西安交大復(fù)變函數(shù)課件5-1孤立奇點

1、第一節(jié)第一節(jié) 孤立奇點孤立奇點一、孤立奇點的概念二、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)四、小結(jié)與思考2一、孤立奇點的概念一、孤立奇點的概念定義定義 如果如果函數(shù)函數(shù)0z)(zf在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去心鄰域的某一去心鄰域 00zz內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析, 則稱則稱0z)(zf為為的孤立奇點的孤立奇點.例例10 z是函數(shù)是函數(shù)zzezsin,1的孤立奇點的孤立奇點.1 z是函數(shù)是函數(shù)11 z的孤立奇點的孤立奇點.注意注意: : 孤立奇點一定是奇點孤立奇點一定是奇點, 但奇點不一定是孤但奇點不一定是孤立奇點立奇點.3例例2 2 指出函數(shù)指出函數(shù)0 z在點在點zz

2、zf1sin)(2 的奇點特性的奇點特性. .解解 kzz1,0),2,1( k，因為因為01lim kk即在即在0 z的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi)的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi), 的奇點存在的奇點存在, 函數(shù)的奇點為函數(shù)的奇點為)(zf總有總有0 z不是孤立奇點不是孤立奇點.所以所以4孤立奇點的分類孤立奇點的分類依據(jù)依據(jù))(zf在其孤立奇點在其孤立奇點0z的去心鄰域的去心鄰域 00zz內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類:1可去奇點可去奇點1可去奇點可去奇點; 2極點極點; 3本性奇點本性奇點.如果洛朗級數(shù)中不含如果洛朗級數(shù)中不含 的負(fù)冪項的負(fù)冪項, 0zz 0z)(zf那末孤立奇點那

3、末孤立奇點 稱為稱為 的可去奇點的可去奇點.1) 定義定義5其和函數(shù)其和函數(shù))(zF為在為在0z解析的函數(shù)解析的函數(shù). 000, )()(zzczzzFzf說明說明: (1),)(0的的孤孤立立奇奇點點若若是是zfz.)()()(0010 nnzzczzcczf)0(0 zz)(lim)(00zfzfzz ,)(00czf (2) 無論無論在在是否有定義是否有定義, )(zf0z補充定義補充定義則函數(shù)則函數(shù)在在0z解析解析.)(zf6 2) 可去奇點的判定可去奇點的判定(1) 由定義判斷由定義判斷:的洛朗級數(shù)無負(fù)的洛朗級數(shù)無負(fù)0z)(zf在在如果如果冪項則冪項則0z為為)(zf的可去奇點的可去

4、奇點.(2) 判斷極限判斷極限:)(lim0zfzz若極限存在且為有限值若極限存在且為有限值,則則0z為為)(zf的可去奇點的可去奇點.7如果補充定義如果補充定義:0 z時時, 1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例3 42! 51! 311sinzzzz中不含負(fù)冪項中不含負(fù)冪項,0 z是是zzsin的可去奇點的可去奇點 . 8例例4 說明說明0 z為為zez1 的可去奇點的可去奇點.解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z為為的可去奇點的可去奇點.zez1 無負(fù)冪項無負(fù)冪項另解另解 zzzzeze00lim1lim 因為因為0 z所以所以的可去奇點的可

5、去奇點.為為zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 92. 極點極點 1012020)()()()( zzczzczzczfmm)0, 1( mcm )(010zzcc, )()(1)(0zgzzzfm 10)( zz,)(0mzz 其中關(guān)于其中關(guān)于的最高冪為的最高冪為即即級極點級極點.0z)(zfm那末孤立奇點那末孤立奇點稱為函數(shù)稱為函數(shù)的的或?qū)懗苫驅(qū)懗?) 定義定義 0zz 如果洛朗級數(shù)中只有有限多個如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的的負(fù)冪項負(fù)冪項, 001( )( ), ( )()0()mf zg zg zg zzz0在z 處解析,且10說明說明: 20201)()()(zzc

6、zzcczgmmm1.內(nèi)內(nèi)是是解解析析函函數(shù)數(shù)在在 0zz2.0)(0 zg特點特點:(1)(2)的極點的極點 , 則則0z)(zf為函數(shù)為函數(shù)如果如果.)(lim0 zfzz例例5 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù),)2(23)(2 zzzzf是二級極點是二級極點, 0 z2 z是一級極點是一級極點.112)極點的判定方法極點的判定方法)(zf的負(fù)冪項為有的負(fù)冪項為有0zz 的洛朗展開式中含有的洛朗展開式中含有限項限項.在點在點 的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)0zmzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的鄰域內(nèi)解析的鄰域內(nèi)解析, 且且 )(zg0z. 0)(0 zg(1) 由定義判別由定義判別(

7、2) 由定義的等價形式判別由定義的等價形式判別(3) 利用極限利用極限 )(lim0zfzz判斷判斷 .12課堂練習(xí)課堂練習(xí)求求1123 zzz的奇點的奇點, 如果是極點如果是極點, 指出它的指出它的級數(shù)級數(shù).答案答案 1123zzz由于由于,1:是是函函數(shù)數(shù)的的一一級級極極點點所所以以 z.1是是函函數(shù)數(shù)的的二二級級極極點點 z,)1)(1(12 zz13本性奇點本性奇點3.如果洛朗級數(shù)中如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個含有無窮多個0zz 那末孤立奇點那末孤立奇點0z稱為稱為)(zf的本性奇點的本性奇點.的負(fù)冪項的負(fù)冪項,例如，例如，,!1! 211211 nzznzze)0( z含有無窮多個含有

8、無窮多個z的負(fù)冪項的負(fù)冪項 特點特點: 在本性奇點的鄰域內(nèi)在本性奇點的鄰域內(nèi))(lim0zfzz不存在且不不存在且不為為. 為為本本性性奇奇點點，所所以以0 z同時同時zze10lim不存在不存在.14綜上所述綜上所述:孤立奇點孤立奇點可去奇點可去奇點m級極點級極點本性奇點本性奇點洛朗級數(shù)特點洛朗級數(shù)特點)(lim0zfzz 存在且為存在且為有限值有限值不存在不存在且不為且不為 無負(fù)冪項無負(fù)冪項含無窮多個負(fù)冪項含無窮多個負(fù)冪項含有限個負(fù)冪項含有限個負(fù)冪項10)( zzmzz )(0關(guān)于關(guān)于的最高冪的最高冪為為15二、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系二、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系1.零點的定義零點的定義不恒等

9、于零的解析函數(shù)不恒等于零的解析函數(shù))(zf如果如果能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其中其中在在, 0)(0 z 解析且解析且m為某一正整數(shù)為某一正整數(shù), 那末那末0z稱為稱為)(zf的的 m 級零點級零點.例例6的一級零點，的一級零點，是函數(shù)是函數(shù)3)1()(0 zzzfz注意注意: : 不恒等于零的解析函數(shù)的零點是孤立的不恒等于零的解析函數(shù)的零點是孤立的.)1()(13的三級零點的三級零點是函數(shù)是函數(shù) zzzfz162.零點的判定零點的判定零點的充要條件是零點的充要條件是證證 (必要性必要性)由定義由定義:)()()(0zzzzfm 設(shè)設(shè)0)(zz 在在 的泰勒展開

10、式為的泰勒展開式為:,)()()(202010 zzczzccz 0zm0z如果如果在在解析解析, 那末那末為為的的級級)(zf)(zfm0z如果如果為為的的級零點級零點)(zf; )1, 2 , 1 , 0( , 0)(0)( mnzfn. 0)(0)( zfm17的的泰泰勒勒展展開開式式為為在在從從而而0)(zzf10100)()()( mmzzczzczf 202)(mzzc其中其中,0)(00 zc 展開式的前展開式的前m項系數(shù)都為零項系數(shù)都為零 ,由泰勒級數(shù)的系數(shù)由泰勒級數(shù)的系數(shù)公式知公式知:);1, 2 , 1 , 0( , 0)(0)( mnzfn并且并且. 0!)(00)( c

11、mzfm充分性證明略充分性證明略 .18(1)由于由于123)1( zzf知知1 z是是)(zf的一級零點的一級零點 .課堂練習(xí)課堂練習(xí)0 z是五級零點是五級零點,iz 是二級零點是二級零點.知知是是)(zf的一級零點的一級零點.0 z解解 (2)由于由于0cos)0( zzf答案答案例例7 求以下函數(shù)的零點及級數(shù)求以下函數(shù)的零點及級數(shù):, 1)(3 zzf(1)(2).sin)(zzf , 03 , 01 225)1()( zzzf的零點及級數(shù)的零點及級數(shù) .求求193.零點與極點的關(guān)系零點與極點的關(guān)系證證000定 理 ： 如 z 是 f(x)的 m級 零 點 ， 是 g(x)的 n級 零

12、點 ，f(x）則 當(dāng) mn時 ， z 是的 可 去 極 點 ,當(dāng) mn時 ， zg(x)f(x）是的 (n-m)級 極 點g(x)0( )()( ),mf zzzz00( )()0zzz在 處解析且00( )()0zzz在 處解析且0( )()( ),ng zzzz2000( )(),( )( ),1( )( ),()( )m nn mxzzmnzf xxg zmnzzz故定理成立。21說明說明 此定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為此定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡便的方法簡便的方法. .例例8 函數(shù)函數(shù)zsin1有些什么奇點有些什么奇點, 如果是極點如果是極點, 指出指出它的級它的級.解

13、解 函數(shù)的奇點是使函數(shù)的奇點是使0sin z的點的點,這些奇點是這些奇點是. )2,1,0( kkz是孤立奇點是孤立奇點. kzkzzzcos)(sin因因為為的一級零點，的一級零點，是是所以所以zkzsin , 0)1( kzsin1的一級極點的一級極點.即即22),(1! 3! 211zzzz 解解 0221!11nnznzzze解析且解析且0)0( 所以所以0 z不是二級極點不是二級極點, 而是一級極點而是一級極點.0 z是是3sinhzz的幾級極點的幾級極點?思考思考例例9 問問0 z是是21zez 的二級極點嗎的二級極點嗎?注意注意: 不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論不能以函數(shù)的表面形式

14、作出結(jié)論 .23三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)1. 定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù))(zf在無窮遠(yuǎn)點在無窮遠(yuǎn)點 z的去心的去心鄰域鄰域 zR內(nèi)解析內(nèi)解析, 則稱點則稱點 為為)(zf的孤的孤立奇點立奇點.Rxyo24令變換令變換:1zt 規(guī)定此變換將規(guī)定此變換將: tfzf1)(則則映射為映射為 z, 0 t擴充擴充 z 平面平面擴充擴充 t 平面平面映射為映射為)( nnzz)0(1 nnntzt映射為映射為 zRRt10 映射為映射為),(t 25結(jié)論結(jié)論: 在去心鄰域在去心鄰域 zR內(nèi)對函數(shù)內(nèi)對函數(shù))(zf的研究的研究在去心鄰域在去心鄰域Rt10 內(nèi)對函數(shù)內(nèi)對函數(shù))(t 的

15、研究的研究Rt10 因為因為 )(t 在去心鄰域在去心鄰域內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的,所以所以0 t是是)(t 的孤立奇點的孤立奇點.規(guī)定規(guī)定: m級奇點或本性奇點級奇點或本性奇點 .)(t 的可去奇點、的可去奇點、m級奇點或級奇點或本性奇點本性奇點,如果如果 t=0 是是 z是是)(zf的可去奇點、的可去奇點、 那末就稱點那末就稱點261)不含正冪項不含正冪項;2)含有有限多的正冪項且含有有限多的正冪項且mz為最高正冪為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項含有無窮多的正冪項;那末那末 z是是)(zf的的 1)可去奇點可去奇點 ;2) m 級極點級極點;3)本性奇點本性奇點 .判別法判別法1 (利用洛朗

16、級數(shù)的特點利用洛朗級數(shù)的特點)2.判別方法判別方法:)(zf zR在在內(nèi)的洛朗級數(shù)中內(nèi)的洛朗級數(shù)中:如果如果27例例10 (1)函數(shù)函數(shù)1)( zzzf在圓環(huán)域在圓環(huán)域 z1內(nèi)的洛朗展開式為內(nèi)的洛朗展開式為: nnzzzzzf1)1(111111)(2不含正冪項不含正冪項所以所以 z是是)(zf的可去奇點的可去奇點 .(2)函數(shù)函數(shù)zzzf1)( 含有正冪項且含有正冪項且 z 為最高正為最高正冪項冪項,所以所以 z是是)(zf的的 m級極點級極點.28(3)函數(shù)函數(shù)zsin的展開式的展開式: )!12(! 5! 3sin1253nzzzzzn含有無窮多的正冪項含有無窮多的正冪項所以所以 z是是

17、)(zf的本性奇點的本性奇點.課堂練習(xí)課堂練習(xí).0,是本性奇點是本性奇點是一級極點是一級極點 zzzezzf1)( 的奇點及其的奇點及其類型類型.說出函數(shù)說出函數(shù)答案答案29判別法判別法2 : (利用極限特點利用極限特點)如果極限如果極限)(limzfn 1)存在且為有限值存在且為有限值 ; 2)無窮大無窮大; 3)不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大 ;那末那末 z是是)(zf的的1)可去奇點可去奇點 ;2)m級極點級極點 ;3)本性奇點本性奇點 .30例例11 函數(shù)函數(shù)332)(sin)2)(1()(zzzzf 在擴充復(fù)平面內(nèi)在擴充復(fù)平面內(nèi)有些什么類型的奇點有些什么類型的奇點? 如果是極點

18、如果是極點, 指出它的級指出它的級.解解 函數(shù)函數(shù))(zf除點除點2,1,0 z外外, ., 2,1,0cos)(sin處均不為零處均不為零在在因因 zzz所以這些點都是所以這些點都是z sin的一級零點的一級零點,故這些點中除故這些點中除1, -1, 2外外, 都是都是)(zf的三級極點的三級極點. z內(nèi)解析內(nèi)解析 .在在31),1)(1(12 zzz因因所以所以.2)(11級極點級極點的的是是與與zf )(lim2zfz那末那末2 z是是)(zf的可去奇點的可去奇點.為為一一級級零零點點，與與以以11 因為因為3322)(sin)2)(1(limzzzz ,33 232(1)(2)zzz當(dāng)是的三級極點，32時時，當(dāng)當(dāng) z使分母為零，使分母為零，nn1, 0 z不是不是)(zf的孤立奇點的孤立奇點.所以所以,sin)21)(1(