第4章數(shù)值分析

1、1第第4 4章章 數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分4.1 數(shù)值積分概論4.2 牛頓-柯特斯公式 4.3 復(fù)合求積公式 4.4 龍貝格求積公式 4.5 自適應(yīng)積分方法4.6 高斯求積公式4.7 多重積分4.8 數(shù)值微分 24.1 數(shù)值積分概論數(shù)值積分概論 數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的基本思想 依據(jù)微積分基本定理，對于積分,)(badxxfI只要找到被積函數(shù) 的原函數(shù) ，便有下列牛頓-萊布尼茲(Newton-Leibniz)公式： )( xf)( xF).()()(aFbFdxxfba但對于下列情形：3 （1）被積函數(shù)，諸如 等，找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)，或者即使能求得原函數(shù)但原函數(shù)的表達(dá)

2、式非常復(fù)雜，計(jì)算困難； 2e),0(sinxxxx （2）當(dāng) 是由測量或數(shù)值計(jì)算給出的一張數(shù)據(jù)表時(shí)，牛頓-萊布尼茲公式也不能直接運(yùn)用. )( xf 因此有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算問題. 由積分中值定理知，在積分區(qū)間 內(nèi)存在一點(diǎn)，成立 ,ba),()()(fabdxxfba4就是說，底為 而高為 的矩形面積恰等于所求 ab )(f曲邊梯形的面積 (圖4-1).I圖4-15 問題在于點(diǎn)的具體位置一般是不知道的，因而難以 準(zhǔn)確算出 的值.)(f 將 稱為區(qū)間 上的平均高度. )(f,ba 這樣，只要對平均高度 提供一種算法，相應(yīng)地便)(f獲得一種數(shù)值求積方法. 用兩端點(diǎn)“高度“ 與 的算術(shù)平均作為平均

3、高度 的近似值，這樣導(dǎo)出的求積公式)(af)(bf)(f)()(2)(bfafabdxxfba（1.1）是梯形公式梯形公式(幾何意義參看圖4-2). 6圖4-2 用區(qū)間中點(diǎn) 的“高度” 近似地取代平均高度 ，則又可導(dǎo)出所謂中矩形公式中矩形公式(簡稱矩形公式矩形公式) 2bac)(cf)(f).2()()(bafabdxxfba（1.2）7 一般地，可以在區(qū)間 上適當(dāng)選取某些節(jié)點(diǎn) ，,bakx然后用 加權(quán)平均得到平均高度 的近似值，)(kxf)(f, )()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）式中 稱為求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)； 稱為求積系數(shù)求積系數(shù)，亦稱伴隨節(jié)點(diǎn) 的權(quán)權(quán). kx 權(quán) 僅僅與節(jié)點(diǎn) 的

4、選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù) 的具體形式. kAkx這樣構(gòu)造出的求積公式具有下列形式：kAkx)( xf8 這類數(shù)值積分方法通常稱為機(jī)械求積，其特點(diǎn)是將積分求值問題歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算，這就避開了牛頓-萊布尼茲公式需要尋求原函數(shù)的困難. 9 代數(shù)精度的概念代數(shù)精度的概念 定義定義1 1 如果某個(gè)求積公式對于次數(shù)不超過 的多項(xiàng)式m均能準(zhǔn)確地成立，但對于 次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立，1m則稱該求積公式具有 次代數(shù)精度次代數(shù)精度. m 梯形公式(1.1)和矩形公式(1.2)均具有一次代數(shù)精度. 數(shù)值求積是近似方法，為保證精度，自然希望求積公式對盡可能多的函數(shù)準(zhǔn)確成立.10nkkabA0, 欲使求積公式(1.

5、3)具有 次代數(shù)精度，則只要令它m對 都準(zhǔn)確成立，就得到mxxf,2, 1)(（1.4）nkmmmkkabmxA011).(11nkkkabxA022),(21, )()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）11 如果事先選定求積節(jié)點(diǎn) ，譬如，以區(qū)間 的等距分點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，這時(shí)取 ，求解方程組(1.4)即可確定求積系數(shù) ，而使求積公式(1.3)至少具有 次代數(shù)精度. kx,banm kAn 構(gòu)造形如(1.3)的求積公式，原則上是一個(gè)確定參數(shù) 和 的代數(shù)問題. kxkA, )()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）12 例如 時(shí)，取 ，求積公式為bxax10,1n).()()()(10bfA

6、afAdxxffIba在線性方程組（1.4）中令 ，則得1m),(21,221010abbAaAabAA解得 于是得).(2110bfAA).()(2)()(bfafabdxxffIba這就是梯形公式，表明利用線性方程組（1.4）推出的求積公式，與用通過兩點(diǎn) 與 的直線近似曲線 得到的結(jié)果是一致的.)(,(afa)(,(bfb)( xfy 13 當(dāng) 時(shí)（1.4）式的第3個(gè)式子不成立，因?yàn)?)(xxf).(31)(233222abdxxbaabba所以梯形公式（1.1）的代數(shù)精度為1. 在（1.4）中如果節(jié)點(diǎn)和系數(shù)都不確定，那么（1.4）就是關(guān)于 及 的 個(gè)參數(shù)的非線性方程組，該方程組在 時(shí)求解

7、是很困難的.ix), 1 ,0(niAi22n1n 但在 和 時(shí)還是可以通過求解（1.4）得到相應(yīng)的求積公式的.0n1n140n 如 ，此時(shí)求積公式為),()()(00 xfAdxxffIba其中， 及 為待定參數(shù).0A0 x 根據(jù)代數(shù)精度的定義可令 ，由（1.4）知xxf,1)(),(21,22000abxAabA于是 ).(210bax 所得到的就是（1.2）式的中矩形公式. 15 再令 ，代入（1.4）的第3式有2)(xxf),(31)(4)2)(332222200abdxxbaabbaabxAba說明公式（1.2）對 不精確成立，故它的代數(shù)精度為1.2)(xxf 方程組（1.4）是根據(jù)

8、形如（1.3）式的求積公式得到的，按照代數(shù)精度的定義，如果求積公式中除了 還有 在某些節(jié)點(diǎn)上的值，也同樣可得到相應(yīng)的求積公式. )(ixf)(xf 16 例例1 1 給定形如 的求積公式，試確定系數(shù) ，使公式具有盡可能高的代數(shù)精度.)0() 1 ()0()(01010fBfAfAdxxf010,BAA 解解 根據(jù)題意可令 分別代入求積公式使它精確成立2, 1)(xxxf 當(dāng) 時(shí)，得1)(xf;111010dxAA 當(dāng) 時(shí)，得xxf)(;211001dxxBA17 當(dāng) 時(shí)，得2)(xxf.311021dxxA解得 ,于是得61,32,31000BAA).0(61)1(31)0(32)(10fff

9、dxxf 當(dāng) 時(shí)， 而上式右端為 ，故公式對 不精確成立，其代數(shù)精度為2.3)(xxf.41103dxx313)(xxf18 插值型的求積公式插值型的求積公式 設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn) ,210bxxxxan且已知函數(shù) 在這些節(jié)點(diǎn)上的值，)(xf作插值函數(shù) .)(xLn取 banndxxLI)(作為積分 的近似值，badxxfI)(nkkknxfAI0)(（1.5）這樣構(gòu)造出的求積公式稱為是插值型插值型的，式中求積系數(shù) 通過插值基函數(shù) 積分得出 kA)( xlk19., 1 ,0,)(nkdxxlAbakk（1.6）求積公式的值余項(xiàng)式中依賴于 ， x).()()(101nnxxxxxxx（1.7）,)(

10、)()(dxxRdxxLxffRbanban),()!1()()(1)1(xnfxRnnn其中20 當(dāng) 是次數(shù)不超過 的多項(xiàng)式時(shí)，插值多項(xiàng)式就是n)( xf函數(shù)本身，余項(xiàng) 為零， fR. )()(0banjjkjkxlAdxxl 反之，如果求積公式(1.5)至少具有 次代數(shù)精度，則n它必定是插值型的. 事實(shí)上，這時(shí)公式(1.5)對于插值基函數(shù) 應(yīng)準(zhǔn)確)(xlk成立，即有至少具有 次代數(shù)精度.n所以這時(shí)插值型求積公式nkkknxfAI0)(（1.5）21注意到 上式右端實(shí)際上即等于 ，因而,)(kjjkxlkA.)(bakkdxxlA成立. 這樣，有 定理定理1 1 形如(1.5)的求積公式至少

11、有 次代數(shù)精度的充分必要條件是，它是插值型的. nnkkknxfAI0)(（1.5）22 若求積公式(1.3)的代數(shù)精度為 ，則有求積公式余項(xiàng)的表達(dá)式(1.7)可以證明余項(xiàng)形如m（1.8）),()()()1(0mnkkkbafKxfAdxxffR其中 為不依賴于 的待定參數(shù),K)(xf).,(ba 結(jié)果表明當(dāng) 是次數(shù)小于等于 的多項(xiàng)式時(shí)，由于 ，故此時(shí) ，即求積公式(1.3)精確成立.)(xfm0)()1(xfm0fR 而當(dāng) 時(shí)， (1.8)的右端故可求得1)(mxxf,)!1()()1(mxfm, 0 xRn 求積公式的余項(xiàng)求積公式的余項(xiàng)23（1.9）.)()2(1)!1(1)!1(1012

12、2011nkmkkmmnkmkkbamxAabmmxAdxxmK代入余項(xiàng)(1.8)中可以得到更細(xì)致的余項(xiàng)表達(dá)式. 梯形公式(1.1)的代數(shù)精度為1，可以證明它的余項(xiàng)表達(dá)式為),(),(bafKfR 其中.)(121)(6121)(2)(3121332233ababbaababK于是得到梯形公式(1.1)的余項(xiàng)為).,(),(12)(3bafabfR （1.10）24 對中矩形公式(1.2)，其代數(shù)精度為1，可以證明),(),(bafKfR 其中.24)()2)()(31213233abbaababK于是得到梯形公式(1.1)的余項(xiàng)為).,(),(24)(3bafabfR （1.11）25 例例

13、2 2 求例1中求積公式)0(61) 1 (31)0(32)(10fffdxxf的余項(xiàng) 解解 由于此求積公式的代數(shù)精度為2，故余項(xiàng)表達(dá)式為 . 令 ，得 ，于是有)(fKfR 3)(xxf! 3)( f.721)3141(! 31)0(61) 1 (31)0(32(! 31103fffdxxK故得).1 , 0(),(721 ffR26 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 定義定義2 2 在求積公式(1.3)中，若.)()(lim00bankkkhndxxfxfA其中),(max11iinixxh 在求積公式(1.3)中，由于計(jì)算 可能產(chǎn)生誤差 ，)(kxfk實(shí)際得到將是 ，kf

14、即.)(kkkfxf, )()(0nkkknxfAfI則稱求積公式(1.3)是收斂收斂的. 記nkkknfAfI0.)(, )()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）27如果對任給小正數(shù),0只要誤差 充分小就有 knkkkknnfxfAfIfI0)()()(（1.12）,則表明求積公式(1.3)計(jì)算是穩(wěn)定的，由此給出: 定義定義3 3 對任給 若 只要),1 ,0()(nkfxfkk就有(1.12)成立，則稱求積公式(1.3)是穩(wěn)定穩(wěn)定的. ,0,0, )()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）28 定理定理2 2 若求積公式(1.3)中系數(shù) 證明證明取,ab ,)(kkfxf),1

15、,0(0nkAk則此求積公式是穩(wěn)定的. ,0對任給都有nk,1 ,0若對則當(dāng) 時(shí)有0kAnkkkknnfxfAfIfI0)()()(nkkkkfxfA0)(, )()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）29 定理2表明，只要求積系數(shù) ，就能保證計(jì)算的穩(wěn)定性. 由定義3 ，知求積公式(1.3)是穩(wěn)定的. nkkA0)(ab .0kA, )()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）304.2 牛頓牛頓- -柯特斯公式柯特斯公式 柯特斯系數(shù)與辛普森公式柯特斯系數(shù)與辛普森公式 設(shè)將積分區(qū)間 劃分為 等分，,ban選取等距節(jié)點(diǎn) 構(gòu)造出的插值型求積公式khaxknkknknxfCabI0)()()(

16、（2.1）稱為牛頓牛頓- -柯特斯公式柯特斯公式，式中 稱為柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù). )( nkC 按(1.6)式，引進(jìn)變換,thax,nabh步長則利用等距節(jié)點(diǎn)的插值公式，有.)(bakkdxxlA（1.6）31 nnkjjnkdtjkjtabhC00)(（2.2）.)()!(!)1(00 nnkjjkndtjtknnk 當(dāng) 時(shí)，1n,21)1(1)1(0 CC這時(shí)的求積公式就是梯形公式)()(2bfafabT32 當(dāng) 時(shí)，按(2.2)式，2n,61)2)(1(4120)2(0dtttC相應(yīng)的求積公式是辛普森辛普森(Simpson)公式公式 ),()2(4)(6bfbafafabS（2.3）,

17、64)2(2120)2(1dtttC.61)1(4120)2(2dtttC柯特斯系數(shù)為 nnkjjnkdtjkjtabhC00)(（2.2）.)()!(!)1(00 nnkjjkndtjtknnk33 的牛頓-柯特斯公式稱為柯特斯公式，其形式是 4n),(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfabC（2.4）這里 .4,abhkhaxk 按（2.2）式，可構(gòu)造柯特斯系數(shù)表.3428350989228350588828350928283501049628350454028350104962835092828350588828350989817280751172803

18、57717280132317280298917280298917280132317280357717280751784041359280910534280935984041628819962514425144259625288195907451615245169074818383813613261221211)(nkCn1表435 從柯特斯系數(shù)表看到 時(shí)，柯特斯系數(shù) 出現(xiàn)負(fù)值，8n)( nkC,10)(0)(nknknknkCC特別地，假定,0)()(kknkfxfCnkkknknnfxfCfIfI0)()()()(于是有,)(kkfxf且則有 nkkknkfxfC0)()(nkkknkfxf

19、C0)()(36它表明初始數(shù)據(jù)誤差將會引起計(jì)算結(jié)果誤差增大，即計(jì)算不穩(wěn)定，故 的牛頓-柯特斯公式是不用的. 8n.0)(nknkC37 偶階求積公式的代數(shù)精度偶階求積公式的代數(shù)精度 由定理1， 階的牛頓-柯特斯公式至少具有 次的代數(shù)精度. nn 先看辛普森公式(2.3)，它是二階牛頓-柯特斯公式，因此至少具有二次代數(shù)精度. 用 進(jìn)行檢驗(yàn)，3)(xxf.)2(46333bbaaabS本節(jié)討論代數(shù)精度的進(jìn)一步提高問題. 按辛普森公式計(jì)算得 ),()2(4)(6bfbafafabS（2.3）38這時(shí)有 ，即辛普森公式對次數(shù)不超過三次的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成立，而它對 通常是不準(zhǔn)確的，因此，辛普森公式實(shí)際上

20、具有三次代數(shù)精度.4443abdxxIba另一方面，直接求積得 IS 4)(xxf 定理定理3 3 當(dāng)階 為偶數(shù)時(shí)，牛頓-柯特斯公式(2.1)至少有 次代數(shù)精度. n1nnkknknxfCabI0)()()(（2.1）39 證明證明 我們只要驗(yàn)證，當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，牛頓-柯特斯公式對 的余項(xiàng)為零. n1)(nxxf 由于這里,)!1()()1(nxfn.)(0 banjjdxxxfR引進(jìn)變換 并注意到 有 ,thax,jhaxj所以按余項(xiàng)公式有,)(002 nnjndtjthfR若 為偶數(shù)，則 為整數(shù)，n2n,2nut再令進(jìn)一步有40,)2(2202 nnnjndujnuhfR因?yàn)楸环e函數(shù).0fR

21、njjnuuH0)2()(為奇函數(shù)，所以2/2/)(nnjju41 辛普森公式的余項(xiàng)辛普森公式的余項(xiàng) 對牛頓-柯特斯求積公式，通常只使用 時(shí)的三個(gè)公式， 時(shí)為梯形公式，余項(xiàng)為 為辛普森公式4,2,1n1n).,(),(12)(3bafabfR 2n),()2(4)(6bfbafafabS代數(shù)精度為3，可以證明余項(xiàng)表達(dá)式為),(),()4(bafKfR其中 由(1.9)及(2.3)可得K42,)2(180120)(! 4)2(46)(51! 414544455abababbbaaababK).,(),()2(180)4(4bafababfR從而可得辛普森公式的余項(xiàng)為（2.5） 為柯特斯公式4n代

22、數(shù)精度為5，可以證明余項(xiàng)),(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfabC).,(),()4(945)(2)6(6bafababfR（2.6）434.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式 復(fù)合求積的基本思想是把積分區(qū)間分成若干子區(qū)間(通常是等分)，再在每個(gè)子區(qū)間上用低階求積公式，目的是提高精度. 復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式 將區(qū)間 劃分為 等分，分點(diǎn) 在每個(gè)子區(qū)間 上采用梯形公式(1.1)，則得n, 1 , 0nk,nabhkhaxk)()(2bfafabT（1.1）,ba)1, 1 ,0(,1nkxxkk44badxxfI)( 101)(nkxxkkdxxf（3.1）).

23、()()(2101fRxfxfhnnkkk記 101)()(2nkkknxfxfhT稱為復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式. . （3.2）,)()(2)(211nkkbfxfafh45 由(1.10) ，余項(xiàng)由于 , 且 ,)(2baCxf 10)(1nkkfn所以 使 ),(ba于是復(fù)合梯形公式余項(xiàng)為 )(min10knkf).(max10knkf ).,(,)(121103 kkknkknxxfhTIfR. )(1)(10 nkkfnf（2.5）.,)(12)(3baabfRT 46).(12)(2fhabfRn （3.3）誤差是 階，且當(dāng) 時(shí)有 ,)(2baCxf,)(limbanndxxfT即

24、復(fù)合梯形公式是收斂的. 事實(shí)上只要設(shè) ，就可以得到收斂性，因?yàn)橹灰獙?改寫為 .)()(21110nkknkknxfnabxfnabT2hnT,)(baCxf47 此外， 的求積系數(shù)為正，由定理2知復(fù)合梯形公式是穩(wěn)定的. nT當(dāng) 時(shí)，上式右端括號內(nèi)的兩個(gè)和式均收斂到積分 所以復(fù)化梯形公式(3.2)收斂.n.)(badxxf48 復(fù)合辛普森求積公式復(fù)合辛普森求積公式 將區(qū)間 分為 等分，在每個(gè)子區(qū)間 上采用辛普森公式(2.3)，若記 ，則得nbadxxfI)(記 1012/1)()(4)(6nkkkknxfxfxfhS（3.5） 101)(nkxxkkdxxf（3.4）).()()(4)(610

25、12/1fRxfxfxfhnnkkkk),()2(4)(6bfbafafabS（2.3）hxxkk212/1,ba,1kkxx),()(2)(4)(611102/1bfxfxfafhnkknkk稱為復(fù)合辛普森求積公式復(fù)合辛普森求積公式. 49 由(2.5)，其余項(xiàng)于是當(dāng) 時(shí)，,)(4baCxf).,()()2(180)()4(4bafhabSIfRnn（3.6）誤差階為 ，顯然是收斂的. 與復(fù)合梯形公式相似有 ).,(, )()2(1801110)4(4kkknkknnxxfhSIfR4h).,(),()2(180)4(4bafababfR 實(shí)際上，只要 就有,)(baCxf.)(limban

26、ndxxfS 此外，由于 中求積系數(shù)均為正數(shù)，故知復(fù)合辛普森公式計(jì)算穩(wěn)定. nS50 例例3 3 對于函數(shù) ，給出 的函數(shù)表(見表4-2)，試用復(fù)合梯形公式(3.2)及復(fù)合辛普森公式(3.5)計(jì)算積分 xxxfsin)(8n,sin10dxxxI并估計(jì)誤差. 解解將積分區(qū)間 劃分為8等分，8414709.018771925.08/79088516.04/39361556.08/59588510.02/19767267.08/39896158.04/19973978.08/110)(xfx2-表4應(yīng)用復(fù)化梯形法求得 1 , 0;9456909.08T,)()(2)(211nkknbfxfafhT

27、),()(2)(4)(611102/1bfxfxfafhSnkknkkn51 同積分的準(zhǔn)確值 比較，復(fù)合梯形法的結(jié)果 只有兩位有效數(shù)字，而復(fù)合辛普森法的結(jié)果 卻有6位有效數(shù)字.而如果將 分為4等分，應(yīng)用復(fù)化辛普森法有 接下來看誤差估計(jì) ，由于,)cos(sin)(10dtxtxxxf所以有 以上得到的兩個(gè)結(jié)果 與 ，都需要提供9個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算量基本相同，然而精度卻差別很大. 1 , 0.9460832.04S8T4S9460831.0I;9456909.08T.9460832.04S5210)()(cos)(dtxtdxdxfkkk，10)2cos(dtkxttk于是 10)2cos(d

28、ttkxtk由(3.3)得復(fù)合梯形公式誤差 )(max)(10 xfkx10dttk.11k.000434.031)81(121)(max12)(210288 xfhTIfRx對復(fù)合辛普森公式，由(3.6)得 .10271.051)41(28801)(6444SIfR).(12)(2fhabfRn （3.3）).()2(180)()4(4fhabSIfRnn（3.6）53 例例4 4 計(jì)算積分 ，若用復(fù)合梯形公，問區(qū)間 應(yīng)分多少等份才能使誤差不超過 ，若改用復(fù)合辛普森公式，要達(dá)到同樣的精度，區(qū)間 應(yīng)分多少等份？,e10dxIx1 ,01 ,051021 解解 本題只要根據(jù) 及 的余項(xiàng)公式即可求

29、得其截?cái)嗾`差應(yīng)滿足的精度.nTnS 由于 ，由復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)公式得誤差的上界為1,e)(,e)(,e)()4( abxfxfxfxxx.1021e)1(121)(12)(522 nfhabfR54因此有 ，可取 ，即將區(qū)間 213等份，即可使誤差不超過85.212,106e52nn213n1 ,0.10215 若采用復(fù)合辛普森公式計(jì)算積分，則由余項(xiàng)公式，要滿足精度要求，必須使,1021e)1(28801)(2880)(54)4(4nfhabfRn由此得.707.3,10144e44nn可取 ，即用 的復(fù)合辛普森公式計(jì)算即可達(dá)到精度要求，此時(shí)區(qū)間 實(shí)際上應(yīng)分為8等份.4n4n1 ,055 從

30、這個(gè)例子可以看出，為達(dá)到同樣的精度，復(fù)合辛普森公式只需計(jì)算9個(gè)函數(shù)值，而復(fù)合梯形公式則需214個(gè)函數(shù)值，工作量相差近24倍.564.4 龍貝格求積公式龍貝格求積公式 梯形法的遞推化梯形法的遞推化 復(fù)化求積方法可提高求積精度，實(shí)際計(jì)算時(shí)若精度不夠可將步長逐次分半. 設(shè)將區(qū)間 分為 等分，共有 個(gè)分點(diǎn)，,ban1n如果將求積區(qū)間再二分一次，則分點(diǎn)增至 個(gè)，12n我們將二分前后兩個(gè)積分值聯(lián)系起來加以考察. 57用復(fù)合梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為 每個(gè)子區(qū)間 經(jīng)過二分只增加了一個(gè)分點(diǎn)這里 代表二分前的步長. nabh 將每個(gè)子區(qū)間上的積分值相加得 , )(2)()(410211012nkknkkk

31、nxfhxfxfhT,1kkxx)(21121kkkxxx).()(2)(4121kkkxfxfxfh58從而利用式(3.2)可導(dǎo)出下列遞推公式 . )(22110212nkknnxfhTT（4.1）（3.2）,)()(2)(211nkknbfxfafhT59 例例5 5.sin10dxxxI 解解先對整個(gè)區(qū)間 使用梯形公式.對于函數(shù)計(jì)算積分值 ,sin)(xxxf定義它在 的值0 x, 1)0(f,8414709.0)1 (f而由梯形公式 1 , 0.9207355.0)1()0(211ffT將區(qū)間二等分，求出中點(diǎn)的函數(shù)值 ,9588510.0)21(f60利用遞推公式(4.1)，有 .93

32、97933.0)21(212112fTT進(jìn)一步二分求積區(qū)間，并計(jì)算新分點(diǎn)上的函數(shù)值 .9088516.0)43(,9896158.0)41(ff再利用式(4.1)，有 . )(22110212nkknnxfhTT.9445135.0)43()41(412124ffTT這樣不斷二分下去，計(jì)算結(jié)果見下表. 619460831.09460830.09460827.09460815.09460769.01098769460596.09459850.09456909.09445135.09397933.054321nnTkTk3-表4 它表明用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分 要達(dá)到7位有效數(shù)字的精度需要二分區(qū)間1

33、0次，即要有分點(diǎn)1025個(gè)，計(jì)算量很大. I62 外推技巧外推技巧 由梯形公式出發(fā)，將區(qū)間 逐次二分可提高求積公式的精度，當(dāng) 分為 等份時(shí)，有,ba),(122fhabTIn 若記 當(dāng)區(qū)間 分為 等份時(shí)，則有并且有),(hTTn,ban2),(12)(2fhabIhT 梯形公式余項(xiàng)可展成級數(shù)形式，即 ,ba.nabh),2(2hTTn,)0()(lim0IThTh,ban63 定理定理4 4 設(shè) 則有 ,)(baCxf,)(24221llhhhIhT（4.2）其中系數(shù) 與 無關(guān). ),2,1(llh 定理4表明 是 階，在(4.2)中，若用代替 ，有IhT)()(2hOh,2164)2(242

34、21llhhhIhT（4.3）若用4乘(4.3)式，減去(4.2)式再除3并記之為 則有 ),(hS2h64 這種將計(jì)算 的近似值的誤差階由 提高到 的方法稱為外推算法，也稱為(Richardson)外推算法.3)(2/4)(hThThS這里 是與 無關(guān)的系數(shù).,21hI)(4hO（4.4）,6241hhI 用 近似積分值 ，其誤差階為 ，這比復(fù)合梯形公式的誤差階 提高了，容易看到 ，即將 分為 等份得到的復(fù)合辛普森公式. )(hSI)(4hO)(2hOnShS)(,ban)(2hO 只要真值與近似值的誤差能表示成 的冪級數(shù)，如(4.2)，都可以使用外推算法提高精度.h65與上述做法類似，從(

35、4.4)出發(fā)，當(dāng) 再增加一倍，即 減少一半時(shí)，有hn.)2()2()2(6221hhIhS（4.5）用16乘(4.5)式再減去(4.4)式后除以15，將所得的式子記為 ，則有 )(hC15)(2/16)(hShShC（4.6）.8261hhI它就是把區(qū)間 分為 個(gè)子區(qū)間的復(fù)合柯特斯公式， ，它的精度為,ban.)()(6hOIhCnChC)(66 這個(gè)公式相當(dāng)于由辛普森法二分前后的兩個(gè)積分值 與 組合得到的，即nS)2(2hSSn).16(1512nnnSSC（4.7）).()2(64631)(hChChR（4.8） 從(4.6)出發(fā)，利用外推技巧還可得到逼近階為 的算法公式)(8hO如此繼續(xù)

36、下去就可得到龍貝格(Romberg)算法.67).(1412144)(11hThThTmmmmmm（4.9）經(jīng)過 次加速后，余項(xiàng)便取下列形式： ),2, 1(mm.)()2(22)1(21mmmhhIhT（4.10） 上述處理方法通常稱為理查森外推加速方法理查森外推加速方法. 龍貝格算法龍貝格算法 將上述外推技巧得到的公式(4.4)、(4.6)、(4.8)重新引入記號)()(),()(),()(),()(3210hRhThChThShThThT從而可將上述公式寫成統(tǒng)一形式68 設(shè)以 表示二分 次后求得的梯形值，且以 表示)(0kTk)(kmT序列 的 次加速值，則依遞推公式(4.9)可得 )(

37、0kTm公式(4.11)也稱為龍貝格求積算法龍貝格求積算法. . （4.11）).,2, 1(141144)(1)1(1)(kTTTkmmkmmmkm69計(jì)算過程： (1) 取,0abhk 令k1( 記區(qū)間 的二分次數(shù)). k,ba (2) 求梯形值,20kabT即按遞推公式(4.1)計(jì)算.)(0kT (3) 求加速值，按公式(4.12)逐個(gè)求出T表(見表4-4)的第 行其余各元素 k).,2, 1()(kjTjkj).()(2)0(0bfafhT求 (4) 若 (預(yù)先給定的精度)，則終止計(jì)算，)0(1)0(kkTT;)0(ITk并取否則令 轉(zhuǎn)(2)繼續(xù)計(jì)算. kk1. )(22110212n

38、kknnxfhTT（4.1）70)0(410) 1 (39)2(28)3(17)4(0)0(36) 1 (25)2(14)3(0)0(23) 1 (12)2(0)0(11) 1 (0)0(0)(4)(3)(2)(1)(01648342210TTTTTabTTTTabTTTabTTabTabTTTTThkkkkkk表T4-4表71 可以證明，如果 充分光滑，那么T表每一列的元素及對角線元素均收斂到所求的積分值 ，即 )(xfI，）（固定mITkmk)(lim 對于 不充分光滑的函數(shù)也可用龍貝格算法計(jì)算，只是收斂慢一些，這時(shí)也可以直接使用復(fù)合辛普森公式計(jì)算. )( xf.lim)0(ITmm72

39、例例6 6 用龍貝格算法計(jì)算積分 解解在 上僅是一次連續(xù)可微，2/3)(xxf1 ,0.102/3dxxI用龍貝格算法計(jì)算結(jié)果見表4-5. 400002. 0400002. 0400002. 0400002. 0400002. 0400118. 05400009. 0400009. 0400009. 0400014. 0400463. 04400050. 0400054. 0400077. 0401812. 03400302. 0400432. 0407018. 02402369. 0426777. 01500000. 00)(5)(4)(3)(2)(1)(0kkkkkkTTTTTTk5-表4

40、73 從表中看到用龍貝格算到 的精度與辛普森求積精度相當(dāng). 這里 的精確值為 5kI.4.0744.5 自適應(yīng)積分方法自適應(yīng)積分方法 復(fù)合求積方法是用于被積函數(shù)變化不太大的積分. 如果在求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大，有的部分函數(shù)值變化劇烈，另一部分變化平緩，這時(shí)統(tǒng)一將區(qū)間等份用復(fù)合求積公式計(jì)算工作量就會很大. 要達(dá)到誤差要求對變化劇烈部分必須將區(qū)間細(xì)分，而平緩部分則可用大步長，即針對被積函數(shù)在區(qū)間上不同情形采用不同的步長，使得在滿足精度前提下積分計(jì)算的工作量盡可能小.75 針對這類問題的算法技巧是在不同區(qū)間上預(yù)測被積函數(shù)變化的劇烈程度確定相應(yīng)的步長. 這種方法稱為自適應(yīng)積分方法. 以常用的復(fù)合辛

41、普森公式為例說明方法的基本思想.76 設(shè)給定精度要求 ，計(jì)算積分的近似值.先取步長 ，應(yīng)用辛普森公式有其中若把區(qū)間 對分，步長 ，在每個(gè)小區(qū)間上用辛普森公式，則得0badxxfI)(abh),(),()2(180),()()4(4bafhabbaSdxxfIba（5.1）).()2(4)(6),(bfbafafhbaS,ba222abhh),(),()2(180),()()4(422bafhabbaSfI（5.2）77實(shí)際上(5.2)即為與(5.1)比較，若 在 上變化不大，可假定其中).()43(4)2(6),2(),2()4(4)(6)2,(),2()2,(),(222bfhafhafhb

42、baShafhafafhbaaSbbaSbaaSbaS).,(),()4(180),()()4(42bafhabbaSfI（5.2）)()4(xf),(ba)()()4()4(ff從而可得).()2(180),(),(1516)4(42fhabbaSbaS78 若不等式(5.3)不成立，則應(yīng)分別對子區(qū)間 及 再用辛普森公式，此時(shí)步長 ,得到這里 .如果有則可期望得到與(5.2)比較，則得,151),(),(151),()(2122SSbaSbaSbaSfI),(),(221baSSbaSS,1521 SS,),()(2baSfI),(2baS此時(shí)可取 作為 的近似，則可達(dá)到給定的誤差精度 .b

43、adxxfI)(2,baa,2bba 2321hh79 及 . 只要分別考察 及是否成立. 對滿足要求的區(qū)間不再細(xì)分，對不滿足要求的還要繼續(xù)上述過程，直到滿足要求為止，最后還要應(yīng)用龍貝格法則求出相應(yīng)區(qū)間積分的近似值.)2,(3baaS),2(3bbaS2)2,(3baaSI2),2(3bbaSI80 例例7 7 計(jì)算積分 若用復(fù)合辛普森法(3.5)，計(jì)算結(jié)果見表4-6.（此處 即為公式中的 ，積分精確值為4） 計(jì)算到 為止，此時(shí) 的近似值 ，若再用龍貝格法則得到整個(gè)計(jì)算是將 做32等分，即需要計(jì)算33個(gè) 的值.112.02dxxInhh02.01nnSS.1)(12.02dxxfI000154

44、.41 ,2 .05S.00002.4151 ,2.0455SSSRS1, 2 .0)(xf81 現(xiàn)在若用自適應(yīng)積分法，當(dāng) 時(shí)有4 .02h,66851852.01,6 .0,51851852.36 .0,2 .022SS由于 大于允許誤差，故要對 及 兩區(qū)間再用 做積分.,187037.41,6 .06 .0,2 .01,2 .02222SSSS761111.021 SS6 .0, 2 .01, 6 .02321hh 先計(jì)算 的積分1, 6 .0.25002572.01, 8 .0,41678477.08 .0,6 .033SS 由于001708.066681049.066851852.0)

45、1, 8 .08 .0,6 .0(1,6 .0332SSS82小于允許誤差0.01，故在 區(qū)間的積分值為下面再計(jì)算子區(qū)間 的積分，其中 由于1, 6 .0.66669662.0)66851852.066681049.001,6 .0RS6 .0, 2 .0而對 可求得,51851852.36 .0,2 .02S2321hh.83425926.06 .0,4 .0,52314815.24 .0,2 .033SS161111.0)6 .0,4 .04 .0,2 .0(6 .0,2 .0332SSS83大于允許誤差0.01，因此還要分別計(jì)算 及的積分. 當(dāng) 時(shí)可求得而小于允

46、許誤差0.005，故可得 的積分近似而對區(qū)間 ，其誤差 不小于0.005，故還要分別計(jì)算 及 的積分，4 .0, 2 .06 .0, 4 .0234hh,33334864.06 .0, 5 .0,50005144.05 .0,4 .044SS000859.0)6 .0, 5 .05 .0,4 .0(6 .0,4 .0443SSS6 .0, 4 .0.8333428.06 .0,4 .0RS4 .0, 2 .04 .0,2 .04 .0,2 .043SS3 .0, 2 .04 .0, 3 .084且小于允許誤差0.0025，故有最后子區(qū)間 的積分可檢驗(yàn)出它的誤差小于0.0025，且可得其中 ，當(dāng)

47、 可求得83356954.04 .0, 3 .04S245hh,35714758.04 .0,35.0,47620166.035.0, 3 .055SS000220.0)4 .0,35.035.0, 3 .0(4 .0, 3 .0554SSS,83333492.04 .0, 3 .0RS3 .0, 2 .0.666686.13 .0,2 .0RS85將以上各區(qū)間的積分近似值相加可得它一共只需計(jì)算17個(gè) 的值.,00005957.41,6 .06 .0,4 .04 .0, 3 .03 .0,2 .0)(RSRSRSRSfI)(xf86 一般理論一般理論 求積公式 nkkkbaxfAdxxf0)(

48、)(含有 個(gè)待定參數(shù)22n).,1 ,0(,nkAxkk 當(dāng) 為等距節(jié)點(diǎn)時(shí)得到的插值求積公式其代數(shù)精度至少為 次. kxn 如果適當(dāng)選取 有可能使求積公式具有 次代數(shù)精度.), 1 ,0(nkxk12n4.6 高斯求積公式高斯求積公式87試確定節(jié)點(diǎn) 及 和系數(shù) ，使其具有近可能高的代數(shù)精度.（6.2）.0131030AxAx 例例8 8 求積公式),()()(110011xfAxfAdxxf（6.1） 解解 令公式(6.1)對于 準(zhǔn)確成立，得32, 1)(xxxxf,210 AA,00000AxAx,32121020AxAx0 x1x10, AA88 用(6.2)式中的第3式減去 乘(6.2)

49、中的第2式有0 x用第4式減去第2式乘 ，得 ,0)(202111 xxxA由此得于是可取 .20 x.01xx.32)(0111 xxxA用前一式代入則得,3110 xx由此得出 與 異號，即 ，從而有0 x1x01xx.31, 1211xA33,3310 xx89 再由(6.2)式的第1式得 ，于是有110 AA).33()33()(11ffdxxf（6.3）當(dāng) 時(shí)，(6.3)式兩端分別為 及 ，(6.3)式對 不精確成立，故公式(6.3)的代數(shù)精度為3.4)(xxf52924)(xxf 實(shí)際上，形如(6.1)的求積公式其代數(shù)精度不可能超過3，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)，設(shè)這是4次多項(xiàng)式，代入(6.12)

50、左端有 ，而右端為0.表明兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式的代數(shù)精度為3.1 , 1,10 xx2120)()()(xxxxxf0)(11dxxf 一般 節(jié)點(diǎn)的求積公式的代數(shù)精度最高為 次.1n12n90kx為求積節(jié)點(diǎn)，可適當(dāng)選取 及 使5.1）具有 次代數(shù)精度. 下面研究帶權(quán)積分 這里 為權(quán)函數(shù)，類似(1.3)，求積公式為,)()(badxxxfI)( x, )()()(0nkkkbaxfAdxxxf（6.4）為不依賴于 的求積系數(shù).), 1 , 0(nkAk)( xf12n), 1 ,0(nkxk, ),1 ,0(nkkA, )()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）91 根據(jù)定義要使(6.4)具有

51、 次代數(shù)精度，只要對12n),12,1 ,0(,)(nmxxfm.12, 1 ,0)(0nmdxxxxAnkbammkk（6.5）當(dāng)給定權(quán)函數(shù) ，求出右端積分，則可由(6.5)解得 )( x).,1 ,0(nkAxkk及令(6.4)精確成立，即, )()()(0nkkkbaxfAdxxxf（5.1） 定義定義4 4 如果求積公式(6.4)具有 次代數(shù)精度，則稱其節(jié)點(diǎn) 為高斯點(diǎn)高斯點(diǎn)，相應(yīng)公式(6.4)稱為高斯求積公式高斯求積公式.12n),1 ,0(nkxk92 (6.4)是關(guān)于 及 的非線性方程組，當(dāng) 時(shí)求解非常困難.), 1 ,0(nkxkkA1n 如果事先確定了節(jié)點(diǎn) ，則可以利用(6.5

52、)求解 .此時(shí)(6.5)是關(guān)于 的線性方程組.), 1 ,0(nkxk), 1 ,0(nkAkkA 下面討論如何選取節(jié)點(diǎn) 才能使求積公式(6.4)具有 次代數(shù)精度.), 1 ,0(nkxk12n93 設(shè) 上的 個(gè)節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式為)(,10 xfbxxxan1n, )()()(0nkkknxlxfxL,ba其中,)()()(0nkjjjkjkxxxxxl則).,(),()()!1(1)()()(1)1(0baxxfnxlxfxfnnnkkk94用 乘上式并從 到 積分，則得,)()()()!1(1)()()(1)1(0dxxxxfnxfAdxxfxbannnkkkba)(xab其中,)

53、()(dxxxlAbakk余項(xiàng).)()()()!1(11)1(dxxxxfnfRbann95顯然當(dāng) 取為 時(shí)有 ，此時(shí)有)(xfnxx, 10fR, )()()(0nkkkbaxfAdxxfx即求積公式至少具有 次代數(shù)精度.n 現(xiàn)在考察如何選取節(jié)點(diǎn) 才能使求積公式精度提高到 次.), 1 ,0(nkxk12n 此時(shí)要求 為 次多項(xiàng)式時(shí) ，而當(dāng) 時(shí)， 為 次多項(xiàng)式.)(xf12n0fR12)(nHxf)()1(xfnn96 若要求對 ，積分nHxp)(,0)()()(1dxxxxpban即相當(dāng)與要求 與每個(gè) 帶權(quán) 在 上 正交.)(1xnnHxp)()(x,ba 也就是以節(jié)點(diǎn) 為零點(diǎn)的 次多項(xiàng)式

54、 是 上帶權(quán) 正交的多項(xiàng)式，故有以下定理.), 1 ,0(nkxk1n)(1xn,ba)(x97 定理定理5 5 插值型求積公式(6.4)的節(jié)點(diǎn)bxxxan10是高斯點(diǎn)的充分必要條件是以這些節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式)()()(101nnxxxxxxx與任何次數(shù)不超過 的多項(xiàng)式 帶權(quán) 正交，n)( xP)( x.0)()()(1bandxxxxp（6.7） 證明證明 必要性. 即,H)(nxp設(shè),H)()(121nnxxp則, )()()(0nkkkbaxfAdxxxf（6.4）98.)()()()(babadxxxqdxxxf（6.8）nxxx,10是高斯點(diǎn)，因此，如果. )()()()()(011

55、nkknkkbanxxpAdxxxxp因),1 ,0(0)(1nkxkn即有故(6.7)成立. 精確成立，)()()(1xxpxfn 則求積公式(6.4)對于 充分性. 用 除 ，)(1xn )( xf記商為 ，余式為 ，即 ，)( xp)(xq)()()()(1xqxxpxfn其中 . nxqxpH)(),(,H)(12nxf對于由(6.7)可得 , )()()(0nkkkbaxfAdxxxf（6.4）.0)()()(1bandxxxxp（6.7）99由于求積公式(6.4)是插值型的，它對于 是精確的，nxqH)(. )()()(0nkkkbaxqAdxxxq即 再注意到),1 ,0(0)(

56、1nkxkn), 1 ,0()()(nkxfxqkk知從而由(6.8)有babadxxxqdxxxf)()()()(. )(0nkkkxfA.)()()()(babadxxxqdxxxf（6.8）, )()()(0nkkkbaxfAdxxxf（6.4）100可見求積公式(6.4)對一切次數(shù)不超過 的多項(xiàng)式均精確成立. 因此， 為高斯點(diǎn). 12n),1 ,0(nkxk 定理表明在 上帶權(quán) 的 次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式(6.4)的高斯點(diǎn). ,ba)( x1n 有了求積節(jié)點(diǎn) ，再利用),1 ,0(nkxknkbammkkdxxxxA0)(對 成立，nm,1 ,0).,1 ,0(nkAk解此方程

57、則得 的線性方程.nAAA,10則得到一組關(guān)于求積系數(shù)101 也可直接由 的插值多項(xiàng)式求出求積系數(shù) nxxx,10).,1 ,0(nkAk102 例例9 9 確定求積公式 ).()()(110010 xfAxfAdxxfx 解解 具有最高代數(shù)精度的求積公式是高斯型求積公式，其節(jié)點(diǎn)為關(guān)于權(quán)函數(shù) 的正交多項(xiàng)式零點(diǎn) 及 ,的系數(shù) 及節(jié)點(diǎn) 和 ，使它具有最高的代數(shù)精度.0 x1x10, AAxx )(0 x1x 設(shè) 由正交性知與1及 帶權(quán)正交，即得,)()(210cbxxxxxxx)(xx.0)(,0)(1010dxxxxdxxx于是得,0527292,0325272cbcb103由此解得 即 ,21

58、5,910cb.215910)(2xxx令 ，則得 0)(x.821162.0,289949.010 xx 由于兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式具有3次代數(shù)精度，故公式對 精確成立，即xxf, 1)( 當(dāng) 時(shí)1)(xf;321010dxxAA.52100000dxxxAxAx 當(dāng) 時(shí)xxf)(由此解出.389111.0,277556.010AA104 下面討論高斯求積公式(6.4)的余項(xiàng). 利用 在節(jié)點(diǎn) 的埃爾米特插值)( xf),1 ,0(nkxk,12nH., 1 , 0),()(),()(1212nkxfxHxfxHkknkkn于是 )()!22()()(21)22(12xnfHxfnnn即 ,

59、)()()(0nkkkbaxfAdxxxf（6.4）105兩端乘 ，并由 到 積分，則得 )( xab.)()()()(12fRdxxxHdxxxfInbanba（6.9）其中右端第一項(xiàng)積分對 次多項(xiàng)式精確成立，故 12nnkkknxfAIfR0)(由于,0)()(21xxn.)()()!22()(21)22(bannndxxxnffR（6.10）.)()()!22()(21)22(banndxxxnf由積分中值定理得(6.4)的余項(xiàng)為 關(guān)于高斯求積公式的穩(wěn)定性與收斂性，有： , )()()(0nkkkbaxfAdxxxf（6.4）106 定理定理6 6 高斯求積公式(6.4)的求積系數(shù)全是正

60、的. 證明證明 考察,)(0nkjjjkjkxxxxxl它是 次多項(xiàng)式，n因而 是 次多項(xiàng)式，)(2xlkn2. )()()(0022niikibakxlAdxxxl注意到,)(kiikxl),1 ,0(nkAk故高斯求積公式(6.4)對于它能準(zhǔn)確成立，即有 ,kA上式右端實(shí)際上即等于從而有 , )()()(0nkkkbaxfAdxxxf（6.4）107由本定理及定理2，則得 推論推論 高斯求積公式(6.4)是穩(wěn)定的. 定理定理7 7 設(shè) 則高斯求積公式(6.4)收斂，即.)()()(lim0bankkkndxxxfxfA.0)()(2bakkdxxxlA定理得證. ,)(baCxf, )()