎo)其本質(zhì)是求極限,在求極限的過(guò)程中,力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式,即導(dǎo)數(shù)的定義,這是能夠順利求導(dǎo)的關(guān)鍵,因此必須深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念證明函數(shù)的在一點(diǎn)處連續(xù)例 證明:若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)分析:從已知和要證明的問(wèn)題中去尋求轉(zhuǎn)化的方法和策略,要證明在點(diǎn)處連續(xù),必須證明由于函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),因此,根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的定義,逐步實(shí)現(xiàn)兩個(gè)轉(zhuǎn)化,一個(gè)是趨向的轉(zhuǎn)化,另一個(gè)是形式(變?yōu)閷?dǎo)數(shù)定義形式)的轉(zhuǎn)化解:證法一:設(shè),則當(dāng)時(shí),函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)證法二:函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)處有函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)說(shuō)明:對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題,可以從不同角度去表述,關(guān)鍵是要透過(guò)現(xiàn)象看清問(wèn)題的本質(zhì),正確運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來(lái)解決問(wèn)題函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),有極限以及導(dǎo)數(shù)存在這三者之間
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