二次函數(shù)的應(yīng)用(實(shí)際問(wèn)題)

1、全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編專題23:二次函數(shù)的應(yīng)用（實(shí)際問(wèn)題）、選擇題1. （2012四川資陽(yáng)3分）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是【25 / 21A.1<x<5 B . x>5C. x< 1 且 x>5D.1<x或x>5【答案】D。【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組），二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】利用二次函數(shù)的對(duì)稱性，可得出圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象可得出2ax +bx+c<0 的解集:由圖象得：對(duì)稱軸是x=2,其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（5, 0）, :圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（一1

2、,0）。由圖象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,. .x< - 1 或 x>5。故選 Do二、填空題1.（2012浙江紹興5分）教練對(duì)小明推鉛球的錄像進(jìn)行技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進(jìn)高度12.之間的關(guān)系為 y （x 4）3,由此可知鉛球推出的距離是m>12y （mD與水平距離x (m)【答案】10。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用。10【分析】在函數(shù)式y(tǒng) （x 4）3中，令y 0,得121 ,、2一（x 4）3 0,解得 x1 10, x22 （舍去），12;鉛球推出的距離是 10m2. （2012湖北襄陽(yáng)3分）某一型號(hào)飛機(jī)著陸后滑行的距離y （單位：m）與滑彳T

3、時(shí)間x （單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式是y=60x -1.5x2,該型號(hào)飛機(jī)著陸后滑行m才能停下來(lái).【答案】600o【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用。1028458【分析】根據(jù)飛機(jī)從滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函數(shù)的最大值。1.5V0,，函數(shù)有最大值。一s最大值0 60241.5600,即飛機(jī)著陸后滑行 600米才能停止。3. （2012山東濟(jì)南3分）如圖，濟(jì)南建邦大橋有一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx .小強(qiáng)騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過(guò)拱梁部分的橋面OC當(dāng)小強(qiáng)騎自行車行駛10秒時(shí)和26秒時(shí)拱梁的高度相同， 則小強(qiáng)騎自行車通過(guò)拱梁部分的橋面OC共需 秒.【答案】36

4、 o【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】設(shè)在10秒時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，在26秒時(shí)到達(dá)B,二10秒時(shí)和26秒時(shí)拱梁的高度相同，：, A B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱。則從A到B需要16秒，從A到D需要8秒。:從。到D需要10+8=18秒。：從。到C需要2X 18=36秒三、解答題1. （2012重慶市10分）企業(yè)的污水處理有兩種方式，一種是輸送到污水廠進(jìn)行集中處理，另一種是通過(guò)企業(yè)的自身設(shè)備進(jìn)行處理.某企業(yè)去年每月的污水量均為12000噸，由于污水廠處于調(diào)試階段，污水處理能力有限，該企業(yè)投資自建設(shè)備處理污水，兩種處理方式同時(shí)進(jìn)行.1至6月，該企業(yè)向污水廠輸送的污水量y1 （噸）與月份x （1<x<6,且x取整

5、數(shù)）之間滿足的函數(shù)關(guān)系如下表：月份戈（月）123456輸送的污水量力（噸）12000600040003000240020007至12月，該企業(yè)自身處理的污水量y2 （噸）與月份x （7WxW12,且x取整數(shù)）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系式為y2=ax2+c（aw0） .其圖象如圖所示.1至6月，污水廠處理每噸污水的費(fèi)用：zi （元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系131式：z1-x,該企業(yè)自身處理每噸污水的費(fèi)用：z2 （兀）與月份xN間滿足函數(shù)關(guān)系式：z2 = x x2; 7122 412至12月，污水廠處理每噸污水的費(fèi)用均為2元，該企業(yè)自身處理每噸污水的費(fèi)用均為1.5元.（1）請(qǐng)觀察題中的表格和圖象，用所學(xué)

6、過(guò)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，分別直接寫(xiě)出y1,y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)你求出該企業(yè)去年哪個(gè)月用于污水處理的費(fèi)用W（元）最多，并求出這個(gè)最多費(fèi)用；（3）今年以來(lái)，由于自建污水處理設(shè)備的全面運(yùn)行，該企業(yè)決定擴(kuò)大產(chǎn)能并將所有污水全部自身處理，估計(jì)擴(kuò)大產(chǎn)能后今年每月的污水量都將在去年每月的基礎(chǔ)上增加a%同時(shí)每噸污水處理的費(fèi)用將在去年12月份的基礎(chǔ)上增加（a-30） %為鼓勵(lì)節(jié)能降耗，減輕企業(yè)負(fù)擔(dān)，財(cái)政對(duì)企業(yè)處理污水的費(fèi)用進(jìn)行50%勺補(bǔ)助.若該企業(yè)每月的污水處理費(fèi)用為 18000元，請(qǐng)計(jì)算出a的整數(shù)值.k則y1與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)關(guān)系：y1 k 。x將（1, 120

7、00）代入得：k=1X 12000=1200。12000一 y1 （1wxw6,且x取整數(shù)）。x根據(jù)圖象可以得出：圖象過(guò)（7, 10049）, （12, 10144）點(diǎn)，代入y2=ax2+c得:49a+c=10049 /口 a=1,解得：。144a+c=10144c=10000，y 2=x2+10000 （7<x<12,且 x 取整數(shù)）。（2）當(dāng)1WxW6,且x取整數(shù)時(shí)：12000W=y1 z1+ 12000 y1 z2 =x11x+ 12000212000112=-1000x2+10000x- 3000=- 1000 (x - 5) 2+2200。. a=- 1000< 0

8、, 1<x<6, .當(dāng) x=5 時(shí)，W大=22000 （元）。當(dāng)7WxW12時(shí)，且x取整數(shù)時(shí)：W=2 ( 12000 -yi) +1.5y 2=2X ( 12000 - x2- 10000) +1.5 (x2+10000) =-1x2+1900。 2,. a=- 1< 0,對(duì)稱軸為x=0,當(dāng)7<x<12時(shí)，W隨x的增大而減小， 2 當(dāng) x=7 時(shí)，W大=18975.5 (元)。 -22000> 18975.5 ,丁去年5月用于污水處理的費(fèi)用最多，最多費(fèi)用是22000元。(3)由題意得：12000 (1+a%)X 1.5 XX ( 1-50%)=18000,設(shè)

9、 t=a%,整理得：10t2+17t - 13=0,解得：t=17一照9。20. 180928.4 ,1 0.57, 12= 2.27 (舍去)。 a=57。答：a整數(shù)值是57?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程?！痉治觥?1)利用表格中數(shù)據(jù)可以得出xy=定值，則y1與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)關(guān)系，求出即可。再利用函數(shù)圖象得出：圖象過(guò)(7, 10049), (12, 10144)點(diǎn)，求出二次函數(shù)解析式即可。(2)利用當(dāng)1WxW6時(shí)，以及當(dāng)7WxW12時(shí)，分別求出處理污水的費(fèi)用，即可得出答案。(3)利用今年每月的污水量都將在去年每月

10、的基礎(chǔ)上增加a%同時(shí)每噸污水處理的費(fèi)用將在去年12月份的基礎(chǔ)上增加(a一 30) % 得出等式 12000 (1+a為 X 1.5 X X ( 1-50%) =18000,進(jìn)而求出即可。2. (2012安徽省14分)如圖，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn) O處練習(xí)發(fā)球，將球從 。點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y(m)與運(yùn)行的水平距離 x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6) 2+h.已知球網(wǎng)與。點(diǎn)的水平距離為9m高度為2.43m,球場(chǎng)的邊界距。點(diǎn)的水平距離為18m(1)當(dāng)h=2.6時(shí)，求y與x的關(guān)系式(不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍)(2)當(dāng)h=2.6時(shí)，球能否越過(guò)球網(wǎng)？球會(huì)不會(huì)出界？請(qǐng)說(shuō)明理由；(

11、3)若球一定能越過(guò)球網(wǎng)，又不出邊界，求 h的取值范圍。60【答案】 解：(1)把 x=0, y=，及 h=2.6 代入至|J y=a(x-6) 2+h,即 2=a(0 6)2+2.6 , ： a:當(dāng)h=2.6時(shí)，y與x的關(guān)系式為y=1- (x 6) 2+2.660(2)當(dāng) h=2.6 時(shí)，y= L (x -6) 2+2.660.當(dāng) x=9 時(shí)，y= (9 6)2+2.6=2.45 >2.43球能越過(guò)網(wǎng)。60.當(dāng) y=0 時(shí)，即 工(18 - x) 2+2.6=0 ,解得 x=6+JT56 >18,：球會(huì)過(guò)界。602 h(3)把 x=0,y=2,代入到 y=a(x-6) +h 得 a

12、 。36x=9 時(shí)，y=(9 6) 2+h362 3h4>2.43一. 2 hx=18 時(shí)，y= (18 6) +h=8 3h00 36一 一 8由解得h> 一 。38;若球一定能越過(guò)球網(wǎng)，又不出邊界，h的取值范圍為h> -3【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用【分析】（1）利用h=2.6,將（0, 2）點(diǎn)，代入解析式求出即可。（2）利用h=2.6,當(dāng)x=9時(shí)，y= 工（9 -6） 2+2.6=2.45與球網(wǎng)高度比較；當(dāng) y=0時(shí)，解出x值與球場(chǎng)的邊界距離比較,60即可得出結(jié)論。（3）根據(jù)球經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0, 2）點(diǎn)，得到a與h的關(guān)系式。由x=9時(shí)球一定能越過(guò)球網(wǎng)得到 y>2.43

13、;由x=18時(shí)球不出邊界得到y(tǒng)<0o 分別得出h的取值范圍，即可得出答案。3. （2012浙江嘉興、舟山12分）某汽車租賃公司擁有 20輛汽車.據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)每輛車的日租金為 400元時(shí)，可 全部租出；當(dāng)每輛車的日租金每增加 50元，未租出的車將增加 1輛；公司平均每日的各項(xiàng)支出共 4800元.設(shè)公 司每日租出工輛車時(shí)，日收益為 y元.（日收益=日租金收入一平均每日各項(xiàng)支出）（1）公司每日租出x輛車時(shí)，每輛車的日租金為 元（用含x的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)每日租出多少輛時(shí)，租賃公司日收益最大？最大是多少元？（3）當(dāng)每日租出多少輛時(shí)，租賃公司的日收益不盈也不虧？【答案】解：m 1400 - 50

14、xbO）根據(jù)題意得I（ - 50x4-1400） - 4800= - 501400 - 4300= - 50 （x' H） 2t5000B當(dāng)x=14時(shí)，在范困內(nèi)，y有最大值5m CL二當(dāng)日租出14輛時(shí)，租賃公司日收益最大，最大值為5。加元.門）要使租貴公司日收益不盈也不虧,即二丁團(tuán)即二50 （k- K） 2+5100-05解得見(jiàn)=24，/=4,；行2胃不合題意*舍去B/1當(dāng)日租出4輛時(shí)，租賃公司日收益不盔也不虧.I考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用,二次函數(shù)的最值,解一元二次方程.I分析】（1） 丫某汽車租賃公司擁有北輔汽車.據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)每輛車的日租金為4W元時(shí)，可全部租出，當(dāng)每輛車的日租金每嚕加5。

15、元，未租出的車將慟口 I輛，當(dāng)全部未租出時(shí)，每輛租金為:400+20x50-1400 7E,二公司每日租出同輛車時(shí)，珞輛車的日租金為；！4叩-加治（2）根據(jù)已知得到的二役函數(shù)關(guān)系應(yīng)用二次函數(shù)的最值求得日收益的最大值即可.（3）要使租賃公司日收益不盈也不F.即；k50 （漢-14）。510。=口，求出冢即可口4（2012浙江臺(tái)州12分）某汽車在剎車后行駛的距離s （單位：米）與時(shí)間t （單位：秒）之間的關(guān)系得部分?jǐn)?shù)據(jù) 如下表:時(shí)間t （秒）00.20.40.60.81.01.2行駛距離S （米）02.85.27.28.81010.8（1）根據(jù)這些數(shù)據(jù)在給出的坐標(biāo)系中畫(huà)出相應(yīng)的點(diǎn)；（2）選擇適當(dāng)?shù)?/p>

16、函數(shù)表示 s與t之間的關(guān)系，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式;（3）剎車后汽車行駛了多長(zhǎng)距離才停止？當(dāng)t分別為ti, t2 （ti<t2）時(shí)，對(duì)應(yīng)s的值分別為Si, S2,請(qǐng)比較 亙與之的大小，并解釋比較結(jié)果的實(shí)際意義.【答案】解：(1)描點(diǎn)圖所示:(2)由散點(diǎn)圖可知該函數(shù)為二次函數(shù)。設(shè)二次函數(shù)的解析式為：s=at2+bt+c,;拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0, 0), ：c=0。又由點(diǎn)(0.2 , 2.8) , (1, 10)可得:0.04a+0.2b=2.8 .口 a= 5,解得：a+b=10b=15經(jīng)檢驗(yàn)，其余各點(diǎn)均在 s= -5t 2+15t上。;二次函數(shù)的解析式為：s5t2 15t o(3)汽車剎車后到

17、停止時(shí)的距離即汽車滑行的最大距離223453455t2 15t= 5 t -45,：當(dāng)t=3時(shí)，滑行距離最大，為 患2424因此,.45剎車后汽車行駛了 45米才停止。4s5t2 15t ,S15tl2 15t1, s25t22 15t2o2,2,S1, 5t115t1S2_ 5t215t2 _一= 511 15, = 5t2 15。t1 t1t2 t211< 12, = 5t1 15t1t25t2 15 =5 t2 t1 >0。.包>生。 t1t2其實(shí)際意義是剎車后到t 2時(shí)間內(nèi)的平均速到t 1時(shí)間內(nèi)的度小于剎車后平均速度?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)

18、與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，不等式的應(yīng)用C【分析】(1)描點(diǎn)作圖即可。(2)首先判斷函數(shù)為二次函數(shù)。用待定系數(shù)法，由所給的任意三點(diǎn)即可求出函數(shù)解析式。(3)將函數(shù)解析式表示成頂點(diǎn)式(或用公式求)，即可求得答案。(4)求出包與s2,用差值法比較大小。t1t25. （2012江蘇常州7分）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批L型服裝（數(shù)量足夠多），進(jìn)價(jià)為40元/件，以60元/件銷售，每天銷售20件。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，若每件每降1元，則每天銷售數(shù)量比原來(lái)多 3件?，F(xiàn)商場(chǎng)決定對(duì)L型服裝開(kāi)展降價(jià)促銷活動(dòng)， 每件降價(jià)x元（x為正整數(shù)）。在促銷期間，商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤(rùn)，每件降價(jià)多少元？每天最大銷售毛利潤(rùn)為多少？（注

19、：每件服裝銷售毛利潤(rùn)指每件服裝的銷售價(jià)與進(jìn)貨價(jià)的差）【答案】解：根據(jù)題意，商場(chǎng)每天的銷售毛利潤(rùn)Z= （60-40-x） （20 + 3x） =-3x2+40x+400.當(dāng)x= -b= 絲=62時(shí)，函數(shù)Z取得最大值。 2a 33,-22.x為正整數(shù)，且7 6-< 6- 6, 33:當(dāng)x=7時(shí)，商場(chǎng)每天的銷售毛利潤(rùn)最大，最大銷售毛利潤(rùn)為 3- 7 2 + 40- 7+400=533答：商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤(rùn)，每件降價(jià)7元，每天最大銷售毛利潤(rùn)為 533元?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值。【分析】求出二次函數(shù)的最值，找出 x最接近最值點(diǎn)的整數(shù)值即可。6.（2012江蘇無(wú)錫8分）如圖

20、，在邊長(zhǎng)為24cm的正方形紙片 ABCDLk,剪去圖中陰影部分的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的包裝盒（A. B.C.D四個(gè)頂點(diǎn)正好重合于上底面上一點(diǎn)）.已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè) AE=BF=x（cm）.（1）若折成的包裝盒恰好是個(gè)正方體，試求這個(gè)包裝盒的體積V;（2）某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積 S最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？J EF 3【答案】 解：（1）根據(jù)題意，知這個(gè)正方體的底面邊長(zhǎng)a=、；2x, EF=V2a=2x, -x+2x+x=24,解彳導(dǎo):x=6。則 a=6 2 ,a=V2 x, h 24

21、/x、2 12 x ,V=a3= （6迎）3=432 2 2 （cm3）;226x2 96x= 6 x 8238（2）設(shè)包裝盒的底面邊長(zhǎng)為acmi,高為hcm,則S=4ah+a2=4 2x 2 12 x 2x,0vxv12, .當(dāng) x=8 時(shí)，S取得最大值 384cm2o【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)已知得出這個(gè)正方體的底面邊長(zhǎng)a= Q 2 x, EF=J2 a=2x,再利用AB=24cmg求出x即可得出這個(gè)包裝盒的體積 V。（2）利用已知表示出包裝盒的表面，從而利用函數(shù)最值求出即可。7. （2012江蘇鹽城12分）知識(shí)遷移：當(dāng)a 0且x0時(shí)，因?yàn)椋↗x2> 0 ,所以x2、a

22、)0,從而x 及2 ja (當(dāng) xxxja時(shí)取等號(hào)）.記函數(shù)ya ，x -（a 0,x 0）,由上述結(jié)論可知:xja時(shí)，該函數(shù)有最小值為2ja.直接應(yīng)用:已知函數(shù)y1x(x 0)與函數(shù)y2 -(x 0),則當(dāng) x時(shí)，y1 y2取得最小值變形應(yīng)用:已知函數(shù)y12-x 1(x1)與函數(shù) y2 (x 1)4(x1）,求_y2的最小值，并指出取得該 y1最小值時(shí)相應(yīng)的x的值.實(shí)際應(yīng)用:已知某汽車的一次運(yùn)輸成本包含以下三個(gè)部分：一是固定費(fèi)用，共360元；二是燃油費(fèi)，每千米為1.6元；三是折舊費(fèi)，它與路程的平方成正比，比例系數(shù)為0.001.設(shè)該汽車一次運(yùn)輸?shù)穆烦虨?x千米,求當(dāng)x為多少時(shí)，該汽車平均每千米

23、的運(yùn)輸成本 最低？最低是多少元?【答案】解m直接應(yīng)用：1: 2.碰應(yīng)K V- 21 - +1+4 - (x+ f) -F (x > -1)，必 x+1工+1立有最小值為2j? = 4. 為當(dāng)* + 1=&，即方=1時(shí)取得該最小值.頰應(yīng)用，設(shè)該汽車平坤每千米的運(yùn)輸成本為丁元，則UQ017+1.61+360 凸昌1360 - r 門門" 360000.-.y二=0.001J+1 6 = 0.001( Jl+) + 16,XKT，當(dāng)工=750000 = 6Q”千米)時(shí)，該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本y最低，最低成本為0 001乂2辰而而+ 16 = 2月元.【孝照】二次函數(shù)的應(yīng)用

24、，幾何不等式.【分析】直接運(yùn)用：可以直接套用題意所給的結(jié)論，即可得出結(jié)果：:函數(shù)y x a(a 0,x 0),由上述結(jié)論可知：當(dāng)x 、；a時(shí)，該函數(shù)有最小值為2、a , x;函數(shù)y1 x(x 0)與函數(shù)y2 - (x 0),則當(dāng)x Ji 1時(shí)，y y2取得最小值為24彳2。 x變形運(yùn)用：先得出 正的表達(dá)式，然后將 x 1看做一個(gè)整體，再運(yùn)用所給結(jié)論即可。 yi實(shí)際運(yùn)用：設(shè)該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本為y元，則可表示出平均每千米的運(yùn)輸成本，利用所給的結(jié)論即可得出答案。8. (2012江蘇揚(yáng)州12分)已知拋物線y = ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A( 1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)三點(diǎn)，直線l是

25、拋物線的對(duì)稱軸.(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)在直線l上是否存在點(diǎn) M使 MAC為等腰三角形？若存在， 直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】 解：(1) A(- 1, 0)、B(3, 0)經(jīng)過(guò)拋物線 y = ax2+bx + c,，可設(shè)拋物線為y = a (x+ 1) (x 3)。又:。，3)經(jīng)過(guò)拋物線，代入，得 3= a (0+1) (03),即a=1。 ，拋物線的解析式為 y=- (x+1) (x3),即y= x2+2x+3。(2)連接BC,直線BC與直線l的交點(diǎn)為P。則此時(shí)的點(diǎn)P,

26、使APAC的周長(zhǎng)最小。設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,3k+b=0k= 1Ob=3b=3將 B(3, 0) , C(0, 3)代入,得：,直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=x + 3。當(dāng)x-1時(shí)，y = 2,即P的坐標(biāo)(1 , 2)。(3)存在。點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(1 , <6) , (1 , < 6 ), (1 , 1), (1 , 0)【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)?！痉治觥?1)可設(shè)交點(diǎn)式，用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)即可。(2)由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么根據(jù)拋物線的對(duì)稱性以及兩點(diǎn)之間線段

27、最短可知：若連接BC,那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)。(3)由于 MAC的腰和底沒(méi)有明確，因此要分三種情況來(lái)討論： Maf ACMaf MCAC= MC可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然 后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示 MAC的三邊長(zhǎng)，再按上面的三種情況列式求解：.拋物線的對(duì)稱軸為：x=1 , 設(shè)M(1, m)。. A(- 1 , 0)、C(0, 3) , .MA2=R+4, mC= n2-6m+ 10, aC=10。若 MA= MC 則 MA= MC,得：m+4=n2-6m+ 10,得：m= 1。若 MA= AC,則 MA= AC2,得：吊+4=10,得：m= ± 娓。若 MC= AC,貝U M

28、C= AC2,得：m26m+ 10=10,得：m= 0, m= 6,當(dāng)m= 6時(shí)，M A C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去。綜上可知，符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為（1 , J6）, （1 ,邪）,（1 , 1）, （1 , 0）。9. （2012福建莆田8分）如圖，某種新型導(dǎo)彈從地面發(fā)射點(diǎn)L處發(fā)射，在初始豎直加速飛行階段，導(dǎo)彈上升的1 O 1高度y（km）與飛行時(shí)間x（s）之間的關(guān)系式為 y 一x2 x （0 x 10）.發(fā)射3 s后，導(dǎo)彈到達(dá) A點(diǎn)，此時(shí)位 186L同一水平面的 R處雷達(dá)站測(cè)得 AR的距離是2 km,再過(guò)3s后，導(dǎo)彈到達(dá) B點(diǎn).（4分）求發(fā)射點(diǎn)L與雷達(dá)站R之間的距離;（

29、2）（4分）當(dāng)導(dǎo)彈到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，求雷達(dá)站測(cè)得的仰角（即/BRL）的正切值.【答案】解：（1）把x=3代入y1 2 一x18在 RtMRL 中，AR= 2,(2)把 x=3+ 3= 6 代入 yLR= vAR2 AL2 =722 12=3 。121,口.x x,得 y=3,即 BL= 3 。186tan ZBRL=答：發(fā)射點(diǎn)L與雷達(dá)站R之間的距離為3 km,雷達(dá)站測(cè)得的仰角的正切值33 o【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問(wèn)題），勾股定理，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥浚?）在解析式中，把x=3代入函數(shù)解析式,即可求得 AL的長(zhǎng)，在直角 ALR中，利用勾股定理即可求得LR的長(zhǎng)。（2）

30、在解析式中，把 x=6代入函數(shù)解析式，即可求得AL的長(zhǎng)，在直角 BLR中，根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解。10. （2012湖北武漢10分）如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACBW矩形的三邊 AE, ED, DB組成，已知河底 ED是水平的，E又16m, AE= 8m,拋物線的頂點(diǎn) C到ED的距離是11nl以ED所在的直線為x軸，拋物線的對(duì)稱軸為 y軸建立平面直角坐標(biāo)系.（1）求拋物線的解析式；（2）已知從某時(shí)刻開(kāi)始的40h內(nèi)，水面與河底ED的距離h（單位：m）隨時(shí)間t（單位：h）的變化滿足函數(shù)1關(guān)系h= (t 19)2+8(0 t 40)且當(dāng)水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5

31、m時(shí)，需禁止船只通行，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：在這一時(shí)段內(nèi), 128需多少小時(shí)禁止船只通行?3【答案】解：(1)設(shè)拋物線的為y=ax2+11,由題意得B(8, 8), ：64a+11=a解得a 。64:拋物線的解析式y(tǒng)= 3 x2+11。6412當(dāng) h=6 時(shí)，6= (t 19)2+8 ,解得r=35, t2=3o 128：35 3=32 (小時(shí))。答：需32小時(shí)禁止船只通行。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。【分析】(1)根據(jù)拋物線特點(diǎn)設(shè)出二次函數(shù)解析式，把B坐標(biāo)代入即可求解。(2)水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時(shí)，即水面與河底 ED的距離h至多為6,把6代入所給二次函數(shù)

32、關(guān)系式，求得 t的值，相減即可得到禁止船只通行的時(shí)間。11. (2012湖北黃岡12分)某科技開(kāi)發(fā)公司研制出一種新型產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400元，銷售單價(jià)定為3000元.在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵(lì)商家購(gòu)買該新型產(chǎn)品，公司決定商家一次購(gòu)買這種新型產(chǎn)品不超過(guò)10件時(shí)，每件按3000元銷售；若一次購(gòu)買該種產(chǎn)品超過(guò) 10件時(shí)，每多購(gòu)買一件，所購(gòu)買的全部產(chǎn)品的銷售單價(jià)均降低10元，但銷售單價(jià)均不低于2600元.(1)商家一次購(gòu)買這種產(chǎn)品多少件時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600元？(2)設(shè)商家一次購(gòu)買這種產(chǎn)品x件，開(kāi)發(fā)公司所獲的利潤(rùn)為 y元，求y(元)與x(件)之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范

33、圍.(3)該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商家一次購(gòu)買產(chǎn)品的件數(shù)超過(guò)某一數(shù)量時(shí)，會(huì)出現(xiàn)隨著一次購(gòu)買的數(shù)量的增多，公司所獲的利潤(rùn)反而減少這一情況.為使商家一次購(gòu)買的數(shù)量越多， 公司所獲的利潤(rùn)越大，公司應(yīng)將最低銷售單價(jià)調(diào)整為多少元？(其它銷售條件不變)【答案】解：(1)設(shè)件數(shù)為x,依題意，得3000 10 (x10) =2600,解得x=50。答：商家一次購(gòu)買這種產(chǎn)品 5的時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600元。(2)當(dāng)00x010時(shí)， y= (30002400) x=600x;當(dāng) 10<x050時(shí)，y=x ,即 y= 10x2+700x;當(dāng)x>50時(shí)，y= (2600-2400) x=200x。600

34、x(0 x 10,且x為整數(shù)). y 10x2 700x(10< x 50,且x為整數(shù))。70035時(shí)，利潤(rùn)y有最大值,210200x(x > 50,且x為整數(shù))(3)由y= 10x2+700x可知拋物線開(kāi)口向下，當(dāng) x此時(shí)，銷售單價(jià)為 3000- 10 (x 10) =2750元，答：公司應(yīng)將最低銷售單價(jià)調(diào)整為2750元?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用?！痉治觥?1)設(shè)件數(shù)為x,則銷售單價(jià)為3000-10 (x-10)元，根據(jù)銷售單價(jià)恰好為 2600元，列方程求解。(2)由利潤(rùn)丫=銷售單價(jià)X件數(shù)，及銷售單價(jià)均不低于2600元，按0<x<10, 10Vx<50, x>

35、;50三種情況列出函數(shù)關(guān)系式。(3)由(2)的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求利潤(rùn)的最大值，并求出最大值時(shí)x的值，確定銷售單價(jià)。12. (2012湖南岳陽(yáng)10分)我們常見(jiàn)的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過(guò)鍋心和蓋心的縱斷面是兩端拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡(jiǎn)稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm,鍋深3dm,鍋蓋高1dm (鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同)，建立直接坐標(biāo)系如圖所示，如果把鍋縱斷面的拋物線的記為G,把鍋蓋縱斷面的拋物線記為G.(1)求。和C2的解析式；(2)如圖，過(guò)點(diǎn) B作直線BE: y=1x- 1交G于點(diǎn)E (- 2, - 5 ),連接OE BC,在x軸上求一點(diǎn) P,使以點(diǎn) 33P、B、C

36、為頂點(diǎn)的 PBC與ABOE相似，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如果(2)中的直線BE保持不變，拋物線 ?；駽2上是否存在一點(diǎn) Q使得4EBQ的面積最大？若存在，求出Q的坐標(biāo)和 EBQ面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】 解：(1).拋物線Ci、C2都過(guò)點(diǎn)A (-3, 0)、B (3, 0),，設(shè)它們的解析式為：y=a(x3) (x+3)。1拋物線 C1 還經(jīng)過(guò) D (0, - 3),3=a (0-3) (0+3),解得 a=_。3，拋物線 Ci： y=1 (x3) (x+3),即 y=1x23 (- 3WxW3)。331;拋物線 C2還經(jīng)過(guò) A (0, 1), . . 1=a (0-3) (0

37、+3), a=-9拋物線 C2: y= - 1 (x3) (x+3),即 y=1x2+1 ( - 3<x<3)。99(2) .直線 BE： y=1x1 必過(guò)(0, 1),，/CBO=E BO (tan/CBO=tad EBO=1)。331 一由E點(diǎn)坐標(biāo)可知：tan/AOm 二 即/AOm/ CBQ3，它們的補(bǔ)角/ EO字/CBx若以點(diǎn)P、B C為頂點(diǎn)的 PBC與ABOE相似，只需考慮兩種情況: /CBR=/EBQ 且 OB: BE=BP: BC由已知和勾股定理，得 OB=3 BE=M0, BC=<10 o 3.3: 510=BR: v 10 , 3得：BP=9 , OP=OB

38、- BR = 6。.-P 1 (6, 0)555/PzBC=Z EBO 且 BC: BR=OB BE,即：而：BF2=3:皿"，得:BP2=50, OP=BP2OB=23。.P2 (一吏，0).3999綜上所述，符合條件的 P點(diǎn)有：P1 (6, 0)、B (-空，0)。59(3)如圖，作直線l /直線BE,設(shè)直線l : y=1x+b。3當(dāng)直線l與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)：1x+b= 1x2- 3,即：x2 - x - (3b+9) =0。33,2137由= ( 1) +4 (3b+9) =0。得 b= 。12.135此時(shí)，x= 一,y=一 。212、，135該交點(diǎn)Q(°,35

39、)。212過(guò)點(diǎn)Q作QFLBE于點(diǎn)F,則由BE: y=1 x - 1可用相似得 QF的斜率為一3,3135 1717設(shè) QF: y= - 3x + mi將 Q (金，)代入，可得 m= -o Q 2F：y= 3x o125125聯(lián)立BE和QF,解得 x=,y=-5。. F (,-5)。82482435 25一 +一12 245 108當(dāng)直線l與拋物線G只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí):1 x+b= - 1 x2+1,即：x2+3x+9b - 9=0。39 1.Q2到直線 BE: y=_x 1的距離 QF:3一一 2, 一 -3由4=3 +4 （9b 9） =0。得 b=_。433、 ,3 3此時(shí)， x= 一, y

40、=一。.該交點(diǎn) Q （ 一, 一）。242 4同上方法可得 Q到直線BE: y=lx- 1的距離：27屈。 340.510 27<10 = 25<10 27 ,10 = <10 < 0840 4040 -20'，符合條件的Q點(diǎn)為Q （ 9, 3）。2 4.EBQ 的最大面積：Smax 1 BE 27 102401 5 102327 1040458【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程根的 判別式，點(diǎn)到直線的距離，平行線的性質(zhì)?！痉治觥浚?）已知A、B C D四點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定兩

41、函數(shù)的解析式。13. （2012四川達(dá)州8分）問(wèn)題背景若矩形的周長(zhǎng)為 1,則可求出該矩形面積的最大值 .我們可以設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x,面積為s,則s與x的函數(shù)關(guān)系式為：21sx2 x x>0 ，利用函數(shù)的圖象或通過(guò)配方均可求得該函數(shù)的最大值2提出新問(wèn)題若矩形的面積為1,則該矩形的周長(zhǎng)有無(wú)最大值或最小值？若有，最大（?。┲凳嵌嗌?？分析問(wèn)題1若設(shè)該矩形的一邊長(zhǎng)為x,周長(zhǎng)為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y 2（x -） x> 0，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的最大 （?。?x值了.解決問(wèn)題的最大（?。┲?借鑒我們已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探索函數(shù)y 2（x（1）實(shí)踐操作：填寫(xiě)下表，并用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)y

42、1、 C -一2（x 一）x > 0的圖象: x(2)觀察猜想：觀察該函數(shù)的圖象，猜想當(dāng) x=時(shí)，函數(shù)y 2(x _) x>0有最 值(填x“大”或“小”)，是(3)推理論證：?jiǎn)栴}背景中提到，通過(guò)配方可求二次函數(shù)1y 2(x) x > 0的最大(小)值，以證明你的猜想x21s x2 x x>0的最大值，請(qǐng)你嘗試通過(guò)配方求函數(shù) 2提示：當(dāng) x> 0 時(shí)，x (Vx)2【答案】解：(1)填表如下:1 14(2) 1,小，4(3)證明：: y 2 (<'x)2 1y2 (<x)2 22 2( Vx ,)2 4,(x)( x)x1 .當(dāng)tx f=0時(shí)，

43、y的最小值是4,即x =1時(shí)，y的最小值是4。x【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值，配方法的應(yīng)用。【分析】 （ 1）分別把表中x 的值代入所得函數(shù)關(guān)系式求出y 的對(duì)應(yīng)值填入表中，并畫(huà)出函數(shù)圖象即可。（ 2）根據(jù)（1 ）中函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)直接得出結(jié)論即可。（ 3）利用配方法把原式化為平方的形式，再求出其最值即可。14. （ 2012 四川巴中9 分） 某商品的進(jìn)價(jià)為每件50 元，售價(jià)為每件60 元，每個(gè)月可賣出200 件。如果每件商品的售價(jià)上漲1 元，則每個(gè)月少賣10 件（每件售價(jià)不能高于72 元） 。設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x 元（ x為整數(shù)） ，每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y 元，（ 1）求y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式

44、，并直接寫(xiě)出x 的取值范圍；（ 2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大月利潤(rùn)是多少元？【答案】解：（1）設(shè)每件商品的售價(jià)上漲 x元（x為正整數(shù)），則每件商品的利潤(rùn)為：（ 60 50 + x）元，總銷量為：（ 200-10x ）件，商品利潤(rùn)為：y=（ 60 50 x） （ 200 10x） = 10x2 100x 2000。.原售價(jià)為每件60元，每件售價(jià)不能高于 72元，：0<x<12o（2） 丫 10x2+ 100x + 2000=- 10 （x-5） 2+2250,:當(dāng)x=5時(shí)，最大月利潤(rùn) y=2250。答：每件商品的售價(jià)定為5 元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)，最

45、大月利潤(rùn)是2250 元?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值。【分析】 （ 1）根據(jù)題意，得出每件商品的利潤(rùn)以及商品總的銷量，即可得出y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式。（ 2）根據(jù)題意利用配方法得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)形式（或用公式法），從而得出當(dāng)x=5 時(shí)得出 y 的最大值。15. （ 2012 遼寧錦州10 分） 某商店經(jīng)營(yíng)兒童益智玩具，已知成批購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是20 元 . 調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)是30 元時(shí)，月銷售量是 230 件，而銷售單價(jià)每上漲1 元，月銷售量就減少10 件，但每件玩具售價(jià)不能高于40 元 . 設(shè)每件玩具的銷售單價(jià)上漲 了 x 元時(shí)（ x 為正整數(shù) ） ，月銷售利潤(rùn)為y 元 .（ 1）

46、求y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式并直接寫(xiě)出自變量x 的取值范圍.（ 2）每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)恰為2520 元？（ 3）每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí)可使月銷售利潤(rùn)最大？最大的月利潤(rùn)是多少？2【答案】 解： （ 1）依題意得y （30 x 20）（230 10x）10x2 130x 2300自變量x的取值范圍是：0Vx< 10且x為正整數(shù)。2（ 2）當(dāng)y=2520 時(shí)，得 10x2 130x 2300 2520，解得x1=2,x 2=11（不合題意，舍去）當(dāng) x=2 時(shí)，30+x=32;每件玩具的售價(jià)定為 32元時(shí)，月銷售利潤(rùn)恰為 2520元。 22（3） y10x2 130x 2

47、30010（x 6.5）2 2722.5. a=-10<0 ;當(dāng) x=6.5 時(shí)，y 有最大值為 2722.5 。, ,0<x<10且x為正整數(shù)，:當(dāng) x=6 時(shí)，30+x=36,y=2720 , 當(dāng) x=7 時(shí)，30+x=37,y=2720。;每件玩具的售價(jià)定為 36元或37元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)。最大的月利潤(rùn)是2720元。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，解一元二次方程?！痉治觥浚?）根據(jù)銷售利潤(rùn)=銷售量X銷售單價(jià)即可得 y與x的函數(shù)關(guān)系式。因?yàn)?x為正整數(shù)，所以x>0;因?yàn)槊考婢呤蹆r(jià)不能高于 40元，所以x<40- 30=10o故自變量x的取值范

48、圍是：0Vx<10且x為正整數(shù)。（2）求出函數(shù)值等于 2520時(shí)自變量x的值即可。（3）將函數(shù)式化為頂點(diǎn)式即可求。16. （2012河北省9分）某工廠生產(chǎn)一種合金薄板（其厚度忽略不計(jì)）,這些薄板的形狀均為正方形，邊長(zhǎng)（單位：cmj）在550之間.每張薄板的成本價(jià)（單位：元）與它的面積（單位： c宿）成正比例，每張薄板的出廠價(jià)（單位：元）由基礎(chǔ)價(jià)和浮動(dòng)價(jià)兩部分組成，其中基礎(chǔ)價(jià)與薄板的大小無(wú)關(guān)，是固定不變的.浮動(dòng)價(jià)與薄板的邊長(zhǎng)成正比例.在營(yíng)銷過(guò)程中得到了表格中的數(shù)據(jù).薄板的邊長(zhǎng)（cmj）2030出廠價(jià)（元/張）5070（1）求一張薄板的出廠價(jià)與邊長(zhǎng)之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知出廠一張邊長(zhǎng)為