第三章機(jī)械能定理.

1、第三章機(jī)械能定理13.1.1 功與功率功與功率abFl d力的空間累積量：功力的空間累積量：功元功元功dzFdyFdxFFdlFFdlFl dFdWzyx/)( 切/FF變力沿曲線作功2質(zhì)點(diǎn)從 a 到 b 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，力 F 所作的功bal dFW在SI中，功的單位是 Nm (牛米)，又稱 J (焦耳)，即有J =Nm。abFl d/FF3重力功重力功mghzzmgmgdzl dgmWabbaba)()(z平面xyabazbzPl dgmO重力對(duì)物體所作的功只與物體初始位置和終止位置有關(guān)， 與經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。4彈力功彈力功OaxbxFkxFxx x+dxk)(21)(22baxxxxxxxx

2、xkdxkxdxFl dFWbababa彈力對(duì)物體所作的功只與物體初始位置和終止位置有關(guān)， 與其間經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。5質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受多個(gè)力作用時(shí)分力作功之和等于合力作功WldFldFldFldFWbabaiibaiiibaiii )(6一對(duì)作用力與反作用力：),(21FFOS系1r2r21rP1P21F2F21212212222122211)()()(rdFrrdFrdrdFrdFrdFrdFrdFdW在所有相對(duì)平動(dòng)的參考系中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的一對(duì)作用力與反作用力作功之和都相同（受牛頓第三定律徑向力約束）在任意參考系中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的一對(duì)作用力與反作用力作功之和都相同7萬(wàn)有引力功萬(wàn)有引力功ab

3、FrddrrMmGrdrrMmGrdrrMmGl dFdW2/33rrMmGF3Mdrrd/rmM系abrrGMmW11與路徑無(wú)關(guān)8rrrFF)(rdrrdr彈力和萬(wàn)有引力都是徑向力barrdrrFW)(rrQqkF3barrkQqW119功率功率vFdtl dFdtl dFdtdWP功率 P ：力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功：dtdWP 設(shè) F 作用的對(duì)象在 dt 時(shí)間的位移量為 dlvFP在SI中，功率單位特稱W（瓦特），即有W = J/s103.1.2 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理abFl dF任一慣性系S中，合力 F 對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作元功dlFl dFdW/牛頓第二定律的切向分量式dtdvmmaF/代入

4、得221mvdmvdvdtdlmdvdldtdvmdW221mvdmvdvvdvmdtldvmdlddtvdmdW/F11在S系中定義質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：221mvEk質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增加量合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增加量微分式kdEdW 積分式kEW 非慣性系中引入慣性力作功量，它與真實(shí)力作功量之和也等于質(zhì)點(diǎn)在非慣性系中動(dòng)能的增量。kdEdWdW慣12質(zhì)點(diǎn)系在某慣性系的動(dòng)能ikikEE質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：kEWW外內(nèi)非慣性系中引入各質(zhì)點(diǎn)所受慣性力作功之和W慣，也可有相應(yīng)的“質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理”kEWWW外內(nèi)慣內(nèi)力是否作功?13hlmAFv0hlAv0O試求 F 的功

5、率lhlFvFvvFP22000cosmmamgTF0222dtdldtldarsin0vdtdl22dtldam?PA點(diǎn)以v0勻速水平運(yùn)動(dòng)14mmamgTF0vFP解法二tanhx 求導(dǎo)20coshv coshl 求導(dǎo)sincossin02vhlmahvvl3200coscos hlAv0O15例2長(zhǎng) L、質(zhì)量 M 的平板放在光滑水平面上，質(zhì)量 m 的小木塊以水平初速 v0 滑入平板上表面，兩者間摩擦系數(shù)為，試求小木塊恰好未能滑離平板上表面的條件。mv0M, L小木塊運(yùn)動(dòng)到平板右端時(shí)與平板速度相同0)(mvvmM過(guò)程中 m 與 M 間一對(duì)摩擦力作功mgLW地面慣性系中動(dòng)能定理2021221)

6、(mvvmMWgLMmMv220解法一解法一16在隨木板運(yùn)動(dòng)的非慣性系中木塊以初速 v0 滑入，最后靜止在木板右端。在這個(gè)過(guò)程中，摩擦力和慣性力做功。平動(dòng)加速度Mmga0木塊所受慣性力MmgmFi動(dòng)能定理2021mvmgLLMmgmMmMgLv220解法二解法二17解法三解法三當(dāng)作兩體問(wèn)題處理木塊以初速 v0 滑入，最后靜止在木板右端。2021vmMMmmgLMmMgLv22018第三章作業(yè)第三章作業(yè)A組4、7、8、9、1012、17、18、20、22、24B組26、29、33、34193.2.1 保守力力的沖量21tt “路線”唯一力作的功21rr“路線”不唯一從作功的角度，力可分為作功量與

7、路徑有關(guān)非保守力作功量與路徑無(wú)關(guān)保守力 摩擦力、空氣阻力就是典型的非保守力自然界所有的基本力都是保守力20兩點(diǎn)之間的可能路徑ABPL1L2在任意位置上取一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”點(diǎn) P從A到B保守力作的功APBPBPAPPBAPABWWWWWWW定義質(zhì)點(diǎn)在S系的每一個(gè)位置的勢(shì)能：參考點(diǎn)rpl dFrE)(計(jì)算保守力所作的功21守恒的理念：動(dòng)能的增加等于勢(shì)能的減少pkEE勢(shì)能零點(diǎn)的選擇具有任意性，實(shí)際中常選 F = 0 點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)。任意點(diǎn)的勢(shì)能等于將質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移動(dòng)到參考點(diǎn)保守力作的功參考點(diǎn)rpl dFrE)(勢(shì)能的減少 = 保守力作功 = 動(dòng)能的增加22mghEp重心等勢(shì)面：勢(shì)能相等的點(diǎn)形成的曲面重力的等勢(shì)

8、面是一水平面23221kxEp勢(shì)能是保守力作功引起的，勢(shì)能究竟“藏”在系統(tǒng)何處？力從哪里來(lái)？場(chǎng)-引力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、電磁場(chǎng)等等勢(shì)能藏在場(chǎng)中場(chǎng)又從哪里來(lái)場(chǎng)又從哪里來(lái)? ?Ox24OS系1r2r21rP1P21F2F兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相互作用是一對(duì)保守性作用力和反作用力系統(tǒng)勢(shì)能的定義：兩個(gè)力的作功之和等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少量系統(tǒng)勢(shì)能只依賴于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置， 且在所有參考系中都是相同的。對(duì)于兩體系統(tǒng)，系統(tǒng)勢(shì)能又稱為二體勢(shì)能25rMmGrErEpp)()(26 rQqkrEp)(273.2.3 勢(shì)能函數(shù)勢(shì)能函數(shù)勢(shì)能函數(shù)一般是空間的三元函數(shù)),()(zyxErEEppp如何由勢(shì)能函數(shù)求保守力? 28一維情況)(

9、xEEpp勢(shì)能函數(shù)保守力 F 是 x 方向的)( ,xFFiFFxxxdxFdExp勢(shì)能與保守力有關(guān)系dxdEFpx29三維情況保守力 F 一般也是三元函數(shù)),()(zyxFrFFdzFdyFdxFl dFdEzyxp勢(shì)能與保守力有關(guān)系勢(shì)能的全微分公式dzzEdyyEdxxEdEpppp30kzEjyEixEFppp引入哈密頓算符kzjyixpEF31勢(shì)能曲線一維勢(shì)能函數(shù)對(duì)應(yīng)的 Ep - x 曲線稱為勢(shì)能曲線；二維的稱為勢(shì)能曲面。例 二體引力勢(shì)能對(duì)應(yīng)的勢(shì)能曲線rMmGrEp)( Epr32思考題 半徑為R的光滑圓環(huán)繞豎直軸以0勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，圓環(huán)上套一小球，試確定其穩(wěn)定平衡點(diǎn)位置。0RO33例4 均

10、勻柱形彈性體：勁度系數(shù) k、 自由長(zhǎng)度 L，質(zhì)量 m， 求豎直懸掛時(shí)的伸長(zhǎng)量和彈性勢(shì)能。均勻柱形彈性體的性質(zhì)：均勻柱形彈性體的性質(zhì)：原長(zhǎng) L 中任意一段 l 的勁度系數(shù)klLkl受力 F 時(shí)，2)(21 , ,/LkELLllkFLpOx34對(duì)應(yīng)原長(zhǎng) x 處 dx 段的勁度系數(shù)kdxLkdx受力mgLxL該小段的伸長(zhǎng)量dxkmgLxLdl2總伸長(zhǎng)量kmgdlLL2022內(nèi)含彈性勢(shì)能kgmdlkELdxp6)(21220222353.3.1 機(jī)械能定理機(jī)械能定理從力學(xué)的角度看，質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力或是保守性的，或是非保守性的。外力非保守性內(nèi)力保守性內(nèi)力質(zhì)點(diǎn)系受力36慣性系中質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：kEWW

11、W外內(nèi)非保內(nèi)保將保守性內(nèi)力作功之和用它們的勢(shì)能代替，動(dòng)能定理可改寫(xiě)為)(pkEEWW外內(nèi)非保質(zhì)點(diǎn)系中各對(duì)保守性內(nèi)力對(duì)應(yīng)的勢(shì)能之和 Ep各對(duì)保守性內(nèi)力作功之和W內(nèi)保便等于Ep的減少量pEW內(nèi)保非保守性內(nèi)力作功之和W內(nèi)非保，外力作功之和W外37定義質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能與內(nèi)勢(shì)能之和為質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能 pkEEE質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能定理所有非保守內(nèi)力作功與所有外力作功之和等于質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能增加量EWW外內(nèi)非保38質(zhì)點(diǎn)系所受外力也可進(jìn)一步分為保守性的和非保守性的。保守性的外力也有對(duì)應(yīng)的外勢(shì)能非慣性系中各質(zhì)點(diǎn)所受保守性慣性力對(duì)應(yīng)的勢(shì)能之和 Ep慣EWWW外內(nèi)非保慣非保其中慣ppkEEEE3.2 機(jī)械能守恒定律機(jī)

12、械能守恒定律動(dòng)能由各質(zhì)點(diǎn)速度確定，勢(shì)能由系統(tǒng)自身幾何位置和形狀確定，速度和幾何位形都是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的表征，因此機(jī)械能是由系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)確定的力學(xué)量。動(dòng)能勢(shì)能保守力作功機(jī)械能其它形式的能量非保守力作功除機(jī)械能外，還有許多其它形式的能量40機(jī)械能守恒定律為守恒量則若過(guò)程中恒有外內(nèi)非保 , 0 , 0 :EdWdW能量守恒定律這條定律支配著至今我們所知道的一切自然現(xiàn)象，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這條定律有什么例外。41例例 6 某慣性系中質(zhì)量各為m，M的質(zhì)點(diǎn)A，B。 開(kāi)始時(shí)相距l(xiāng)0，A靜止，B沿連線向外以v0運(yùn)動(dòng)。 在力 F 作用下，B作勻速運(yùn)動(dòng)。 (1) 試求A、B間距可達(dá)到的最大值lmax (2) 此過(guò)程中變力F所作的

13、功。mM0vABl0F先定性分析A、B的運(yùn)動(dòng)42選擇合適的參考系隨B運(yùn)動(dòng)的慣性系利用機(jī)械能守恒定律020max21lMmGmvlMmGmaxl利用機(jī)械能定理020max2021)(21lMmGMvlMmGvMmW另外一種情況mM0vABl0F43例7 半徑為R的勻質(zhì)圓環(huán)形光滑細(xì)管放在光滑的水平面上，管內(nèi)有兩個(gè)相同質(zhì)量的小球，它們的初速度相同，如圖所示。求（1）兩球相碰時(shí)離管道中心的距離。（2）從小球穿出缺口到相碰，管道水平經(jīng)過(guò)的路程。OROR動(dòng)量守恒機(jī)械能守恒44例例 9 長(zhǎng)L的勻質(zhì)軟繩絕大部分沿長(zhǎng)度部分放在光滑水平 桌面上，僅有很少一部分懸掛在桌面外。而后繩將從 靜止開(kāi)始下滑。問(wèn)繩能否達(dá)到圖

14、（b）狀態(tài)？ 若否，繩滑下多長(zhǎng)時(shí)會(huì)甩離桌邊？LL分析物理過(guò)程（a）（b）（c）45利用機(jī)械能守恒定律2)()(212lglvL繩的水平方向動(dòng)量llLLgvlLpx)(/)(時(shí)，存在極大值2/Ll NLLl46將碰撞的物體模型化為質(zhì)點(diǎn)將碰撞的物體模型化為質(zhì)點(diǎn)宏觀世界經(jīng)常會(huì)發(fā)生物體間的碰撞碰撞的特點(diǎn)：碰撞時(shí)間一般很短， 物體的動(dòng)量有明顯變化， 碰撞力很大， 常規(guī)力(如重力)與其相比提供的沖量可略碰撞的基本問(wèn)題：已知碰撞前系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)， 要求確定碰撞后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。碰撞現(xiàn)象普遍存在！47起跳和落地時(shí)的肌肉和筋腱起跳和落地時(shí)的肌肉和筋腱足球、排球、體操等運(yùn)動(dòng)中，膝部要承受多達(dá)7-14倍的峰值體重4

15、83.1 一維碰撞一維碰撞m1m22010vv20vm1m21v12vv 碰撞前碰撞后碰撞前后動(dòng)量守恒：2021012211vmvmvmvm為解v1，v2，還需建立補(bǔ)充方程49彈性碰撞碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)能不變（機(jī)械能守恒）2202210122221121212121vmvmvmvm211012012221202102112)( ,2)(mmvmvmmvmmvmvmmv兩個(gè)解：一解對(duì)應(yīng)碰前狀態(tài)，另一解對(duì)應(yīng)碰后狀態(tài)。具有相同對(duì)稱性果對(duì)稱性置具有下因因果對(duì)稱關(guān)聯(lián) :換 2 1, 標(biāo) : 50性質(zhì)：碰撞前后相對(duì)速度大小不變201012vvvv特例特例1：21mm 201vv 102vv 0 2012vmm

16、且101vv（反彈）特例特例2：碰后交換速度51完全非彈性碰撞2120210121mmvmvmvv碰后質(zhì)點(diǎn)1和2一起運(yùn)動(dòng)21vv 碰后動(dòng)能損失220102121)(21vvmmmmE損52非彈性碰撞介于彈性與完全非彈性之間的碰撞引入恢復(fù)系數(shù)10 ,201012evvvve21102012022120102101)()1 ()()1 (mmvvmevvmmvvmevv532201021212)()1 (21vvmmmmeE損54三體碰撞三體碰撞m1m22010vv3020vv30v完全非彈性碰撞有唯一解碰撞前后動(dòng)量守恒：303202101332211vmvmvmvmvmvm55230322022

17、101233222211212121212121vmvmvmvmvmvm解仍然具有的不定性模型的問(wèn)題模型的問(wèn)題彈性碰撞將物體剛性化與質(zhì)點(diǎn)化563.4.2 二維斜碰撞二維斜碰撞動(dòng)量守恒方程2021012211vmvmvmvmm1m210v20v1v2v完全非彈性碰撞有唯一解彈性碰撞2202210122221121212121vmvmvmvm若再補(bǔ)充一個(gè)角度關(guān)系則有唯一解解的不定性源于物體的剛性化與質(zhì)點(diǎn)化四個(gè)未知標(biāo)量四個(gè)未知標(biāo)量57例11 采用二體約化質(zhì)量方法， 計(jì)算二體正碰撞過(guò)程中系統(tǒng) 動(dòng)能損失。碰撞過(guò)程中動(dòng)能損失量由內(nèi)力作功引起，因此在所有參考系中相同。12v012v引入恢復(fù)系數(shù)10 ,0eevv58利用動(dòng)能定理202220)1 (212121vevvWE內(nèi)損二體約化質(zhì)量2121mmmm轉(zhuǎn)換到其它參考系，質(zhì)點(diǎn)1，2初速分別記為v10，v20，則有21020210200)()1 (21 ,vveEvvv損完全非彈性非彈性彈性 :0 ;:01 ; :1eee59習(xí)題3-3 質(zhì)量同為m的兩個(gè)小球，用長(zhǎng)為 2l 的