第一章 一元函數(shù)極限(定理)

1、第一章一元函數(shù)極限§1.1函數(shù)一、有界函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在數(shù)集有定義，若函數(shù)值的集合有上界（有下界、有界），即，則稱函數(shù)在有上界（有下界、有界）。二、奇函數(shù)、偶函數(shù)定義：函數(shù)定義在數(shù)集，若，有且，則稱為偶函數(shù)（奇函數(shù)）。奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱。三、周期函數(shù)§1.2用定義證明極限的存在性一、 用定義證明極限二、 定義：；三、 定理1）存在與都存在，且；2）存在與都存在，且；3），其中；4）無(wú)窮小與有界函數(shù)的積為無(wú)窮??；5）有限個(gè)無(wú)窮小的和或積為無(wú)窮?。皇諗繑?shù)列的性質(zhì)1）唯一性：若數(shù)列收斂，則它的極限是唯一的。2）有界性：若數(shù)列收斂，則數(shù)列有界，即。3）保序

2、性：若與，且，則。推論：若與，且，則。函數(shù)極限的性質(zhì)1）唯一性：若在（）收斂，則它的極限是唯一的。2）局部有界性：若，則，有。若，則，有。3）保序性：若與，且，則，有。推論：若與，且，有（）則。（其它極限形式，可類似給出）二、用Cauchy準(zhǔn)則證明極限1）數(shù)列收斂。2）極限存在與，有3）極限存在與，有三、否定形式四、利用單調(diào)有界原理證明極限存在單調(diào)有界原理：1、數(shù)列單調(diào)增加，有上界；2、數(shù)列單調(diào)減少，有下界；注：?jiǎn)握{(diào)不必是嚴(yán)格的；對(duì)函數(shù)極限有類似結(jié)論。五、數(shù)列與子列、函數(shù)與數(shù)列的極限關(guān)系1、數(shù)列與子列的極限關(guān)系有2、函數(shù)與數(shù)列的極限關(guān)系（海涅定理）：若，則有推論1：若存在某個(gè)數(shù)列，且，而它的函

3、數(shù)值數(shù)列不存在極限，則函數(shù)在也不存在極限。推論2：若存在兩個(gè)數(shù)列與，與，且與，而，則函數(shù)在也不存在極限。六、極限的運(yùn)算性質(zhì)數(shù)列極限的四則運(yùn)算：以數(shù)列為例，若與都存在，則有、（分母不為零）若，則。函數(shù)極限的四則運(yùn)算：若函數(shù)與在都收斂，則函數(shù)，也收斂，且1）；2）；3），其中。（其它極限形式有類似的結(jié)論）復(fù)合函數(shù)極限：設(shè)有復(fù)合函數(shù)，若1）；2），有；3）。則。注：若連續(xù)，則；若與都連續(xù)，則。§1.3求極限限的若干方法一、利用等價(jià)代換無(wú)窮小的比較：1）設(shè)，若，、時(shí)，稱與是時(shí)的同階無(wú)窮?。惶貏e地，時(shí)，稱與是時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小，記為；、，稱是當(dāng)時(shí)的高階無(wú)窮小，記為；（其它極限形式類似）2）設(shè)是正常

4、數(shù)，稱是關(guān)于的階無(wú)窮小。結(jié)論：設(shè)，且當(dāng)時(shí)，存在，則因此，表達(dá)式中因子可用等價(jià)因子代替，極限不變，常用等價(jià)無(wú)窮小有：當(dāng)時(shí)，；二、利用已知極限以極限為例進(jìn)行說(shuō)明1、若，則；2、若，則三、利用變量替換求極限為了將未知的極限化簡(jiǎn)，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點(diǎn)，適當(dāng)引入新變量。四、兩邊夾法則1）設(shè)是三個(gè)數(shù)列，若有，且，則。注：縮放適度，使前后極限相同。五、求極限的其它方法1、LHospital（洛必達(dá)法則）1）使用前檢查類型；2）洛必達(dá)法則只是充分條件，使用后算不出結(jié)果，不等于極限不存在；例：。3）型的洛必達(dá)法則使用時(shí)，只需檢驗(yàn)分母趨向無(wú)窮大即可，分子不趨向沒(méi)有關(guān)系。2、利用Taylor公式求

5、極限常用的初等函數(shù)的麥克勞林公式：1）；2）；3）；4）；5）。3、利用積分定義求極限例1、；（中國(guó)科學(xué)院，中國(guó)科技大學(xué)等）解：，4、利用級(jí)數(shù)求解問(wèn)題利用收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨向于零；5、利用連續(xù)性求極限6、綜合性例題§1.6實(shí)數(shù)及其基本定理一、閉區(qū)間套定理設(shè)有閉區(qū)間列，若1）；2）；則存在唯一實(shí)數(shù)屬于所有的閉區(qū)間，且。二、確界定理定義：設(shè)是非空數(shù)集，若，且1），有；2），有；則稱是數(shù)集的上確界，記為（supremun的縮寫）定義：設(shè)是非空數(shù)集，若，且1），有；2），有；則稱是數(shù)集的下確界，記為（infimum的縮寫）定理（確界定理）若非空數(shù)集有上界（下界），則數(shù)集存在唯一的上確界（下確界）。三、有限覆蓋定理設(shè)是一個(gè)區(qū)間（或開或閉），并有開區(qū)間集，若有，則稱開區(qū)間集覆蓋區(qū)間。定理：若開區(qū)間集覆蓋閉區(qū)間，則中存在有限個(gè)開區(qū)間也覆蓋了閉區(qū)間。四、聚點(diǎn)定理定義：設(shè)是數(shù)軸上的無(wú)限點(diǎn)集，是數(shù)軸上的一個(gè)定點(diǎn)