函數極限的性質

1、函數極限的性質第一頁，共26頁。v定理3.2 如果當如果當xx0時時f(x)的極限存的極限存, , 那么這極限是唯一的那么這極限是唯一的 證明， x x f B A 時的極限時的極限 當當 都是都是 設設 0 , , ) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 e e d d d d e e - - - - $ $ A x f x x 時有時有 當當 則則 , ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d - - - - $ $ B x f x x 時有時有 當當 故有故有 同時成立同時成立 時時 則當則當 取取 ， x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1

2、d d d d d d d d - - = = . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( e e $ $ = = = = . 1 ) ( 1 ) ( + + - - A x f A x f . ) ; ( ) ( 0 內有界內有界 在在 即即 d d x U x f o o 第三頁，共26頁。3. 局部局部保號性保號性).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 d d d d$ $ = =xfxfxUxAAAxfxx或或時時當當則則或或且且若若定理定理3.4證明證明 設設A0,對任何對任何0,A- ,rAre=取d則存在0,使得對一切使得對一切0;xUxdo有 ,

3、f xAre- =這就證得結論這就證得結論.對于對于A 0的情形可的情形可類似地證明類似地證明.).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 d d d d$ $= =AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時時當當且且若若推論推論第四頁，共26頁。v定理3.4(函數極限的局部保號性) 如果如果f(x)A(xx0), , 而且而且A 0(或或A 0), , 那么對任何正數那么對任何正數rA (或或 r r0 (或或f(x) -r $ $ - - = = 使得使得 則則 取取 設設 . ) ( r A x f = = - - e e 有有 . 0 的情形類似可證的情形類似可證 對于

4、對于 r 推論 如果在如果在x0的某一去心鄰域內的某一去心鄰域內f(x) 0(或或f(x) 0), , 而且而且 f(x)A(xx0), , 那么那么A 0(或或A 0) 3. 局部保號性局部保號性第五頁，共26頁。v定理3.5(函數極限的保不等式性) 證明). ( lim ) ( lim ), ( ) ( ) ; ( ) ( ), ( 0 0 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 則則 內有內有 極限都存在且在極限都存在且在 時時 如果如果 d d o o , ) ( lim , ) ( lim 0 0 B x g A x f x x x x

5、 = = = = 設設 ) 1 ( ), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f A x x - - - - $ $ e e d d d d e e 時有時有 當當 則則 ) 2 ( . ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d + + - - $ $ B x g x x 時有時有 當當 于是有于是有 同時成立同時成立 與與 不等式不等式 時時 則當則當 令令 ， x g x f x x ) 2 ( ), 1 ( ) ( ) ( , 0 , , , min 0 2 1 - - = = d d d d d d d d d d , ) ( ) ( e e e e + + - -

6、B x g x f A . , 2 B A B A + + 的任意性知的任意性知 由由 從而從而 e e e e 4 保不等式保不等式第六頁，共26頁。).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx d d$ $ = = =有有則則且且設設推論推論第七頁，共26頁。v定理3.6 如果函數如果函數f(x)、g(x)及及h(x)滿足下列條件滿足下列條件 (1) g(x) f(x) h(x), , (2)lim g(x)= =A, , lim h(x)= =A, , 那么那么lim f(x)存在存在, , 且且lim f(x)= =A 證明), ( 0

7、 , 0 , 0 1 0 1 x g A x x ， - - - - $ $ e e d d d d e e 時有時有 當當 按假設按假設 . ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d + + - - $ $ A x h x x 時有時有 當當 故有故有 同時成立同時成立 時上兩不等式與時上兩不等式與 則當則當 令令 , ( ) ( ) ( 0 , , min 0 2 1 x h x f x g x x - - = = d d d d d d d d , ) ( ) ( ) ( e e e e + + - - A x h x f x g A . ) ( lim ) ( 0 A x

8、 f ， A x f x x = = - - 即即 由此得由此得 e e 5 迫斂性迫斂性第八頁，共26頁。定理定理3.7設設 , 則 1）2）3）6 四則運算法則四則運算法則第九頁，共26頁。(3)的證明的證明 只要證， 令，由 Bxgxx=)(lim0，使得當 時，有 ， 即 , 仍然由 Bxgxx=)(lim0，.，使得當 時，有 . 取 ，則當 時，有 即 第十頁，共26頁。推論推論1 1常數因子可以提到極限記號外面常數因子可以提到極限記號外面.推論推論2 2定理的條件：定理的條件：)(lim),(limxgxf存在存在商的情形還須加上分母的極限不為商的情形還須加上分母的極限不為0定理

9、簡言之即是：和、差、積、商的極限定理簡言之即是：和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商等于極限的和、差、積、商定理中極限號下面沒有指明極限過程，是指對定理中極限號下面沒有指明極限過程，是指對任何一個過程都成立任何一個過程都成立).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf= =則則為常數為常數而而存在存在如果如果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf= =則則是正整數是正整數而而存在存在如果如果第十一頁，共26頁。二、利用函數極限的性質計算某些函數的極限二、利用函數極限的性質計算某些函數的極限.已證明過以下幾個極限： ;coscoslim ,sinsinlim ,li

10、m ,lim0000000 xxxxxxCCxxxxxxxx=.2lim , 01lim=arctgxxxx（ 注意前四個極限中極限就是函數值 ） 利用極限性質，特別是運算性質求極限的原是：通過有關性質, 把所求極限化為基本極限, 代入基本極限的值, 即計算得所求極限. 這些極限可作為公式用. 在計算一些簡單極限時, 有五組基本極限作為公式用, 參閱 4P3738. 我們將陸續(xù)證明這些公式.第十二頁，共26頁。 利用“迫斂性”和“四則運算”，可以從一些“簡單函數極限”出發(fā)，計算較復雜函數的極限。例求例求01limxxx.4lim (1)xxtgx-例求例求.例求例求.224sinsinlim4

11、=xx.22coslim4=xx( 利用極限和 ) 3113lim . ( 1 )11xxx-+第十三頁，共26頁。e ee e+ + - -11xa只只須須)1(log)1(loge ee e+ + - -aax又又只只須須)1(log,11minloge ee ed d+ +- -= =aa令令時時當當d d |0 x)1(log11loge ed dd de e+ + - - - - -aaxe ee e+ + - -11xae e = =aaxx證證0 e e（不妨設（不妨設1）e e - - |1|xa要使要使第十四頁，共26頁。.523735lim233+-xxxxx例例6求求例例

12、5求求xx註註: 關于關于的有理分式當時的極限. 參閱4P37 .11lim1071-xxx).1)(1(121+-=-aaaaannn 利用公式 .74lim222-=-+BxBAxxx求A和B. 1620(, .)33AB= -=補充題補充題: 已知 第十五頁，共26頁。求極限方法舉例求極限方法舉例例例7 7.531lim232+ +- - -xxxx求求解解)53(lim22+ +- -xxx5lim3limlim2222+ +- -= =xxxxx5limlim3)lim(2222+ +- -= =xxxxx52322+ + - -= =, 03 = =531lim232+ +- -

13、-xxxx)53(lim1limlim22232+ +- - -= =xxxxxx3123- -= =.37= =第十六頁，共26頁。小結小結: :則則有有設設,)(. 1110nnnaxaxaxf+ + + += =- -nnxxnxxxxaxaxaxf+ + + += =- -110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa+ + + += =- -10100).(0 xf= =則則有有且且設設, 0)(,)()()(. 20 = =xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx= =)()(00 xQxP= =).(0 xf= =., 0)(0則

14、商的法則不能應用則商的法則不能應用若若= =xQ第十七頁，共26頁。例例8 8.3214lim21- -+ +- -xxxx求求解解)32(lim21- -+ +xxx, 0= =商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1- -xx又又, 03 = =1432lim21- - -+ +xxxx. 030= = =由無窮小與無窮大的關系由無窮小與無窮大的關系,得得.3214lim21 = =- -+ +- -xxxx第十八頁，共26頁。例例9 9.321lim221- -+ +- -xxxx求求解解.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x)00(型型.1后再求極限后再求極限因子因子

15、先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小- -x)1)(3()1)(1(lim321lim1221- -+ +- -+ += =- -+ +- -xxxxxxxxx31lim1+ + += =xxx.21= =(消去零因子法消去零因子法)第十九頁，共26頁。例例1010.147532lim2323- -+ + + + xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx- -+ + + += =- -+ + + +

16、.72= =(無窮小因子分出法無窮小因子分出法)第二十頁，共26頁。小結小結: :為為非非負負整整數數時時有有和和當當nmba, 0, 000 = = =+ + + + + + +- - - , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分子以分母中自變量的最高次冪除分子,分母分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.第二十一頁，共26頁。例例1111).21(lim222nnnnn+ + + + 求求解解是是無無窮窮小小之之和和時時, n先變形再求極限先變形再求極限.2222

17、21lim)21(limnnnnnnnn+ + + += =+ + + + 2)1(21limnnnn+ += = )11(21limnn+ += = .21= =第二十二頁，共26頁。 由以上幾例可見，在應用極限的四則運算法則求由以上幾例可見，在應用極限的四則運算法則求極限時，必須注意定理的條件，當條件不具備時，有極限時，必須注意定理的條件，當條件不具備時，有時可作適當的變形，以創(chuàng)造應用定理的條件，有時可時可作適當的變形，以創(chuàng)造應用定理的條件，有時可以利用無窮小的運算性質或無窮小與無窮大的關系求以利用無窮小的運算性質或無窮小與無窮大的關系求極限。極限。三、復合函數極限三、復合函數極限定理定理

18、 （復合函數極限運算法則（復合函數極限運算法則變量代換法則）變量代換法則）AufxfAufaxxaxauxxauxx= = = = = =)(lim)(lim,)(lim,)(,)(lim000 則則又又的某去心鄰域內的某去心鄰域內但在但在設設第二十三頁，共26頁。證證知知由由Aufau= =)(lim0,0 $ $ e e有有時時使使當當,|0 - - aue e $ $ d d ，對對上上述述有有時時使使當當,|00d d - - xx - -|)(|axax )( 又又 - - |)(|0axe e - -|)(|Axf由極限定義得由極限定義得Aufxfauxx= = =)(lim)(lim0 第二十四頁，共26頁。此定理表明：此定理表明：滿滿足足定定理理的的條條件件與與若若)()(xuf