（精心整理）兩角和與差的余弦公式的五種推導(dǎo)方法之對(duì)比

1、兩角和與差的余弦公式的五種推導(dǎo)方法之對(duì)比兩角和與差的余弦公式是三角函數(shù)恒等變換的基礎(chǔ)，其他三角函數(shù)公式都是在此公式基礎(chǔ)上變形得到的，因此兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)作為本章要推導(dǎo)的第一個(gè)公式，往往得到了廣大教師的關(guān)注. 對(duì)于不同版本的教材采用的方法往往不同，認(rèn)真體會(huì)各種不同的兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)方法，對(duì)于提高學(xué)生的分析問(wèn)題、提出問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力有很大的作用.下面將兩角和與差的余弦公式的五種常見推導(dǎo)方法歸納如下：方法一：應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，POP1，則POx  過(guò)點(diǎn)P作PMx軸，垂足為M，那么OM即為角的余弦線，這

2、里要用表示，的正弦、余弦的線段來(lái)表示OM過(guò)點(diǎn)P作PAOP1，垂足為A，過(guò)點(diǎn)A作ABx軸，垂足為B，再過(guò)點(diǎn)P作PCAB，垂足為C，那么cosOA，sinAP，并且PACP1Ox，于是OMOBBMOBCPOAcosAPsincoscossinsin綜上所述，.    說(shuō)明：應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式這一方法簡(jiǎn)單明了，構(gòu)思巧妙，容易理解. 但這種推導(dǎo)方法對(duì)于如何能夠得到解題思路，存在一定的困難. 此種證明方法的另一個(gè)問(wèn)題是公式是在均為銳角的情況下進(jìn)行的證明，因此還要考慮的角度從銳角向任意角的推廣問(wèn)題.方法二：應(yīng)用三角形全等、兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法 設(shè)P1(x

3、1，y1)，P2(x2，y2)，則有|P1P2 |= .在直角坐標(biāo)系內(nèi)做單位圓，并做出任意角，+和，它們的終邊分別交單位圓于P2、P3和P4點(diǎn)，單位圓與x軸交于P1，則P1(1,0)、P2(cos，sin)、P3(cos(+)，sin(+)、.  ，且，.    說(shuō)明：該推導(dǎo)方法巧妙的將三角形全等和兩點(diǎn)間的距離結(jié)合在一起，利用單位圓上與角有關(guān)的四個(gè)點(diǎn)，建立起等式關(guān)系，通過(guò)將等式的化簡(jiǎn)、變形就可以得到符合要求的和角與差角的三角公式. 在此種推導(dǎo)方法中，推導(dǎo)思路的產(chǎn)生是一個(gè)難點(diǎn)，另外對(duì)于三點(diǎn)在一條直線和三點(diǎn)在一條直線上時(shí)這一特殊情況，還需要加以解釋

4、、說(shuō)明. 方法三：應(yīng)用余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)，則.在OPQ中，  ，.    說(shuō)明：此題的解題思路和構(gòu)想都是容易實(shí)現(xiàn)的. 因?yàn)橐髢山呛团c差的三角函數(shù)，所以構(gòu)造出和角和差角是必須實(shí)現(xiàn)的. 構(gòu)造出的和角或差角的余弦函數(shù)又需要和這兩個(gè)角的三角函數(shù)建立起等式關(guān)系，因此借助于余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式建立起等式關(guān)系容易出現(xiàn)，因此此種方法是推導(dǎo)兩角和與差的余弦的比較容易理解的一種方法. 但此種方法必須是在學(xué)習(xí)完余弦定理的前提下才能使用，因此此種方法在必修四中又無(wú)法使用. 另外也同樣需要考慮三點(diǎn)在一條直線上的情況.方法四：應(yīng)用三角形

5、面積公式推導(dǎo)推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)、是兩個(gè)任意角，把、兩個(gè)角的一條邊拼在一起，頂點(diǎn)為O，過(guò)B點(diǎn)作OB的垂線，交另一邊于A，交另一邊于C，則有SOAC=SOAB+SOBC.  根據(jù)三角形面積公式，有，.，sin(+)=sincos+sincos.根據(jù)此式和誘導(dǎo)公式，可繼續(xù)證出其它和角公式及差角公式.(1)sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+sin(-)cos=sincos-sincos；(2)cos(+)=sin90-(+)=sin(90-)-=sin(90-)cos-sincos(90-)=coscos-sinsin；(3)cos(-)=cos+(-)=cosc

6、os(-)-sinsin(-)=coscos+sinsin.    說(shuō)明：此種推導(dǎo)方法通過(guò)三角形的面積的和巧妙的將兩角和的三角函數(shù)與各個(gè)角的三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn). 缺點(diǎn)是公式還是在兩個(gè)角為銳角的情況下進(jìn)行的證明，因此同樣需要將角的范圍進(jìn)行拓展.(五)應(yīng)用數(shù)量積推導(dǎo)余弦的差角公式  在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)為A，B，則(cos，sin)，(cos，sin).由向量數(shù)量積的概念，有.由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有.于是，有.    說(shuō)明：應(yīng)用數(shù)量積推導(dǎo)余弦的差角公式無(wú)論是構(gòu)造兩個(gè)角的差，還是得到每個(gè)角的三角函數(shù)值都是容易實(shí)現(xiàn)的，而且從向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算兩種形式