導數(shù)的不等式恒成立問題

1、導數(shù)的應用【考查重點與常見題型】題型一運用導數(shù)證明不等式問 題【例設a為實數(shù)，函數(shù)f(x) = ex- 2x+ 2a, x R.(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2) 求證：當 a>ln 2 1 且 x>0 時，ex>x2 2ax+ 1.(1)解 由 f(x)= ex 2x+ 2a, x R 知 f' (x) = ex 2, x R. 令 f' (x) = 0，得 x = In 2 ,于是當x變化時，f' (x), f(x)的變化情況如下表：x(8, In 2)In 2(In 2 , + 8)f' (x)0r +f(x)單調(diào)遞減2(1 In

2、 2 + a)單調(diào)遞增/故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8, In 2，單調(diào)遞增區(qū)間是In 2 , +),f(x)在 x= In 2處取得極小值，極小值為f(ln 2) = eln 2 2ln 2 + 2a= 2(1 In 2 + a).(2)證明設 g(x) = ex x2 + 2ax 1, x R,于是 g' (x) = ex 2x+ 2a, x R.由(1)知當a>ln 2 1時，g' (x)的最小值為g' (In 2) = 2(1 In 2 + a)>0.于是對任意x R，都有g ' (x)>0,所以g(x)在R上是增加的.于是當a>

3、;ln 2 1時，對任意x (0, +)，都有g(x)>g(0).而 g(0)= 0，從而對任意 x (0, +), g(x)>0.即 exx2 + 2ax 1>0,故 ex>x2 2ax + 1.f x + kf(x) = xln x. (1)求g(x)=廠(k R)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當x> 1時，2x e< f(x)恒成立.k解：(1)g(x)= In x + -，xx k令 g (x) = = 0 得 x= k.x/ x>0 ,當 k< 0 時，g ' (x)>0.函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(0,+s)，無減區(qū)間；當 k&g

4、t;0 時 g' (x)>0 得 x>k; g' (x)<0 得 0<x<k,增區(qū)間為(k,+)，減區(qū)間為(0, k).(2)證明：設 h(x) = xln x 2x+ e(x> 1),令 h' (x)= In x 1 = 0 得 x= e,x1(1, e)e(e, + g)h' (x)1一0+h(x)e 20故 h(x)> f(x) > 2x e.題型二利用導數(shù)研究恒成立問題a【例2函數(shù)f(x) = ln x- x.(1)假設a>0，試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；3假設f(x)在1 , e上的最小值為3

5、，求a的值；假設f(x)<x2在(1 ,+ )上恒成立，求a的取值范圍.解(1)由題意知f(x)的定義域為(0,+), f' (x)>0 ,1 .旦x+ a且 f (x) = x + x2=V a>0，故f(x)在(0,+)上是增加的.x+ a(2)由(1)可知，f' (x)=匚尹. 假設a> 1,那么x+ a>0,即f' (x) > 0在1 , e上恒成立, 此時f(x)在1 , e上是增加的，33 f(x)min = f(1) = a= 2， a = 2(舍去). 假設a< e,那么x+ a< 0,即卩f' (

6、x) < 0在1 , e上恒成立, 此時f(x)在1, e上是減少的， f(x)min = f(e)= 1 ： = 3, a= 2(舍去) 假設一e<a< 1,令 f' (x) = 0 得 x= a,當 1<x< a 時，f' (x)<0 , f(x)在(1, a)上是減少的；當一a<x<e 時，f' (x)>0, f(x)在 ( a, e)上是增加的, f(x)min = f( a) = ln( a)+ 1 = 2, - a= e.綜上所述，a = e./ f(x)<x2, In x a<x2.x又 x

7、>0, a>xln x x3.令 g(x)= xln x x3, h(x)= g' (x) = 1 + In x 3x2,1h'(X)= x 6x=/ x (1,+ a)時，h' (x)<0, h(x)在(1, + a)上是減少的. h(x)<h(1) = - 2<0,即即 g ' (x)<0, g(x)在(1 , + a)上也是減少的.g(x)<g(1) = - 1 , 當 a> - 1 時，f(x)<x2 在(1 , + a)上恒成立.變式訓塚2函數(shù)f(x)= ax3- 3x+ 1對x (0,1總有f(x

8、)> 0成立，那么實數(shù)a的取值范圍是 答案 4 ,+a )解析 當x (0,1時不等式ax3- 3x+ 1> 0可化為3x 13x 1，設 g(x)= 廠，x (0,1,3x3- 3x- 1 3x26 X-2g' (x) =-，g' (x)與g(x)隨x的變化情況如下表：x10, 1122 1g' (x)+0g(x)/4因此g(x)的最大值為4,那么實數(shù)a的取值范圍是4 ,+a).導數(shù)與不等式的綜合問題典例：(12分)(2022遼寧)設函數(shù)f(x)= x+ ax2 + bln x,曲線y= f(x)過P(1,0)，且在P點處的切線斜率為 2.(1) 求a,

9、b的值；(2) 證明：f(x) w 2x- 2.(1)解 f' (x) = 1+ 2ax+ .1 分x由條件得f 1 = 0,1 + a = 0,即f'1 = 2,1 + 2a+ b = 2.a = 1, 解得b= 3.4分證明因為f(x)的定義域為(0 ,+a),由(1)知 f(x)= x-x2 + 3ln x.設 g(x)= f(x) (2x-2)= 2-x-x2+ 3ln x,3 x 1 2x+ 3那么 g (x)=- 1-2x+ x=-x .8 分當 0<x<1 時，g' (x)>0,當 x>1 時，g' (x)<0.所以g

10、(x)在(0,1)上是增加的，在(1, + a)上是減少的.10分而 g(1)= 0，故當 x>0 時，g(x) w 0,即 f(x) w 2x 2.12 分練出高分、選擇題(每題5分，共20分)1.函數(shù)f(x)= x3 + ax2 + (a + 6)x+ 1有極大值和極小值,那么實數(shù)a的取值范圍是()A . ( 1,2)B.(汽一3) U (6,C. ( 3,6)答案 BD .(汽一1) U (2,解析 t f' (x)= 3x2 + 2ax+ (a + 6),由可得f (x)= 0有兩個不相等的實根.= 4a2 4 x 3(a + 6)>0 ,即卩 a2 3a 18&g

11、t;0.-a>6 或 a< 3.2.曲線y = f(x) = ex在點(2, e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為DiA.%4B. 2e2C. e2答案解析點(2, e2)在曲線上,.切線的斜率k= f' (2) = e2,切線的方程為 y e2= e2(x 2)，即 e2x y e2= 0.與兩坐標軸的交點坐標為(0, e2), (1,0),Sa = 1 x 1 x e2= e2 2'3.函數(shù)f(x)= x2 + mx+ In x是單調(diào)遞增函數(shù)，那么 m的取值范圍是A . m> 2 2B. m> 2 2C. m<2、'2D. mW 2

12、 2答案 B2x2+ mx+ 1解析 依題意知，x>0, f' (x) =令 g(x)= 2x2 + mx+ 1, x (0, +),當mw0時，g(0) = 1>0恒成立，.m>0成立,當m>0 時，貝U A= m2 8W 0, 2 2w m<0,綜上，m的取值范圍是 m?22R與年產(chǎn)4. 某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定本錢為20 000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，本錢增加100元，總營業(yè)收入1 2400x茨 0 W xW 400,那么總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是量x的年關系是R= R(x)=280 000 x>400 ,()A . 100B. 150C.

13、200D . 300答案 D解析 由題意得，總本錢函數(shù)為C= C(x)= 20 000 + 100x,總利潤P(x) =300x 20 0000W xW 400 ,60 000 100x x>400 ,300 x 0W xW 400 ,又 P' (x) = 100 x>400 ,令P' (x) = 0,得x= 300,易知x= 300時，總利潤 P(x)最大.、填空題(每題5分，共15分)5. 設P為曲線C: y= f(x)= x2 x+ 1上一點，曲線C在點P處的切線的斜率的范圍是1,3，那么點P縱坐標的取值范圍是 .3 答案 3，34解析 設 P(a, a2 a

14、 + 1)，貝U f' (x)= 2a 1 1,3,1 3 0W aw g(a)= a2 a + 1 = a 2+：,2 4當 a =2時,g(a)min = 4.當 a = 2 時，g(a)max= 3,3故P點縱坐標的取值范圍是4，3.6. 在直徑為d的圓木中，截取一個具有最大抗彎強度的長方體梁，那么矩形面的長為(強度與bh2成正比,其中h為矩形的長，b為矩形的寬).答案36d解析 截面如下列圖，設抗彎強度系數(shù)為k,強度為3,那么 3= kbh2,又 h2= d2 b2, 3= kb(d2 b2) = kb3+ kd2b,3' = 3kb2 + kd2,令3'=0，

15、得 b2=b= jd 或 b =d(舍去). h=7 2- b2 = '6d.7. 函數(shù)f(x)= x3 + ax2 4在x= 2處取得極值，假設m、n 1,1，那么f(m) + f' (n)的最小值是 答案 -13解析 對函數(shù)f(x)求導得f' (x)= 3x2+ 2ax,由函數(shù)f(x)在x= 2處取得極值知f' (2)= 0,即一3X 4+ 2a X 2 = 0,a = 3.由此可得 f(x) = x3 + 3x2 4, f' (x) = 3x2 + 6x,易知f(x)在(1,0)上是減少的，在(0,1)上是增加的，二當 m 1,1時，f(m) mi

16、n = f(0) = 一 4.又T f' (x) = 3x2 + 6x的圖像開口向下，且對稱軸為x= 1, 當n 1,1時，f' (n )min = f' ( 1) = 9.故f(m)+ f' (n)的最小值為13.三、解答題(共 22分)8. (10 分)設函數(shù) f(x)= ax3 3x2(a R),且 x= 2 是 y= f(x)的極值點.(1) 求實數(shù)a的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2) 求函數(shù)g(x) = ex (x)的單調(diào)區(qū)間.解 (1)f' (x) = 3ax2 6x= 3x(ax 2),因為 x= 2是函數(shù) y= f(x)的極值點，所以 f' (2) = 0,即 6(2a 2) = 0, 因此a=